빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

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691문제 · 18 / 35쪽

341.OpenStax 3권 · 5.6절 · 45번대학 수준우리말 번역

입체 QQ 는 평면 x+y+z=3,x+y+z=3, x=0,y=0x=0,y=0, 그리고 z=0z=0 으로 둘러싸여 있다. 밀도는 ρ(x,y,z)=x+ay\rho (x,y,z)=x+ay 이고, 여기서 a>0a>0 이다. aa 의 값에 관계없이 이 입체의 질량중심이 평면 z=35z=\frac{3}{5} 위에 있음을 보이세요.

영어 원문 보기

The solid QQ is bounded by the planes x+y+z=3,x+y+z=3, x=0,y=0,x=0,y=0, and z=0.z=0. Its density is ρ(x,y,z)=x+ay,\rho (x,y,z)=x+ay, where a>0.a>0. Show that the center of mass of the solid is located in the plane z=35z=\frac{3}{5} for any value of a.a.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 55번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
342.OpenStax 3권 · 5.6절 · 46번대학 수준우리말 번역

QQ 를 구 x2+y2+z2=z{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=z 의 바깥쪽이면서 위쪽 반구 x2+y2+z2=R2{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2} 의 안쪽에 있는 입체라 하자. 여기서 R>1R>1 이다. 이 입체의 밀도가 ρ(x,y,z)=1x2+y2+z2\rho (x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}} 일 때, 입체의 질량이 7π2\frac{7\pi }{2} 가 되도록 하는 RR 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let QQ be the solid situated outside the sphere x2+y2+z2=z{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=z and inside the upper hemisphere x2+y2+z2=R2,{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}, where R>1.R>1. If the density of the solid is ρ(x,y,z)=1x2+y2+z2,\rho (x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}, find RR such that the mass of the solid is 7π2.\frac{7\pi }{2}.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 3번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
343.OpenStax 3권 · 5.6절 · 47번대학 수준우리말 번역

입체 QQ 의 질량이 ∫022 ∫08−x2 ∫x2+y216−x2−y2(x2+y2+z2)ndz dy dx\int_{0}^{2\sqrt{2}}\,\int_{0}^{\sqrt{8-{x}^{2}}}\,\int_{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{n}dz\,dy\,dx 로 주어진다. 여기서 nn 은 정수이다. 입체의 질량이 (2−2)π\left(2-\sqrt{2}\right)\pi 가 되도록 하는 nn 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

The mass of a solid QQ is given by ∫022 ∫08−x2 ∫x2+y216−x2−y2(x2+y2+z2)ndz dy dx,\int_{0}^{2\sqrt{2}}\,\int_{0}^{\sqrt{8-{x}^{2}}}\,\int_{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{n}dz\,dy\,dx, where nn is an integer. Determine nn such that the mass of the solid is (2−2)π.\left(2-\sqrt{2}\right)\pi .

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

n=−1n=-1

원본 교재 풀이(영어)

n=−1n=-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 27번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
344.OpenStax 3권 · 5.6절 · 48번대학 수준우리말 번역

QQ 를 원뿔 x2+y2=z2{x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2} 의 위쪽, 구 x2+y2+z2−4kz=0{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-4kz=0 의 아래쪽에 있는 입체라 하자. 이 입체의 밀도는 상수 k>0k>0 이다. 입체의 질량중심이 원점으로부터 77 단위 떨어져 있도록 하는 kk 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let QQ be the solid above the cone x2+y2=z2{x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2} and below the sphere x2+y2+z2−4kz=0.{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-4kz=0. Its density is a constant k>0.k>0. Find kk such that the center of mass of the solid is situated 77 units from the origin.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.3절 · 7번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
345.OpenStax 3권 · 5.6절 · 49번대학 수준우리말 번역

입체 Q={(x,y,z)∣0≤x2+y2≤16,x≥0,y≥0,0≤z≤x}Q=\{(x,y,z)|0\le {x}^{2}+{y}^{2}\le 16,x\ge 0,y\ge 0,0\le z\le x\} 의 밀도는 ρ(x,y,z)=k\rho (x,y,z)=k 이다. xy-planexy\text{-plane} 에 대한 모멘트 Mxy{M}_{xy} 가 yz-planeyz\text{-plane} 에 대한 모멘트 Myz{M}_{yz} 의 절반임을 보이세요.

