벡터와 공간 전체 연습문제

581.APEX · 11.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. $\vec v(t)$ 와 $\vec a(t)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle t/10,-\cos t,\sin t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10 , a position function $\vec r(t)$ is given. Find $\vec v(t)$ and $\vec a(t)$ .

$\vec r(t) = \left\langle t/10,-\cos t,\sin t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle 1/10, \sin t, \cos t\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle 0,\cos t, -\sin t \right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle 1/10, \sin t, \cos t\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle 0,\cos t, -\sin t \right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 47번

# 공간에서의 운동계산자동 분류

582.APEX · 11.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–42는 투사체 운동의 원리를 바탕으로 한 여러 문제를 풀도록 합니다.

한 사냥꾼이 40야드 떨어진 사슴을 겨냥한다. 그녀의 석궁은 높이 5ft에 있고, 그녀는 사슴의 지면으로부터 4ft 높이에 있는 지점을 겨냥한다. 석궁은 화살을 300ft/s로 발사한다.

(a) 목표물을 맞히려면 석궁을 어느 정도의 올려보는 각(앙각)으로 들어야 하나요? (b) 사슴이 그녀의 시선에 수직인 방향으로 시속 20mph로 움직이고 있다면, 원하는 위치를 맞히기 위해 사슴보다 대략 얼마나 앞쪽을 겨냥해야 하나요?

영어 원문 보기

Exercises 37–42 ask you to solve a variety of problems based on the principles of projectile motion.

A hunter aims at a deer which is 40 yards away. Her crossbow is at a height of 5ft, and she aims for a spot on the deer 4ft above the ground. The crossbow fires her arrows at 300ft/s.

(a) At what angle of elevation should she hold the crossbow to hit her target? (b) If the deer is moving perpendicularly to her line of sight at a rate of 20mph, by approximately how much should she lead the deer in order to hit it in the desired location?

정답·풀이 보기

(a) 석궁을 $0.013$ 라디안, 즉 $\approx 0.745^\circ$ 의 각으로 들면 $0.4$ 초 후에 목표물을 맞힌다. (각이 $89^\circ$ 이고 $18.75$ 초 후에 떨어지는 다른 해도 있지만, 현실적이지 않다.) (b) 화살이 날아가는 .4초 동안 20mph, 즉 29.33ft/s로 움직이는 사슴은 11.7ft를 이동할 수 있다. 따라서 사슴보다 11.7ft 앞쪽을 겨냥해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Holding the crossbow at an angle of $0.013$ radians, $\approx 0.745^\circ$ will hit the target $0.4$ s later. (Another solution exists, with an angle of $89^\circ$ , landing $18.75$ s later, but this is impractical.) (b) In the .4 seconds the arrow travels, a deer, traveling at 20mph or 29.33ft/s, can travel 11.7ft. So she needs to lead the deer by 11.7ft.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 23번

# 공간에서의 운동계산자동 분류

583.APEX · 11.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–42는 포물체 운동의 원리를 바탕으로 한 여러 문제를 풀도록 합니다.

세스나 비행기가 1000ft 높이에서 150mph 로 날다가, 섬에 있는 교수(와 그의 아내)에게 보급품 상자를 떨어뜨립니다. 공기 저항을 무시할 때, 보급품은 땅에 닿기 전까지 수평으로 얼마나 멀리 이동하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 37–42 ask you to solve a variety of problems based on the principles of projectile motion.

A Cessna flies at 1000ft at 150mph and drops a box of supplies to the professor (and his wife) on an island. Ignoring wind resistance, how far horizontally will the supplies travel before they land?

정답·풀이 보기

위치 함수는 $\vec r(t) = \left\langle 220t,-16t^2+1000\right\rangle$ 이다. $y$ 성분은 $t=7.9$ 일 때 0이고, $\vec r(7.9) = \left\langle 1739.25,0\right\rangle$ 이므로 상자는 땅에 닿기 전까지 수평으로 약 1740ft 이동한다.

원본 교재 풀이(영어)

The position function is $\vec r(t) = \left\langle 220t,-16t^2+1000\right\rangle$ . The $y$ -component is 0 when $t=7.9$ ; $\vec r(7.9) = \left\langle 1739.25,0\right\rangle$ , meaning the box will travel about 1740ft horizontally before it lands.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 25번

# 공간에서의 운동계산자동 분류

584.APEX · 11.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8 에서 $\vec r(t)$ 가 주어졌을 때, $\vec T(t)$ 를 구하고 주어진 $t$ 의 값에서의 값을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 2t^2,t^2-t\right\rangle$ , $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8 , given $\vec r(t)$ , find $\vec T(t)$ and evaluate it at the indicated value of $t$ .

