함수의 극한과 연속 전체 연습문제

41.OpenStax 1권 · 2.4절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인지 구하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^{2}-{e}^{x} & \text{(}\,x<0\text{ 일 때)}\\ x-1 & \text{(}\,x\ge 0\text{ 일 때)}\end{array}\right.,$ $x=0$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^{2}-{e}^{x} & \text{if}\,x<0 \\ x-1 & \text{if}\,x\ge 0\end{array}\right.,$ at $x=0$

정답·풀이 보기

예. 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. It is continuous.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 3번

# 함수의 연속계산자동 분류

42.OpenStax 1권 · 2.4절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서, 함수가 주어진 점에서 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인지 말하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\sin (x)\,\text{(}\,x\le \pi\text{ 일 때)}\\ x\tan (x)\,\text{(}\,x>\pi\text{ 일 때)}\end{array}\right.,$ $x=\pi$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\sin (x)\,\text{if}\,x\le \pi \\ x\tan (x)\,\text{if}\,x>\pi \end{array}\right.,$ at $x=\pi$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 7번

# 함수의 연속계산자동 분류

43.OpenStax 1권 · 2.4절 · 15번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 k 의 값을 모두 구하세요.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}3x+2, & x<k \\ 2x-3, & k\le x\le 8\end{array}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}3x+2, & x<k \\ 2x-3, & k\le x\le 8\end{array}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$k=-5$

원본 교재 풀이(영어)

$k=-5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 13번

# 함수의 연속계산자동 분류

44.OpenStax 1권 · 2.4절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 k 의 값을 모두 구하세요.

$f(\theta )=\left\{\begin{array}{ll}\sin \theta , & 0\le \theta <\frac{\pi }{2} \\ \cos (\theta +k), & \frac{\pi }{2}\le \theta \le \pi \end{array}\right.$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(\theta )=\left\{\begin{array}{ll}\sin \theta , & 0\le \theta <\frac{\pi }{2} \\ \cos (\theta +k), & \frac{\pi }{2}\le \theta \le \pi \end{array}\right.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 4번

# 함수의 연속계산자동 분류

45.OpenStax 1권 · 2.4절 · 17번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 k 의 값을 모두 구하세요.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{x}^{2}+3x+2}{x+2}, & x\ne -2 \\ k, & x=-2\end{array}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{x}^{2}+3x+2}{x+2}, & x\ne -2 \\ k, & x=-2\end{array}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$k=-1$

원본 교재 풀이(영어)

$k=-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 25번

# 함수의 연속계산자동 분류

46.OpenStax 1권 · 2.4절 · 18번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 k 의 값을 모두 구하세요.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{kx}, & 0\le x<4 \\ x+3, & 4\le x\le 8\end{array}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{kx}, & 0\le x<4 \\ x+3, & 4\le x\le 8\end{array}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 1번

# 함수의 연속계산자동 분류

47.OpenStax 1권 · 2.4절 · 20번우리말 번역

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}3{x}^{2}-4, & x\le 2 \\ 5+4x, & x>2\end{array}\right.$ 라 하자. 구간 $[0,4]$ 에서 $h(0)<10$ 이고 $h(4)>10$ 이지만 $h(x)=10$ 인 x 의 값은 없다. 이것이 사잇값 정리에 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $h(x)=\left\{\begin{array}{ll}3{x}^{2}-4, & x\le 2 \\ 5+4x, & x>2\end{array}\right.$ Over the interval $[0,4],$ there is no value of x such that $h(x)=10,$ although $h(0)<10$ and $h(4)>10.$ Explain why this does not contradict the IVT.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 5번

# 함수의 연속계산자동 분류

48.OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번우리말 번역

직선을 따라 움직이는 입자의 시각 t 에서의 위치 함수 $s(t)$ 가 연속이라 하자. $s(2)=5$ 이고 $s(5)=2$ 라 하자. 또 다른 입자는 위치가 $h(t)=s(t)-t$ 로 주어지도록 움직인다. $2<c<5$ 이고 $h(c)=0$ 인 값 c 가 반드시 존재하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

A particle moving along a line has at each time t a position function $s(t),$ which is continuous. Assume $s(2)=5$ and $s(5)=2.$ Another particle moves such that its position is given by $h(t)=s(t)-t.$ Explain why there must be a value c for $2<c<5$ such that $h(c)=0.$

