문제 은행 · 기초 수학 · 중학 수학 · 함수

이차함수와 그래프

이차함수의 꼭짓점·축·평행이동과 표준형 y=a(x-p)²+q 를 다룬다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

369문제 · 7 / 19쪽

121.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 3번우리말 번역

$f(x)={x}^{2},\,g(x)={(x-1)}^{2}$ , 그리고 $h(x)={(x+1)}^{2}$ 의 그래프를 같은 직교좌표계에 그리세요. 함수에 상수를 더하는 것이 기본 포물선에 어떤 영향을 주는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)={x}^{2},\,g(x)={(x-1)}^{2},$ and $h(x)={(x+1)}^{2}$ on the same rectangular coordinate system. Describe what effect adding a constant to the function has on the basic parabola.

정답·풀이 보기

점을 찍어 보면 상수가 기본 함수 $f(x)={x}^{2}$ 의 그래프에 주는 영향을 알아보기 쉽다. 세 함수에 대해 표를 채운다.

g(x) 의 값과 h(x) 의 값은 0, 1, 4, 9, 16 이라는 같은 수를 공통으로 갖지만, 위치가 이동되어 있다.

이 그림은 xy 좌표평면 위에 위로 열린 포물선 3개를 보여 준다. 가운데 곡선은 f(x)는 x의 제곱인 함수의 그래프이며 꼭짓점은 (0, 0)이다. 이 곡선 위의 다른 점은 (음수 1, 1)과 (1, 1)에 있다. 왼쪽 곡선은 왼쪽으로 1단위 이동한 것이고, 오른쪽 곡선은 오른쪽으로 1단위 이동한 것이다.

그림의 첫째 줄에는 g(x)는 x에서 1을 뺀 값의 제곱인 함수의 그래프가 f(x)는 x의 제곱인 함수의 그래프를 오른쪽으로 1단위 이동한 것과 같다고 적혀 있다. 둘째 줄에는 h(x)는 x에 1을 더한 값의 제곱인 함수의 그래프가 f(x)는 x의 제곱인 함수의 그래프를 왼쪽으로 1단위 이동한 것과 같다고 적혀 있다. 그림의 셋째 줄에는 g(x)는 x에서 1을 뺀 값의 제곱이라고 적혀 있고, 그 아래에 오른쪽을 가리키는 화살표가 있으며 그 옆에 1단위라고 적혀 있다. 마지막으로, h(x)는 x에 1을 더한 값의 제곱이라고 적혀 있고, 그 아래에 왼쪽을 가리키는 화살표가 있으며 그 옆에 1단위라고 적혀 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Plotting points will help us see the effect of the constants on the basic $f(x)={x}^{2}$ graph. We fill in the chart for all three functions.

The g(x) values and the h(x) values share the common numbers 0, 1, 4, 9, and 16, but are shifted.

This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The middle curve is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The left curve has been moved to the left 1 unit, and the right curve has been moved to the right 1 unit.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 63번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

122.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 5번우리말 번역

ⓐ 같은 직교좌표계에 $f(x)={x}^{2},\,g(x)={(x+2)}^{2},$ $h(x)={(x-2)}^{2}$ 의 그래프를 그리세요. ⓑ 함수에 상수를 더하면 기본 포물선에 어떤 영향을 주는지 설명하세요.

영어 원문 보기

ⓐ Graph $f(x)={x}^{2},\,g(x)={(x+2)}^{2},$ and $h(x)={(x-2)}^{2}$ on the same rectangular coordinate system. ⓑ Describe what effect adding a constant to the function has on the basic parabola.

정답·풀이 보기

ⓐ

이 그림은 xy-좌표평면 위에 아래로 볼록한 포물선 3개를 보여 준다. 가운데 곡선은 f(x)=x^2 의 그래프이며 꼭짓점이 (0, 0)이다. 이 곡선 위의 다른 점은 (-1, 1)과 (1, 1)에 있다. 왼쪽 곡선은 왼쪽으로 2만큼 이동한 것이고, 오른쪽 곡선은 오른쪽으로 2만큼 이동한 것이다.

