정적분의 뜻과 성질 연습문제

61.OpenStax 1권 · 5.4절 · 4번우리말 번역

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

$\int \frac{x-1}{{x}^{2}}dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

$\int \frac{x-1}{{x}^{2}}dx$

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 56번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

62.OpenStax 1권 · 5.4절 · 5번우리말 번역

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

${\int }_{0}^{\pi }(\sin x-\cos x)dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

${\int }_{0}^{\pi }(\sin x-\cos x)dx$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{\pi }\sin xdx-{\int }_{0}^{\pi }\cos xdx=-\cos x{|}_{0}^{\pi }-(\sin x){|}_{0}^{\pi }=(-(-1)+1)-(0-0)=2$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{\pi }\sin xdx-{\int }_{0}^{\pi }\cos xdx=-\cos x{|}_{0}^{\pi }-(\sin x){|}_{0}^{\pi }=(-(-1)+1)-(0-0)=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 7번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

63.OpenStax 1권 · 5.4절 · 6번우리말 번역

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

${\int }_{0}^{\pi /2}(x-\sin x)dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

${\int }_{0}^{\pi /2}(x-\sin x)dx$

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 2번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

64.OpenStax 1권 · 5.4절 · 7번우리말 번역

정사각형의 한 변의 길이 s 가 2 단위에서 4 단위로 늘어날 때, 정사각형의 둘레 $P(s)$ 의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that expresses the increase in the perimeter $P(s)$ of a square when its side length s increases from 2 units to 4 units and evaluate the integral.

정답·풀이 보기

$P(s)=4s$ 이므로 $\frac{dP}{ds}=4$ 이고 ${\int }_{2}^{4}4ds=8$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$P(s)=4s,$ so $\frac{dP}{ds}=4$ and ${\int }_{2}^{4}4ds=8.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 2번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

65.OpenStax 1권 · 5.4절 · 8번우리말 번역

정사각형의 한 변의 길이가 S 단위에서 2S 단위로 두 배가 될 때, 정사각형의 넓이 $A(s)={s}^{2}$ 의 변화량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the change in the area $A(s)={s}^{2}$ of a square when the side length doubles from S units to 2S units and evaluate the integral.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 54번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

66.OpenStax 1권 · 5.4절 · 9번우리말 번역

정N각형(변의 길이가 모두 s로 같은 N개의 변으로 이루어진 다각형으로, 예를 들어 정오각형이나 정육각형)의 둘레는 Ns입니다. 정N각형에서 각 변의 길이가 1 단위에서 2 단위로 늘어날 때 둘레의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고, 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A regular N-gon (an N-sided polygon with sides that have equal length s, such as a pentagon or hexagon) has perimeter Ns. Write an integral that expresses the increase in perimeter of a regular N-gon when the length of each side increases from 1 unit to 2 units and evaluate the integral.

정답·풀이 보기

${\int }_{1}^{2}Nds=N$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{1}^{2}Nds=N$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 1번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

67.OpenStax 1권 · 5.4절 · 32번우리말 번역

뉴턴의 중력 법칙에 따르면, 질량이 M 인 물체와 질량이 m 인 물체의 중심이 거리 r 만큼 떨어져 있을 때 두 물체 사이에 작용하는 중력의 크기는 $F=G\frac{mM}{{r}^{2}}$ 이다. 여기서 G 는 실험으로 얻은 상수로 $G=6.67x{10}^{-11}\,{m}^{3}/(kg\cdot {s}^{2})$ 이다. 구간 $[a,b]$ 에서 변하는 힘이 한 일은 $W={\int }_{a}^{b}F(x)dx$ 로 정의된다. 지구의 질량이 $5.97219\,\times \,{10}^{24}$ 이고 반지름이 6371 km 일 때, 질량 1400 kg 인 극궤도 기상위성을 지표면 위 850 km 의 궤도 고도까지 끌어올리는 데 필요한 일의 양을 구하세요.

