미분방정식 전체 연습문제

61.OpenStax 3권 · 7.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

무게가 4 lb인 추가 용수철을 8 in 늘인다. 용수철을 평형 위치에서 12 ft/sec의 아래 방향 속도로 놓을 때, 운동 방정식을 구하세요. 이 운동의 주기와 진동수는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A mass weighing 4 lb stretches a spring 8 in. Find the equation of motion if the spring is released from the equilibrium position with a downward velocity of 12 ft/sec. What is the period and frequency of the motion?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7.3절 · 18번

# 2계 미분방정식의 활용(진동)활용자동 분류

62.OpenStax 3권 · 7.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

무게가 2 lb인 추가 용수철을 2 ft 늘인다. 용수철을 평형 위치보다 2 in 아래에서 8 ft/sec의 위 방향 속도로 놓을 때, 운동 방정식을 구하세요. 이 운동의 주기와 진동수는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A mass weighing 2 lb stretches a spring 2 ft. Find the equation of motion if the spring is released from 2 in. below the equilibrium position with an upward velocity of 8 ft/sec. What is the period and frequency of the motion?

정답·풀이 보기

${x}^{''}+16x=0,$ $x(t)=\frac{1}{6}\cos (4t)-2\sin (4t)$ , 주기 $=\frac{\pi }{2}\sec$ , 진동수 $=\frac{2}{\pi }\text{Hz}$

원본 교재 풀이(영어)

${x}^{''}+16x=0,$ $x(t)=\frac{1}{6}\cos (4t)-2\sin (4t),$ period $=\frac{\pi }{2}\sec ,$ frequency $=\frac{2}{\pi }\text{Hz}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7.3절 · 6번

# 2계 미분방정식의 활용(진동)활용자동 분류

63.OpenStax 3권 · 7.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

질량이 1 kg인 물체가 용수철을 61.25 cm 늘인다. 용수철-질량 계의 저항은 물체의 순간 속도의 8배와 같다.

a. 물체를 평형 위치 아래 5 m인 지점에서 위쪽 방향으로 10 m/sec의 속도로 놓았을 때, 운동 방정식을 구하세요. b. 이 운동이 과감쇠, 임계감쇠, 부족감쇠 중 어느 것인지 판단하세요.

영어 원문 보기

A 1-kg mass stretches a spring 61.25 cm. The resistance in the spring-mass system is equal to eight times the instantaneous velocity of the mass.

a. Find the equation of motion if the mass is released from a position 5 m below its equilibrium position with an upward velocity of 10 m/sec. b. Determine whether the motion is overdamped, critically damped, or underdamped.

정답·풀이 보기

a. $x(t)={e}^{-4t}(-5\cos 11.866t - 0.834\sin 11.866t)$ b. 부족감쇠

원본 교재 풀이(영어)

a. $x(t)={e}^{-4t}(-5\cos 11.866t - 0.834\sin 11.866t)$ b. underdamped

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7.3절 · 8번

# 2계 미분방정식의 활용(진동)활용자동 분류

64.OpenStax 3권 · 7.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

무게 32 lb(1 슬러그)의 추가 수직 용수철을 128 in 늘인다. 용수철-질량 계의 저항은 물체의 순간 속도의 4배와 같다.

a. 추를 평형 위치에서 아래쪽 방향으로 12 ft/sec의 속도로 놓았을 때, 운동 방정식을 구하세요. b. 이 운동이 과감쇠, 임계감쇠, 부족감쇠 중 어느 것인지 판단하세요.

영어 원문 보기

A 32-lb weight (1 slug) stretches a vertical spring 128 in. The resistance in the spring-mass system is equal to four times the instantaneous velocity of the mass.

a. Find the equation of motion if it is released from its equilibrium position with a downward velocity of 12 ft/sec. b. Determine whether the motion is overdamped, critically damped, or underdamped.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7.3절 · 18번

# 2계 미분방정식의 활용(진동)활용자동 분류

65.OpenStax 3권 · 7.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

무게 64 lb의 추가 용수철 상수가 4.625 lb/ft인 수직 용수철에 매달려 있다. 용수철-질량 계의 저항은 순간 속도와 같다. 추를 평형 위치 아래 1 ft인 지점에서 위쪽 방향으로 2 ft/sec의 속도로 움직이게 했다. $\pi$ sec 후에 추는 평형 위치의 위쪽에 있는지 아래쪽에 있는지 구하세요. 또 평형 위치로부터 얼마나 떨어져 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

A 64-lb weight is attached to a vertical spring with a spring constant of 4.625 lb/ft. The resistance in the spring-mass system is equal to the instantaneous velocity. The weight is set in motion from a position 1 ft below its equilibrium position with an upward velocity of 2 ft/sec. Is the mass above or below the equilibrium position at the end of $\pi$ sec? By what distance?

