교대급수 연습문제 | 빌드라인 스쿨

21.OpenStax 2권 · 5.5절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 또는 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$ (힌트: 분자를 유리화하세요.)

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$ (Hint: Rationalize the numerator.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 14번

# 교대급수계산자동 분류

22.OpenStax 2권 · 5.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 또는 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$ (힌트: 통분한 다음 분자를 유리화하세요.)

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$ (Hint: Find common denominator then rationalize numerator.)

정답·풀이 보기

힌트를 적용한 후 p-급수( $p=3/2,$ )와의 극한비교에 의해 절대수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges absolutely by limit comparison with p-series, $p=3/2,$ after applying the hint.

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# 교대급수계산자동 분류

23.OpenStax 2권 · 5.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 또는 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}(\ln (n+1)-\ln \,n)$

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}(\ln (n+1)-\ln \,n)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 24번

# 교대급수계산자동 분류

24.OpenStax 2권 · 5.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 또는 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}n({\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n)$ (힌트: 평균값 정리를 이용하세요.)

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}n({\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n)$ (Hint: Use Mean Value Theorem.)

정답·풀이 보기

$n({\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n)$ 이 충분히 큰 $n$ 에 대해 0으로 감소하므로 교대급수 판정법에 의해 수렴한다. 힌트를 적용한 후 조화급수와의 극한비교에 의해 절대수렴하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges by alternating series test since $n({\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n)$ is decreasing to zero for large $n.$ Does not converge absolutely by limit comparison with harmonic series after applying hint.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 32번

# 교대급수계산자동 분류

25.OpenStax 2권 · 5.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 아니면 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}({(n+1)}^{2}-{n}^{2})$

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}({(n+1)}^{2}-{n}^{2})$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 50번

# 교대급수계산자동 분류

26.OpenStax 2권 · 5.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 아니면 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 이 망원급수의 항이므로 절대수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges absolutely, since ${a}_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ are terms of a telescoping series.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 30번

# 교대급수계산자동 분류

27.OpenStax 2권 · 5.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 아니면 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cos (n\pi )}{n}$

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cos (n\pi )}{n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 64번

# 교대급수계산자동 분류

28.OpenStax 2권 · 5.5절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 아니면 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cos (n\pi )}{{n}^{1/n}}$

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cos (n\pi )}{{n}^{1/n}}$

정답·풀이 보기

항이 0으로 수렴하지 않는다. 발산 판정법에 의해 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

Terms do not tend to zero. Series diverges by divergence test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 36번

# 교대급수계산자동 분류

29.OpenStax 2권 · 5.5절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 아니면 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)$

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 42번

# 교대급수계산자동 분류

30.OpenStax 2권 · 5.5절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 또는 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\sin (n\pi /2)\sin (1/n)$

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }\sin (n\pi /2)\sin (1/n)$

정답·풀이 보기

교대급수 판정법에 의해 수렴한다. 조화급수와의 극한비교판정법에 의해 절대수렴하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges by alternating series test. Does not converge absolutely by limit comparison with harmonic series.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 46번

# 교대급수계산자동 분류

31.OpenStax 2권 · 5.5절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서 추정식 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여, 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ 의 첫 $N$ 개 항의 합이 무한합과 주어진 오차 이하로 차이 나도록 보장하는 $N$ 의 값을 구하세요. 이 $N$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}$ 을 계산하세요.

[계산기 사용] ${b}_{n}=1/n$ , 오차 $<{10}^{-5}$

영어 원문 보기

In each of the following problems, use the estimate $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ to find a value of $N$ that guarantees that the sum of the first $N$ terms of the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ differs from the infinite sum by at most the given error. Calculate the partial sum ${S}_{N}$ for this $N.$

[T] ${b}_{n}=1/n,$ error $<{10}^{-5}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 4번

# 교대급수계산자동 분류

32.OpenStax 2권 · 5.5절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서 추정식 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여, 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ 의 첫 $N$ 개 항의 합이 무한합과 주어진 오차 이하로 차이 나도록 보장하는 $N$ 의 값을 구하세요. 이 $N$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}$ 을 계산하세요.