ⓑ $g(x)={(x+2)}^{2}$ 의 그래프는 $f(x)={x}^{2}$ 의 그래프를 왼쪽으로 2만큼 평행이동한 것과 같다. $h(x)={(x-2)}^{2}$ 의 그래프는 $f(x)={x}^{2}$ 의 그래프를 오른쪽으로 2만큼 평행이동한 것과 같다.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ

This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The middle curve is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The left curve has been moved to the left 2 units, and the right curve has been moved to the right 2 units.

ⓑ The graph of $g(x)={(x+2)}^{2}$ is the same as the graph of $f(x)={x}^{2}$ but shifted left 2 units. The graph of $h(x)={(x-2)}^{2}$ is the same as the graph of $f(x)={x}^{2}$ but shift right 2 units.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 6번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

123.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 6번우리말 번역

ⓐ 같은 직교좌표계에 $f(x)={x}^{2},\,g(x)={x}^{2}+5,$ $h(x)={x}^{2}-5$ 의 그래프를 그리세요. ⓑ 함수에 상수를 더하면 기본 포물선에 어떤 영향을 주는지 설명하세요.

영어 원문 보기

ⓐ Graph $f(x)={x}^{2},\,g(x)={x}^{2}+5,$ and $h(x)={x}^{2}-5$ on the same rectangular coordinate system. ⓑ Describe what effect adding a constant to the function has on the basic parabola.

정답·풀이 보기

ⓐ

이 그림은 xy-좌표평면 위에 아래로 볼록한 포물선 3개를 보여 준다. 가운데 곡선은 f(x)=x^2 의 그래프이며 꼭짓점이 (0, 0)이다. 이 곡선 위의 다른 점은 (-1, 1)과 (1, 1)에 있다. 왼쪽 곡선은 왼쪽으로 5만큼 이동한 것이고, 오른쪽 곡선은 오른쪽으로 5만큼 이동한 것이다.

ⓑ $g(x)={(x+5)}^{2}$ 의 그래프는 $f(x)={x}^{2}$ 의 그래프를 왼쪽으로 5만큼 평행이동한 것과 같다. $h(x)={(x-5)}^{2}$ 의 그래프는 $f(x)={x}^{2}$ 의 그래프를 오른쪽으로 5만큼 평행이동한 것과 같다.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ

This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The middle curve is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The left curve has been moved to the left 5 units, and the right curve has been moved to the right 5 units.

ⓑ The graph of $g(x)={(x+5)}^{2}$ is the same as the graph of $f(x)={x}^{2}$ but shifted left 5 units. The graph of $h(x)={(x-5)}^{2}$ is the same as the graph of $f(x)={x}^{2}$ but shifted right 5 units.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 2번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

124.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 4번우리말 번역

가로 방향 평행이동을 이용하여 $f(x)={(x-5)}^{2}$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)={(x-5)}^{2}$ using a horizontal shift.

정답·풀이 보기


먼저 격자 위에 $f(x)={x}^{2}$ 의 그래프를 그린다.
h 를 구한다.

$f(x)={x}^{2}$ 의 그래프를 오른쪽으로 5만큼 평행이동한다.

원본 교재 풀이(영어)


We first draw the graph of $f(x)={x}^{2}$ on the grid.
Determine h.

Shift the graph $f(x)={x}^{2}$ to the right 5 units.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 7번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

125.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 7번우리말 번역

수평 이동을 이용하여 $f(x)={(x-4)}^{2}$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)={(x-4)}^{2}$ using a horizontal shift.

