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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

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691문제 · 17 / 35쪽

321.OpenStax 3권 · 5.6절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 영역 $R$ 을 차지하고 연습문제의 처음 두 묶음에 주어진 밀도 함수 $\rho$ 를 갖는 얇은 판을 생각하세요.

a. $x$ 축, $y$ 축, 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y}$ 와 ${I}_{0}$ 를 각각 구하세요. b. $x$ 축, $y$ 축, 원점에 대한 회전반경을 각각 구하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,0),(0,3)$ , 그리고 $(6,0);\rho (x,y)=xy$ 인 삼각형 영역입니다.

영어 원문 보기

In the following exercises, consider a lamina occupying the region $R$ and having the density function $\rho$ given in the first two groups of Exercises.

a. Find the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},$ and ${I}_{0}$ about the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively. b. Find the radii of gyration with respect to the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively.

$R$ is the triangular region with vertices $(0,0),(0,3),$ and $(6,0);\rho (x,y)=xy.$

정답·풀이 보기

a. ${I}_{x}=\frac{243}{10},{I}_{y}=\frac{486}{5},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{243}{2};$ b. ${R}_{x}=\frac{3\sqrt{5}}{5},{R}_{y}=\frac{6\sqrt{5}}{5},\text{and}\,{R}_{0}=3$

원본 교재 풀이(영어)

a. ${I}_{x}=\frac{243}{10},{I}_{y}=\frac{486}{5},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{243}{2};$ b. ${R}_{x}=\frac{3\sqrt{5}}{5},{R}_{y}=\frac{6\sqrt{5}}{5},\text{and}\,{R}_{0}=3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 31번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

322.OpenStax 3권 · 5.6절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 앞의 두 묶음의 연습문제에 주어진 영역 $R$ 을 차지하고 밀도 함수 $\rho$ 를 갖는 얇은 판을 생각하세요.

a. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y},$ ${I}_{0}$ 를 각각 구하세요. b. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 회전반지름을 각각 구하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,0),(1,1)$ , 그리고 $(0,5);\rho (x,y)=x+y$ 인 삼각형 영역이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, consider a lamina occupying the region $R$ and having the density function $\rho$ given in the first two groups of Exercises.

a. Find the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},$ and ${I}_{0}$ about the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively. b. Find the radii of gyration with respect to the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively.

$R$ is the triangular region with vertices $(0,0),(1,1),$ and $(0,5);\rho (x,y)=x+y.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.3절 · 10번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

323.OpenStax 3권 · 5.6절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 앞의 두 묶음의 연습문제에 주어진 영역 $R$ 을 차지하고 밀도 함수 $\rho$ 를 갖는 얇은 판을 생각하세요.

a. 각각 $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y}$ 와 ${I}_{0}$ 을 구하세요. b. 각각 $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 회전반경을 구하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,0),(0,3),(6,3)$ , 그리고 $(6,0);\rho (x,y)=\sqrt{xy}$ 인 직사각형 영역입니다.

영어 원문 보기

In the following exercises, consider a lamina occupying the region $R$ and having the density function $\rho$ given in the first two groups of Exercises.

a. Find the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},$ and ${I}_{0}$ about the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively. b. Find the radii of gyration with respect to the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively.

$R$ is the rectangular region with vertices $(0,0),(0,3),(6,3),$ and $(6,0);\rho (x,y)=\sqrt{xy}.$

정답·풀이 보기

a. ${I}_{x}=\frac{648\sqrt{2}}{7},{I}_{y}=\frac{2592\sqrt{2}}{7},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{3240\sqrt{2}}{7};$ b. ${R}_{y}=\frac{3\sqrt{21}}{7},{R}_{x}=\frac{6\sqrt{21}}{7},\text{and}\,{R}_{0}=\frac{3\sqrt{105}}{7}$

원본 교재 풀이(영어)

a. ${I}_{x}=\frac{648\sqrt{2}}{7},{I}_{y}=\frac{2592\sqrt{2}}{7},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{3240\sqrt{2}}{7};$ b. ${R}_{y}=\frac{3\sqrt{21}}{7},{R}_{x}=\frac{6\sqrt{21}}{7},\text{and}\,{R}_{0}=\frac{3\sqrt{105}}{7}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 37번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

324.OpenStax 3권 · 5.6절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 영역 $R$ 을 차지하고 앞의 두 묶음의 연습문제에 주어진 밀도 함수 $\rho$ 를 갖는 얇은 판을 생각하세요.

a. 각각 $x\text{축}$ , $y\text{축}$ , 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y}$ , 그리고 ${I}_{0}$ 을 구하세요. b. 각각 $x\text{축}$ , $y\text{축}$ , 원점에 대한 회전반지름을 구하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,1),(0,3),(3,3)$ , 그리고 $(3,1);\rho (x,y)={x}^{2}y$ 인 직사각형 영역이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, consider a lamina occupying the region $R$ and having the density function $\rho$ given in the first two groups of Exercises.

a. Find the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},$ and ${I}_{0}$ about the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively. b. Find the radii of gyration with respect to the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively.

