문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

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풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

186문제 · 3 / 10쪽

41.OpenStax 1권 · 3.3절 · 30번우리말 번역

다음 연습문제에서,

a. ${f}^{'}(a)$ 의 값을 구하세요. b. 함수 $f(x)$ 의 그래프와 $x=a$ 에서의 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)={x}^{2}-{x}^{12}+3x+2,a=0$

영어 원문 보기

For the following exercises,

a. evaluate ${f}^{'}(a),$ and b. graph the function $f(x)$ and the tangent line at $x=a.$

[T] $f(x)={x}^{2}-{x}^{12}+3x+2,a=0$

정답·풀이 보기

a. 3, b. $y=3x+2$

그래프는 제3사분면에서 시작하여 빠르게 증가하며 x축과 −0.9 근처에서 만난다. 그 후 증가 속도가 줄어들어 (0, 2)를 지나고 (1, 5)까지 증가한 다음, 빠르게 감소하여 x축과 1.2 근처에서 만난다.

원본 교재 풀이(영어)

a. 3, b. $y=3x+2$

The graph starts in the third quadrant, increases quickly and passes through the x axis near −0.9, then increases at a lower rate, passes through (0, 2), increases to (1, 5), and then decreases quickly and passes through the x axis near 1.2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 17번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

42.OpenStax 1권 · 3.3절 · 31번우리말 번역

다음 연습문제에서,

a. ${f}^{'}(a)$ 의 값을 구하세요. b. 함수 $f(x)$ 의 그래프와 $x=a$ 에서의 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=\frac{1}{x}-{x}^{2},a=-1$

영어 원문 보기

For the following exercises,

a. evaluate ${f}^{'}(a),$ and b. graph the function $f(x)$ and the tangent line at $x=a.$

[T] $f(x)=\frac{1}{x}-{x}^{2},a=-1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 16번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

43.OpenStax 1권 · 3.3절 · 33번우리말 번역

$x=8$ 에서 함수 $f(x)={x}^{2}+\frac{4}{x}-10$ 의 그래프의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the tangent line to the graph of $f(x)={x}^{2}+\frac{4}{x}-10$ at $x=8.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 17번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

44.OpenStax 1권 · 3.3절 · 34번우리말 번역

$x=1$ 에서 함수 $f(x)=(3x-{x}^{2})(3-x-{x}^{2})$ 의 그래프의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the tangent line to the graph of $f(x)=(3x-{x}^{2})(3-x-{x}^{2})$ at $x=1.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=-5x+7$

원본 교재 풀이(영어)

$y=-5x+7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 26번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

45.OpenStax 1권 · 3.3절 · 35번우리말 번역

함수 $f(x)={x}^{3}$ 의 그래프 위의 점 중에서, 그 점에서의 접선의 $x$ 절편이 6인 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the graph of $f(x)={x}^{3}$ such that the tangent line at that point has an $x$ intercept of 6.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.3절 · 3번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

46.OpenStax 1권 · 3.3절 · 36번우리말 번역

점 $P(3,3)$ 을 지나고 함수 $f(x)=\frac{6}{x-1}$ 의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the line passing through the point $P(3,3)$ and tangent to the graph of $f(x)=\frac{6}{x-1}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=-\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$y=-\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 24번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

47.OpenStax 1권 · 3.3절 · 37번우리말 번역

$f(x)={x}^{3}+{x}^{2}-x-1$ 의 그래프 위의 점 중에서 다음을 만족하는 모든 점을 구하세요.

a. 접선이 수평이다 b. 접선의 기울기가 $-1$ 이다.

영어 원문 보기

Determine all points on the graph of $f(x)={x}^{3}+{x}^{2}-x-1$ for which

a. the tangent line is horizontal b. the tangent line has a slope of $-1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 14번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

48.OpenStax 1권 · 3.4절 · 10번우리말 번역

다음 그래프는 직선을 따라 움직이는 물체의 위치 $y=s(t)$ 를 나타낸 것이다.

좌표평면 위에 함수의 그래프가 그려져 있다. 그래프는 원점에서 (2, 2)까지 이어지는 포물선의 일부이며 (1.5, 2.25)에서 최댓값을 갖는다. 그 후 (5, 2)까지는 함수가 상수이고, (5, 2)에서 다시 포물선이 되어 (6, 1)에서 최솟값을 갖도록 감소한 다음 (7, 2)까지 증가한다.

a. 위치 함수의 그래프를 이용하여 속도가 양수, 음수, 0인 시간 구간을 각각 구하세요. b. 속도 함수의 그래프를 그리세요. c. 속도 함수의 그래프를 이용하여 가속도가 양수, 음수, 0인 시간 구간을 각각 구하세요. d. 물체가 빨라지는 시간 구간과 느려지는 시간 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

The following graph shows the position $y=s(t)$ of an object moving along a straight line.

