다항함수의 미분법 연습문제

41.APEX · 2.3절 · 19번우리말 번역

연습문제 11–26에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$h(t) = e^t - \sin t - \cos t$

영어 원문 보기

In Exercises 11–26, compute the derivative of the given function.

$h(t) = e^t - \sin t - \cos t$

정답·풀이 보기

$h'(t) = e^t - \cos t + \sin t$

원본 교재 풀이(영어)

$h'(t) = e^t - \cos t + \sin t$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 1번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

42.APEX · 2.3절 · 20번우리말 번역

연습문제 11–26에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \ln (5x^2)$

영어 원문 보기

In Exercises 11–26, compute the derivative of the given function.

$f(x) = \ln (5x^2)$

정답·풀이 보기

$f\,'(x) = \frac2x$

원본 교재 풀이(영어)

$f\,'(x) = \frac2x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 1번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

43.APEX · 2.3절 · 21번우리말 번역

연습문제 11–26에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(t) = \ln (17)+ e^2 + \sin \pi/2$

영어 원문 보기

In Exercises 11–26, compute the derivative of the given function.

$f(t) = \ln (17)+ e^2 + \sin \pi/2$

정답·풀이 보기

$f\,'(t) = 0$

원본 교재 풀이(영어)

$f\,'(t) = 0$

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# 다항함수의 미분법계산자동 분류

44.APEX · 2.3절 · 22번우리말 번역

연습문제 11–26에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$g(t) = (1+3t)^2$

영어 원문 보기

In Exercises 11–26, compute the derivative of the given function.

$g(t) = (1+3t)^2$

정답·풀이 보기

$g'(t) = 18t+6$

원본 교재 풀이(영어)

$g'(t) = 18t+6$

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# 다항함수의 미분법계산자동 분류

45.APEX · 2.3절 · 23번우리말 번역

연습문제 11–26에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$g(x) = (2x-5)^3$

영어 원문 보기

In Exercises 11–26, compute the derivative of the given function.

$g(x) = (2x-5)^3$

정답·풀이 보기

$g'(x) = 24x^2-120x+150$

원본 교재 풀이(영어)

$g'(x) = 24x^2-120x+150$

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# 다항함수의 미분법계산자동 분류

46.APEX · 2.3절 · 24번우리말 번역

연습문제 11–26에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = (1-x)^3$

영어 원문 보기

In Exercises 11–26, compute the derivative of the given function.

$f(x) = (1-x)^3$

정답·풀이 보기

$f\,'(x) = -3x^2+6x-3$

원본 교재 풀이(영어)

$f\,'(x) = -3x^2+6x-3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 42번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

47.APEX · 2.3절 · 25번우리말 번역

연습문제 11–26에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = (2-3x)^2$

영어 원문 보기

In Exercises 11–26, compute the derivative of the given function.

$f(x) = (2-3x)^2$

정답·풀이 보기

$f\,'(x) = 18x-12$

원본 교재 풀이(영어)

$f\,'(x) = 18x-12$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.3절 · 7번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

48.APEX · 2.3절 · 26번우리말 번역

연습문제 11–26에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

로그의 성질로 $\displaystyle \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ 가 모든 밑 $a,b>0,\neq 1$ 에 대해 성립한다.

(a) $b=e$ 일 때, 즉 $\log_ex =\ln x$ 를 이용하여 $a=10$ 인 경우에 이 항등식을 다시 쓰세요. (b) (a)를 이용하여 $y=\log_{10} x$ 의 도함수를 구하세요. (c) (b)를 이용하여 $a>0$ , $\neq 1$ 인 임의의 값에 대해 $y=\log_{a} x$ 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–26, compute the derivative of the given function.

A property of logarithms is that $\displaystyle \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ , for all bases $a,b>0,\neq 1$ .

(a) Rewrite this identity when $b=e$ , i.e., using $\log_ex =\ln x$ , with $a=10$ . (b) Use part (a) to find the derivative of $y=\log_{10} x$ . (c) Use part (b) to find the derivative of $y=\log_{a} x$ , for any $a>0$ , $\neq 1$ .

정답·풀이 보기

(a) $\log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ . (b) $\frac{d}{dx}\big(\log_{10}x\big) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln 10}\ln x\right) = \frac{1}{\ln 10}\frac1x$ . (c) $\frac{d}{dx}\big(\log_{a}x\big) = \frac{1}{\ln a}\frac1x$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ . (b) $\frac{d}{dx}\big(\log_{10}x\big) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln 10}\ln x\right) = \frac{1}{\ln 10}\frac1x$ . (c) $\frac{d}{dx}\big(\log_{a}x\big) = \frac{1}{\ln a}\frac1x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 24번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

49.APEX · 2.3절 · 27번우리말 번역

연습문제 27–32에서 주어진 함수의 처음 네 개의 도함수를 구하세요.