$\vec r(t) = \left\langle 2t^2,t^2-t\right\rangle$ , $t=1$

정답·풀이 보기

$\vec T(t) = \left\langle \frac{4 t}{\sqrt{20 t^2-4t+1}},\frac{2 t-1}{\sqrt{20 t^2-4t+1}}\right\rangle$ ; $\vec T(1) = \left\langle 4/\sqrt{17},1/\sqrt{17}\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec T(t) = \left\langle \frac{4 t}{\sqrt{20 t^2-4t+1}},\frac{2 t-1}{\sqrt{20 t^2-4t+1}}\right\rangle$ ; $\vec T(1) = \left\langle 4/\sqrt{17},1/\sqrt{17}\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 9번

# 단위접선·법선벡터계산자동 분류

585.APEX · 11.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8 에서 $\vec r(t)$ 가 주어졌을 때, $\vec T(t)$ 를 구하고 주어진 $t$ 의 값에서의 값을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle t,\cos t\right\rangle$ , $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8 , given $\vec r(t)$ , find $\vec T(t)$ and evaluate it at the indicated value of $t$ .

$\vec r(t) = \left\langle t,\cos t\right\rangle$ , $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

$\vec T(t) = \left\langle \frac{1}{\sqrt{1+\sin^2t}},-\frac{\sin t}{\sqrt{1+\sin^2t}} \right\rangle$ ; $\vec T(\pi/4) = \left\langle \sqrt{2/3}, -1/\sqrt{3}\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec T(t) = \left\langle \frac{1}{\sqrt{1+\sin^2t}},-\frac{\sin t}{\sqrt{1+\sin^2t}} \right\rangle$ ; $\vec T(\pi/4) = \left\langle \sqrt{2/3}, -1/\sqrt{3}\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 6번

# 단위접선·법선벡터계산자동 분류

586.APEX · 11.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 $\vec r(t)$ 가 주어졌을 때, $\vec T(t)$ 를 구하고 지정된 $t$ 의 값에서 그 값을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle \cos^3t,\sin^3 t\right\rangle$ , $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8 , given $\vec r(t)$ , find $\vec T(t)$ and evaluate it at the indicated value of $t$ .

$\vec r(t) = \left\langle \cos^3t,\sin^3 t\right\rangle$ , $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

$\vec T(t) = \frac{\cos t\sin t}{\sqrt{\cos^2t\sin^2t}}\left\langle -\cos t,\sin t\right\rangle$ . (주의하자. $\sqrt{\cos^2t\sin^2t}\neq \cos t\sin t$ 이고 실제로는 $|\cos t\sin t|$ 이므로, 이 식은 $\left\langle -\cos t,\sin t\right\rangle$ 로만 간단히 할 수 없다.) $\vec T(\pi/4) = \left\langle -\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec T(t) = \frac{\cos t\sin t}{\sqrt{\cos^2t\sin^2t}}\left\langle -\cos t,\sin t\right\rangle$ . (Be careful; this cannot be simplified as just $\left\langle -\cos t,\sin t\right\rangle$ as $\sqrt{\cos^2t\sin^2t}\neq \cos t\sin t$ , but rather $|\cos t\sin t|$ .) $\vec T(\pi/4) = \left\langle -\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 4번

# 단위접선·법선벡터계산자동 분류

587.APEX · 11.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 $\vec r(t)$ 가 주어졌을 때, $\vec T(t)$ 를 구하고 지정된 $t$ 의 값에서 그 값을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle \cos t, \sin t \right\rangle$ , $t=\pi$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8 , given $\vec r(t)$ , find $\vec T(t)$ and evaluate it at the indicated value of $t$ .

$\vec r(t) = \left\langle \cos t, \sin t \right\rangle$ , $t=\pi$

정답·풀이 보기

$\vec T(t) = \left\langle -\sin t,\cos t\right\rangle$ ; $\vec T(\pi) = \left\langle 0,-1\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec T(t) = \left\langle -\sin t,\cos t\right\rangle$ ; $\vec T(\pi) = \left\langle 0,-1\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.4절 · 4번

# 단위접선·법선벡터계산자동 분류

588.APEX · 11.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 $\vec N(t)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 4t,2\sin t,2\cos t \right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24 , find $\vec N(t)$ .

$\vec r(t) = \left\langle 4t,2\sin t,2\cos t \right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec T(t) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left\langle 2,\cos t,-\sin t\right\rangle$ ; $\vec N(t) = \left\langle 0,-\sin t,-\cos t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec T(t) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left\langle 2,\cos t,-\sin t\right\rangle$ ; $\vec N(t) = \left\langle 0,-\sin t,-\cos t\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 16번

# 단위접선·법선벡터계산자동 분류

589.APEX · 11.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 $\vec N(t)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,3\sin t,4\sin t \right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24 , find $\vec N(t)$ .