정답·풀이 보기

$x(\pi )=\frac{7{e}^{-\pi /4}}{6}$ ft 아래

원본 교재 풀이(영어)

$x(\pi )=\frac{7{e}^{-\pi /4}}{6}$ ft below

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7.3절 · 10번

# 2계 미분방정식의 활용(진동)활용자동 분류

66.OpenStax 3권 · 7장 복습 · 4번대학 수준우리말 번역

2계 미분방정식의 특수해를 구하려면 초기 조건이 하나 필요하다.

영어 원문 보기

To find the particular solution to a second-order differential equation, you need one initial condition.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7.1절 · 29번

# 2계 선형 제차 미분방정식활용자동 분류

67.OpenStax 3권 · 7장 복습 · 5번대학 수준우리말 번역

미분방정식을 분류하세요. 차수를 구하고, 선형인지 판단하며, 선형이면 동차인지 비동차인지 판단하세요. 방정식이 2차 동차 선형이면 특성방정식을 구하세요.

${y}^{''}-2y=0$

영어 원문 보기

Classify the differential equation. Determine the order, whether it is linear and, if linear, whether the differential equation is homogeneous or nonhomogeneous. If the equation is second-order homogeneous and linear, find the characteristic equation.

${y}^{''}-2y=0$

정답·풀이 보기

2차, 선형, 동차, ${\lambda }^{2}-2=0$

원본 교재 풀이(영어)

second order, linear, homogeneous, ${\lambda }^{2}-2=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7장 복습 · 3번

# 2계 선형 제차 미분방정식활용자동 분류

68.OpenStax 3권 · 7장 복습 · 6번대학 수준우리말 번역

미분방정식을 분류하세요. 차수를 판단하고, 선형인지 판단하며, 선형이면 동차인지 비동차인지 판단하세요. 이계 동차 선형 미분방정식이면 특성방정식을 구하세요.

${y}^{''}-3y+2y=\cos (t)$

영어 원문 보기

Classify the differential equation. Determine the order, whether it is linear and, if linear, whether the differential equation is homogeneous or nonhomogeneous. If the equation is second-order homogeneous and linear, find the characteristic equation.

${y}^{''}-3y+2y=\cos (t)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7장 복습 · 17번

# 2계 선형 제차 미분방정식활용자동 분류

69.OpenStax 3권 · 7장 복습 · 7번대학 수준우리말 번역

미분방정식을 분류하세요. 계를 구하고, 선형인지 판단하며, 선형이면 그 미분방정식이 동차인지 비동차인지 판단하세요. 방정식이 2계 동차 선형이면 특성방정식을 구하세요.

${\left(\frac{dy}{dt}\right)}^{2}+y{y}^{'}=1$

영어 원문 보기

Classify the differential equation. Determine the order, whether it is linear and, if linear, whether the differential equation is homogeneous or nonhomogeneous. If the equation is second-order homogeneous and linear, find the characteristic equation.

${\left(\frac{dy}{dt}\right)}^{2}+y{y}^{'}=1$

정답·풀이 보기

1계, 비선형, 비동차

원본 교재 풀이(영어)

first order, nonlinear, nonhomogeneous

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7장 복습 · 5번

# 2계 선형 제차 미분방정식활용자동 분류

70.OpenStax 3권 · 7장 복습 · 8번대학 수준우리말 번역

미분방정식을 분류하세요. 계를 구하고, 선형인지 판단하고, 선형이면 동차인지 비동차인지 판단하세요. 이계 동차 선형 미분방정식이면 특성방정식을 구하세요.

$\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}+t\frac{dy}{dt}+{\sin }^{2}(t)y={e}^{t}$

영어 원문 보기

Classify the differential equation. Determine the order, whether it is linear and, if linear, whether the differential equation is homogeneous or nonhomogeneous. If the equation is second-order homogeneous and linear, find the characteristic equation.

