수열의 극한 전체 문제

먼저, 분자와 분모가 모두 한없이 커짐에 주목한다. 따라서 한쪽이 다른 쪽보다 훨씬 빠르게 커지는지, 아니면 일정한 비에 가까워지는지 판단해야 한다.

• 풀이 1: 분자와 분모를 $2^n$ (분모에서 가장 우세한 항이다. 이는 유리식에서 최고차항으로 묶어 내는 것과 같은 생각이다)으로 나누어 보자. $$b_n = \frac{e^n}{2^n+n^2}\left(\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^n}}\right) = \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+\frac{n^2}{2^n}}$$ $e>2$ 이므로 $\dfrac{e}{2}>1$ 이고, 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{e}{2}\right)^n=\infty$ 이다. 지수함수는 다항함수보다 훨씬 빠르게 증가하므로 $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2}{2^n}=0$ 임도 알 수 있다. 따라서 $$\lim\limits_{n \to \infty}b_n = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+\frac{n^2}{2^n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+0} = \infty$$
• 풀이 2: 분자와 분모가 모두 한없이 증가하므로 로피탈의 정리를 적용한다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2^x\} = 2^x\log 2$ 임을 상기하자.

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}b_n&=\lim_{n \to \infty}\underbrace{\dfrac{e^n}{2^n+n^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\\ &=\lim_{n \to \infty}\underbrace{\frac{e^n}{2^n\log 2 + 2n}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\\ &=\lim_{n \to \infty} \underbrace{\frac{e^n}{2^n(\log 2)^2 + 2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{e^n}{2^n(\log 2)^3}\\ &=\frac{1}{(\log 2)^3}\lim_{n \to \infty}{\left(\frac{e}{2}\right)^n}\\ &=\infty \end{aligned}$$

$e>2$ 이므로 $\dfrac{e}{2}>1$ 이고, 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{e}{2}\right)^n=\infty$ 이다.

먼저 식을 간단히 한다. 0 이상의 정수 $n$ 에 대해 $n! = n(n-1)(n-2)\cdots(2)(1)$ 이므로 $(k+1)!=(k+1)k!$ 이다.

$$\begin{aligned} a_k&=\frac{k!\sin^3k}{(k+1)!}=\frac{k!\sin^3k}{(k+1)k!} = \frac{\sin^3 k}{k+1} \end{aligned}$$

이제 조임 정리를 사용할 수 있다.

• 모든 $k$ 에 대해 $-1 \leq \sin k \leq 1$ 이므로 $-1 \leq \sin^3k \leq 1$ 이다. $b_k = \frac{-1}{k+1}$, $c_k = \frac{1}{k+1}$ 이라 하면 $b_k \leq a_k \leq c_k$ 이다.
• $\lim\limits_{k \to \infty}b_k=0$ 이고 $\lim\limits_{k \to \infty}c_k=0$ 이다.

따라서 조임 정리에 의해 $\displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k=0$ 이다.

$\lim\limits_{n\to \infty} (-1)^n$ 은 존재하지 않지만, 모든 $n$ 에 대해 $-1 \leq (-1)^n\leq 1$ 임에 주목한다. 조임 정리를 사용하자.

• $a_n=-\sin\left(\frac{1}{n}\right)$, $b_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right)$ 이라 하면 $a_n\leq (-1)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \leq b_n$ 이다.
• $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0$ 이고 $\sin 0=0$ 이므로, $\lim\limits_{n \to \infty} -\sin\left(\frac{1}{n}\right)=0$ 이고 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin\left(\frac{1}{n}\right)=0$ 이다.

조임 정리에 의해 수열 $\left\{(-1)^n\sin\frac{1}{n}\right\}$ 은 $0$ 으로 수렴한다.

먼저 상황을 정리해 보자. $n \to \infty$ 일 때 $\sin(1/n) \to \sin (0)=0$ 이므로 $\log\left(\sin(1/n)\right) \to -\infty$ 이다. 그런데 $\log(2n) \to \infty$ 이다. 따라서 두 부분이 수열의 항을 서로 다른 방향으로 끌어당기는 상황이 되어 판단하기 어렵다. ("$-\infty+\infty=0$" 과 같은 결론을 내릴 수 없음을 떠올리자.)