영어 원문 보기

The solid Q={(x,y,z)∣0≤x2+y2≤16,x≥0,y≥0,0≤z≤x}Q=\{(x,y,z)|0\le {x}^{2}+{y}^{2}\le 16,x\ge 0,y\ge 0,0\le z\le x\} has the density ρ(x,y,z)=k.\rho (x,y,z)=k. Show that the moment Mxy{M}_{xy} about the xy-planexy\text{-plane} is half of the moment Myz{M}_{yz} about the yz-plane.yz\text{-plane}.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.4절 · 2번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
346.OpenStax 3권 · 5.6절 · 50번대학 수준우리말 번역

입체 QQ 는 원기둥 x2+y2=a2{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}, 포물면 b2−z=x2+y2{b}^{2}-z={x}^{2}+{y}^{2}, 그리고 xy-plane,xy\text{-plane,} 으로 유계이다. 여기서 0<a<b0<a<b 이다. 밀도가 ρ(x,y,z)=x2+y2\rho (x,y,z)=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} 로 주어질 때, 이 입체의 질량을 구하세요.

영어 원문 보기

The solid QQ is bounded by the cylinder x2+y2=a2,{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}, the paraboloid b2−z=x2+y2,{b}^{2}-z={x}^{2}+{y}^{2}, and the xy-plane,xy\text{-plane,} where 0<a<b.0<a<b. Find the mass of the solid if its density is given by ρ(x,y,z)=x2+y2.\rho (x,y,z)=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.3절 · 6번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
347.OpenStax 3권 · 5.6절 · 51번대학 수준우리말 번역

QQ 를 제1팔분공간에 있고, 원뿔 x2+y2=9(z−1)2{x}^{2}+{y}^{2}=9{(z-1)}^{2} 의 안쪽, 평면 z=0z=0 의 위쪽에 있는 상수 밀도 kk (k>0k>0) 의 입체라 하자. xy-planexy\text{-plane} 에 대한 모멘트 Mxy{M}_{xy} 가 yz-planeyz\text{-plane} 에 대한 모멘트 Myz{M}_{yz} 와 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Let QQ be a solid of constant density k,k, where k>0,k>0, that is located in the first octant, inside the circular cone x2+y2=9(z−1)2,{x}^{2}+{y}^{2}=9{(z-1)}^{2}, and above the plane z=0.z=0. Show that the moment Mxy{M}_{xy} about the xy-planexy\text{-plane} is the same as the moment Myz{M}_{yz} about the yz-plane.yz\text{-plane}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 27번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
348.OpenStax 3권 · 5.6절 · 52번대학 수준우리말 번역

입체 QQ 의 질량이 삼중적분 ∫01 ∫0π/2 ∫0r2(r4+r)dz dθ dr\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{\pi /2}\,\int_{0}^{{r}^{2}}({r}^{4}+r)dz\,d\theta \,dr 로 주어진다.

a. 이 입체의 밀도를 직교좌표로 구하세요. b. xy-planexy\text{-plane} 에 대한 모멘트 Mxy{M}_{xy} 를 구하세요.

영어 원문 보기

The solid QQ has the mass given by the triple integral ∫01 ∫0π/2 ∫0r2(r4+r)dz dθ dr.\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{\pi /2}\,\int_{0}^{{r}^{2}}({r}^{4}+r)dz\,d\theta \,dr.

a. Find the density of the solid in rectangular coordinates. b. Find the moment Mxy{M}_{xy} about the xy-plane.xy\text{-plane}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 1번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
349.OpenStax 3권 · 5.6절 · 53번대학 수준우리말 번역

입체 QQ 의 yz-평면yz\text{-평면}에 대한 관성 모멘트 Ix{I}_{x} 가 삼중적분 ∫02 ∫−4−y24−y2 ∫12(x2+y2)x2+y2(y2+z2)(x2+y2)dz dx dy\int_{0}^{2}\,\int_{-\sqrt{4-{y}^{2}}}^{\sqrt{4-{y}^{2}}}\,\int_{\frac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})}^{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}({y}^{2}+{z}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})dz\,dx\,dy 로 주어진다.

a. QQ 의 밀도를 구하세요. b. xy-평면xy\text{-평면}에 대한 관성 모멘트 Iz{I}_{z} 를 구하세요.

