빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

급수 심화 전체 문제

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832문제 · 33 / 42쪽

641.APEX · 8.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

SnS_n 을 급수의 nthn^\text{th} 부분합이라 하자. 연습문제 21–24에는 수렴하는 교대급수와 nn 의 값이 주어져 있다. SnS_n 과 Sn+1S_{n+1} 을 계산하고, 이 값들을 이용하여 급수의 합의 범위를 구하세요.

∑n=0∞(−12)n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac12\right)^n, n=9n=9

영어 원문 보기

Let SnS_n be the nthn^\text{th} partial sum of a series. In Exercises 21–24, a convergent alternating series is given and a value of nn. Compute SnS_n and Sn+1S_{n+1} and use these values to find bounds on the sum of the series.

∑n=0∞(−12)n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac12\right)^n, n=9n=9

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S9=0.666016S_9 = 0.666016; S10=0.666992S_{10} = 0.666992;

0.666016≤∑n=0∞(−12)n≤0.666992\displaystyle 0.666016 \leq \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac12\right)^n \leq 0.666992

원본 교재 풀이(영어)

S9=0.666016S_9 = 0.666016; S10=0.666992S_{10} = 0.666992;

0.666016≤∑n=0∞(−12)n≤0.666992\displaystyle 0.666016 \leq \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac12\right)^n \leq 0.666992

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 8번
# 교대급수계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
642.APEX · 8.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

xx 의 값에 관계없이 x0=x^0=_____ 로 약속한다.

영어 원문 보기

We adopt the convention that x0=x^0=_____, regardless of the value of xx.

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1

원본 교재 풀이(영어)

1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 4번
# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
643.APEX · 8.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

수렴 반지름과 수렴 구간의 차이는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the difference between the radius of convergence and the interval of convergence?

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수렴 반지름은 x=cx=c 를 중심으로 하는 거듭제곱급수가 (c−R,c+R)(c-R,c+R) 안의 모든 xx 의 값에 대해 수렴하도록 하는 값 RR 이다. 수렴 구간은 거듭제곱급수가 수렴하는 구간이며, (c−R,c+R)(c-R,c+R) 와는 양 끝점에서만 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The radius of convergence is a value RR such that a power series, centered at x=cx=c, converges for all values of xx in (c−R,c+R)(c-R,c+R). The interval of convergence is an interval on which the power series converges; it may differ from (c−R,c+R)(c-R,c+R) only at the endpoints.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 3번
# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
644.APEX · 8.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n 의 수렴 반지름이 5이면, ∑n=1∞n⋅anxn−1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\cdot a_nx^{n-1} 의 수렴 반지름은 얼마인가요?

영어 원문 보기

If the radius of convergence of ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n is 5, what is the radius of convergence of ∑n=1∞n⋅anxn−1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\cdot a_nx^{n-1}?

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5

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5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 1번
# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
645.APEX · 8.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n 의 수렴 반지름이 5이면, ∑n=0∞(−1)nanxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^na_nx^n 의 수렴 반지름은 얼마인가요?

영어 원문 보기

If the radius of convergence of ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n is 5, what is the radius of convergence of ∑n=0∞(−1)nanxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^na_nx^n?

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5

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5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 22번
# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
646.APEX · 8.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 주어진 거듭제곱급수의 처음 5개 항의 합을 쓰세요.

∑n=0∞2nxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^nx^n

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, write out the sum of the first 5 terms of the given power series.

∑n=0∞2nxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^nx^n

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1+2x+4x2+8x3+16x41+2x+4x^2+8x^3+16x^4

원본 교재 풀이(영어)

1+2x+4x2+8x3+16x41+2x+4x^2+8x^3+16x^4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 1번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
647.APEX · 8.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 주어진 거듭제곱급수의 처음 5개 항의 합을 쓰세요.

∑n=1∞1n2xn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}x^n

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, write out the sum of the first 5 terms of the given power series.

∑n=1∞1n2xn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}x^n

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x+x24+x39+x416+x525x+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{9}+\frac{x^4}{16}+\frac{x^5}{25}

원본 교재 풀이(영어)

x+x24+x39+x416+x525x+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{9}+\frac{x^4}{16}+\frac{x^5}{25}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 61번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
648.APEX · 8.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 주어진 거듭제곱급수의 처음 5개 항의 합을 쓰세요.