$R$ is the rectangular region with vertices $(0,1),(0,3),(3,3),$ and $(3,1);\rho (x,y)={x}^{2}y.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 53번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

325.OpenStax 3권 · 5.6절 · 29번대학 수준우리말 번역

$R$ 은 직선 $y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2},y=0,y=2$ 와 $x=0;\rho (x,y)=3xy$ 로 정해지는 사다리꼴 영역이다.

영어 원문 보기

$R$ is the trapezoidal region determined by the lines $y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2},y=0,y=2,$ and $x=0;\rho (x,y)=3xy.$

정답·풀이 보기

a. ${I}_{x}=88,{I}_{y}=1560,\text{그리고}\,{I}_{0}=1648;$ b. ${R}_{x}=\frac{\sqrt{418}}{19},{R}_{y}=\frac{\sqrt{7410}}{19}$ , 그리고 ${R}_{0}=\frac{2\sqrt{1957}}{19}$

원본 교재 풀이(영어)

a. ${I}_{x}=88,{I}_{y}=1560,\text{and}\,{I}_{0}=1648;$ b. ${R}_{x}=\frac{\sqrt{418}}{19},{R}_{y}=\frac{\sqrt{7410}}{19},$ and ${R}_{0}=\frac{2\sqrt{1957}}{19}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 17번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

326.OpenStax 3권 · 5.6절 · 30번대학 수준우리말 번역

$R$ 은 직선 $y=0,y=1,y=x$ 와 $y=-x+3;\rho (x,y)=2x+y$ 로 정해지는 사다리꼴 영역이다.

영어 원문 보기

$R$ is the trapezoidal region determined by the lines $y=0,y=1,y=x,$ and $y=-x+3;\rho (x,y)=2x+y.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.4절 · 2번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

327.OpenStax 3권 · 5.6절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 얇은 판이 영역 $R$ 을 차지하고 연습문제의 첫 두 묶음에서 주어진 밀도함수 $\rho$ 를 가진다고 하자.

a. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y}$ 와 ${I}_{0}$ 를 각각 구하세요. b. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 회전반지름을 각각 구하세요.

$R$ 은 중심이 $(1,2)$ 이고 반지름이 $2$ 인 원판이다; $\rho (x,y)={x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+5.$

영어 원문 보기

In the following exercises, consider a lamina occupying the region $R$ and having the density function $\rho$ given in the first two groups of Exercises.

a. Find the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},$ and ${I}_{0}$ about the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively. b. Find the radii of gyration with respect to the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively.

$R$ is the disk of radius $2$ centered at $(1,2);$ $\rho (x,y)={x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+5.$

정답·풀이 보기

a. ${I}_{x}=\frac{128\pi }{3},{I}_{y}=\frac{56\pi }{3},\text{그리고}\,{I}_{0}=\frac{184\pi }{3};$ b. ${R}_{x}=\frac{4\sqrt{3}}{3},{R}_{y}=\frac{\sqrt{21}}{3}$ , 그리고 ${R}_{0}=\frac{\sqrt{69}}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

a. ${I}_{x}=\frac{128\pi }{3},{I}_{y}=\frac{56\pi }{3},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{184\pi }{3};$ b. ${R}_{x}=\frac{4\sqrt{3}}{3},{R}_{y}=\frac{\sqrt{21}}{3},$ and ${R}_{0}=\frac{\sqrt{69}}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 33번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

328.OpenStax 3권 · 5.6절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 얇은 판이 영역 $R$ 을 차지하고 연습문제의 첫 두 묶음에서 주어진 밀도함수 $\rho$ 를 가진다고 하자.

a. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y}$ 와 ${I}_{0}$ 를 각각 구하세요. b. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 회전반지름을 각각 구하세요.

$R$ 은 단위원판이다; $\rho (x,y)=3{x}^{4}+6{x}^{2}{y}^{2}+3{y}^{4}.$

영어 원문 보기

In the following exercises, consider a lamina occupying the region $R$ and having the density function $\rho$ given in the first two groups of Exercises.

a. Find the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},$ and ${I}_{0}$ about the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively. b. Find the radii of gyration with respect to the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively.

