미분방정식 전체 연습문제

21.OpenStax 2권 · 4.3절 · 37번대학 수준우리말 번역

앞의 문제에서, 탱크의 물이 모두 빠지는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

For the preceding problem, determine how long it takes the tank to drain.

답 쓰고 채점

초

정답·풀이 보기

$720$ 초

원본 교재 풀이(영어)

$720$ seconds

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 25번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

22.OpenStax 2권 · 4.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

아이스크림의 액체 베이스가 처음 온도 $200^\circ \text{F}$ 인 상태에서, 일정한 온도 $0^\circ \text{F}$ 의 냉동고에 넣어진다. $1$ 시간 후 아이스크림 베이스의 온도는 $140^\circ \text{F}$ 로 내려갔다. 초깃값 문제를 세우고 풀어서 아이스크림의 온도를 구하세요.

영어 원문 보기

The liquid base of an ice cream has an initial temperature of $200^\circ \text{F}$ before it is placed in a freezer with a constant temperature of $0^\circ \text{F}.$ After $1$ hour, the temperature of the ice-cream base has decreased to $140^\circ \text{F}.$ Formulate and solve the initial-value problem to determine the temperature of the ice cream.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 23번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

23.OpenStax 2권 · 4.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 아이스크림의 액체 베이스는 일정한 온도 $20^\circ \text{F}$ 의 냉동고에 넣기 전 처음 온도가 $210^\circ \text{F}$ 이다. $2$ 시간 후 아이스크림 베이스의 온도는 $170^\circ \text{F}$ 로 내려갔다. 아이스크림은 몇 시간 후에 먹을 수 있게 되는지 구하세요. ( $30^\circ \text{F}$ 를 먹기에 가장 알맞은 온도라고 가정하세요.)

영어 원문 보기

[T] The liquid base of an ice cream has an initial temperature of $210^\circ \text{F}$ before it is placed in a freezer with a constant temperature of $20^\circ \text{F}.$ After $2$ hours, the temperature of the ice-cream base has decreased to $170^\circ \text{F}.$ At what time will the ice cream be ready to eat? (Assume $30^\circ \text{F}$ is the optimal eating temperature.)

정답·풀이 보기

$24$ 시간 $57$ 분

원본 교재 풀이(영어)

$24$ hours $57$ minutes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 10번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

24.OpenStax 2권 · 4.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 아이스크림 파티를 준비하고 있다. 바깥 온도는 $80^\circ \text{F}$ 이고 아이스크림의 온도는 $10^\circ \text{F}$ 이다. $10$ 분 후 아이스크림의 온도가 $10^\circ \text{F}$ 올랐다. 아이스크림이 $40^\circ \text{F?}$ 에서 녹는다면, 녹기 전까지 얼마나 더 기다릴 수 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] You are organizing an ice cream social. The outside temperature is $80^\circ \text{F}$ and the ice cream is at $10^\circ \text{F}.$ After $10$ minutes, the ice cream temperature has risen by $10^\circ \text{F}.$ How much longer can you wait before the ice cream melts at $40^\circ \text{F?}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 26번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

25.OpenStax 2권 · 4.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

온도가 $70^\circ \text{C}$ 인 커피 한 잔이 있고 방의 주변 온도는 $20^\circ \text{C}$ 입니다. 냉각률 $k\,\text{가}\,0.125$ 라고 가정하고, 시간에 따른 커피의 온도를 나타내는 미분방정식을 세우고 푸세요.

영어 원문 보기

You have a cup of coffee at temperature $70^\circ \text{C}$ and the ambient temperature in the room is $20^\circ \text{C}.$ Assuming a cooling rate $k\,\text{of}\,0.125,$ write and solve the differential equation to describe the temperature of the coffee with respect to time.

정답·풀이 보기

$T(t)=20+50{e}^{-0.125t}$

원본 교재 풀이(영어)

$T(t)=20+50{e}^{-0.125t}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 49번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

26.OpenStax 2권 · 4.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 온도가 $70^\circ \text{C}$ 인 커피 한 잔을 주변 온도가 $0^\circ \text{C}$ 인 바깥에 내놓았다. $5$ 분 후 커피는 얼마나 더 차가워지는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] You have a cup of coffee at temperature $70^\circ \text{C}$ that you put outside, where the ambient temperature is $0^\circ \text{C}.$ After $5$ minutes, how much colder is the coffee?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 37번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

27.OpenStax 2권 · 4.3절 · 43번대학 수준우리말 번역

온도가 $70^\circ \text{C}$ 인 커피 한 잔이 있고, 여기에 커피 $5$ 에 대해 우유 $1$ 의 비율로 우유를 곧바로 붓는다. 우유의 처음 온도는 $1^\circ \text{C}$ 이다. 이 커피의 온도를 나타내는 미분방정식을 세우고 푸세요.

영어 원문 보기

You have a cup of coffee at temperature $70^\circ \text{C}$ and you immediately pour in $1$ part milk to $5$ parts coffee. The milk is initially at temperature $1^\circ \text{C}.$ Write and solve the differential equation that governs the temperature of this coffee.