$\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}+t\frac{dy}{dt}+{\sin }^{2}(t)y={e}^{t}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7.1절 · 41번

# 2계 선형 제차 미분방정식활용자동 분류

71.OpenStax 3권 · 7장 복습 · 21번대학 수준우리말 번역

작은 각 $\theta$ 에 대해 흔들리는 진자의 운동은 $\frac{{d}^{2}\theta }{d{t}^{2}}+\frac{g}{L}\theta =0$ 으로 근사할 수 있다. 여기서 $\theta$ 는 진자가 수직선과 이루는 각, g 는 중력에 의한 가속도, L 은 진자의 길이이다. 처음 변위가 ${\theta }_{0}$ 이고 처음 속도가 0이라고 할 때, 시각 $t$ 에서 진자의 각을 나타내는 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

The motion of a swinging pendulum for small angles $\theta$ can be approximated by $\frac{{d}^{2}\theta }{d{t}^{2}}+\frac{g}{L}\theta =0,$ where $\theta$ is the angle the pendulum makes with respect to a vertical line, g is the acceleration resulting from gravity, and L is the length of the pendulum. Find the equation describing the angle of the pendulum at time $t,$ assuming an initial displacement of ${\theta }_{0}$ and an initial velocity of zero.

정답·풀이 보기

$\theta (t)={\theta }_{0}\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}L\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\theta (t)={\theta }_{0}\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}L\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7.1절 · 5번

# 2계 선형 제차 미분방정식활용자동 분류

72.APEX · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 1–12에서, 이 절의 도구를 사용하여 제시된 물음에 답하세요.

온도가 100 $^\circ$ 인 물체를 주변 온도가 70 $^\circ$ 인 방 안에 놓았다고 합시다. 물체의 온도는 물체의 온도와 방의 온도의 차에 비례하는 비율로 변한다고 합시다(뉴턴의 냉각 법칙). 물체가 10분 만에 92 $^\circ$ 로 식었다면, 물체가 84 $^\circ$ 로 식을 때까지 얼마나 걸리는지 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 1–12, use the tools in the section to answer the questions presented.

Suppose an object with a temperature of 100 $^\circ$ is introduced into a room with an ambient temperature of 70 $^\circ$ . Suppose the temperature of the object changes at a rate proportional to the difference between the temperature of the object and the temperature of the room (Newton's Law of Cooling). If the object has cooled to 92 $^\circ$ in 10 minutes, how long until the object has cooled to 84 $^\circ?$

답 쓰고 채점

분

정답·풀이 보기

24.57분

원본 교재 풀이(영어)

24.57 minutes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.5절 · 6번

# 미분방정식 모델링활용자동 분류

73.APEX · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 1–12에서, 이 절의 도구를 사용하여 제시된 물음에 답하세요.

온도가 100 $^\circ$ 인 물체를 주변 온도가 $60 + 20e^{-\frac{1}{4}t}$ 도인 방 안에 놓았다고 합시다. 물체의 온도는 물체의 온도와 방의 온도의 차에 비례하는 비율로 변한다고 합시다(뉴턴의 냉각 법칙). 20분 후 물체의 온도가 80 $^\circ$ 라면, 시각 $t$ 에서 물체의 온도를 나타내는 식을 구하세요. (참고: 이 문제는 미지의 상수를 구하기 위해 수치적 방법이 필요합니다.)

영어 원문 보기

In Exercises 1–12, use the tools in the section to answer the questions presented.

Suppose an object with a temperature of 100 $^\circ$ is introduced into a room with an ambient temperature given by $60 + 20e^{-\frac{1}{4}t}$ degrees. Suppose the temperature of the object changes at a rate proportional to the difference between the temperature of the object and the temperature of the room (Newton's Law of Cooling). If the object is 80 $^\circ$ after 20 minutes, find a formula giving the temperature of the object at time $t$ . (Note: This problem requires a numerical technique to solve for the unknown constants.)

정답·풀이 보기

$\displaystyle y = 60 - 3.69858e^{-\frac{1}{4}t} + 43.69858e^{-0.0390169 t}$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle y = 60 - 3.69858e^{-\frac{1}{4}t} + 43.69858e^{-0.0390169 t}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.5절 · 7번

# 미분방정식 모델링활용자동 분류

74.APEX · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 1–12에서, 이 절의 도구를 사용하여 제시된 물음에 답하세요.