로그의 성질을 이용하여 더 명확하게 살펴보자.

$$\begin{aligned} \log\left(\sin\frac{1}{n}\right)+\log(2n)&=\log\left(2n\sin\left(\frac1n\right)\right) \end{aligned}$$

그래도 여전히 부정형이다. $2n\sin(1/n)$ 은 한없이 커지는 $2n$ 과 0에 가까워지는 $\sin(1/n)$ 의 곱이기 때문이다. 앞에서 우리는 (약간의 식 변형 후) 로피탈의 정리로 부정형 $0\cdot\infty$ 를 다룰 수 있음을 배웠지만, 더 간단한 방법이 있다. $n \to \infty$ 일 때 $1/n \to 0$ 임에 주목하자. $\frac{1}{n}=x$ 로 놓으면, 이 극한의 한 부분이 익숙한 꼴이 된다.

$$\begin{aligned} 2n\sin\left(\frac{1}{n}\right)&=2\left(\frac{\sin x}{x}\right) \\ \text{$n \to \infty$ 이면 $x = \frac{1}{n}\to 0$ 이다.} \\ \lim_{n \to \infty}2n\sin\left(\frac{1}{n}\right)&=2\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \\ \text{이 극한은 익숙하다:} \\ &=2(1)=2 \\ \text{그러면:} \\ \lim_{n \to \infty}\log\left(2n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)&=\log 2 \end{aligned}$$

참고: $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 임을 잊었다면, 이 극한도 로피탈의 정리를 이용하여 구할 수 있다.

$$\begin{aligned} \underbrace{\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to0}} &=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0 =1 \end{aligned}$$

먼저, 이 수열은 $n$ 이 작은 일부 값에서는 정의되지 않지만 $n \geq 5$ 이면 정의되므로, $n \to \infty$ 일 때의 극한을 취하는 데에는 문제가 없다. 둘째, 이 극한은 $\infty-\infty$ 꼴의 부정형이다. 이 꼴은 부정형이므로, 극한이 존재한다면 그 값을 구하기 위해 더 계산해야 한다.

지난 학기에 이런 꼴의 함수에서 보았던 대표적인 방법은 식의 켤레식 $\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}$ 을 곱하고 나누는 것이다. 그러면 분모는 비슷한 두 항의 차가 아니라 합이 된다. 이것이 왜 도움이 되는지는 아래 계산을 보면 알 수 있다.

$$\begin{aligned} \sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}&=\big(\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}\big)\left(\frac{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\right)\\ &=\frac{(n^2+5n)-(n^2-5n)}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}} \\ \text{이제 분자와 분모에서 $n$ 을 약분한다. $n=\sqrt{n^2}$ 임에 주의한다.} \\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\left(\frac{\frac1n}{\frac1n}\right)\\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\left(\frac{\frac1n}{\frac{1}{\sqrt{n^2}}}\right)\\ &=\frac{10}{\sqrt{1+\frac5n}+\sqrt{1-\frac5n}} \\ \text{이제 극한이 분명하다.} \\ \lim_{n \to \infty}\frac{10}{\sqrt{1+\frac5n}+\sqrt{1-\frac5n}}&=\frac{10}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}=\frac{10}{1+1}=5 \end{aligned}$$

먼저, 이 극한이 부정형임에 주목한다. $n$ 이 커지면 $2+\frac1n \to 2$ 이므로 $n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]$ 은 $\infty \cdot 0$ 꼴이다. 이 어려움을 해결하기 위해 약간의 대수적 계산과 로피탈 정리를 쓸 수도 있지만, 더 깔끔한 방법이 있다. $h = \frac{1}{n}$ 로 놓으면 $n\to\infty$ 일 때 $h \to 0$ 이고, 구하는 극한은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]&= \lim_{h \to 0}\frac{\left(2+h\right)^{100}-2^{100}}{h} \\ \text{이것은 미분계수의 정의를 떠올리게 한다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{x^{100}\right\}&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{100}-x^{100}}{h} \end{aligned}$$

따라서 $f(x)=x^{100}$ 으로 놓으면 구하는 극한은 곧 $f'(2)$ 이다. 즉 $\left[100x^{99}\right]_{x=2}= 100\cdot 2^{99}$ 이다.

(a) 넓이 $A_n$ 을 구하기 위해, 변이 $n$ 개인 도형을 $n$ 개의 이등변삼각형으로 나눌 수 있음에 주목한다. 각 삼각형은 길이가 1인 두 변과 그 사이의 각 $\frac{2\pi}{n}$ 를 가진다.

이 삼각형 하나의 넓이는 각각 $\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 이다.

모두 합하면 $n$ 각형의 넓이는 $A_n = \displaystyle\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 이다.

(b) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$ 은 $\infty \times 0$ 꼴의 부정형이며, 이를 구하는 두 가지 방법을 살펴본다.

먼저, $n \to \infty$ 일 때 도형은 점점 반지름이 1인 원에 가까워진다. 따라서 $A_n$ 은 반지름이 1인 원의 넓이에 가까워진다. 즉 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n = \pi$ 이다.

