미분방정식 전체 연습문제

61.OpenStax 2권 · 4.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

오일러 방법을 사용하여 구간 $t=[0,1]$ 에서 $n=5$ 단계로 다음 해를 어림하세요. 초깃값 문제를 정확하게 풀 수 있으면 자신이 구한 해를 정확한 해와 비교하세요. 초깃값 문제를 풀 수 없으면 오일러 방법과 비교할 수 있도록 정확한 해가 주어집니다. 오일러 방법은 얼마나 정확한가요?

${y}^{'}=2t,y(0)=0$

영어 원문 보기

Estimate the following solutions using Euler’s method with $n=5$ steps over the interval $t=[0,1].$ If you are able to solve the initial-value problem exactly, compare your solution with the exact solution. If you are unable to solve the initial-value problem, the exact solution will be provided for you to compare with Euler’s method. How accurate is Euler’s method?

${y}^{'}=2t,y(0)=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 38번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

62.OpenStax 2권 · 4.2절 · 34번대학 수준우리말 번역

오일러 방법을 사용하여 구간 $t=[0,1]$ 에서 $n=5$ 단계로 다음 해를 어림하세요. 초깃값 문제를 정확하게 풀 수 있으면 자신이 구한 해를 정확한 해와 비교하세요. 초깃값 문제를 풀 수 없으면 오일러 방법과 비교할 수 있도록 정확한 해가 주어집니다. 오일러 방법은 얼마나 정확한가요?

[계산기 사용] $y'={e}^{(x+y)},y(0)=-1$ . 정확한 해는 $y=-\ln (e+1-{e}^{x})$ 이다.

영어 원문 보기

Estimate the following solutions using Euler’s method with $n=5$ steps over the interval $t=[0,1].$ If you are able to solve the initial-value problem exactly, compare your solution with the exact solution. If you are unable to solve the initial-value problem, the exact solution will be provided for you to compare with Euler’s method. How accurate is Euler’s method?

[T] $y'={e}^{(x+y)},y(0)=-1.$ Exact solution is $y=-\ln (e+1-{e}^{x})$

정답·풀이 보기

$-0.2535$ 정확한 값: $0$

원본 교재 풀이(영어)

$-0.2535$ exact: $0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 24번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

63.OpenStax 2권 · 4.2절 · 35번대학 수준우리말 번역

오일러 방법을 사용하여 구간 $t=[0,1]$ 에서 $n=5$ 단계로 다음 해를 어림하세요. 초깃값 문제를 정확하게 풀 수 있으면 자신이 구한 해를 정확한 해와 비교하세요. 초깃값 문제를 풀 수 없으면 오일러 방법과 비교할 수 있도록 정확한 해가 주어집니다. 오일러 방법은 얼마나 정확한가요?

${y}^{'}={y}^{2}\ln (x+1),y(0)=1$ . 정확한 해는 $y=-\frac{1}{(x+1)(\ln (x+1)-1)}$ 이다.

영어 원문 보기

Estimate the following solutions using Euler’s method with $n=5$ steps over the interval $t=[0,1].$ If you are able to solve the initial-value problem exactly, compare your solution with the exact solution. If you are unable to solve the initial-value problem, the exact solution will be provided for you to compare with Euler’s method. How accurate is Euler’s method?

${y}^{'}={y}^{2}\ln (x+1),y(0)=1.$ Exact solution is $y=-\frac{1}{(x+1)(\ln (x+1)-1)}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 48번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

64.OpenStax 2권 · 4.2절 · 36번대학 수준우리말 번역

오일러 방법을 사용하여 구간 $t=[0,1]$ 에서 $n=5$ 단계로 다음 해를 어림하세요. 초깃값 문제를 정확하게 풀 수 있다면, 자신이 구한 해를 정확한 해와 비교하세요. 초깃값 문제를 풀 수 없다면, 오일러 방법과 비교할 수 있도록 정확한 해가 주어집니다. 오일러 방법은 얼마나 정확한가요?

${y}^{'}={2}^{x},y(0)=0$ , 정확한 해는 $y=\frac{{2}^{x}-1}{\ln (2)}$ 이다.

영어 원문 보기

Estimate the following solutions using Euler’s method with $n=5$ steps over the interval $t=[0,1].$ If you are able to solve the initial-value problem exactly, compare your solution with the exact solution. If you are unable to solve the initial-value problem, the exact solution will be provided for you to compare with Euler’s method. How accurate is Euler’s method?