[계산기 사용] ${b}_{n}=1/\ln (n),$ $n\ge 2$ , 오차 $<{10}^{-1}$

영어 원문 보기

In each of the following problems, use the estimate $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ to find a value of $N$ that guarantees that the sum of the first $N$ terms of the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ differs from the infinite sum by at most the given error. Calculate the partial sum ${S}_{N}$ for this $N.$

[T] ${b}_{n}=1/\ln (n),$ $n\ge 2,$ error $<{10}^{-1}$

정답·풀이 보기

$\ln (N+1)>10,$ $N+1>{e}^{10},$ $N\ge 22026;$ ${S}_{22026}=-0.9743\ldots$

원본 교재 풀이(영어)

$\ln (N+1)>10,$ $N+1>{e}^{10},$ $N\ge 22026;$ ${S}_{22026}=-0.9743\ldots$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 40번

# 교대급수계산자동 분류

33.OpenStax 2권 · 5.5절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서 추정식 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여, 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ 의 첫 $N$ 개 항의 합이 무한합과 주어진 오차 이하로 차이 나도록 보장하는 $N$ 의 값을 구하세요. 이 $N$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}$ 을 계산하세요.

[계산기 사용] ${b}_{n}=1/\sqrt{n}$ , 오차 $<{10}^{-3}$

영어 원문 보기

In each of the following problems, use the estimate $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ to find a value of $N$ that guarantees that the sum of the first $N$ terms of the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ differs from the infinite sum by at most the given error. Calculate the partial sum ${S}_{N}$ for this $N.$

[T] ${b}_{n}=1/\sqrt{n},$ error $<{10}^{-3}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.5절 · 2번

# 교대급수계산자동 분류

34.OpenStax 2권 · 5.5절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서 추정식 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여, 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ 의 첫 $N$ 개 항의 합이 무한합과 주어진 오차 이하로 차이 나도록 보장하는 $N$ 의 값을 구하세요. 이 $N$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}$ 을 계산하세요.

[계산기 사용] ${b}_{n}=1/{2}^{n}$ , 오차 $<{10}^{-6}$

영어 원문 보기

In each of the following problems, use the estimate $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ to find a value of $N$ that guarantees that the sum of the first $N$ terms of the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ differs from the infinite sum by at most the given error. Calculate the partial sum ${S}_{N}$ for this $N.$

[T] ${b}_{n}=1/{2}^{n},$ error $<{10}^{-6}$

정답·풀이 보기

${2}^{N+1}>{10}^{6}$ or $N+1>6\ln (10)/\ln (2)=19.93.$ or $N\ge 19;$ ${S}_{19}=0.333333969\ldots$

원본 교재 풀이(영어)

${2}^{N+1}>{10}^{6}$ or $N+1>6\ln (10)/\ln (2)=19.93.$ or $N\ge 19;$ ${S}_{19}=0.333333969\ldots$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 50번

# 교대급수계산자동 분류

35.OpenStax 2권 · 5.5절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서, 추정식 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ 의 첫 $N$ 개 항의 합이 무한급수의 합과 주어진 오차 이내로만 차이 나도록 보장하는 $N$ 의 값을 구하세요. 이 $N$ 에 대해 부분합 ${S}_{N}$ 을 계산하세요.

[계산기 사용] ${b}_{n}=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ , 오차 $<{10}^{-3}$

영어 원문 보기

In each of the following problems, use the estimate $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ to find a value of $N$ that guarantees that the sum of the first $N$ terms of the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ differs from the infinite sum by at most the given error. Calculate the partial sum ${S}_{N}$ for this $N.$

[T] ${b}_{n}=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right),$ error $<{10}^{-3}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 58번

# 교대급수계산자동 분류

36.OpenStax 2권 · 5.5절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서, 추정식 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ 의 첫 $N$ 개 항의 합이 무한급수의 합과 주어진 오차 이내로만 차이 나도록 보장하는 $N$ 의 값을 구하세요. 이 $N$ 에 대해 부분합 ${S}_{N}$ 을 계산하세요.