$R$ is the unit disk; $\rho (x,y)=3{x}^{4}+6{x}^{2}{y}^{2}+3{y}^{4}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 5번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

329.OpenStax 3권 · 5.6절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 처음 두 묶음의 연습문제에서 주어진 영역 $R$ 을 차지하고 밀도 함수 $\rho$ 를 갖는 얇은 판을 생각하세요.

a. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y}$ , 그리고 ${I}_{0}$ 을 각각 구하세요. b. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 회전반지름을 각각 구하세요.

$R$ 은 타원으로 둘러싸인 영역이다: ${x}^{2}+4{y}^{2}=1;\rho (x,y)=1.$

영어 원문 보기

In the following exercises, consider a lamina occupying the region $R$ and having the density function $\rho$ given in the first two groups of Exercises.

a. Find the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},$ and ${I}_{0}$ about the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively. b. Find the radii of gyration with respect to the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively.

$R$ is the region enclosed by the ellipse ${x}^{2}+4{y}^{2}=1;\rho (x,y)=1.$

정답·풀이 보기

a. ${I}_{x}=\frac{\pi }{32},{I}_{y}=\frac{\pi }{8},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{5\pi }{32};$ b. ${R}_{x}=\frac{1}{4},{R}_{y}=\frac{1}{2},\text{and}\,{R}_{0}=\frac{\sqrt{5}}{4}$

원본 교재 풀이(영어)

a. ${I}_{x}=\frac{\pi }{32},{I}_{y}=\frac{\pi }{8},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{5\pi }{32};$ b. ${R}_{x}=\frac{1}{4},{R}_{y}=\frac{1}{2},\text{and}\,{R}_{0}=\frac{\sqrt{5}}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 29번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

330.OpenStax 3권 · 5.6절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 영역 $R$ 을 차지하고 연습문제의 처음 두 묶음에서 주어진 밀도 함수 $\rho$ 를 갖는 얇은 판을 생각하세요.

a. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 관성 모멘트 ${I}_{x},{I}_{y},$ ${I}_{0}$ 을 각각 구하세요. b. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 회전 반지름을 각각 구하세요.

$R=\{(x,y)|9{x}^{2}+{y}^{2}\le 1,x\ge 0,y\ge 0\};\rho (x,y)=\sqrt{9{x}^{2}+{y}^{2}}.$

영어 원문 보기

In the following exercises, consider a lamina occupying the region $R$ and having the density function $\rho$ given in the first two groups of Exercises.

a. Find the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},$ and ${I}_{0}$ about the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively. b. Find the radii of gyration with respect to the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively.

$R=\{(x,y)|9{x}^{2}+{y}^{2}\le 1,x\ge 0,y\ge 0\};\rho (x,y)=\sqrt{9{x}^{2}+{y}^{2}}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 55번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

331.OpenStax 3권 · 5.6절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 앞의 두 묶음의 연습문제에서 주어진 영역 $R$ 을 차지하고 밀도 함수 $\rho$ 를 갖는 얇은 판을 생각한다.

a. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y}$ 와 ${I}_{0}$ 를 각각 구하세요. b. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 회전반지름을 각각 구하세요.

$R$ 은 $y=x,y=-x,y=x+2,\text{그리고}\,y=-x+2$ 로 둘러싸인 영역이고, $\rho (x,y)=1$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, consider a lamina occupying the region $R$ and having the density function $\rho$ given in the first two groups of Exercises.

a. Find the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},$ and ${I}_{0}$ about the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively. b. Find the radii of gyration with respect to the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively.

$R$ is the region bounded by $y=x,y=-x,y=x+2,\text{and}\,y=-x+2;$ $\rho (x,y)=1.$

정답·풀이 보기

a. ${I}_{x}=\frac{7}{3},{I}_{y}=\frac{1}{3},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{8}{3};$ b. ${R}_{x}=\frac{\sqrt{42}}{6},{R}_{y}=\frac{\sqrt{6}}{6},\text{and}\,{R}_{0}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

a. ${I}_{x}=\frac{7}{3},{I}_{y}=\frac{1}{3},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{8}{3};$ b. ${R}_{x}=\frac{\sqrt{42}}{6},{R}_{y}=\frac{\sqrt{6}}{6},\text{and}\,{R}_{0}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.3절 · 10번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

332.OpenStax 3권 · 5.6절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 영역 $R$ 을 차지하고 처음 두 묶음의 연습문제에 주어진 밀도 함수 $\rho$ 를 갖는 얇은 판을 생각하세요.

a. $x$ 축, $y$ 축, 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y}$ , 그리고 ${I}_{0}$ 을 각각 구하세요. b. $x$ 축, $y$ 축, 원점에 대한 회전반지름을 각각 구하세요.