영어 원문 보기

Newton’s law of gravity states that the gravitational force exerted by an object of mass M and one of mass m with centers that are separated by a distance r is $F=G\frac{mM}{{r}^{2}},$ with G an empirical constant $G=6.67x{10}^{-11}\,{m}^{3}/(kg\cdot {s}^{2}).$ The work done by a variable force over an interval $[a,b]$ is defined as $W={\int }_{a}^{b}F(x)dx.$ If Earth has mass $5.97219\,\times \,{10}^{24}$ and radius 6371 km, compute the amount of work to elevate a polar weather satellite of mass 1400 kg to its orbiting altitude of 850 km above Earth.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 48번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

68.OpenStax 1권 · 5.4절 · 37번우리말 번역

어떤 엔진은 같은 마력에서 다른 엔진보다 효율이 더 좋기도 하지만, 평균적으로 연료 효율은 마력에 따라 $1/25$ mpg/마력의 비율로 감소한다. 일반적인 50마력 엔진의 평균 연료 효율이 32 mpg일 때, 다음 마력을 가진 엔진의 평균 연료 효율은 각각 얼마인지 구하세요: 150, 300, 450.

영어 원문 보기

Although some engines are more efficient at given a horsepower than others, on average, fuel efficiency decreases with horsepower at a rate of $1/25$ mpg/horsepower. If a typical 50-horsepower engine has an average fuel efficiency of 32 mpg, what is the average fuel efficiency of an engine with the following horsepower: 150, 300, 450?

정답·풀이 보기

$E(150)=28,E(300)=22,E(450)=16$

원본 교재 풀이(영어)

$E(150)=28,E(300)=22,E(450)=16$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 47번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

69.APEX · 5.2절 · 19번우리말 번역

연습문제 19–22에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3$ , 그리고
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^2 \big(f(x)+g(x)\big) \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, let

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3,$ and
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_0^2 \big(f(x)+g(x)\big) \ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

2

원본 교재 풀이(영어)

2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 17번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

70.APEX · 5.2절 · 20번우리말 번역

연습문제 19–22에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3$ , 그리고
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^3 \big(f(x)-g(x)\big) \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, let

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3,$ and
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_0^3 \big(f(x)-g(x)\big) \ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

5

원본 교재 풀이(영어)

5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 22번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

71.APEX · 5.2절 · 21번우리말 번역

연습문제 19–22에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3$ , 그리고
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_2^3 \big(3f(x)+2g(x)\big) \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, let

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3,$ and
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_2^3 \big(3f(x)+2g(x)\big) \ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

16

원본 교재 풀이(영어)

16

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 58번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

72.APEX · 5.2절 · 22번우리말 번역

연습문제 19–22에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3$ , 그리고
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

다음을 만족하는 0이 아닌 $a$ , $b$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^3 \big(af(x)+bg(x)\big) \ dx=0$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, let

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3,$ and
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

Find nonzero values for $a$ and $b$ such that

$\displaystyle \int_0^3 \big(af(x)+bg(x)\big) \ dx=0$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 한 가지 해는 $a=-2$ , $b=7$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers can vary; one solution is $a=-2$ , $b=7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 17번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

73.APEX · 5.2절 · 23번우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1$ , 그리고
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^3 \big(s(t) + r(t)\big)\ dt$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, let

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1,$ and
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_0^3 \big(s(t) + r(t)\big)\ dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

22

원본 교재 풀이(영어)

22

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 46번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

74.APEX · 5.2절 · 24번우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1$ , 그리고
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_5^0 \big(s(t) - r(t)\big)\ dt$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, let

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1,$ and
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_5^0 \big(s(t) - r(t)\big)\ dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-7$

원본 교재 풀이(영어)

$-7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 14번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

75.APEX · 5.2절 · 25번우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1$ , 그리고
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_3^3 \big(\pi s(t) - 7r(t)\big)\ dt$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, let