탱크에 농도가 0.5 g/gal인 소금물 5갤런이 들어 있습니다. 순수한 물이 분당 1갤런의 비율로 탱크에 흘러 들어갑니다. 소금물은 분당 1갤런의 비율로 탱크에서 흘러 나갑니다. (즉시 섞인다고 가정합니다.) 10분 후 소금물의 농도를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 1–12, use the tools in the section to answer the questions presented.

A tank contains 5 gallons of salt solution with concentration 0.5 g/gal. Pure water flows into the tank at a rate of 1 gallon per minute. Salt solution flows out of the tank at a rate of 1 gallon per minute. (Assume instantaneous mixing.) Find the concentration of the salt solution at 10 minutes.

정답·풀이 보기

0.06767 g/gal

원본 교재 풀이(영어)

0.06767 g/gal

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.5절 · 8번

# 미분방정식 모델링활용자동 분류

75.APEX · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 1–12에서는 이 절에서 배운 도구를 사용하여 제시된 물음에 답하세요.

연못에 처음에는 10백만 갤런의 담수가 들어 있습니다. 원치 않는 화학물질이 섞인 물이 연못으로 1년에 5백만 갤런의 비율로 흘러 들어오고, 연못의 물은 같은 비율로 흘러나갑니다. (즉시 섞인다고 가정합니다.) 유입되는 화학물질의 농도(백만 갤런당 그램)가 식 $2 + \sin(2t)$ 에 따라 주기적으로 변할 때, 시각 $t$ 에서 연못에 들어 있는 화학물질의 양을 나타내는 공식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 1–12, use the tools in the section to answer the questions presented.

A pond initially contains 10 million gallons of fresh water. Water containing an undesirable chemical flows into the pond at a rate of 5 million gallons per year, and fluid from the pond flows out at the same rate. (Assume instantaneous mixing.) If the concentration (in grams per million gallons) of the incoming chemical varies periodically according to the expression $2 + \sin(2t)$ , find a formula giving the amount of chemical in the pond at time $t$ .

답 쓰고 채점

g

정답·풀이 보기

$y = \displaystyle 20 - \frac{10}{17}\left (4\cos(2t)- \sin(2t)\right) - \frac{300}{17}e^{-\frac{1}{2}t}$ g

원본 교재 풀이(영어)

$y = \displaystyle 20 - \frac{10}{17}\left (4\cos(2t)- \sin(2t)\right) - \frac{300}{17}e^{-\frac{1}{2}t}$ g

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.5절 · 6번

# 미분방정식 모델링활용자동 분류

76.APEX · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 1–12번에서, 이 절에서 배운 도구를 사용하여 제시된 물음에 답하세요.

큰 탱크에 농도가 2 g/gal인 소금물 1 갤런이 들어 있다. 농도가 1 g/gal인 소금물이 분당 4 갤런의 비율로 탱크에 흘러들어 오고, 소금물은 분당 3 갤런의 비율로 탱크에서 흘러나간다. (순간적으로 완전히 섞인다고 가정한다.) 10분 후 탱크 안에 있는 소금의 양을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 1–12, use the tools in the section to answer the questions presented.

A large tank contains 1 gallon of a salt solution with concentration 2 g/gal. A salt solution with concentration 1 g/gal flows into the tank at a rate of 4 gal/min. Salt solution flows out of the tank at a rate of 3 gal/min. (Assume instantaneous mixing.) Find the amount of salt in the tank at 10 minutes.

답 쓰고 채점

g

정답·풀이 보기

11.00075 g

원본 교재 풀이(영어)

11.00075 g

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.5절 · 8번

# 미분방정식 모델링활용자동 분류

77.APEX · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 1–12번에서, 이 절에서 배운 도구를 사용하여 제시된 물음에 답하세요.

하천이 담수 2백만 갤런이 들어 있는 연못으로 하루에 1백만 갤런의 비율로 흘러들어 간다. 이 하천은 첫 번째 연못에서 흘러나와 담수 3백만 갤런이 들어 있는 두 번째 연못으로 들어가고, 이어서 두 번째 연못에서 흘러나간다. 유입량과 유출량이 같아서 두 연못의 부피가 모두 일정하게 유지된다고 하자. 첫 번째 연못의 상류에 있는 공장이 하천을 오염시키기 시작한다. 공장 바로 아래에서 오염 물질의 농도는 백만 갤런당 55 그램이고, 이 농도의 물이 첫 번째 연못으로 흘러들어 가기 시작한다. 5일 후 첫 번째 연못과 두 번째 연못에 있는 오염 물질의 농도를 각각 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 1–12, use the tools in the section to answer the questions presented.