정답·풀이 보기

이 그림은 x y-좌표평면 위에 위로 열린 포물선 2개를 보여 준다. 왼쪽 곡선은 f(x)=x^2 의 그래프로, 꼭짓점이 (0, 0)이다. 곡선 위의 다른 점들은 (−1, 1)과 (1, 1)에 있다. 오른쪽 곡선은 오른쪽으로 4만큼 이동한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The left curve is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The right curve has been moved right 4 units.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 19번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

126.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 8번우리말 번역

수평 이동을 이용하여 $f(x)={(x+6)}^{2}$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)={(x+6)}^{2}$ using a horizontal shift.

정답·풀이 보기

이 그림은 x y-좌표평면 위에 위로 열린 포물선 2개를 보여 준다. 오른쪽 곡선은 f(x)=x^2 의 그래프로, 꼭짓점이 (0, 0)이다. 곡선 위의 다른 점들은 (−1, 1)과 (1, 1)에 있다. 왼쪽 곡선은 왼쪽으로 6만큼 이동한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The right curve is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The left curve has been moved to the left 6 units.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 9번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

127.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 5번우리말 번역

변환을 이용하여 $f(x)={(x+1)}^{2}-2$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)={(x+1)}^{2}-2$ using transformations.

정답·풀이 보기

이 함수에는 두 가지 변환이 포함되므로 계획이 필요하다.

먼저 상수 h, k 를 찾아보자.

맨 윗줄에는 f(x) = (x + 1)² − 2 가 주어져 있고, 둘째 줄에는 f(x) = (x − h)² − k 가 있다. 주어진 식은 셋째 줄에서 f(x) = (x − (−1))² + (−2) 로 바뀌어 있다. 마지막 줄에는 h = −1 이고 k = −2 라고 쓰여 있다.

상수 h 는 가로 방향의 이동을, k 는 세로 방향의 이동을 나타낸다.

f(x) = x² 이 주어져 있고, 여기서 나온 화살표가 f(x) = (x + 1)² 을 가리키며, 다시 여기서 나온 화살표가 f(x) = (x + 1)² − 2 를 가리킨다. 다음 줄들에는 h = −1 이므로 왼쪽으로 1단위 이동한다는 것과, k = −2 이므로 아래쪽으로 2단위 이동한다는 것이 쓰여 있다.

먼저 격자 위에 $f(x)={x}^{2}$ 의 그래프를 그린다.

그림의 첫째 줄에는 f(x) = (x + 1)² 의 그래프가 f(x) = x² 의 그래프를 왼쪽으로 1단위 이동한 것과 같다고 쓰여 있다. 둘째 줄에는 f(x) = (x + 1)² − 2 의 그래프가 f(x) = (x + 1)² 의 그래프를 아래쪽으로 2단위 이동한 것과 같다고 쓰여 있다.

첫 번째 그래프는 xy 좌표평면 위에 위로 열린 포물선 하나를 보여 준다. 이것은 꼭짓점이 (0, 0) 인 f(x) = x² 의 그래프이다. 곡선 위의 다른 점으로 (−1, 1) 과 (1, 1) 이 있다. f(x) = x² 의 그래프를 왼쪽으로 1만큼 이동하면 다음 그래프가 되는데, 이 그래프에는 처음의 f(x) = x² 과, 왼쪽으로 1단위 이동하여 만들어진 f(x) = (x + 1)² 의 곡선이 함께 나타나 있다. f(x) = (x + 1)² 을 아래쪽으로 1만큼 이동하면 마지막 그래프가 되는데, 이 그래프에는 처음의 f(x) = x² 과 f(x) = (x + 1)² 이 나타나 있고, 여기에 아래쪽으로 1 이동하여 만들어진 f(x) = (x + 1)² − 2 의 곡선이 더해져 있다.

원본 교재 풀이(영어)

This function will involve two transformations and we need a plan.

Let’s first identify the constants h, k.

F of x equals the quantity x plush 1 squared minus 2 is given on the top line with f of x equals the quanitity x minus h squared minis k on the second line. The given equation was changed to f of x equals the quantity of x minus negative 1 squared plush negative 2 on the third line. The final line says h equals negative 1 and k equals negative 2.