∑n=0∞1n!xn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, write out the sum of the first 5 terms of the given power series.

∑n=0∞1n!xn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n

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1+x+x22+x36+x4241+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}

원본 교재 풀이(영어)

1+x+x22+x36+x4241+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 23번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
649.APEX · 8.6절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 주어진 거듭제곱급수의 처음 5개 항의 합을 쓰세요.

∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, write out the sum of the first 5 terms of the given power series.

∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}

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1−x22+x424−x6720+x8403201-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{40320}

원본 교재 풀이(영어)

1−x22+x424−x6720+x8403201-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{40320}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 7번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
650.APEX · 8.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=0∞(−1)n+1n!xn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n!}x^{n}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=0∞(−1)n+1n!xn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n!}x^{n}

정답·풀이 보기

(a) R=∞R=\infty (b) (−∞,∞)(-\infty,\infty)

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=∞R=\infty (b) (−∞,∞)(-\infty,\infty)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 29번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
651.APEX · 8.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=0∞nxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty nx^{n}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=0∞nxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty nx^{n}

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(a)
(b)
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(a) R=1R=1 (b) (−1,1)(-1,1)

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=1R=1 (b) (−1,1)(-1,1)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 1번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
652.APEX · 8.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=1∞(−1)n(x−3)nn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(x-3)^{n}}{n}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=1∞(−1)n(x−3)nn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(x-3)^{n}}{n}

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(a)
(b)
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(a) R=1R=1 (b) (2,4](2,4]

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=1R=1 (b) (2,4](2,4]

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 59번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
653.APEX · 8.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=0∞(x+4)nn!\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+4)^{n}}{n!}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=0∞(x+4)nn!\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+4)^{n}}{n!}

정답·풀이 보기

(a) R=∞R=\infty (b) (−∞,∞)(-\infty,\infty)

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=∞R=\infty (b) (−∞,∞)(-\infty,\infty)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 15번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
654.APEX · 8.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=0∞xn2n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{2^n}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=0∞xn2n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{2^n}

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) R=2R=2 (b) (−2,2)(-2,2)

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=2R=2 (b) (−2,2)(-2,2)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 24번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
655.APEX · 8.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어졌다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=0∞(−1)n(x−5)n10n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(x-5)^{n}}{10^n}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=0∞(−1)n(x−5)n10n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(x-5)^{n}}{10^n}

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) R=10R=10 (b) (−5,15)(-5,15)

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=10R=10 (b) (−5,15)(-5,15)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 45번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
656.APEX · 8.6절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어졌다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=0∞5n(x−1)n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 5^n(x-1)^{n}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=0∞5n(x−1)n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 5^n(x-1)^{n}

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) R=1/5R=1/5 (b) (4/5,6/5)(4/5,6/5)

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=1/5R=1/5 (b) (4/5,6/5)(4/5,6/5)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 18번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
657.APEX · 8.6절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어졌다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=0∞(−2)nxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-2)^nx^{n}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=0∞(−2)nxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-2)^nx^{n}

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) R=1/2R=1/2 (b) (−1/2,1/2)(-1/2,1/2)

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=1/2R=1/2 (b) (−1/2,1/2)(-1/2,1/2)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 23번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
658.APEX · 8.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어졌다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=0∞nxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sqrt{n}x^{n}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=0∞nxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sqrt{n}x^{n}

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) R=1R=1 (b) (−1,1)(-1,1)

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=1R=1 (b) (−1,1)(-1,1)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 61번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
659.APEX · 8.6절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어졌다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=0∞n3nxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{3^n}x^{n}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=0∞n3nxn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{3^n}x^{n}

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) R=3R=3 (b) (−3,3)(-3,3)

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=3R=3 (b) (−3,3)(-3,3)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 1번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
660.APEX · 8.6절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

∑n=0∞3nn!(x−5)n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!}(x-5)^{n}

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

∑n=0∞3nn!(x−5)n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!}(x-5)^{n}

정답·풀이 보기

(a) R=∞R=\infty (b) (−∞,∞)(-\infty,\infty)

원본 교재 풀이(영어)

(a) R=∞R=\infty (b) (−∞,∞)(-\infty,\infty)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 41번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)