$f(x) = x^6$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, compute the first four derivatives of the given function.

$f(x) = x^6$

정답·풀이 보기

$f\,'(x) = 6x^5$ $f\,''(x) = 30x^4$ $f\,'''(x) = 120x^3$ $f^{(4)}(x) = 360x^2$

원본 교재 풀이(영어)

$f\,'(x) = 6x^5$ $f\,''(x) = 30x^4$ $f\,'''(x) = 120x^3$ $f^{(4)}(x) = 360x^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.1절 · 8번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

50.APEX · 2.3절 · 28번우리말 번역

연습문제 27–32에서 주어진 함수의 처음 네 개의 도함수를 구하세요.

$g(x) = 2\cos x$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, compute the first four derivatives of the given function.

$g(x) = 2\cos x$

정답·풀이 보기

$g'(x) = -2\sin x$ $g''(x) = -2\cos x$ $g'''(x) = 2\sin x$ $g^{(4)}(x) = 2\cos x$

원본 교재 풀이(영어)

$g'(x) = -2\sin x$ $g''(x) = -2\cos x$ $g'''(x) = 2\sin x$ $g^{(4)}(x) = 2\cos x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 17번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

51.APEX · 2.3절 · 29번우리말 번역

연습문제 27–32에서 주어진 함수의 처음 네 개의 도함수를 구하세요.

$h(t) = t^2 - e^t$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, compute the first four derivatives of the given function.

$h(t) = t^2 - e^t$

정답·풀이 보기

$h'(t) = 2t-e^t$ $h''(t) = 2-e^t$ $h'''(t) = -e^t$ $h^{(4)}(t) = -e^t$

원본 교재 풀이(영어)

$h'(t) = 2t-e^t$ $h''(t) = 2-e^t$ $h'''(t) = -e^t$ $h^{(4)}(t) = -e^t$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 10번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

52.APEX · 2.3절 · 30번우리말 번역

연습문제 27–32에서 주어진 함수의 처음 네 개의 도함수를 구하세요.

$p(\theta) = \theta^4-\theta^3$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, compute the first four derivatives of the given function.

$p(\theta) = \theta^4-\theta^3$

정답·풀이 보기

$p'(\theta) = 4\theta^3-3\theta^2$ $p''(\theta) = 12\theta^2 - 6\theta$ $p'''(\theta) = 24\theta-6$ $p^{(4)}(\theta) = 24$

원본 교재 풀이(영어)

$p'(\theta) = 4\theta^3-3\theta^2$ $p''(\theta) = 12\theta^2 - 6\theta$ $p'''(\theta) = 24\theta-6$ $p^{(4)}(\theta) = 24$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 7번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

53.APEX · 2.3절 · 31번우리말 번역

연습문제 27–32에서 주어진 함수의 처음 네 개의 도함수를 구하세요.

$f(\theta) = \sin\theta-\cos\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, compute the first four derivatives of the given function.

$f(\theta) = \sin\theta-\cos\theta$

정답·풀이 보기

$f\,'(\theta) = \cos\theta+\sin\theta$ $f\,''(\theta) = -\sin\theta+\cos\theta$ $f\,'''(\theta) = -\cos\theta-\sin\theta$ $f^{(4)}(\theta) = \sin\theta-\cos\theta$

원본 교재 풀이(영어)

$f\,'(\theta) = \cos\theta+\sin\theta$ $f\,''(\theta) = -\sin\theta+\cos\theta$ $f\,'''(\theta) = -\cos\theta-\sin\theta$ $f^{(4)}(\theta) = \sin\theta-\cos\theta$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 8번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

54.APEX · 2.3절 · 32번우리말 번역

연습문제 27–32에서 주어진 함수의 처음 네 개의 도함수를 구하세요.

$f(x)=1,100$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, compute the first four derivatives of the given function.

$f(x)=1,100$

정답·풀이 보기

$f\,'(x) = f\,''(x) = f\,'''(x) = f^{(4)}(x) = 0$

원본 교재 풀이(영어)

$f\,'(x) = f\,''(x) = f\,'''(x) = f^{(4)}(x) = 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.3절 · 6번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

55.CLP-1 · 2.4절 · 9번우리말 번역

$\dfrac{2x-1}{2x+1}$ 의 도함수를 구하여 간단히 하세요.