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1,$ and
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_3^3 \big(\pi s(t) - 7r(t)\big)\ dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 18번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

76.APEX · 5.2절 · 26번우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1$ , 그리고
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

다음을 만족하는 0이 아닌 $a$ , $b$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^5 \big(ar(t)+bs(t)\big) \ dt=0$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, let

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1,$ and
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

Find nonzero values for $a$ and $b$ such that

$\displaystyle \int_0^5 \big(ar(t)+bs(t)\big) \ dt=0$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 한 가지 해는 $a=-18$ , $b=11$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers can vary; one solution is $a=-18$ , $b=11$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

77.CLP-2 · 1.2절 · 2번우리말 번역

$\displaystyle\int_0^b \cos x\ \mathrm{d}x=\sin b$ 이면, $\displaystyle\int_a^b \cos x\ \mathrm{d}x$ 의 값은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

If $\displaystyle\int_0^b \cos x\ \mathrm{d}x=\sin b$ , then what is $\displaystyle\int_a^b \cos x\ \mathrm{d}x$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

등식

$\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^c f(x)\ \mathrm{d}x+ \int\limits_c^b f(x)\ \mathrm{d}x\ , \\ \text{ we see} \\ \int\limits_a^b\cos x\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^0 \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\&= -\int\limits_0^a \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin a + \sin b\\ &=\sin b - \sin a \end{aligned}$

을 이용하면 위와 같이 구할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the identity

$\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^c f(x)\ \mathrm{d}x+ \int\limits_c^b f(x)\ \mathrm{d}x\ , \\ \text{ we see} \\ \int\limits_a^b\cos x\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^0 \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\&= -\int\limits_0^a \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin a + \sin b\\ &=\sin b - \sin a \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 3번

# 정적분의 뜻과 성질계산기본자동 분류

78.CLP-2 · 1.2절 · 4번우리말 번역

$f(x)$ 가 양의 값만 갖는 함수일 때, $\int\limits_5^0 f(x)\ \mathrm{d}x$ 를 어림하기 위해 구간 100개로 오른쪽 리만 합을 만들려고 한다.

(a) $\Delta x$ 는 얼마인지 구하세요. (b) 직사각형의 높이는 양수인지 음수인지 판단하세요. (c) 리만 합은 양수인지 음수인지 판단하세요. (d) $x=0$ 부터 $x=5$ 까지 곡선 $y=f(x)$ 아래의 부호 있는 넓이는 양수인지 음수인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Suppose we want to make a right Riemann sum with 100 intervals to approximate $\int\limits_5^0 f(x)\ \mathrm{d}x$ , where $f(x)$ is a function that gives only positive values.

(a) What is $\Delta x$ ? (b) Are the heights of our rectangles positive or negative? (c) Is our Riemann sum positive or negative? (d) Is the signed area under the curve $y=f(x)$ from $x=0$ to $x=5$ positive or negative?

정답·풀이 보기

(a) $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0-5}{100} = -\dfrac{1}{20}$

참고: 정적분의 리만 합 정의를 사용한다면, 이것이 등식 $\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x$ 를 정당화하는 방법이다. (b) 직사각형의 높이는 $f(x_i)$ 로 주어지며, 여기서 $x_i = a+i\Delta x = 5 - \frac{i}{20}$ 이다. $f(x)$ 는 양의 값만 가지므로 $f(x_i) >0$ 이고, 따라서 직사각형의 높이는 양수이다. (c) 리만 합은 각 직사각형의 부호 있는 넓이의 합이다. 각 직사각형은 음수인 밑변( $\Delta x$ )과 양수인 높이( $f(x_i)$ )를 가진다. 따라서 합의 각 항은 음수이다. 음수들을 더하면 합은 음수이다. 그러므로 리만 합은 음수이다. (d) $f(x)$ 는 항상 $x$ 축 위쪽에 있으므로 $\int\limits_0^5 f(x)\mathrm{d}x$ 는 양수이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0-5}{100} = -\dfrac{1}{20}$