정답·풀이 보기

s 와 $y=t$ 는 모든 곳에서 연속이므로 $h(t)=s(t)-t$ 도 모든 곳에서 연속이고, 특히 닫힌구간 $[2,5]$ 에서 연속이다. 또한 $h(2)=3>0$ 이고 $h(5)=-3<0$ 이다. 따라서 사잇값 정리에 의해 $h(c)=0$ 인 값 $x=c$ 가 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Since both s and $y=t$ are continuous everywhere, then $h(t)=s(t)-t$ is continuous everywhere and, in particular, it is continuous over the closed interval $[2,5].$ Also, $h(2)=3>0$ and $h(5)=-3<0.$ Therefore, by the IVT, there is a value $x=c$ such that $h(c)=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번

# 함수의 연속계산자동 분류

49.OpenStax 1권 · 2.4절 · 23번우리말 번역

사잇값 정리를 적용하여 ${2}^{x}={x}^{3}$ 이 구간 $[1.25,1.375]$ 또는 $[1.375,1.5]$ 중 하나에서 해를 갖는지 판단하세요. 각 구간에 대해 답을 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

Apply the IVT to determine whether ${2}^{x}={x}^{3}$ has a solution in one of the intervals $[1.25,1.375]$ or $[1.375,1.5].$ Briefly explain your response for each interval.

정답·풀이 보기

함수 $f(x)={2}^{x}-{x}^{3}$ 은 구간 $[1.25,1.375]$ 에서 연속이고 양 끝점에서 부호가 반대이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function $f(x)={2}^{x}-{x}^{3}$ is continuous over the interval $[1.25,1.375]$ and has opposite signs at the endpoints.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번

# 함수의 연속계산자동 분류

50.OpenStax 1권 · 2.4절 · 32번우리말 번역

$x\to a$ 일 때 $f(x)$ 의 좌극한과 우극한이 존재하고 서로 같으면, f 는 $x=a$ 에서 불연속일 수 없다.

영어 원문 보기

If the left- and right-hand limits of $f(x)$ as $x\to a$ exist and are equal, then f cannot be discontinuous at $x=a.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 26번

# 함수의 연속계산자동 분류

51.OpenStax 1권 · 2.4절 · 33번우리말 번역

함수가 한 점에서 연속이 아니면, 그 점에서 정의되지 않는다.

영어 원문 보기

If a function is not continuous at a point, then it is not defined at that point.

정답·풀이 보기

거짓이다. 다음 함수를 생각하자. $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{(}\,x\ne 0\text{ 일 때)}\\ 4\,\text{(}\,x=0\text{ 일 때)}\end{array}\right.$

원본 교재 풀이(영어)

False. Consider $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{if}\,x\ne 0 \\ 4\,\text{if}\,x=0\end{array}\right..$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 35번

# 함수의 연속계산자동 분류

52.OpenStax 1권 · 2.4절 · 34번우리말 번역

사잇값 정리에 따르면, $\cos x-\sin x-x=2$ 는 구간 $[-1,1]$ 에서 해를 가진다.

영어 원문 보기

According to the IVT, $\cos x-\sin x-x=2$ has a solution over the interval $[-1,1].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 9번

# 함수의 연속계산자동 분류

53.OpenStax 1권 · 2.4절 · 35번우리말 번역

$f(x)$ 가 연속이고 $f(a)$ 와 $f(b)$ 의 부호가 서로 반대이면, $f(x)=0$ 은 $[a,b]$ 에서 해를 정확히 하나 가진다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ is continuous such that $f(a)$ and $f(b)$ have opposite signs, then $f(x)=0$ has exactly one solution in $[a,b].$

정답·풀이 보기

거짓이다. 사잇값 정리는 해가 적어도 하나 있다는 것만 말해 줄 뿐, 해가 정확히 하나임을 보장하지는 않는다. 구간 $[-\pi ,2\pi ]$ 에서 $f(x)=\cos (x)$ 를 생각하자.

원본 교재 풀이(영어)

False. IVT only says that there is at least one solution; it does not guarantee that there is exactly one. Consider $f(x)=\cos (x)$ on $[-\pi ,2\pi ].$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 45번

# 함수의 연속계산자동 분류

54.OpenStax 1권 · 2.4절 · 37번우리말 번역

$f(x)$ 가 모든 곳에서 연속이고 $f(a),f(b)>0$ 이면, 구간 $[a,b]$ 에 $f(x)$ 의 근은 없다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ is continuous everywhere and $f(a),f(b)>0,$ then there is no root of $f(x)$ in the interval $[a,b].$

정답·풀이 보기

거짓. 사잇값 정리는 역으로는 성립하지 않는다! 구간 $[-2,2]$ 에서 ${(x-1)}^{2}$ 을 생각해 보자.