영어 원문 보기

The solid QQ has the moment of inertia Ix{I}_{x} about the yz-planeyz\text{-plane} given by the triple integral ∫02 ∫−4−y24−y2 ∫12(x2+y2)x2+y2(y2+z2)(x2+y2)dz dx dy.\int_{0}^{2}\,\int_{-\sqrt{4-{y}^{2}}}^{\sqrt{4-{y}^{2}}}\,\int_{\frac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})}^{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}({y}^{2}+{z}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})dz\,dx\,dy.

a. Find the density of Q.Q. b. Find the moment of inertia Iz{I}_{z} about the xy-plane.xy\text{-plane.}

정답·풀이 보기

a. ρ(x,y,z)=x2+y2;\rho (x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}; b. 16π7\frac{16\pi }{7}

원본 교재 풀이(영어)

a. ρ(x,y,z)=x2+y2;\rho (x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}; b. 16π7\frac{16\pi }{7}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 55번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
350.OpenStax 3권 · 5.6절 · 54번대학 수준우리말 번역

입체 QQ 의 질량이 삼중적분 ∫0π/4 ∫02 sec⁡ θ ∫01(r3cos⁡ θ sin⁡ θ+2r)dz dr dθ\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{0}^{2\,\sec \,\theta }\,\int_{0}^{1}({r}^{3}\cos \,\theta \,\sin \,\theta +2r)dz\,dr\,d\theta 로 주어진다.

a. 이 입체의 밀도를 직교좌표로 구하세요. b. xz-평면xz\text{-평면}에 대한 모멘트 Mxz{M}_{xz} 를 구하세요.

영어 원문 보기

The solid QQ has the mass given by the triple integral ∫0π/4 ∫02 sec⁡ θ ∫01(r3cos⁡ θ sin⁡ θ+2r)dz dr dθ.\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{0}^{2\,\sec \,\theta }\,\int_{0}^{1}({r}^{3}\cos \,\theta \,\sin \,\theta +2r)dz\,dr\,d\theta .

a. Find the density of the solid in rectangular coordinates. b. Find the moment Mxz{M}_{xz} about the xz-plane.xz\text{-plane.}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 35번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
351.OpenStax 3권 · 5.6절 · 55번대학 수준우리말 번역

QQ 를 xy-평면xy\text{-평면}, 원기둥 x2+y2=a2{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}, 평면 z=1z=1 로 둘러싸인 입체라 하자. 여기서 a>1a>1 은 실수이다. 원기둥좌표로 나타낸 밀도가 ρ(r,θ,z)=d2fdr2(r)\rho (r,\theta ,z)=\frac{{d}^{2}f}{d{r}^{2}}(r) 일 때, 이 입체의 xy-평면xy\text{-평면}에 대한 모멘트 Mxy{M}_{xy} 를 구하세요. 단, ff 는 미분가능한 함수이고 (0,a)(0,a) 에서 1계 도함수와 2계 도함수가 연속이며 미분가능하다.

영어 원문 보기

Let QQ be the solid bounded by the xy-plane,xy\text{-plane}, the cylinder x2+y2=a2,{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}, and the plane z=1,z=1, where a>1a>1 is a real number. Find the moment Mxy{M}_{xy} of the solid about the xy-planexy\text{-plane} if its density given in cylindrical coordinates is ρ(r,θ,z)=d2fdr2(r),\rho (r,\theta ,z)=\frac{{d}^{2}f}{d{r}^{2}}(r), where ff is a differentiable function with the first and second derivatives continuous and differentiable on (0,a).(0,a).