${y}^{'}={2}^{x},y(0)=0,$ Exact solution is $y=\frac{{2}^{x}-1}{\ln (2)}$

정답·풀이 보기

$1.345$ , 정확한 값: $\frac{1}{\ln (2)}$

원본 교재 풀이(영어)

$1.345,$ exact: $\frac{1}{\ln (2)}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 30번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

65.OpenStax 2권 · 4.2절 · 37번대학 수준우리말 번역

오일러 방법을 사용하여 구간 $t=[0,1]$ 에서 $n=5$ 단계로 다음 해를 어림하세요. 초깃값 문제를 정확하게 풀 수 있다면, 자신이 구한 해를 정확한 해와 비교하세요. 초깃값 문제를 풀 수 없다면, 오일러 방법과 비교할 수 있도록 정확한 해가 주어집니다. 오일러 방법은 얼마나 정확한가요?

${y}^{'}=y,y(0)=-1$ . 정확한 해는 $y=-{e}^{x}$ 이다.

영어 원문 보기

Estimate the following solutions using Euler’s method with $n=5$ steps over the interval $t=[0,1].$ If you are able to solve the initial-value problem exactly, compare your solution with the exact solution. If you are unable to solve the initial-value problem, the exact solution will be provided for you to compare with Euler’s method. How accurate is Euler’s method?

${y}^{'}=y,y(0)=-1.$ Exact solution is $y=-{e}^{x}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 12번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

66.OpenStax 2권 · 4.2절 · 38번대학 수준우리말 번역

오일러 방법을 사용하여 구간 $t=[0,1]$ 에서 $n=5$ 단계로 다음 해를 어림하세요. 초깃값 문제를 정확하게 풀 수 있다면, 자신이 구한 해를 정확한 해와 비교하세요. 초깃값 문제를 풀 수 없다면, 오일러 방법과 비교할 수 있도록 정확한 해가 주어집니다. 오일러 방법은 얼마나 정확한가요?

${y}^{'}=-5t,y(0)=-2$ . 정확한 해는 $y=-\frac{5}{2}{t}^{2}-2$ 이다.

영어 원문 보기

Estimate the following solutions using Euler’s method with $n=5$ steps over the interval $t=[0,1].$ If you are able to solve the initial-value problem exactly, compare your solution with the exact solution. If you are unable to solve the initial-value problem, the exact solution will be provided for you to compare with Euler’s method. How accurate is Euler’s method?

${y}^{'}=-5t,y(0)=-2.$ Exact solution is $y=-\frac{5}{2}{t}^{2}-2$

정답·풀이 보기

$-4$ , 정확한 값: $-1/2$

원본 교재 풀이(영어)

$-4,$ exact: $-1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 44번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

67.OpenStax 2권 · 4.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

매개변수가 $c=0.5,N=5$ , 그리고 $r=0.5$ 라고 가정하고, 이때 얻어지는 방향장을 그리세요.

영어 원문 보기

Assuming the parameters are $c=0.5,N=5,$ and $r=0.5,$ draw the resulting directional field.

정답·풀이 보기

방향장이다. x축 위에서와 y = 4에서는 화살표가 오른쪽을 향해 수평으로 놓여 있다. x축 아래쪽과 y = 4 위쪽의 화살표는 오른쪽 아래를 향한다. x축과 y = 4 사이의 화살표는 오른쪽 위를 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with horizontal arrows pointing to the right on the x axis and at y = 4. The arrows below the x axis and above y = 4 point down and to the right. The arrows between the x axis and y = 4 point up and to the right.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 42번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

68.OpenStax 2권 · 4.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 계산 소프트웨어나 계산기를 사용하여, 주어진 간격 크기 $h$ 로 오일러 방법을 써서 초깃값 문제 $y'=ty,\quad y(0)=2$ 의 근삿값 해를 계산하세요. $t=1$ 에서의 해를 $h$ 에 대한 식으로 구하세요. 힌트: 다음은 $y'=f(t,y),y(0)={y}_{0}$ 에 대해 오일러 방법을 수행하는 컴퓨터 프로그램을 작성하는 방법을 나타낸 "의사 코드"입니다.