원본 교재 풀이(영어)

False. The IVT does not work in reverse! Consider ${(x-1)}^{2}$ over the interval $[-2,2].$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 43번

# 함수의 연속계산자동 분류

55.OpenStax 1권 · 2.4절 · 38번우리말 번역

많은 입자가 상호작용하는 모형의 계산을 간단히 하기 위해, 어떤 기준값 $r=R$ 이후에서는 F 를 0으로 어림한다.

a. 이 가정의 물리적 근거를 설명하세요. b. 힘의 방정식은 무엇인지 구하세요. c. 전하량의 크기가 $1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{쿨롱 (C)}$ 인 두 양성자와 쿨롱 상수 ${k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}$ 에 대해, 두 양성자가 1 m 떨어져 있다고 하고 쿨롱 법칙과 우리의 어림을 모두 사용하여 힘 F 의 값을 구하세요. 또한 $R<1\,\text{m}$ 라고 가정하세요. 우리의 어림은 얼마나 큰 오차를 만드는지 구하세요. 우리의 어림은 타당한지 판단하세요. d. 이 계가 R 에서 연속이 되도록 하는 R 의 유한한 값이 존재하는지 판단하세요.

영어 원문 보기

To simplify the calculation of a model with many interacting particles, after some threshold value $r=R,$ we approximate F as zero.

a. Explain the physical reasoning behind this assumption. b. What is the force equation? c. Evaluate the force F using both Coulomb’s law and our approximation, assuming two protons with a charge magnitude of $1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{coulombs (C)},$ and the Coulomb constant ${k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}$ are 1 m apart. Also, assume $R<1\,\text{m}.$ How much inaccuracy does our approximation generate? Is our approximation reasonable? d. Is there any finite value of R for which this system remains continuous at R?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 31번

# 함수의 연속계산자동 분류

56.OpenStax 1권 · 2.4절 · 40번우리말 번역

[계산기 사용] 로켓의 질량이 3백만 kg일 때, k의 값과 단위를 구하세요. (힌트: 지구 중심에서 지구 표면까지의 거리는 6378 km이다.)

영어 원문 보기

[T] Determine the value and units of k given that the mass of the rocket is 3 million kg. (Hint: The distance from the center of Earth to its surface is 6378 km.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 25번

# 함수의 연속계산자동 분류

57.OpenStax 1권 · 2.4절 · 41번우리말 번역

[계산기 사용] 어떤 거리 D 를 지나면 지구의 중력 효과는 무시할 만큼 작아지므로, 힘 함수를 $F(d)=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{mk}{{d}^{2}} & \text{(}\,d<D\text{ 일 때)}\\ 10,000 & \text{(}\,d\ge D\text{ 일 때)}\end{array}\right.$ 로 근사할 수 있다. 앞의 문제에서 구한 k의 값을 이용하여, 힘 함수가 연속이 되도록 하는 D 의 필요조건을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] After a certain distance D has passed, the gravitational effect of Earth becomes quite negligible, so we can approximate the force function by $F(d)=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{mk}{{d}^{2}} & \text{if}\,d<D \\ 10,000 & \text{if}\,d\ge D\end{array}\right..$ Using the value of k found in the previous exercise, find the necessary condition D such that the force function remains continuous.

답 쓰고 채점

km

정답·풀이 보기

$D=345,826\,\text{km}$

원본 교재 풀이(영어)

$D=345,826\,\text{km}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 19번

# 함수의 연속계산자동 분류

58.OpenStax 1권 · 2.4절 · 42번우리말 번역

로켓이 지구 표면에서 멀어지면, 더 이상 여분의 연료 저장 공간이 필요하지 않으므로 로켓이 질량의 일부를 버리는 거리 D가 존재한다. 이 함수를 $F(d)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{{m}_{1}k}{{d}^{2}}\,\text{(}\,d<D\text{ 일 때)}\\ -\frac{{m}_{2}k}{{d}^{2}}\,\text{(}\,d\ge D\text{ 일 때)}\end{array}\right.$ 와 같이 쓸 수 있다. ${m}_{1}\ne {m}_{2}$ 라고 가정할 때, 이 함수가 연속이 되도록 하는 D 값이 존재하는지 답하세요.

영어 원문 보기

As the rocket travels away from Earth’s surface, there is a distance D where the rocket sheds some of its mass, since it no longer needs the excess fuel storage. We can write this function as $F(d)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{{m}_{1}k}{{d}^{2}}\,\text{if}\,d<D \\ -\frac{{m}_{2}k}{{d}^{2}}\,\text{if}\,d\ge D\end{array}\right..$ Is there a D value such that this function is continuous, assuming ${m}_{1}\ne {m}_{2}?$