The h constant gives us a horizontal shift and the k gives us a vertical shift.

F of x equals x squared is given with an arrow coming from it pointing to f of x equals the quantity x plus 1 squared with an arrow coming from it pointing to f of x equals the quantity x plus 1 squared minus 2. The next lines say h equals negative 1 which means shift left 1 unit and k equals negative 2 which means shift down 2 units.

We first draw the graph of $f(x)={x}^{2}$ on the grid.

The figure says on the first line that the graph of f of x equals the quantity x plus 1 squared is the same as the graph of f of x equals x squared but shifted left 1 unit. The second line states that the graph of f of x equals the quantity x plus 1 squared minus 2 is the same as the graph of f of x equals the quantity x plus 1 squared but shifted down 2 units.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 21번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

128.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 9번우리말 번역

변환을 이용하여 $f(x)={(x+2)}^{2}-3$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)={(x+2)}^{2}-3$ using transformations.

정답·풀이 보기

이 그림은 xy 좌표평면 위에 아래로 볼록한 포물선 3개를 보여 준다. 하나는 f(x)=x^2 의 그래프이며 꼭짓점이 (0, 0)이다. 이 곡선 위의 다른 점으로 (−1, 1)과 (1, 1)이 있다. 다음으로, 원래 함수를 왼쪽으로 2만큼 평행이동하면 f(x)=(x+2)^2 이 된다. 마지막 곡선은 여기서 아래로 3만큼 평행이동하여 얻으며, f(x)=(x+2)^2-3 이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.1절 · 23번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

129.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 10번우리말 번역

변환을 이용하여 $f(x)={(x-3)}^{2}+1$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)={(x-3)}^{2}+1$ using transformations.

정답·풀이 보기

이 그림은 xy 좌표평면 위에 아래로 볼록한 포물선 3개를 보여 준다. 하나는 f(x)=x^2 의 그래프이며 꼭짓점이 (0, 0)이다. 이 곡선 위의 다른 점으로 (−1, 1)과 (1, 1)이 있다. 다음으로, 원래 함수를 오른쪽으로 3만큼 평행이동하면 f(x)=(x-3)^2 이 된다. 마지막 곡선은 여기서 위로 1만큼 평행이동하여 얻으며, f(x)=(x-3)^2+1 이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 1번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

130.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 6번우리말 번역

$f(x)=3{x}^{2}$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)=3{x}^{2}.$

정답·풀이 보기

함수 $f(x)={x}^{2}$ 과 $g(x)=3{x}^{2}$ 의 그래프를 같은 모눈 위에 그릴 것이다. $f(x)={x}^{2}$ 위의 점 몇 개를 고른 다음, y값에 3을 곱하여 $g(x)=3{x}^{2}$ 의 점을 구한다.

원본 교재 풀이(영어)

We will graph the functions $f(x)={x}^{2}$ and $g(x)=3{x}^{2}$ on the same grid. We will choose a few points on $f(x)={x}^{2}$ and then multiply the y-values by 3 to get the points for $g(x)=3{x}^{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 1번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

131.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 11번우리말 번역

$f(x)=-3{x}^{2}$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)=-3{x}^{2}.$

정답·풀이 보기

이 그래프는 xy 좌표평면 위에 f(x)는 x의 제곱인 함수의 아래로 볼록한 포물선을 보여 주며, 꼭짓점은 (0, 0)이다. 이 곡선 위의 다른 점들은 (음의 2, 4), (음의 1, 1), (1, 1), (2, 4)에 있다. 또한 f(x)는 음의 3 곱하기 x의 제곱인 함수의 위로 볼록한 포물선도 나타나 있다. 이 포물선의 꼭짓점은 (0, 0)이고, 다른 점으로 (음의 1, 음의 3)과 (1, 음의 3)이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.1절 · 75번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