정답·풀이 보기

Mxy=π(f(0)−f(a)+af′(a)){M}_{xy}=\pi (f(0)-f(a)+a{f}^{'}(a))

원본 교재 풀이(영어)

Mxy=π(f(0)−f(a)+af′(a)){M}_{xy}=\pi (f(0)-f(a)+a{f}^{'}(a))

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 59번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
352.OpenStax 3권 · 5.6절 · 56번대학 수준우리말 번역

입체 QQ 의 부피가 ∬D∫abdz dA\iint_{D}\int_{a}^{b}dz\,dA 로 주어진다. 여기서 DD 는 입체를 xy-평면xy\text{-평면}에 사영한 영역이고 a<ba<b 는 실수이며, 밀도는 변수 zz 에 의존하지 않는다. 이 입체의 무게중심이 평면 z=a+b2z=\frac{a+b}{2} 위에 있음을 보이세요.

영어 원문 보기

A solid QQ has a volume given by ∬D∫abdz dA,\iint_{D}\int_{a}^{b}dz\,dA, where DD is the projection of the solid onto the xy-planexy\text{-plane} and a<ba<b are real numbers, and its density does not depend on the variable z.z. Show that its center of mass lies in the plane z=a+b2.z=\frac{a+b}{2}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 29번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
353.OpenStax 3권 · 5.6절 · 57번대학 수준우리말 번역

원기둥 x2+z2=a2{x}^{2}+{z}^{2}={a}^{2} 과 두 평면 y=by=b, y=cy=c 로 둘러싸인 입체를 생각하자. 여기서 a>0a>0 이고 b<cb<c 는 실수이다. QQ 의 밀도는 ρ(x,y,z)=f′(y)\rho (x,y,z)=f'(y) 로 주어지며, ff 는 미분가능한 함수이고 그 도함수는 (b,c)(b,c) 에서 연속이다. f(b)=f(c)f(b)=f(c) 이면 QQ 의 xz-평면xz\text{-평면}에 대한 관성 모멘트가 0임을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider the solid enclosed by the cylinder x2+z2=a2{x}^{2}+{z}^{2}={a}^{2} and the planes y=by=b and y=c,y=c, where a>0a>0 and b<cb<c are real numbers. The density of QQ is given by ρ(x,y,z)=f′(y),\rho (x,y,z)=f'(y), where ff is a differential function whose derivative is continuous on (b,c).(b,c). Show that if f(b)=f(c),f(b)=f(c), then the moment of inertia about the xz-planexz\text{-plane} of QQ is null.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.4절 · 1번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
354.OpenStax 3권 · 5.6절 · 58번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 고체 QQ 의 평균 밀도는 ρave=1V(Q)∭Qρ(x,y,z)dV=mV(Q){\rho }_{ave}=\frac{1}{V(Q)}\iiint_{Q}\rho (x,y,z)dV=\frac{m}{V(Q)} 로 정의됩니다. 여기서 V(Q)V(Q) 와 mm 은 각각 QQ 의 부피와 질량입니다. 원점을 중심으로 하는 단위구의 밀도가 ρ(x,y,z)=e−x2−y2−z2\rho (x,y,z)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}} 일 때, 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 이 단위구의 평균 밀도를 구하세요. 답을 반올림하여 소수 셋째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] The average density of a solid QQ is defined as ρave=1V(Q)∭Qρ(x,y,z)dV=mV(Q),{\rho }_{ave}=\frac{1}{V(Q)}\iiint_{Q}\rho (x,y,z)dV=\frac{m}{V(Q)}, where V(Q)V(Q) and mm are the volume and the mass of Q,Q, respectively. If the density of the unit ball centered at the origin is ρ(x,y,z)=e−x2−y2−z2,\rho (x,y,z)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}, use a CAS to find its average density. Round your answer to three decimal places.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.3절 · 5번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
355.OpenStax 3권 · 5.6절 · 59번대학 수준우리말 번역