On the Cartesian coordinate plane, a function is graphed that is part of a parabola from the origin to (2, 2) with maximum at (1.5, 2.25). Then the function is constant until (5, 2), at which points becomes a parabola again, decreasing to a minimum at (6, 1) and then increasing to (7, 2).

a. Use the graph of the position function to determine the time intervals when the velocity is positive, negative, or zero. b. Sketch the graph of the velocity function. c. Use the graph of the velocity function to determine the time intervals when the acceleration is positive, negative, or zero. d. Determine the time intervals when the object is speeding up or slowing down.

정답·풀이 보기

a. 속도는 $(0,1.5)\cup (6,7)$ 에서 양수, $(1.5,2)\cup (5,6)$ 에서 음수, $(2,5)$ 에서 0이다. b.

그래프는 (0, 2)에서 (2, −1)까지의 직선이고, 이어서 불연속으로 (2, 0)에서 (5, 0)까지의 직선이 있으며, 다시 불연속으로 (5, −4)에서 (7, 4)까지의 직선이 있다.

c. 가속도는 $(5,7)$ 에서 양수, $(0,2)$ 에서 음수, $(2,5)$ 에서 0이다. d. 물체는 $(6,7)\cup (1.5,2)$ 에서 빨라지고 $(0,1.5)\cup (5,6)$ 에서 느려진다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Velocity is positive on $(0,1.5)\cup (6,7),$ negative on $(1.5,2)\cup (5,6),$ and zero on $(2,5).$ b.

The graph is a straight line from (0, 2) to (2, −1), then is discontinuous with a straight line from (2, 0) to (5, 0), and then is discontinuous with a straight line from (5, −4) to (7, 4).

c. Acceleration is positive on $(5,7),$ negative on $(0,2),$ and zero on $(2,5).$ d. The object is speeding up on $(6,7)\cup (1.5,2)$ and slowing down on $(0,1.5)\cup (5,6).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 14번

# 속도와 가속도그래프·표 해석자동 분류

49.OpenStax 1권 · 3.4절 · 22번우리말 번역

[계산기 사용] 홀링 I형 방정식은 $f(x)=ax$ 로 나타내어진다. 여기서 $x$ 는 이용 가능한 먹이의 양이고 $a>0$ 은 포식자가 먹이를 만나 섭취하는 비율이다.

a. $a=0.5$ 일 때, 홀링 I형 방정식의 그래프를 그리세요. b. 홀링 I형 방정식의 일계도함수를 구하고, 그 도함수가 물리적으로 무엇을 뜻하는지 설명하세요. c. 홀링 I형 방정식의 이계도함수를 구하고, 그 도함수가 물리적으로 무엇을 뜻하는지 설명하세요. d. b와 c에서 얻은 해석을 이용하여 홀링 I형 방정식이 현실적이지 않을 수 있는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] The Holling type I equation is described by $f(x)=ax,$ where $x$ is the amount of prey available and $a>0$ is the rate at which the predator meets the prey for consumption.

a. Graph the Holling type I equation, given $a=0.5.$ b. Determine the first derivative of the Holling type I equation and explain physically what the derivative implies. c. Determine the second derivative of the Holling type I equation and explain physically what the derivative implies. d. Using the interpretations from b. and c. explain why the Holling type I equation may not be realistic.

정답·풀이 보기

그래프는 원점을 지나고 기울기가 1/2인 직선이다.

b. ${f}^{'}(x)=a$ . 먹이가 많이 늘어날수록 포식자는 더 많이 성장한다. c. ${f}^{''}(x)=0$ . 먹이의 양이 늘어나도 포식자 개체 수의 증가율이 늘어나는 비율은 일정하다. d. 이 방정식은 먹이가 더 많으면 포식자가 섭취량을 선형적으로 늘릴 수 있다고 가정한다. 이 가정은 비현실적인데, 먹이가 너무 많아 포식자가 충분히 섭취할 수 없게 되는 어떤 포화점이 있을 것으로 예상되기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

The graph is a straight line drawn through the origin with slope 1/2.

b. ${f}^{'}(x)=a.$ The more increase in prey, the more growth for predators. c. ${f}^{''}(x)=0.$ As the amount of prey increases, the rate at which the predator population growth increases is constant. d. This equation assumes that if there is more prey, the predator is able to increase consumption linearly. This assumption is unphysical because we would expect there to be some saturation point at which there is too much prey for the predator to consume adequately.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 8번

# 속도와 가속도그래프·표 해석자동 분류

50.OpenStax 1권 · 3.4절 · 25번우리말 번역

[계산기 사용] 1937년부터 1943년까지 7년 동안 수집한 눈신토끼의 개체 수(단위: 천 마리)와 스라소니의 개체 수(단위: 백 마리)가 다음 표에 나와 있습니다. 눈신토끼는 스라소니의 주된 먹이입니다.