다른 방법으로, 극한 $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 을 이용할 수 있다. $x=\frac{2\pi}{n}$ 라 하자. $n \to \infty$ 이면 $x \to 0$ 임에 주목한다.

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}A_n&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{\frac{2\pi}{n}}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ &=\lim_{x \to 0}\pi\frac{\sin x}{x} =\pi\times 1=\pi \end{aligned}$$

(a) $f_2(x) = \begin{cases} 1 & 2 \leq x < 3\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

(b) $f_3(x) = \begin{cases} 1 & 3 \leq x < 4\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

(c) 모든 $n$ 에 대해 길이가 1인 구간에서 $f_n(x)=1$ 이고, 그 밖의 모든 $x$ 에서 $f_n(x)=0$ 이다. 따라서 곡선 아래의 넓이는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓이이다.

그러면 모든 $n$ 에 대해 $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x=1$ 이다. 즉 수열 $\{A_n\}$ 은 $\{1,1,\ldots,1\}$, 곧 모든 항이 1인 수열이다. (d) 위의 설명에 따라 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=1$ 이다. (e) 고정된 $x$ 에 대해 $\{f_n(x)\} = \{0,\ldots,0,1,0,\ldots 0,0,0,0,0,\ldots\}$ 임을 떠올리자. 특히 이 수열의 끝에는 0이 무한히 많이 있다. 따라서 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)=0$ 이다. 그러면 모든 $x$ 에 대해 $g(x)=0$ 이다. (f) 위의 설명에 따라 $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty}0\,\mathrm{d}x=0$ 이다.

참고: 지금까지 보인 것은, 이 특정한 $f_n(x)$ 에 대해 $$\lim_{n \to \infty}\int_0^{\infty}f_n(x)\,\mathrm{d}x \neq \int_0^{\infty}\lim_{n \to \infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x$$ 라는 사실이다. 즉 극한과 적분의 순서를 항상 바꿀 수 있는 것은 아니다(이 경우 적분은 이상적분이므로 적분 자체가 또 하나의 극한이다). 이 둘의 순서를 바꿀 수 있는 조건이 궁금한 독자는 “균등수렴”을 찾아보기 바란다.

극한을 그냥 구하려 하면 부정형 $1^{\infty}$ 가 나온다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴이나 $\frac{0}{0}$ 꼴이 아니므로 로그를 써야 한다. 또한 로피탈의 정리는 실수에서 정의된 미분가능한 함수에 적용되므로, 수열 대신 함수를 생각한다.

수열의 모든 항이 양수임에 주목한다.

• 풀이 1: $x=\frac{1}{n}$, $f(x)=\left(1+3x+5x^2\right)^{1/x}$ 로 정의한다. 그러면 $b_n=f\left(\frac{1}{n}\right)=f(x)$ 이고, $$\lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{x \to 0^+}f(x).$$ 이 극한이 존재하면 $\lim\limits_{n \to \infty}b_n$ 과 같다.

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+}f(x)&= \lim_{x \to 0^+} \left(1+3x+5x^2\right)^{1/x}\\ \lim_{x \to 0^+}\log[f(x)]&= \lim_{x \to 0^+} \log\left[\left(1+3x+5x^2\right)^{1/x}\right] =\underbrace{ \lim_{x \to 0^+}\frac{ \log\left[1+3x+5x^2 \right]}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{3+10x}{1+3x+5x^2}}{1}=3\\ \lim_{x \to 0^+}f(x)&=e^3 \end{aligned}$$

극한이 존재하므로 $\lim\limits_{n \to \infty}b_n=e^3$ 이다.

• 풀이 2: $x=\frac{1}{n}$ 로 놓는 간단한 방법을 떠올리지 못했더라도, $g(x)=\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)^{x}$ 를 이용하여 문제를 풀 수 있다.

$$\begin{aligned} g(x)&=\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)^x\\ \log [g(x)]&= x\log\left[1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right] =\underbrace{\frac{\log\left[1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right]}{1/x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to0}}\\ \lim_{x \to \infty} \log[g(x)]&=\lim_{x \to \infty}\dfrac{\frac{-\frac{3}{x^2}-\frac{10}{x^3}}{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}}{\frac{-1}{x^2}}= \lim_{x \to \infty}x^2\frac{\frac{3}{x^2}+\frac{10}{x^3}}{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty}\frac{3+\frac{10}{x}}{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}} = \frac{3+0}{1+0+0}=3\\ \lim_{x \to \infty} f(x)&=e^3\end{aligned}$$

극한이 존재하므로 $\lim\limits_{n \to \infty} b_n =e^3$ 이다.