원점을 중심으로 하고 밀도가 ρ(x,y,z)=e−x2−y2−z2\rho (x,y,z)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}} 인 단위 구의 yz-평면,yz\text{-평면,} xz-평면,xz\text{-평면,} xy-평면xy\text{-평면} 에 대한 관성모멘트 Ix,Iy,그리고 Iz{I}_{x},{I}_{y},\text{그리고}\,{I}_{z} 가 각각 서로 같음을 보이세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

Show that the moments of inertia Ix,Iy,and Iz{I}_{x},{I}_{y},\text{and}\,{I}_{z} about the yz-plane,yz\text{-plane,} xz-plane,xz\text{-plane,} and xy-plane,xy\text{-plane,} respectively, of the unit ball centered at the origin whose density is ρ(x,y,z)=e−x2−y2−z2\rho (x,y,z)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}} are the same. Round your answer to two decimal places.

정답·풀이 보기

Ix=Iy=Iz≃0.84{I}_{x}={I}_{y}={I}_{z}\simeq 0.84

원본 교재 풀이(영어)

Ix=Iy=Iz≃0.84{I}_{x}={I}_{y}={I}_{z}\simeq 0.84

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.3절 · 8번
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
356.OpenStax 3권 · 5.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 단위 정사각형으로 둘러싸인 영역 S={(u,v)∣0≤u≤1,0≤v≤1}S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\} 위에서 함수 T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S\to R,T(u,v)=(x,y) 가 주어져 있다. 여기서 R⊂R2R\subset {\mathbb{R}}^{2} 는 TT 에 의한 SS 의 상이다.

a. 함수 TT 가 C1{C}^{1} 변환임을 설명하세요. b. 단위 정사각형 SS 의 꼭짓점들이 함수 TT 에 의해 옮겨지는 상을 구하세요. c. 단위 정사각형 SS 의 상 RR 을 구하고 그래프를 그리세요.

x=2u,y=3vx=2u,y=3v

영어 원문 보기

In the following exercises, the function T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S\to R,T(u,v)=(x,y) on the region S={(u,v)∣0≤u≤1,0≤v≤1}S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\} bounded by the unit square is given, where R⊂R2R\subset {\mathbb{R}}^{2} is the image of SS under T.T.

a. Justify that the function TT is a C1{C}^{1} transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square SS through the function T.T. c. Determine the image RR of the unit square SS and graph it.

x=2u,y=3vx=2u,y=3v

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 40번
# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
357.OpenStax 3권 · 5.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 단위 정사각형으로 둘러싸인 영역 S={(u,v)∣0≤u≤1,0≤v≤1}S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\} 위에서 함수 T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S\to R,T(u,v)=(x,y) 가 주어져 있다. 여기서 R⊂R2R\subset {\mathbb{R}}^{2} 는 TT 에 의한 SS 의 상이다.

a. 함수 TT 가 C1{C}^{1} 변환임을 설명하세요. b. 단위 정사각형 SS 의 꼭짓점들이 함수 TT 에 의해 옮겨지는 상을 구하세요. c. 단위 정사각형 SS 의 상 RR 을 구하고 그래프를 그리세요.

x=u2,y=v3x=\frac{u}{2},y=\frac{v}{3}

영어 원문 보기

In the following exercises, the function T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S\to R,T(u,v)=(x,y) on the region S={(u,v)∣0≤u≤1,0≤v≤1}S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\} bounded by the unit square is given, where R⊂R2R\subset {\mathbb{R}}^{2} is the image of SS under T.T.

a. Justify that the function TT is a C1{C}^{1} transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square SS through the function T.T. c. Determine the image RR of the unit square SS and graph it.