정답·풀이 보기

$T(t)=20+38.5{e}^{-0.125t}$

원본 교재 풀이(영어)

$T(t)=20+38.5{e}^{-0.125t}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 41번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

28.OpenStax 2권 · 4.3절 · 44번대학 수준우리말 번역

온도가 $70^\circ \text{C}$ 인 커피 한 잔을 10분 동안 식힌 다음, 앞의 문제와 같은 양의 $1^\circ \text{C}$ 우유를 붓습니다. 10분 후 온도는 이전 잔의 온도와 어떻게 비교됩니까?

영어 원문 보기

You have a cup of coffee at temperature $70^\circ \text{C},$ which you let cool $10$ minutes before you pour in the same amount of milk at $1^\circ \text{C}$ as in the preceding problem. How does the temperature compare to the previous cup after $10$ minutes?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 19번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

29.OpenStax 2권 · 4.3절 · 45번대학 수준우리말 번역

연습문제 159—162에서는 냉각 상수를 $k=-0.125$ 로 가정하고 시간 $t$ 의 단위는 분이라고 가정하세요.

초기 조건 $y(0)=c$ 인 일반적인 문제 $y'=ay+b$ 를 푸세요.

영어 원문 보기

For Exercises 159—162, assume a cooling constant of $k=-0.125$ and assume time $t$ is in minutes.

Solve the generic problem $y'=ay+b$ with initial condition $y(0)=c.$

정답·풀이 보기

$y=\left(c+\frac{b}{a}\right){e}^{ax}-\frac{b}{a}$

원본 교재 풀이(영어)

$y=\left(c+\frac{b}{a}\right){e}^{ax}-\frac{b}{a}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 10번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

30.OpenStax 2권 · 4.3절 · 47번대학 수준우리말 번역

$L$ 리터가 들어 있는 탱크에 처음 영양분의 양이 $I$ 킬로그램이라고 가정하세요. 농도 $c$ kg/L 인 용액이 $r$ L/min 의 속도로 펌프로 들어온다 / 주입된다고 가정하세요. 탱크는 잘 섞여 있으며 $r$ L/min 의 속도로 배출됩니다. 탱크 안의 영양분의 양을 나타내는 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Assume an initial nutrient amount of $I$ kilograms in a tank with $L$ liters. Assume a concentration of $c$ kg/L being pumped in at a rate of $r$ L/min. The tank is well mixed and is drained at a rate of $r$ L/min. Find the equation describing the amount of nutrient in the tank.

정답·풀이 보기

$y(t)=cL+(I-cL){e}^{-rt/L}$

원본 교재 풀이(영어)

$y(t)=cL+(I-cL){e}^{-rt/L}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 29번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

31.OpenStax 2권 · 4.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

공원 안 사슴 개체군의 환경 수용력은 $200$ 이고 성장률은 $2\%$ 입니다. 처음 개체 수가 사슴 $50$ 마리일 때, 임의의 시각에서 사슴의 개체 수는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A population of deer inside a park has a carrying capacity of $200$ and a growth rate of $2\%.$ If the initial population is $50$ deer, what is the population of deer at any given time?

정답·풀이 보기

$P(t)=\frac{10000{e}^{0.02t}}{150+50{e}^{0.02t}}$

원본 교재 풀이(영어)

$P(t)=\frac{10000{e}^{0.02t}}{150+50{e}^{0.02t}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 12번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

32.OpenStax 2권 · 4.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연못 안 개구리 개체군의 성장률은 $5\%$ 입니다. 처음 개체 수가 개구리 $1000$ 마리이고 환경 수용력이 $6000$ 일 때, 임의의 시각에서 개구리의 개체 수는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A population of frogs in a pond has a growth rate of $5\%.$ If the initial population is $1000$ frogs and the carrying capacity is $6000,$ what is the population of frogs at any given time?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.6절 · 7번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

33.OpenStax 2권 · 4.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 배양 접시에서 세균이 시간당 $20\%$ 의 비율로 성장합니다. 처음에 세균이 1개 있고 환경 수용력이 100만 개일 때, 세포 수가 $500,000$ 개에 도달하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Bacteria grow at a rate of $20\%$ per hour in a petri dish. If there is initially one bacterium and a carrying capacity of $1$ million cells, how long does it take to reach $500,000$ cells?

정답·풀이 보기

$69$ 시간 $5$ 분

원본 교재 풀이(영어)

$69$ hours $5$ minutes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 10번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

34.OpenStax 2권 · 4.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 공원에 있는 토끼의 처음 개체 수는 $10$ 이고 매년 $4\%$ 의 비율로 성장합니다. 환경 수용력이 $500$ 일 때, 개체 수가 토끼 $100$ 마리에 도달하는 시각을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Rabbits in a park have an initial population of $10$ and grow at a rate of $4\%$ per year. If the carrying capacity is $500,$ at what time does the population reach $100$ rabbits?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 34번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

35.OpenStax 2권 · 4.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 섬에 원숭이 두 마리를 놓아둔다. 5년 후 원숭이는 $8$ 마리가 되고, 추정되는 환경 수용력은 $25$ 마리이다. 원숭이의 개체 수가 $16$ 마리에 도달하는 것은 언제인가요?