영어 원문 보기

Calculate and simplify the derivative of $\dfrac{2x-1}{2x+1}$

정답·풀이 보기

여기에서는 몫의 미분법을 사용할 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{2x-1}{2x+1}\right\}&=\frac{(2x+1)(2)-(2x-1)(2)}{(2x+1)^2} =\frac{4}{(2x+1)^2}=\frac{1}{(x+1/2)^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We can use the quotient rule here.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{2x-1}{2x+1}\right\}&=\frac{(2x+1)(2)-(2x-1)(2)}{(2x+1)^2} =\frac{4}{(2x+1)^2}=\frac{1}{(x+1/2)^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 2번

# 다항함수의 미분법계산보통자동 분류

56.CLP-1 · 2.4절 · 13번우리말 번역

곡선 $y=3x^2$ 위의 점 중에서 접선이 $(2,9)$ 를 지나는 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Find all points on the curve $y=3x^2$ where the tangent line passes through $(2,9)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이미 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x$ 임을 알고 있다. 따라서 $y=3x^2$ 의 $x=a$ 에서의 기울기는 $6a$ 이다. $y=3x^2$ 의 $x=a, y=3a^2$ 에서의 접선은 $y-3a^2=6a(x-a)$ 이다. 이 접선이 $(2,9)$ 를 지나는 경우는 다음과 같다.

$\begin{aligned} 9-3a^2&=6a(2-a)\\ 3a^2-12a+9&=0\\ a^2-4a+3&=0\\ (a-3)(a-1)&=0\\ \implies~~a&=1,3 \end{aligned}$

구하는 점은 $(1,3),\ (3,27)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We already know that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x$ . So the slope of $y=3x^2$ at $x=a$ is $6a$ . The tangent line to $y=3x^2$ at $x=a, y=3a^2$ is $y-3a^2=6a(x-a)$ . This tangent line passes through $(2,9)$ if

$\begin{aligned} 9-3a^2&=6a(2-a)\\ 3a^2-12a+9&=0\\ a^2-4a+3&=0\\ (a-3)(a-1)&=0\\ \implies~~a&=1,3 \end{aligned}$

The points are $(1,3),\ (3,27)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 12번

# 다항함수의 미분법계산도전자동 분류

57.CLP-1 · 2.4절 · 14번우리말 번역

극한을 미분계수로 해석하여 $\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\left( \dfrac{\sqrt{100180+y}-\sqrt{100180}}{y}\right)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\left( \dfrac{\sqrt{100180+y}-\sqrt{100180}}{y}\right)$ by interpreting the limit as a derivative.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이 극한은 함수 $f(x)=\sqrt{x}$ 의 $x=100180$ 에서의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 의 도함수가 $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 이므로, $x=100180$ 에서의 값은 정확히 $\dfrac{1}{2\sqrt{100180}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This limit represents the derivative computed at $x=100180$ of the function $f(x)=\sqrt{x}$ . Since the derivative of $f(x)$ is $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , then its value at $x=100180$ is exactly $\dfrac{1}{2\sqrt{100180}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 7번

# 다항함수의 미분법계산도전자동 분류

58.CLP-1 · 2.4절 · 16번우리말 번역

어떤 미분가능한 함수 $g(x)$ 에 대해 $f(x)=x^2g(x)$ 라 하자. $f'(0)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=x^2g(x)$ for some differentiable function $g(x)$ . What is $f'(0)$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

곱의 미분법을 쓰면 $f'(x)=(2x)g(x)+x^2g'(x)$ 이므로 $f'(0)=0\cdot g(x)+0\cdot g'(x)=0$ 이다. ( $g$ 가 미분가능하므로 $g'$ 가 존재한다.)

원본 교재 풀이(영어)

Using the product rule, $f'(x)=(2x)g(x)+x^2g'(x)$ , so $f'(0)=0\cdot g(x)+0\cdot g'(x)=0$ . (Since $g$ is differentiable, $g'$ exists.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 13번

# 다항함수의 미분법계산도전자동 분류

59.CLP-1 · 2.6절 · 1번우리말 번역

다음 계산에서 틀린 곳을 찾아 바로잡으세요.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1)+2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{x+1} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Spot and correct the error(s) in the following calculation.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1)+2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{x+1} \end{aligned}$

정답·풀이 보기

몫의 미분법에서는 덧셈이 아니라 뺄셈이 들어간다. 또한 $2(x+1)+2x$ 는 $2(x+1)$ 과 같지 않다.

올바른 계산은 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1) -2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In the quotient rule, there is a minus, not a plus. Also, $2(x+1)+2x$ is not the same as $2(x+1)$ .

The correct version is:

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1) -2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 15번

# 다항함수의 미분법계산기본자동 분류

60.CLP-1 · 2.6절 · 3번우리말 번역

$f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9$ 를 미분하고 그 결과를 인수분해하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9$ and factor the result.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9$ 는 다항식이다.

$\begin{aligned} f'(x)&=4x^5+20x^3+24x\\& =4x(x^4+5x^2+6)\\& = 4x((x^2)^2+5(x^2)+6)\\&=4x(x^2+2)(x^2+3) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9$ is a polynomial:

$\begin{aligned} f'(x)&=4x^5+20x^3+24x\\& =4x(x^4+5x^2+6)\\& = 4x((x^2)^2+5(x^2)+6)\\&=4x(x^2+2)(x^2+3) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 13번

# 다항함수의 미분법계산보통자동 분류