x=u2,y=v3x=\frac{u}{2},y=\frac{v}{3}

정답·풀이 보기

a. T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=u2T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=\frac{u}{2} 이고 y=h(u,v)=v3y=h(u,v)=\frac{v}{3}. 함수 gg 와 hh 는 연속이고 미분가능하며, 편도함수 gu(u,v)=12,{g}_{u}(u,v)=\frac{1}{2}, gv(u,v)=0,hu(u,v)=0 그리고 hv(u,v)=13{g}_{v}(u,v)=0,{h}_{u}(u,v)=0\,\text{그리고}\,{h}_{v}(u,v)=\frac{1}{3} 은 SS 에서 연속이다; b. T(0,0)=(0,0),T(0,0)=(0,0), T(1,0)=(12,0),T(0,1)=(0,13)T(1,0)=\left(\frac{1}{2},0\right),T(0,1)=\left(0,\frac{1}{3}\right), 그리고 T(1,1)=(12,13);T(1,1)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right); c. RR 은 xy-평면xy\text{-평면} 에서 꼭짓점이 (0,0),(12,0),(12,13),그리고 (0,13)(0,0),\left(\frac{1}{2},0\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right),\text{그리고}\,\left(0,\frac{1}{3}\right) 인 직사각형이다; 다음 그림과 같다.

한 꼭짓점이 원점에 있고, 가로 길이가 0.5, 세로 높이가 0.34인 직사각형.

원본 교재 풀이(영어)

a. T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=u2T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=\frac{u}{2} and y=h(u,v)=v3.y=h(u,v)=\frac{v}{3}. The functions gg and hh are continuous and differentiable, and the partial derivatives gu(u,v)=12,{g}_{u}(u,v)=\frac{1}{2}, gv(u,v)=0,hu(u,v)=0 and hv(u,v)=13{g}_{v}(u,v)=0,{h}_{u}(u,v)=0\,\text{and}\,{h}_{v}(u,v)=\frac{1}{3} are continuous on S;S; b. T(0,0)=(0,0),T(0,0)=(0,0), T(1,0)=(12,0),T(0,1)=(0,13),T(1,0)=\left(\frac{1}{2},0\right),T(0,1)=\left(0,\frac{1}{3}\right), and T(1,1)=(12,13);T(1,1)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right); c. RR is the rectangle of vertices (0,0),(12,0),(12,13),and (0,13)(0,0),\left(\frac{1}{2},0\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right),\text{and}\,\left(0,\frac{1}{3}\right) in the xy-plane;xy\text{-plane;} the following figure.

A rectangle with one corner at the origin, horizontal length 0.5, and vertical height 0.34.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 4번
# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
358.OpenStax 3권 · 5.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 단위정사각형으로 둘러싸인 영역 S={(u,v)∣0≤u≤1,0≤v≤1}S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\} 위에서 함수 T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S\to R,T(u,v)=(x,y) 가 주어져 있다. 여기서 R⊂R2R\subset {\mathbb{R}}^{2} 는 TT 에 의한 SS 의 상이다.

a. 함수 TT 가 C1{C}^{1} 변환임을 설명하세요. b. 함수 TT 에 의한 단위정사각형 SS 의 꼭짓점들의 상을 구하세요. c. 단위정사각형 SS 의 상 RR 을 구하고 그 그래프를 그리세요.

x=u−v,y=u+vx=u-v,y=u+v

영어 원문 보기

In the following exercises, the function T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S\to R,T(u,v)=(x,y) on the region S={(u,v)∣0≤u≤1,0≤v≤1}S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\} bounded by the unit square is given, where R⊂R2R\subset {\mathbb{R}}^{2} is the image of SS under T.T.

a. Justify that the function TT is a C1{C}^{1} transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square SS through the function T.T. c. Determine the image RR of the unit square SS and graph it.

x=u−v,y=u+vx=u-v,y=u+v

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 60번
# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
359.OpenStax 3권 · 5.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 단위 정사각형으로 둘러싸인 영역 S={(u,v)∣0≤u≤1,0≤v≤1}S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\} 위에서 함수 T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S\to R,T(u,v)=(x,y) 가 주어져 있다. 여기서 R⊂R2R\subset {\mathbb{R}}^{2} 는 TT 에 의한 SS 의 상이다.

a. 함수 TT 가 C1{C}^{1} 변환임을 보이세요. b. 함수 TT 에 의한 단위 정사각형 SS 의 꼭짓점들의 상을 구하세요. c. 단위 정사각형 SS 의 상 RR 을 구하고 그래프를 그리세요.