$R$ 은 $y=\frac{1}{x},y=\frac{2}{x},y=1,\text{그리고}\,y=2;\rho (x,y)=4(x+y)$ 로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

In the following exercises, consider a lamina occupying the region $R$ and having the density function $\rho$ given in the first two groups of Exercises.

a. Find the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},$ and ${I}_{0}$ about the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively. b. Find the radii of gyration with respect to the $x\text{-axis},$ $y\text{-axis},$ and origin, respectively.

$R$ is the region bounded by $y=\frac{1}{x},y=\frac{2}{x},y=1,\text{and}\,y=2;\rho (x,y)=4(x+y).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 37번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

333.OpenStax 3권 · 5.6절 · 37번대학 수준우리말 번역

$Q$ 를 단위 정육면체라 하자. 밀도 $\rho$ 가 $Q$ 의 임의의 점에서 $xy\text{-plane}$ 까지 거리의 제곱과 같을 때, 이 입체의 질량을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $Q$ be the solid unit cube. Find the mass of the solid if its density $\rho$ is equal to the square of the distance of an arbitrary point of $Q$ to the $xy\text{-plane}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$m=\frac{1}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$m=\frac{1}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 25번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

334.OpenStax 3권 · 5.6절 · 38번대학 수준우리말 번역

$Q$ 를 단위 반구 입체라 하자. 밀도 $\rho$ 가 $Q$ 의 임의의 점에서 원점까지의 거리와 같을 때, 이 입체의 질량을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $Q$ be the solid unit hemisphere. Find the mass of the solid if its density $\rho$ is equal to the distance of an arbitrary point of $Q$ to the origin.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 41번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

335.OpenStax 3권 · 5.6절 · 39번대학 수준우리말 번역

상수 밀도 $1$ 인 입체 $Q$ 가 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=16$ 의 안쪽, 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1$ 의 바깥쪽에 놓여 있다. 이 입체의 질량중심이 입체 안에 위치하지 않음을 보이세요.

영어 원문 보기

The solid $Q$ of constant density $1$ is situated inside the sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=16$ and outside the sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1.$ Show that the center of mass of the solid is not located within the solid.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.3절 · 2번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류

336.OpenStax 3권 · 5.6절 · 40번대학 수준우리말 번역

밀도가 $\rho (x,y,z)=k$ 인 입체 $Q=\{(x,y,z)|1\le {x}^{2}+{z}^{2}\le 25,y\le 1-{x}^{2}-{z}^{2}\}$ 의 질량을 구하세요. 단, $k>0$ 이다.

영어 원문 보기

Find the mass of the solid $Q=\{(x,y,z)|1\le {x}^{2}+{z}^{2}\le 25,y\le 1-{x}^{2}-{z}^{2}\}$ whose density is $\rho (x,y,z)=k,$ where $k>0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.3절 · 9번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

337.OpenStax 3권 · 5.6절 · 41번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 입체 $Q=\{(x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}\le 9,0\le z\le 1,x\ge 0,y\ge 0\}$ 의 밀도는 $xy$ 평면까지의 거리와 같습니다. CAS를 사용하여 다음 물음에 답하세요.

a. $Q$ 의 질량을 구하세요. b. $xy$ 평면, $xz$ 평면, $yz$ 평면에 대한 모멘트 ${M}_{xy},{M}_{xz},\text{그리고}\,{M}_{yz}$ 를 각각 구하세요. c. $Q$ 의 질량중심을 구하세요. d. $Q$ 의 그래프를 그리고 질량중심의 위치를 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] The solid $Q=\{(x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}\le 9,0\le z\le 1,x\ge 0,y\ge 0\}$ has density equal to the distance to the $xy\text{-plane}.$ Use a CAS to answer the following questions.

a. Find the mass of $Q.$ b. Find the moments ${M}_{xy},{M}_{xz},\text{and}\,{M}_{yz}$ about the $xy\text{-plane,}$ $xz\text{-plane,}$ and $yz\text{-plane,}$ respectively. c. Find the center of mass of $Q.$ d. Graph $Q$ and locate its center of mass.

정답·풀이 보기

a. $m=\frac{9\pi }{8};$ b. ${M}_{xy}=\frac{3\pi }{4},{M}_{xz}=\frac{9}{2},{M}_{yz}=\frac{9}{2};$ c. $\overset{-}{x}=\frac{4}{\pi },\overset{-}{y}=\frac{4}{\pi },\overset{-}{z}=\frac{2}{3};$ d. 입체 $Q$ 와 그 질량중심은 다음 그림과 같다.