함수 $f(t,y)$ 를 만드세요.
매개변수 $y(0)={y}_{0},\,t(0)=0$ , 간격 크기 $h$ , 그리고 전체 단계 수 $N$ 을 정의하세요.
반복문을 작성하세요: 반복 $\text{k}=0\,\text{부터}\,N$ 까지 $\quad \text{fn}=\text{f}(\text{t}(\text{k}),\text{y}(\text{k}))$ $\quad \text{y}(\text{k+1})=\text{y}(\text{k})+\text{h*fn}$ $\quad \text{t}(\text{k+1})=\text{t}(\text{k})+\text{h}$

영어 원문 보기

[T] Use computational software or a calculator to compute an approximate solution to the initial-value problem $y'=ty,\quad y(0)=2$ using Euler's Method with a given step size $h.$ Find the solution at $t=1$ in terms of $h.$ Hint: Here is "pseudo-code" for how to write a computer program to perform Euler's Method for $y'=f(t,y),y(0)={y}_{0}:$

Create function $f(t,y).$
Define parameters $y(0)={y}_{0},\,t(0)=0,$ step size $h,$ and total number of steps, $N$
Write a for loop: for $\text{k}=0\,\text{to}\,N$ $\quad \text{fn}=\text{f}(\text{t}(\text{k}),\text{y}(\text{k}))$ $\quad \text{y}(\text{k+1})=\text{y}(\text{k})+\text{h*fn}$ $\quad \text{t}(\text{k+1})=\text{t}(\text{k})+\text{h}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 40번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

69.OpenStax 2권 · 4.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

초깃값 문제를 풀어 정확한 해를 구하세요.

영어 원문 보기

Solve the initial-value problem for the exact solution.

정답·풀이 보기

$y'=2{e}^{{t}^{2}/2}$

원본 교재 풀이(영어)

$y'=2{e}^{{t}^{2}/2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 22번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

70.OpenStax 2권 · 4.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

(본문 참조)에 대한 답을 참고하여 다음 연습문제를 푸세요.

방향장을 그리세요.

영어 원문 보기

Refer to your answer for (see text) to solve the following exercises.

Draw the directional field

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 38번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

71.OpenStax 2권 · 4.2절 · 44번대학 수준우리말 번역

(본문 참조)에 대한 답을 참고하여 다음 연습문제를 푸세요.

$h=1$ 을 사용하여 계산하세요.

영어 원문 보기

Refer to your answer for (see text) to solve the following exercises.

Compute using $h=1$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2$

원본 교재 풀이(영어)

$2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 52번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

72.OpenStax 2권 · 4.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

(본문 참조)에 대한 답을 참고하여 다음 연습문제를 푸세요.

[계산기 사용] $h=0.1$ 을 사용하여 계산하세요.

영어 원문 보기

Refer to your answer for (see text) to solve the following exercises.

Compute using [T] $h=0.1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 20번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

73.OpenStax 2권 · 4.2절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 문제를 풀 때 (본문 참조)에 대한 자신의 답을 참고하세요.

[계산기 사용] $h=0.001$ 을 사용하여 계산하세요.

영어 원문 보기

Refer to your answer for (see text) to solve the following exercises.

Compute using [T] $h=0.001$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$3.2756$

원본 교재 풀이(영어)

$3.2756$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 50번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

74.OpenStax 2권 · 4.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 문제를 풀 때 (본문 참조)에 대한 자신의 답을 참고하세요.

[계산기 사용] $h=0.0001$ 을 사용하여 계산하세요.

영어 원문 보기

Refer to your answer for (see text) to solve the following exercises.

Compute using [T] $h=0.0001$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 18번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

75.OpenStax 2권 · 4.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

이 미분방정식의 방향장을 그리세요.

영어 원문 보기

Draw the directional field of this differential equation.

정답·풀이 보기

x축 상에서는 화살표가 모두 오른쪽을 향해 수평으로 놓여 있는 방향장이다. x축 위쪽에서는 화살표가 오른쪽 아래를 향하고, x축 아래쪽에서는 화살표가 오른쪽 위를 향한다. 화살표가 x축에 가까울수록 더 수평에 가깝고, x축에서 멀어질수록 더 수직에 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with horizontal arrows pointing to the right on the x axis. Above the x axis, the arrows point down and to the right. Below the x axis, the arrows point up and to the right. The closer the arrows are to the x axis, the more horizontal the arrows are, and the further away they are from the x axis, the more vertical the arrows are.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 18번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

76.OpenStax 2권 · 4.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 손으로 또는 계산기나 컴퓨터로 $h=5$ 를 사용하여 오일러 방법으로 $t=10$ 에서의 해를 어림하세요.