132.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 12번우리말 번역

$f(x)=2{x}^{2}$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)=2{x}^{2}.$

정답·풀이 보기

이 그림은 xy 좌표평면 위에 아래로 볼록한 포물선 두 개를 보여 준다. 하나는 f(x)는 x의 제곱인 함수의 그래프이며 꼭짓점이 (0, 0)이다. 이 곡선 위의 다른 점들은 (음의 1, 1)과 (1, 1)에 있다. f(x)가 2 곱하기 x의 제곱인 함수의 그래프로, 더 폭이 좁은 곡선은 꼭짓점이 (0, 0)이고, 다른 점으로 (음의 1, 2분의 1)과 (1, 2분의 1)이 주어져 있다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. One is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The slimmer curve of f of x equals 2 times x square has a vertex at (0,0) and other points of (negative 1, one-half) and (1, one-half).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 11번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

133.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 7번우리말 번역

완전제곱식을 이용하여 $f(x)=-3{x}^{2}-6x-1$ 을 $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ 꼴로 나타내세요.

영어 원문 보기

Rewrite $f(x)=-3{x}^{2}-6x-1$ in the $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ form by completing the square.

정답·풀이 보기



$x$ 항과 상수항을 분리한다.
${x}^{2}$ 의 계수 $-3$ 으로 묶는다.
완전제곱식을 만들 준비를 한다.
2의 절반을 구한 다음 제곱하여 완전제곱식을 만든다. ${\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)}^{2}=1$
상수 1 이 괄호 안을 완전제곱식으로 만들지만, 괄호는 $-3$ 과 곱해져 있다. 따라서 실제로는 $-3$ 을 더한 것이 된다. 함수의 값이 변하지 않도록 3 을 더해 주어야 한다.
삼항식을 제곱의 꼴로 고쳐 쓰고 상수끼리 뺀다.
이제 함수가 $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ 꼴이 되었다.

원본 교재 풀이(영어)



Separate the x terms from the constant.
Factor the coefficient of ${x}^{2}$ , $-3$ .
Prepare to complete the square.
Take half of 2 and then square it to complete the square. ${\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)}^{2}=1$
The constant 1 completes the square in the parentheses, but the parentheses is multiplied by $-3$ . So we are really adding $-3$ We must then add 3 to not change the value of the function.
Rewrite the trinomial as a square and subtract the constants.
The function is now in the $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ form.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 17번

# 이차함수와 그래프계산자동 분류

134.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 13번우리말 번역

완전제곱식을 이용하여 $f(x)=-4{x}^{2}-8x+1$ 을 $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ 꼴로 나타내세요.

영어 원문 보기

Rewrite $f(x)=-4{x}^{2}-8x+1$ in the $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ form by completing the square.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f(x)=-4{(x+1)}^{2}+5$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)=-4{(x+1)}^{2}+5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 9번

# 이차함수와 그래프계산자동 분류

135.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 14번우리말 번역

완전제곱식을 이용하여 $f(x)=2{x}^{2}-8x+3$ 을 $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ 꼴로 나타내세요.

영어 원문 보기

Rewrite $f(x)=2{x}^{2}-8x+3$ in the $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ form by completing the square.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f(x)=2{(x-2)}^{2}-5$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)=2{(x-2)}^{2}-5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 22번

# 이차함수와 그래프계산자동 분류

136.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 8번우리말 번역

변환을 이용하여 $f(x)={x}^{2}+6x+5$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)={x}^{2}+6x+5$ by using transformations.

정답·풀이 보기

1단계. 완전제곱식을 만들어 함수를 $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ 꼴인 꼭짓점 꼴로 고쳐 쓴다.



x 항과 상수항을 분리한다.
완전제곱식을 만들기 위해 6의 절반을 구한 다음 제곱한다. ${\left(\frac{1}{2}\cdot 6\right)}^{2}=9$
함수의 값이 변하지 않도록 9를 더하고 9를 뺀다.
삼항식을 제곱식으로 고쳐 쓰고 상수끼리 계산한다.
이제 함수는 $f(x)={(x-h)}^{2}+k$ 꼴이 되었다.