[계산기 사용] ${b}_{n}=1/{n}^{2}$ , 오차 $<{10}^{-6}$

영어 원문 보기

In each of the following problems, use the estimate $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ to find a value of $N$ that guarantees that the sum of the first $N$ terms of the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ differs from the infinite sum by at most the given error. Calculate the partial sum ${S}_{N}$ for this $N.$

[T] ${b}_{n}=1/{n}^{2},$ error $<{10}^{-6}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

${(N+1)}^{2}>{10}^{6}$ or $N>999;$ ${S}_{1000}\approx 0.822466.$

원본 교재 풀이(영어)

${(N+1)}^{2}>{10}^{6}$ or $N>999;$ ${S}_{1000}\approx 0.822466.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 44번

# 교대급수계산자동 분류

37.OpenStax 2권 · 5.5절 · 41번대학 수준우리말 번역

${b}_{n}\ge 0$ 이 감소하고 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{b}_{n}$ 이 조건수렴하지만 절대수렴하지는 않으면, ${b}_{n}$ 은 0으로 수렴하지 않는다.

영어 원문 보기

If ${b}_{n}\ge 0$ is decreasing and $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{b}_{n}$ converges conditionally but not absolutely, then ${b}_{n}$ does not tend to zero.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 8번

# 교대급수계산자동 분류

38.OpenStax 2권 · 5.5절 · 42번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}^{+}={a}_{n}$ ( ${a}_{n}\ge 0$ 일 때), ${a}_{n}^{-}=-{a}_{n}$ ( ${a}_{n}<0$ 일 때)라 하자. (또한 ${a}_{n}^{+}=0\,\text{(단,}\,{a}_{n}<0$ 일 때), ${a}_{n}^{-}=0\,\text{(단,}\,{a}_{n}\ge 0.)$ 일 때이다.) $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 조건수렴하지만 절대수렴하지 않으면, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{+}$ 도 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{-}$ 도 수렴하지 않는다.

영어 원문 보기

Let ${a}_{n}^{+}={a}_{n}$ if ${a}_{n}\ge 0$ and ${a}_{n}^{-}=-{a}_{n}$ if ${a}_{n}<0.$ (Also, ${a}_{n}^{+}=0\,\text{if}\,{a}_{n}<0$ and ${a}_{n}^{-}=0\,\text{if}\,{a}_{n}\ge 0.)$ If $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges conditionally but not absolutely, then neither $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{+}$ nor $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{-}$ converge.

정답·풀이 보기

참이다. 둘 중 하나가 수렴하면 다른 하나도 수렴해야 하므로 절대수렴이 되기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

True. If one converges, then so must the other, implying absolute convergence.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 24번

# 교대급수계산자동 분류

39.OpenStax 2권 · 5.5절 · 43번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}$ 이 양의 실수로 이루어진 수열이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴한다고 하자.

${b}_{n}$ 이 1과 -1로 이루어진 임의의 수열이라 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 은 반드시 수렴하나요?

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}$ is a sequence of positive real numbers and that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges.

Suppose that ${b}_{n}$ is an arbitrary sequence of ones and minus ones. Does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ necessarily converge?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 18번

# 교대급수계산자동 분류

40.OpenStax 2권 · 5.5절 · 44번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}$ 이 0과 1로 이루어진 모든 가능한 수열 ${b}_{n}$ 에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 이 수렴하는 수열이라 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 은 절대수렴하나요?

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}$ is a sequence such that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ converges for every possible sequence ${b}_{n}$ of zeros and ones. Does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converge absolutely?

정답·풀이 보기

예. ${a}_{n}\ge 0$ 이면 ${b}_{n}=1$ 로, ${a}_{n}<0$ 이면 ${b}_{n}=0$ 으로 잡는다. 그러면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}=\sum_{n:{a}_{n}\ge 0}{a}_{n}$ 이 수렴한다. 같은 방법으로 $\sum_{n:{a}_{n}<0}{a}_{n}$ 도 수렴함을 보일 수 있다. 두 급수가 모두 수렴하므로 이 급수는 절대수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. Take ${b}_{n}=1$ if ${a}_{n}\ge 0$ and ${b}_{n}=0$ if ${a}_{n}<0.$ Then $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}=\sum_{n:{a}_{n}\ge 0}{a}_{n}$ converges. Similarly, one can show $\sum_{n:{a}_{n}<0}{a}_{n}$ converges. Since both series converge, the series must converge absolutely.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 56번

# 교대급수계산자동 분류