A stream flows into a pond containing 2 million gallons of fresh water at a rate of 1 million gallons per day. The stream flows out of the first pond and into a second pond containing 3 million gallons of fresh water. The stream then flows out of the second pond. Suppose the inflow and outflow rates are the same so that both ponds maintain their volumes. A factory upstream of the first pond starts polluting the stream. Directly below the factory, pollutant has a concentration of 55 grams per million gallons, and this concentration starts to flow into the first pond. Find the concentration of pollutant in the first and second ponds at 5 days.

정답·풀이 보기

연못 1: 백만 갤런당 50.4853 그램

연못 2: 백만 갤런당 32.8649 그램

원본 교재 풀이(영어)

pond 1: 50.4853 grams per million gallons

pond 2: 32.8649 grams per million gallons

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.5절 · 7번

# 미분방정식 모델링활용자동 분류

78.CLP-1 · 3.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

라듐-221의 반감기는 30초이다. 처음 시료의 0.01%만 남기까지 얼마의 시간이 걸리는지 구하세요.

영어 원문 보기

Radium-221 has a half-life of 30 seconds. How long does it take for only 0.01% of an original sample to be left?

정답·풀이 보기

시료에 들어 있는 라듐-221의 양은 다음과 같다.

$\begin{aligned} Q(t)&=Ce^{-kt} \\ \text{여기서 $C$ 는 시각 $t=0$ 에서 시료의 양이고, $k$ 는 어떤 양의 상수이다. 이 동위원소의 반감기를 알고 있으므로 $e^{-k}$ 를 구할 수 있다:} \\ \frac{C}{2}=Q(30)&=Ce^{-k\cdot 30}\\ \frac{1}{2}&=\left(e^{-k}\right)^{30}\\ 2^{-\tfrac{1}{30}}&=e^{-k} \\ \text{따라서,} \\ Q(t)&=C\left(e^{-k}\right)^t=C\cdot2^{-\tfrac{t}{30}} \\ \text{처음 시료의 0.01\% 만 남았을 때 $Q(t)=0.0001C$ 이므로:} \\ 0.0001C=Q(t)&=C\cdot 2^{-\tfrac{t}{30}}\\ 0.0001&=2^{-\tfrac{t}{30}}\\ \log(0.0001)&=\log\left(2^{-\tfrac{t}{30}}\right)\\ \log\left(10^{-4}\right)&=-\frac{t}{30}\log2\\ -4\log 10&=-\frac{t}{30}\log2\\ t&=120\cdot\frac{\log10}{\log2}\approx 398.6 \end{aligned}$

시료의 $0.01$ %만 남고 모두 붕괴하는 데 약 398.6초(즉, 대략 6분 30초)가 걸린다.

참고: 여기서도 현실성 검토를 한 번 더 할 수 있다. 반감기는 30초이다. 6분 30초는 반감기 13번에 해당한다. 따라서 시료는 13번 반으로 줄어든다: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{13}\approx 0.00012=0.012\%$ . 그러므로 이 13번의 반감기가 지나면 시료는 처음 양의 약 0.01%로 줄어들며, 이는 구하려던 결과와 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

The amount of Radium-221 in a sample will be

$\begin{aligned} Q(t)&=Ce^{-kt} \\ \text{where $C$ is the amount in the sample at time $t=0$, and $k$ is some positive constant. We know the half-life of the isotope, so we can find $e^{-k}$:} \\ \frac{C}{2}=Q(30)&=Ce^{-k\cdot 30}\\ \frac{1}{2}&=\left(e^{-k}\right)^{30}\\ 2^{-\tfrac{1}{30}}&=e^{-k} \\ \text{So,} \\ Q(t)&=C\left(e^{-k}\right)^t=C\cdot2^{-\tfrac{t}{30}} \\ \text{When only 0.01\% of the original sample is left, $Q(t)=0.0001C$:} \\ 0.0001C=Q(t)&=C\cdot 2^{-\tfrac{t}{30}}\\ 0.0001&=2^{-\tfrac{t}{30}}\\ \log(0.0001)&=\log\left(2^{-\tfrac{t}{30}}\right)\\ \log\left(10^{-4}\right)&=-\frac{t}{30}\log2\\ -4\log 10&=-\frac{t}{30}\log2\\ t&=120\cdot\frac{\log10}{\log2}\approx 398.6 \end{aligned}$

It takes about 398.6 seconds (that is, roughly 6 and a half minutes) for all but $0.01$ % of the sample to decay.