Note: if we were to use the Riemann-sum definition of a definite integral, this is how we would justify the identity $\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x$ . (b) The heights of the rectangles are given by $f(x_i)$ , where $x_i = a+i\Delta x = 5 - \frac{i}{20}$ . Since $f(x)$ only gives positive values, $f(x_i) >0$ , so the heights of the rectangles are positive. (c) Our Riemann sum is the sum of the signed areas of individual rectangles. Each rectangle has a negative base ( $\Delta x$ ) and a positive height ( $f(x_i)$ ). So, each term of our sum is negative. If we add up negative numbers, the sum is negative. So, the Riemann sum is negative. (d) Since $f(x)$ is always above the $x$ -axis, $\int\limits_0^5 f(x)\mathrm{d}x$ is positive.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 12번

# 정적분의 뜻과 성질계산기본자동 분류

79.CLP-2 · 1.2절 · 12번우리말 번역

$\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 가법성을 이용한다:

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = \int_{-2}^{2} 5\,\mathrm{d}x + \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

첫 번째 정적분은 높이가 5이고 너비가 4인 직사각형의 넓이를 나타내므로 $20$ 이다. 두 번째 정적분은 $x$ 축 위쪽이면서 곡선 $y=\sqrt{4-x^2}$ 또는 $x^2+y^2=4$ 아래쪽인 영역의 넓이를 나타낸다. 이것은 반지름이 2인 반원이고, 그 넓이는 $\frac{1}{2}\pi 2^2$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = 20 + 2\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We first use additivity:

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = \int_{-2}^{2} 5\,\mathrm{d}x + \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

The first integral represents the area of a rectangle of height 5 and width 4 and so equals $20$ . The second integral represents the area above the $x$ –axis and below the curve $y=\sqrt{4-x^2}$ or $x^2+y^2=4$ . That is a semicircle of radius 2, which has area $\frac{1}{2}\pi 2^2$ . So

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = 20 + 2\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 17번

# 정적분의 뜻과 성질계산도전자동 분류

80.CLP-2 · 1.2절 · 15번우리말 번역

$\displaystyle\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

피적분함수 $f(x)=(x-3)^3$ 은 우함수도 기함수도 아니다. 그러나 이와 비슷한 대칭성을 가진다. 즉, $f(3+x)=-f(3-x)$ 이다. 따라서 $f$ 는 직선 $x=3$ 에 대해 "음의 대칭"이다. 이로부터 적분값이 0이 되리라고 짐작할 수 있다. $x=3$ 의 오른쪽에 있는 양의 넓이는 $x=3$ 의 왼쪽에 있는 음의 넓이와 같기 때문이다.

이를 확인하는 또 다른 방법은 $f(x)=(x-3)^3$ 의 그래프가 $g(x)=x^3$ 의 그래프를 오른쪽으로 3만큼 평행이동한 것과 같고, $g(x)$ 는 기함수라는 점에 주목하는 것이다. 따라서 $\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x = \int_{-3}^3 x^3\,\mathrm{d}x=0$

원본 교재 풀이(영어)

Our integrand $f(x)=(x-3)^3$ is neither even nor odd. However, it does have a similar symmetry. Namely, $f(3+x)=-f(3-x)$ . So, $f$ is “negatively symmetric" across the line $x=3$ . This suggests that the integral should be 0: the positive area to the right of $x=3$ will be the same as the negative area to the left of $x=3$ .

Another way to see this is to notice that the graph of $f(x)=(x-3)^3$ is equivalent to the graph of $g(x)=x^3$ shifted three units to the right, and $g(x)$ is an odd function. So, $\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x = \int_{-3}^3 x^3\,\mathrm{d}x=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 20번

# 정적분의 뜻과 성질계산도전자동 분류