x=2u−v,y=u+2vx=2u-v,y=u+2v

영어 원문 보기

In the following exercises, the function T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S\to R,T(u,v)=(x,y) on the region S={(u,v)∣0≤u≤1,0≤v≤1}S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\} bounded by the unit square is given, where R⊂R2R\subset {\mathbb{R}}^{2} is the image of SS under T.T.

a. Justify that the function TT is a C1{C}^{1} transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square SS through the function T.T. c. Determine the image RR of the unit square SS and graph it.

x=2u−v,y=u+2vx=2u-v,y=u+2v

정답·풀이 보기

a. T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=2u−vT(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=2u-v, 그리고 y=h(u,v)=u+2vy=h(u,v)=u+2v. 함수 gg 와 hh 는 연속이고 미분가능하며, 편도함수 gu(u,v)=2,{g}_{u}(u,v)=2, gv(u,v)=−1,{g}_{v}(u,v)=-1, hu(u,v)=1{h}_{u}(u,v)=1, 그리고 hv(u,v)=2{h}_{v}(u,v)=2 는 SS 에서 연속이다; b. T(0,0)=(0,0),T(0,0)=(0,0), T(1,0)=(2,1),T(1,0)=(2,1), T(0,1)=(−1,2)T(0,1)=(-1,2), 그리고 T(1,1)=(1,3);T(1,1)=(1,3); c. RR 은 xy-평면xy\text{-평면} 에서 꼭짓점이 (0,0),(2,1),(1,3),그리고 (−1,2)(0,0),(2,1),(1,3),\text{그리고}\,(-1,2) 인 정사각형이다; 다음 그림을 보라.

한 변의 길이가 5의 제곱근인 정사각형으로, 한 꼭짓점은 원점에 있고 다른 한 꼭짓점은 (2, 1)에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=2u−v,T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=2u-v, and y=h(u,v)=u+2v.y=h(u,v)=u+2v. The functions gg and hh are continuous and differentiable, and the partial derivatives gu(u,v)=2,{g}_{u}(u,v)=2, gv(u,v)=−1,{g}_{v}(u,v)=-1, hu(u,v)=1,{h}_{u}(u,v)=1, and hv(u,v)=2{h}_{v}(u,v)=2 are continuous on S;S; b. T(0,0)=(0,0),T(0,0)=(0,0), T(1,0)=(2,1),T(1,0)=(2,1), T(0,1)=(−1,2),T(0,1)=(-1,2), and T(1,1)=(1,3);T(1,1)=(1,3); c. RR is the sqaure of vertices (0,0),(2,1),(1,3),and (−1,2)(0,0),(2,1),(1,3),\text{and}\,(-1,2) in the xy-plane;xy\text{-plane;} see the following figure.

A square of side length square root of 5 with one corner at the origin and another at (2, 1).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 6번
# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
360.OpenStax 3권 · 5.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 단위정사각형으로 둘러싸인 영역 S={(u,v)∣0≤u≤1,0≤v≤1}S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\} 위에서 함수 T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S\to R,T(u,v)=(x,y) 가 주어져 있다. 여기서 R⊂R2R\subset {\mathbb{R}}^{2} 는 TT 에 의한 SS 의 상이다.

a. 함수 TT 가 C1{C}^{1} 변환임을 설명하세요. b. 함수 TT 에 의한 단위정사각형 SS 의 꼭짓점들의 상을 구하세요. c. 단위정사각형 SS 의 상 RR 을 구하고 그 그래프를 그리세요.

x=u2,y=v2x={u}^{2},y={v}^{2}

영어 원문 보기

In the following exercises, the function T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S\to R,T(u,v)=(x,y) on the region S={(u,v)∣0≤u≤1,0≤v≤1}S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\} bounded by the unit square is given, where R⊂R2R\subset {\mathbb{R}}^{2} is the image of SS under T.T.

a. Justify that the function TT is a C1{C}^{1} transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square SS through the function T.T. c. Determine the image RR of the unit square SS and graph it.

x=u2,y=v2x={u}^{2},y={v}^{2}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 8번
# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)