제1사분면에 있는, 높이가 1이고 반지름이 3인 사분원기둥이다. 점 (9/(2 pi), 9/(2 pi), 2/3)이 표시되어 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $m=\frac{9\pi }{8};$ b. ${M}_{xy}=\frac{3\pi }{4},{M}_{xz}=\frac{9}{2},{M}_{yz}=\frac{9}{2};$ c. $\overset{-}{x}=\frac{4}{\pi },\overset{-}{y}=\frac{4}{\pi },\overset{-}{z}=\frac{2}{3};$ d. the solid $Q$ and its center of mass are shown in the following figure.

A quarter cylinder in the first quadrant with height 1 and radius 3. A point is marked at (9/(2 pi), 9/(2 pi), 2/3).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 43번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)그래프·표 해석자동 분류

338.OpenStax 3권 · 5.6절 · 42번대학 수준우리말 번역

밀도 함수 $\rho (x,y,z)=x+y+1$ 을 갖는 입체 $Q=\{(x,y,z)|0\le x\le 1,0\le y\le 2,0\le z\le 3\}$ 을 생각하세요.

a. $Q$ 의 질량을 구하세요. b. $xy\text{-평면,}$ $xz\text{-평면,}$ $yz\text{-평면}$ 에 대한 모멘트 ${M}_{xy},{M}_{xz},\text{그리고}\,{M}_{yz}$ 를 각각 구하세요. c. $Q$ 의 질량중심을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the solid $Q=\{(x,y,z)|0\le x\le 1,0\le y\le 2,0\le z\le 3\}$ with the density function $\rho (x,y,z)=x+y+1.$

a. Find the mass of $Q.$ b. Find the moments ${M}_{xy},{M}_{xz},\text{and}\,{M}_{yz}$ about the $xy\text{-plane,}$ $xz\text{-plane,}$ and $yz\text{-plane,}$ respectively. c. Find the center of mass of $Q.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 33번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

339.OpenStax 3권 · 5.6절 · 43번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 입체 $Q$ 의 질량이 삼중적분 $\int_{-1}^{1}\,\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\,\int_{0}^{1}{r}^{2}dr\,d\theta \,dz$ 로 주어진다. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 다음 물음에 답하세요.

a. $Q$ 의 무게중심이 $xy\text{-평면}$ 위에 있음을 보이세요. b. $Q$ 의 그래프를 그리고 무게중심의 위치를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The solid $Q$ has the mass given by the triple integral $\int_{-1}^{1}\,\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\,\int_{0}^{1}{r}^{2}dr\,d\theta \,dz.$ Use a CAS to answer the following questions.

a. Show that the center of mass of $Q$ is located in the $xy\text{-plane.}$ b. Graph $Q$ and locate its center of mass.

정답·풀이 보기

a. $\overset{-}{x}=\frac{3\sqrt{2}}{2\pi },\overset{-}{y}=\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{2\pi },\overset{-}{z}=0;$ b. 입체 $Q$ 와 그 무게중심은 다음 그림과 같다.

제1사분면에 있는 원기둥의 쐐기 모양 부분으로, 높이는 2, 반지름은 1, 각은 약 45도이다. 점 (3 곱하기 2의 제곱근/(2 파이), 3 곱하기 (2 빼기 2의 제곱근)/(2 파이), 0)이 표시되어 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\overset{-}{x}=\frac{3\sqrt{2}}{2\pi },\overset{-}{y}=\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{2\pi },\overset{-}{z}=0;$ b. the solid $Q$ and its center of mass are shown in the following figure.

A wedge from a cylinder in the first quadrant with height 2, radius 1, and angle roughly 45 degrees. A point is marked at (3 times the square root of 2/(2 pi), 3 times (2 minus the square root of 2)/(2 pi), 0).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 35번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류

340.OpenStax 3권 · 5.6절 · 44번대학 수준우리말 번역

입체 $Q$ 는 평면 $x+4y+z=8,x=0,y=0,\text{그리고}\,z=0$ 으로 둘러싸여 있다. 각 점에서의 밀도는 그 점에서 $xz\text{-plane}$ 까지의 거리와 같다. $xz\text{-plane}$ 에 대한 이 입체의 관성 모멘트 ${I}_{y}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The solid $Q$ is bounded by the planes $x+4y+z=8,x=0,y=0,\text{and}\,z=0.$ Its density at any point is equal to the distance to the $xz\text{-plane}.$ Find the moment of inertia ${I}_{y}$ of the solid about the $xz\text{-plane}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 43번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류