Remark: we can do another reality check here. The half-life is 30 seconds. 6 and a half minutes represents 13 half-lives. So, the sample is halved 13 times: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{13}\approx 0.00012=0.012\%$ . So these 13 half-lives should reduce the sample to about 0.01% of its original amount, as desired.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 7번

# 지수적 증가와 감소활용보통자동 분류

79.CLP-1 · 3.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

어떤 물체가 뉴턴의 냉각 법칙을 따르고, 그 물체의 온도가 어떤 상수 $k$ 에 대해 $T(t)=[T(0)-A]e^{kt}+A$ 로 주어진다고 하자. $T(t)=A$ 가 되는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose an object obeys Newton's Law of Cooling, and its temperature is given by $T(t)=[T(0)-A]e^{kt}+A$ for some constant $k$ . At what time is $T(t)=A$ ?

정답·풀이 보기

우리가 알고 싶은 것은 다음이 성립하는 때이다.

$\begin{aligned} [T(0)-A]e^{kt}+A&=A \\ \text{즉, 다음과 같을 때} \\ [T(0)-A]e^{kt}&=0 \\ \text{모든 $k$ 와 $t$ 의 값에 대해 $e^{kt}>0$ 이므로, 이는 다음과 같을 때에만 일어난다} \\ T(0)-A=0 \end{aligned}$

따라서 물체의 처음 온도가 주위 온도와 같지 않으면, 이 모델에 따르면 물체의 온도는 결코 주위 온도와 같아지지 않는다! (그러나 $t$ 가 점점 커질수록 $T(t)$ 는 $A$ 에 점점 가까워지며, 다만 정확히 $A$ 에 도달하지는 않는다.)

물체의 처음 온도가 주위 온도와 같으면 $t$ 의 모든 값에 대해 $T(t)=A$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We want to know when

$\begin{aligned} [T(0)-A]e^{kt}+A&=A \\ \text{That is, when} \\ [T(0)-A]e^{kt}&=0 \\ \text{Since $e^{kt}>0$ for all values of $k$ and $t$, this happens exactly when} \\ T(0)-A=0 \end{aligned}$

So: if the initial temperature of the object is not the same as the ambient temperature, then according to this model, it never will be! (However, as $t$ gets larger and larger, $T(t)$ gets closer and closer to $A$ –it just never exactly reaches there.)

If the initial temperature of the object starts out the same as the ambient temperature, then $T(t)=A$ for all values of $t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 7번

# 지수적 증가와 감소활용기본자동 분류

80.CLP-1 · 3.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

아이작 뉴턴은 커피에 크림을 넣어 마십니다. 정확히 말하면 커피 9 : 크림 1의 비율입니다. 집주인 아주머니가 $95^\circ$ C의 커피를 한 잔 따라 주면, 뉴턴은 $5^\circ$ C의 냉장고에서 꺼낸 크림을 그 커피에 넣고 젓습니다. 10분 뒤에 그 혼합물을 마실 때 보니 $54^\circ$ C로 식어 있었습니다. 뉴턴은 마시기 직전에 크림을 넣었다면 커피가 더 뜨거웠을지(그리고 얼마나 더 뜨거웠을지) 궁금해합니다. 다음을 가정하고 이 문제를 분석하세요.

(i) 식당의 온도는 $22^\circ$ C로 일정하다. (ii) 온도가 $T_1$ 인 액체의 부피 $V_1$ 과 온도가 $T_2$ 인 액체의 부피 $V_2$ 를 섞으면, 혼합물의 온도는 $\dfrac{V_1T_1+V_2T_2}{V_1+V_2}$ 이다. (iii) 뉴턴의 냉각 법칙: 물체의 온도는 물체와 주변의 온도 차에 비례하는 비율로 식는다. (iv) 크림을 넣은 커피 한 잔과 순수한 커피 한 잔의 비례상수는 같다.