2단계: 변환을 이용하여 함수의 그래프를 그린다.

h, k 의 값을 보면, $f(x)={x}^{2}$ 의 그래프를 왼쪽으로 3만큼, 아래쪽으로 4만큼 평행이동한 그래프임을 알 수 있다.

f(x)는 x의 제곱과 같다는 식에서 화살표가 나와 f(x)는 x+3의 제곱과 같다는 식을 가리키고, 여기서 다시 화살표가 나와 f(x)는 x+3의 제곱에서 4를 뺀 것과 같다는 식을 가리킨다. 그다음 줄에는 h는 -3과 같고 이는 왼쪽으로 3만큼 이동한다는 뜻이며, k는 -4와 같고 이는 아래쪽으로 4만큼 이동한다는 뜻이라고 쓰여 있다.

먼저 격자 위에 $f(x)={x}^{2}$ 의 그래프를 그린다.

f(x)가 x+3의 제곱과 같은 함수의 그래프를 그리려면, f(x)가 x의 제곱과 같은 함수의 그래프를 왼쪽으로 3만큼 이동한다. f(x)가 x+3의 제곱에서 4를 뺀 것과 같은 함수의 그래프를 그리려면, x+3의 제곱의 그래프를 아래쪽으로 4만큼 이동한다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1. Rewrite the function in $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ vertex form by completing the square.



Separate the x terms from the constant.
Take half of 6 and then square it to complete the square. ${\left(\frac{1}{2}\cdot 6\right)}^{2}=9$
We both add 9 and subtract 9 to not change the value of the function.
Rewrite the trinomial as a square and subtract the constants.
The function is now in the $f(x)={(x-h)}^{2}+k$ form.

Step 2: Graph the function using transformations.

Looking at the h, k values, we see the graph will take the graph of $f(x)={x}^{2}$ and shift it to the left 3 units and down 4 units.

F of x equals x squared is given with an arrow coming from it pointing to f of x equals the quantity x plus 3 squared with an arrow coming from it pointing to f of x equals the quantity x plus 3 squared minus 4. The next lines say h equals negative 3 which means shift left 3 unit and k equals negative 4 which means shift down 4 units

We first draw the graph of $f(x)={x}^{2}$ on the grid.

To graph f of x equals the quantity x plus 3 squared, shift the graph of f of x equals x squares to the left 3 units. To graph f of x equals the quantity x plus 3 squared minus 4, shift the graph the quantity x plus 3 squared down 4 units.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 3.2절 · 89번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

137.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 15번우리말 번역

변환을 이용하여 $f(x)={x}^{2}+2x-3$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)={x}^{2}+2x-3$ by using transformations.

정답·풀이 보기

이 그림은 xy-좌표평면 위에 위로 열린 포물선 3개를 보여 준다. 하나는 f(x)가 x의 제곱과 같은 함수의 그래프로, 꼭짓점이 (0, 0)이다. 이 곡선 위의 다른 점으로 (−1, 1)과 (1, 1)이 있다. 왼쪽에 있는 곡선은 왼쪽으로 1만큼 이동하여 f(x)가 (x 더하기 1)의 제곱과 같은 함수의 그래프가 된 것이다. 세 번째 그래프는 아래로 4만큼 이동하여 f(x)가 (x 더하기 1)의 제곱 빼기 4와 같은 함수의 그래프가 된 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 2번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

138.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 16번우리말 번역

변환을 이용하여 $f(x)={x}^{2}-8x+12$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)={x}^{2}-8x+12$ by using transformations.