영어 원문 보기

[T] Two monkeys are placed on an island. After $5$ years, there are $8$ monkeys, and the estimated carrying capacity is $25$ monkeys. When does the population of monkeys reach $16$ monkeys?

정답·풀이 보기

$8$ 년 $11$ 개월

원본 교재 풀이(영어)

$8$ years $11$ months

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 6번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

36.OpenStax 2권 · 4.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 나비 $2000$ 마리를 수용할 수 있는 나비 보호구역을 지었고, 처음에 나비 $400$ 마리를 옮겨 놓았다. $2$ 개월 후 나비가 $800$ 마리가 되었다면, 개체 수가 $1500$ 마리에 도달하는 것은 언제인가요?

영어 원문 보기

[T] A butterfly sanctuary is built that can hold $2000$ butterflies, and $400$ butterflies are initially moved in. If after $2$ months there are now $800$ butterflies, when does the population get to $1500$ butterflies?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 24번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

37.OpenStax 2권 · 4.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 연못에 사는 송어의 개체 수가 $P'=0.4P\left(1-\frac{P}{10000}\right)-400$ 으로 주어진다. 여기서 해마다 송어 $400$ 마리를 잡는다. 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 이용하여 방향장을 그리고, 몇 가지 예시 해를 그리세요. 개체 수의 변화 양상이 어떠할 것으로 예상하나요?

영어 원문 보기

[T] The population of trout in a pond is given by $P'=0.4P\left(1-\frac{P}{10000}\right)-400,$ where $400$ trout are caught per year. Use your calculator or computer software to draw a directional field and draw a few sample solutions. What do you expect for the behavior?

정답·풀이 보기

P < 1,000 에서는 화살표가 아래를 향하고, 1,000 < P < 8,500 에서는 위를 향하며, P > 8,500 에서는 아래를 향하는 방향장이다. P = 8,500 바로 위에서는 화살표가 오른쪽 아래를 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with arrows down for P < 1,000, pointing up for 1,000 < P < 8,500, and pointing down for P > 8,500. Right above P = 8,500, the arrows point down and to the right.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 4번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

38.OpenStax 2권 · 4.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

$K=10,r=0.1,T=2$ 라고 가정하고, 문턱 로지스틱 방정식의 방향장을 그리세요. 개체수는 언제 살아남나요? 언제 멸종하나요?

영어 원문 보기

Draw the directional field of the threshold logistic equation, assuming $K=10,r=0.1,T=2.$ When does the population survive? When does it go extinct?

정답·풀이 보기

y = 2 와 y = 10 을 따라 화살표가 수평으로 오른쪽을 향하는 방향장이다. P < 2 일 때 화살표는 오른쪽 아래를 향한다. 2 < P < 10 일 때 화살표는 오른쪽 위를 향한다. P > 10 일 때 화살표는 오른쪽 아래를 향한다. 화살표가 2 와 10 에서 멀수록 더 가파르고, 2 와 10 에 가까울수록 더 수평에 가까워진다.

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with arrows pointing horizontally to the right along y = 2 and y = 10. For P < 2, the arrows point down and to the right. For 2 < P < 10, the arrows point up and to the right. For P > 10, the arrows point down and to the right. The further the arrows are from 2 and 10, the steeper they become, and the closer they are from 2 and 10, the more horizontal the arrows become.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 28번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

39.OpenStax 2권 · 4.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

보호 공원에 있는 벵골호랑이의 환경 수용력은 $100$ 마리이고, 살아남으려면 최소 $10$ 마리가 필요하다. 개체수가 해마다 $1\%$ 의 비율로 증가하고 처음 개체수가 $15$ 마리일 때, 존재하는 호랑이의 수를 구하세요.

영어 원문 보기

Bengal tigers in a conservation park have a carrying capacity of $100$ and need a minimum of $10$ to survive. If they grow in population at a rate of $1\%$ per year, with an initial population of $15$ tigers, solve for the number of tigers present.

정답·풀이 보기

$P(t)=\frac{850+500{e}^{0.009t}}{85+5{e}^{0.009t}}$

원본 교재 풀이(영어)

$P(t)=\frac{850+500{e}^{0.009t}}{85+5{e}^{0.009t}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 26번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

40.OpenStax 2권 · 4.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

마다가스카르의 알락꼬리여우원숭이가 사는 숲은 개체 $5000$ 마리를 부양할 수 있고, 여우원숭이 개체수는 해마다 $5\%$ 의 비율로 증가한다. 여우원숭이가 생존하려면 최소 $500$ 마리가 필요하다. 처음 개체수가 $600$ 마리일 때, 여우원숭이의 개체수를 구하세요.

영어 원문 보기

A forest containing ring-tailed lemurs in Madagascar has the potential to support $5000$ individuals, and the lemur population grows at a rate of $5\%$ per year. A minimum of $500$ individuals is needed for the lemurs to survive. Given an initial population of $600$ lemurs, solve for the population of lemurs.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 22번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

미분방정식 전체 문제