영어 원문 보기

Isaac Newton drinks his coffee with cream. To be exact, 9 parts coffee to 1 part cream. His landlady pours him a cup of coffee at $95^\circ$ C into which Newton stirs cream taken from the icebox at $5^\circ$ C. When he drinks the mixture ten minutes later, he notes that it has cooled to $54^\circ$ C. Newton wonders if his coffee would be hotter (and by how much) if he waited until just before drinking it to add the cream. Analyze this question, assuming that:

(i) The temperature of the dining room is constant at $22^\circ$ C. (ii) When a volume $V_1$ of liquid at temperature $T_1$ is mixed with a volume $V_2$ at temperature $T_2$ , the temperature of the mixture is $\dfrac{V_1T_1+V_2T_2}{V_1+V_2}$ . (iii) Newton's Law of Cooling: The temperature of an object cools at a rate proportional to the difference in temperature between the object and its surroundings. (iv) The constant of proportionality is the same for the cup of coffee with cream as for the cup of pure coffee.

정답·풀이 보기

첫 번째 경우: 시각 $0$ 에 뉴턴은 온도가 $95^\circ$ C 인 커피 9 와 온도가 $5^\circ$ C 인 크림 1 을 섞는다. 그 결과 혼합물의 온도는 $\frac{9\times 95+1\times 5}{9+1}=86^\circ$ 이다. 이 혼합물은 처음 온도 86 $^\circ$ , 주변 온도 22 $^\circ$ 로 뉴턴의 냉각 법칙에 따라 식는다.

$\begin{aligned} T(t)&=[86-22]e^{-kt}+22\\ T(t)&=64e^{-kt}+22 \\ \text{10분 후,} \\ 54=T(10)&=22+64e^{-10 k}\\ e^{-10 k}&=\frac{54-22}{64}=\frac{1}{2} \end{aligned}$

이로부터 $k$ 를 계산할 수 있지만 그럴 필요는 없다.

두 번째 경우: 시각 $0$ 에 뉴턴은 온도가 $95^\circ$ C 인 뜨거운 커피를 받는다. 이 커피는 뉴턴의 냉각 법칙에 따라 식는다.

$\begin{aligned} T(t)=[T(0)-22]e^{-kt}+22 \end{aligned}$

이 두 번째 경우에서 $T(0)=95$ 이므로 $T(t)=[95-22]e^{-kt}+22=73e^{-kt}+22$ 이다. $k$ 의 값은 첫 번째 경우와 같으므로 10분 후에 $T(10)=22+73e^{-10k}=22+73\frac{1}{2}=58.5$ 이다. 이 식은 커피를 차가운 크림과 섞으면 혼합물의 온도는 $\frac{9\times 58.5+1\times 5}{9+1}=53.15$ 가 된다.

두 번째 경우(마시기 직전에 크림을 넣는 경우)에는 커피가 $0.85^\circ$ C $\,$ 더 차가워진다.

원본 교재 풀이(영어)

First scenario: At time $0$ , Newton mixes 9 parts coffee at temperature $95^\circ$ C with 1 part cream at temperature $5^\circ$ C. The resulting mixture has temperature $\frac{9\times 95+1\times 5}{9+1}=86^\circ$ The mixture cools according to Newton's Law of Cooling, with initial temperature 86 $^\circ$ and ambient temperature 22 $^\circ$ :

$\begin{aligned} T(t)&=[86-22]e^{-kt}+22\\ T(t)&=64e^{-kt}+22 \\ \text{After 10 minutes,} \\ 54=T(10)&=22+64e^{-10 k}\\ e^{-10 k}&=\frac{54-22}{64}=\frac{1}{2} \end{aligned}$

We could compute $k$ from this, but we don't need it.

Second scenario: At time $0$ , Newton gets hot coffee at temperature $95^\circ$ C. It cools according to Newton's Law of Cooling

$\begin{aligned} T(t)=[T(0)-22]e^{-kt}+22 \end{aligned}$

In this second scenario, $T(0)=95$ , so $T(t)=[95-22]e^{-kt}+22=73e^{-kt}+22$ The value of $k$ is the same as in the first scenario, so after 10 minutes $T(10)=22+73e^{-10k}=22+73\frac{1}{2}=58.5$ This cooled coffee is mixed with cold cream to yield a mixture of temperature $\frac{9\times 58.5+1\times 5}{9+1}=53.15$

Under the second (add cream just before drinking) scenario, the coffee ends up cooler by $0.85^\circ$ C $\,$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 1번

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