눈신토끼와 스라소니의 개체 수

눈신토끼의 개체 수(천 마리)	스라소니의 개체 수(백 마리)
20	10
55	15
65	55
95	60

출처: http://www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html.

a. 자료의 점들을 그래프로 그리고, 어떤 홀링 유형 함수가 자료에 가장 잘 맞는지 판단하세요. b. 매개변수 $a$ 와 $n$ 의 의미를 이용하여, 자료의 그래프를 살펴보고 두 매개변수의 값을 구하세요. $n$ 은 포식자 값이 최댓값의 절반이 되게 하는 먹이 값을 나타낸다는 것을 기억하세요. c. 자료 위에 홀링 I형, II형, III형 함수의 그래프를 함께 그리세요. a에서 얻은 결과가 맞았습니까?

영어 원문 보기

[T] The populations of the snowshoe hare (in thousands) and the lynx (in hundreds) collected over 7 years from 1937 to 1943 are shown in the following table. The snowshoe hare is the primary prey of the lynx.

Snowshoe Hare and Lynx Populations

Population of snowshoe hare (thousands)	Population of lynx (hundreds)
20	10
55	15
65	55
95	60

Source: http://www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html.

a. Graph the data points and determine which Holling-type function fits the data best. b. Using the meanings of the parameters $a$ and $n,$ determine values for those parameters by examining a graph of the data. Recall that $n$ measures what prey value results in the half-maximum of the predator value. c. Plot the resulting Holling-type I, II, and III functions on top of the data. Was the result from part a. correct?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 14번

# 속도와 가속도그래프·표 해석자동 분류

51.OpenStax 1권 · 3장 복습 · 20번우리말 번역

다음 그래프의 도함수의 그래프를 그리세요.

함수는 (−3, 0.5)에서 시작하여 감소해 (−2.3, −2)에서 극솟값을 갖는다. 그 후 함수는 (−1.5, 0)을 지나며 증가하다가 (0, 2)를 지나면서 증가 폭이 줄어든다. 이어서 완만하게 증가하여 (2.3, 6)에서 극댓값을 갖고, 그 뒤 감소하여 (3, 3)에 이른다.

영어 원문 보기

Draw the derivative for the following graphs.

The function begins at (−3, 0.5) and decreases to a local minimum at (−2.3, −2). Then the function increases through (−1.5, 0) and slows its increase through (0, 2). It then slowly increases to a local maximum at (2.3, 6) before decreasing to (3, 3).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.1절 · 11번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

52.OpenStax 1권 · 3장 복습 · 21번우리말 번역

다음 그래프의 도함수의 그래프를 그리세요.

함수는 (−1, 4)에서 원점까지 직선으로 감소하며, 원점에서부터는 x2 꼴로 증가하여 (1, 1)과 (2, 4)를 지난다.

영어 원문 보기

Draw the derivative for the following graphs.

The function decreases linearly from (−1, 4) to the origin, at which point it increases as x2, passing through (1, 1) and (2, 4).

정답·풀이 보기

함수는 x = 0 이전까지는 직선 y = −4 이고, x = 0 에서부터는 원점에서 시작하는 기울기가 2인 직선이 된다. 이 함수는 x = 0 에서 값이 정해져 있지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is the straight line y = −4 until x = 0, at which point it becomes a straight line starting at the origin with slope 2. There is no value assigned for this function at x = 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 22번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

53.OpenStax 1권 · 3장 복습 · 22번우리말 번역

도함수를 구하고 그래프를 그리세요. 물리적 의미는 무엇입니까?

영어 원문 보기

Find and graph the derivative. What is the physical meaning?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

54.OpenStax 1권 · 3장 복습 · 24번우리말 번역

표를 이용하여 39시간째 풍속의 미분계수를 어림하세요. 물리적 의미는 무엇입니까?