$\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,3\sin t,4\sin t \right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec T(t) = \left\langle -\sin t, 3/5\cos t, 4/5\cos t\right\rangle$ ; $\vec N(t) = \left\langle -\cos t,-3/5\sin t,-4/5\sin t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec T(t) = \left\langle -\sin t, 3/5\cos t, 4/5\cos t\right\rangle$ ; $\vec N(t) = \left\langle -\cos t,-3/5\sin t,-4/5\sin t\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.4절 · 2번

# 단위접선·법선벡터계산자동 분류

590.APEX · 11.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 $\vec N(t)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle a\cos t,a\sin t,b t \right\rangle$ ; $a>0$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24 , find $\vec N(t)$ .

$\vec r(t) = \left\langle a\cos t,a\sin t,b t \right\rangle$ ; $a>0$

정답·풀이 보기

$\vec T(t) = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\left\langle -a\sin t,a\cos t,b \right\rangle$ ; $\vec N(t) = \left\langle -\cos t,-\sin t,0\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec T(t) = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\left\langle -a\sin t,a\cos t,b \right\rangle$ ; $\vec N(t) = \left\langle -\cos t,-\sin t,0\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.4절 · 3번

# 단위접선·법선벡터계산자동 분류

591.APEX · 11.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 $\vec N(t)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle \cos (at),\sin (at),t \right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24 , find $\vec N(t)$ .

$\vec r(t) = \left\langle \cos (at),\sin (at),t \right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec T(t) = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\left\langle -a\sin (at),a\cos (at),1 \right\rangle$ ; $\vec N(t) = \left\langle -\cos t,-\sin t,0\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec T(t) = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\left\langle -a\sin (at),a\cos (at),1 \right\rangle$ ; $\vec N(t) = \left\langle -\cos t,-\sin t,0\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.4절 · 3번

# 단위접선·법선벡터계산자동 분류

592.APEX · 11.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서는 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어지며, $t=0$ 은 처음 위치에 해당한다. 곡선의 길이 매개변수 $s$ 를 구하고, $\vec r(t)$ 를 $s$ 에 대한 식으로 다시 나타내세요. 즉, $\vec r(s)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 2t, t, -2t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10 , a position function $\vec r(t)$ is given, where $t=0$ corresponds to the initial position. Find the arc length parameter $s$ , and rewrite $\vec r(t)$ in terms of $s$ ; that is, find $\vec r(s)$ .

$\vec r(t) = \left\langle 2t, t, -2t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$s = 3t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 2s/3, s/3, -2s/3\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$s = 3t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 2s/3, s/3, -2s/3\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 42번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

593.APEX · 11.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서는 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어지며, $t=0$ 은 처음 위치에 해당한다. 곡선의 길이 매개변수 $s$ 를 구하고, $\vec r(t)$ 를 $s$ 에 대한 식으로 다시 나타내세요. 즉, $\vec r(s)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 7\cos t,7\sin t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10 , a position function $\vec r(t)$ is given, where $t=0$ corresponds to the initial position. Find the arc length parameter $s$ , and rewrite $\vec r(t)$ in terms of $s$ ; that is, find $\vec r(s)$ .

$\vec r(t) = \left\langle 7\cos t,7\sin t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$s = 7t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 7\cos (s/7), 7\sin (s/7)\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$s = 7t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 7\cos (s/7), 7\sin (s/7)\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 3번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

594.APEX · 11.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서는 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어지며, $t=0$ 은 처음 위치에 해당한다. 곡선의 길이 매개변수 $s$ 를 구하고, $\vec r(t)$ 를 $s$ 에 대한 식으로 다시 나타내세요. 즉, $\vec r(s)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t, 2t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10 , a position function $\vec r(t)$ is given, where $t=0$ corresponds to the initial position. Find the arc length parameter $s$ , and rewrite $\vec r(t)$ in terms of $s$ ; that is, find $\vec r(s)$ .

$\vec r(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t, 2t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$s = \sqrt{13}t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 3\cos (s/\sqrt{13}), 3\sin (s/\sqrt{13}), 2s/\sqrt{13}\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$s = \sqrt{13}t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 3\cos (s/\sqrt{13}), 3\sin (s/\sqrt{13}), 2s/\sqrt{13}\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 44번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

595.APEX · 11.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서는 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어지며, $t=0$ 은 처음 위치에 해당한다. 곡선의 길이 매개변수 $s$ 를 구하고, $\vec r(t)$ 를 $s$ 에 대한 식으로 다시 나타내세요. 즉, $\vec r(s)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,13\sin t, 12\cos t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10 , a position function $\vec r(t)$ is given, where $t=0$ corresponds to the initial position. Find the arc length parameter $s$ , and rewrite $\vec r(t)$ in terms of $s$ ; that is, find $\vec r(s)$ .