정답·풀이 보기

이 그림은 xy-좌표평면 위에 위로 열린 포물선 3개를 보여 준다. 하나는 f(x)가 x의 제곱과 같은 함수의 그래프로, 꼭짓점이 (0, 0)이다. 이 곡선 위의 다른 점으로 (−1, 1)과 (1, 1)이 있다. 오른쪽에 있는 곡선은 오른쪽으로 4만큼 이동하여 f(x)가 (x 빼기 4)의 제곱과 같은 함수의 그래프가 된 것이다. 세 번째 그래프는 아래로 4만큼 이동하여 f(x)가 (x 빼기 4)의 제곱 빼기 4와 같은 함수의 그래프가 된 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 61번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

139.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 9번우리말 번역

변환을 이용하여 $f(x)=-2{x}^{2}-4x+2$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)=-2{x}^{2}-4x+2$ by using transformations.

정답·풀이 보기

1단계. 완전제곱식을 만들어 함수를 $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ 꼴인 꼭짓점 꼴로 고쳐 쓴다.



x 항과 상수를 분리한다.
${x}^{2}$ 의 계수가 1이 되어야 한다. x 항에서 $-2$ 를 묶어 낸다.
완전제곱식을 만들기 위해 2의 절반을 구한 다음 제곱한다. ${\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)}^{2}=1$
괄호 안에 1을 더하여 완전제곱식을 만든다. 그런데 괄호에는 $-2$ 가 곱해져 있으므로 실제로는 $-2$ 를 더하는 것이다. 함수의 값이 바뀌지 않도록 2를 더한다.
삼항식을 제곱의 꼴로 고쳐 쓰고 상수끼리 계산한다.
이제 함수가 $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ 꼴이 되었다.

2단계. 변환을 이용하여 함수의 그래프를 그린다.

f(x)는 x의 제곱과 같다는 식에서 화살표가 f(x)는 -2 곱하기 x의 제곱과 같다는 식을 가리키고, 그 식에서 다시 화살표가 f(x)는 -2 곱하기 (x+1)의 제곱과 같다는 식을 가리킨다. 여기서 또 화살표가 f(x)는 -2 곱하기 (x+1)의 제곱 더하기 4와 같다는 식을 가리킨다. 다음 줄에는 a는 -2이며 이는 y값에 -2를 곱한다는 뜻이고, h는 -1이며 이는 왼쪽으로 1만큼 평행이동한다는 뜻이고, k는 4이며 이는 위쪽으로 4만큼 평행이동한다는 뜻이라고 쓰여 있다.

먼저 격자 위에 $f(x)={x}^{2}$ 의 그래프를 그린다.

f(x) = -2x^2 의 그래프를 그리려면 f(x) = x^2 의 포물선에서 y값에 -2를 곱한다. f(x) = -2(x+1)^2 의 그래프를 그리려면 f(x) = -2x^2 의 그래프를 왼쪽으로 1만큼 평행이동한다. f(x) = -2(x+1)^2 + 4 의 그래프를 그리려면 f(x) = -2(x+1)^2 의 그래프를 위쪽으로 4만큼 평행이동한다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1. Rewrite the function in $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ vertex form by completing the square.



Separate the x terms from the constant.
We need the coefficient of ${x}^{2}$ to be one. We factor $-2$ from the x-terms.
Take half of 2 and then square it to complete the square. ${\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)}^{2}=1$
We add 1 to complete the square in the parentheses, but the parentheses is multiplied by $-2$ . Se we are really adding $-2$ . To not change the value of the function we add 2.
Rewrite the trinomial as a square and subtract the constants.
The function is now in the $f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$ form.

Step 2. Graph the function using transformations.

We first draw the graph of $f(x)={x}^{2}$ on the grid.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 69번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

140.OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 17번우리말 번역

변환을 이용하여 $f(x)=-3{x}^{2}+12x-4$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph $f(x)=-3{x}^{2}+12x-4$ by using transformations.

정답·풀이 보기

이 그림은 xy 좌표평면 위에 꼭짓점이 (2,8)이고 아래로 열린 포물선을 보여 주며, 포물선은 다른 점 (1,5)와 (3,5)도 지난다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure shows a downward-opening parabola on the x y-coordinate plane with a vertex of (2,8) and other points of (1,5) and (3,5).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 9번

# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류