영어 원문 보기

Using the table, estimate the derivative of the wind speed at hour 39. What is the physical meaning?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 24번

# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

55.OpenStax 1권 · 4.3절 · 2번우리말 번역

구간 $[a,b]$ 에서 최솟값을 구할 때, 왜 끝점을 확인해야 하나요? 이 가설을 뒷받침하는 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

If you are finding an absolute minimum over an interval $[a,b],$ why do you need to check the endpoints? Draw a graph that supports your hypothesis.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.3절 · 10번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

56.OpenStax 1권 · 4.3절 · 7번우리말 번역

극솟값의 개수를 $m$ , 극댓값의 개수를 $M$ 이라 하자. $M>m+2$ 인 함수를 만들 수 있나요? 설명을 뒷받침하는 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Let $m$ be the number of local minima and $M$ be the number of local maxima. Can you create a function where $M>m+2?$ Draw a graph to support your explanation.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 48번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

57.OpenStax 1권 · 4.3절 · 10번우리말 번역

[계산기 사용] 함수 $y={e}^{ax}$ 의 그래프를 그리세요. 임의의 무한한 정의역에서 최솟값과 최댓값을 모두 가지려면 $a$ 의 값이 얼마여야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Graph the function $y={e}^{ax}.$ For which values of $a,$ on any infinite domain, will you have an absolute minimum and absolute maximum?

정답·풀이 보기

$a=0$ 일 때

원본 교재 풀이(영어)

When $a=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 12번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

58.OpenStax 1권 · 4.3절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 그래프에서 극댓값, 극솟값, 최댓값, 최솟값이 어디에서 나타나는지 구하세요. 그래프는 각 함수 전체를 나타낸다고 가정합니다. 끝점에 있는 극값에 대해서는 x의 값을 어림하세요.

그래프로 나타낸 함수는 (−4, 60)에서 시작하여 (−3, −40)까지 급격히 감소하고, (−1, 10)까지 증가한 뒤 (2, 0)까지 완만하게 감소하며, 그 지점에서 (3, 30)까지 급격히 증가한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine where the local and absolute maxima and minima occur on the graph given. Assume the graph represents the entirety of each function. For any extrema located at an endpoint, approximate the x-value.

The function graphed starts at (−4, 60), decreases rapidly to (−3, −40), increases to (−1, 10) before decreasing slowly to (2, 0), at which point it increases rapidly to (3, 30).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 44번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

59.OpenStax 1권 · 4.3절 · 12번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 그래프에서 극댓값, 극솟값, 최댓값, 최솟값이 어디에서 나타나는지 구하세요. 그래프는 각 함수 전체를 나타낸다고 가정합니다. 끝점에 있는 극값에 대해서는 x의 값을 어림하세요.

그래프로 나타낸 함수는 (−2.2, 10)에서 시작하여 (−2, −11)까지 급격히 감소하고, (−1, 5)까지 증가한 뒤 (1, 3)까지 완만하게 감소하며, 그 지점에서 (2, 7)까지 증가한 다음 (3, −20)까지 감소한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine where the local and absolute maxima and minima occur on the graph given. Assume the graph represents the entirety of each function. For any extrema located at an endpoint, approximate the x-value.

The function graphed starts at (−2.2, 10), decreases rapidly to (−2, −11), increases to (−1, 5) before decreasing slowly to (1, 3), at which point it increases to (2, 7), and then decreases to (3, −20).

정답·풀이 보기

최솟값은 3에서, 최댓값은 −2.2에서 나타난다. 극솟값은 −2, 1에서, 극댓값은 −1, 2에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

Absolute minimum at 3; Absolute maximum at −2.2; local minima at −2, 1; local maxima at −1, 2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.1절 · 1번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

60.OpenStax 1권 · 4.3절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 그래프에서 극값과 최댓값, 최솟값이 어디에서 나타나는지 판단하세요. 그래프가 각 함수의 전체를 나타낸다고 가정합니다. 끝점에 있는 극값에 대해서는 $x$ 의 값을 어림하세요.

그래프로 나타낸 함수는 (−3, −1)에서 시작하여 (−2, 0.7)까지 빠르게 증가하고, (−1, −0.25)까지 감소한 다음 (1, 0.25)까지 천천히 감소하며, 그 지점에서 (2, 0.7)까지 감소하다가 (3, 1)까지 증가한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine where the local and absolute maxima and minima occur on the graph given. Assume the graph represents the entirety of each function. For any extrema located at an endpoint, approximate the x-value.

The function graphed starts at (−3, −1), increases rapidly to (−2, 0.7), decreases to (−1, −0.25) before decreasing slowly to (1, 0.25), at which point it decreases to (2, 0.7), and then increases to (3, 1).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 16번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류