다중적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

281.OpenStax 3권 · 5.5절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 경계가 직교좌표로 주어진 입체 $E$ 의 부피를 구하세요.

$E=\{(x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-2z\le 0,\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\le z\}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the volume of the solid $E$ whose boundaries are given in rectangular coordinates.

$E=\{(x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-2z\le 0,\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\le z\}$

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$\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 39번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

282.OpenStax 3권 · 5.5절 · 42번대학 수준우리말 번역

구면좌표를 사용하여, 구 $\rho =1$ 의 내부에 있으면서 구 $\rho =\cos \,\varphi$ 의 외부에 있는 입체의 부피를 구하세요. 단, $\varphi \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right].$

영어 원문 보기

Use spherical coordinates to find the volume of the solid situated inside the sphere $\rho =1$ and outside the sphere $\rho =\cos \,\varphi ,$ with $\varphi \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 13번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

283.OpenStax 3권 · 5.5절 · 43번대학 수준우리말 번역

구면좌표를 사용하여, 두 원뿔 $\varphi =\frac{\pi }{4}\,\text{그리고}\,\varphi =\frac{\pi }{3}$ 사이에 놓여 있는 공 $\rho \le 3$ 의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Use spherical coordinates to find the volume of the ball $\rho \le 3$ that is situated between the cones $\varphi =\frac{\pi }{4}\,\text{and}\,\varphi =\frac{\pi }{3}.$

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$9\pi \left(\sqrt{2}-1\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$9\pi \left(\sqrt{2}-1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 45번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

284.OpenStax 3권 · 5.5절 · 44번대학 수준우리말 번역

적분 $\int_{-4}^{4}\,\int_{-\sqrt{16-{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{y}^{2}}}\,\int_{-\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})dz\,dx\,dy$ 을 구면좌표의 적분으로 변환하세요.

영어 원문 보기

Convert the integral $\int_{-4}^{4}\,\int_{-\sqrt{16-{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{y}^{2}}}\,\int_{-\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})dz\,dx\,dy$ into an integral in spherical coordinates.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 12번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

285.OpenStax 3권 · 5.5절 · 45번대학 수준우리말 번역

적분 $\int_{0}^{4}\,\int_{0}^{\sqrt{16-{x}^{2}}}\,\int_{-\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{2}dz\,dy\,dx$ 을 구면좌표의 적분으로 변환하세요.

영어 원문 보기

Convert the integral $\int_{0}^{4}\,\int_{0}^{\sqrt{16-{x}^{2}}}\,\int_{-\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{2}dz\,dy\,dx$ into an integral in spherical coordinates.

정답·풀이 보기

$\int_{0}^{\pi /2}\,\int_{0}^{\pi }\,\int_{0}^{4}{\rho }^{6}\sin \,\varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{0}^{\pi /2}\,\int_{0}^{\pi }\,\int_{0}^{4}{\rho }^{6}\sin \,\varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 29번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

286.OpenStax 3권 · 5.5절 · 46번대학 수준우리말 번역

적분 $\int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}\,\int_{-\sqrt{8-{x}^{2}}}^{\sqrt{8-{x}^{2}}}\,\int_{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dy\,dx$ 을 구면좌표의 적분으로 변환한 다음 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Convert the integral $\int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}\,\int_{-\sqrt{8-{x}^{2}}}^{\sqrt{8-{x}^{2}}}\,\int_{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dy\,dx$ into an integral in spherical coordinates and evaluate it.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 10번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

287.OpenStax 3권 · 5.5절 · 47번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 컴퓨터 대수 시스템을 이용하여 구면좌표계에서의 반복적분 $\int_{\pi /2}^{\pi }\,\int_{5\pi /6}^{\pi /6}\,\int_{0}^{2}{\rho }^{2}\sin \,\varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta$ 로 부피가 주어지는 입체의 그래프를 그리세요. 이 입체의 부피 $V$ 를 구하세요. 답을 반올림하여 소수 셋째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] Use a CAS to graph the solid whose volume is given by the iterated integral in spherical coordinates $\int_{\pi /2}^{\pi }\,\int_{5\pi /6}^{\pi /6}\,\int_{0}^{2}{\rho }^{2}\sin \,\varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .$ Find the volume $V$ of the solid. Round your answer to three decimal places.

정답·풀이 보기

$V=\frac{4\pi \sqrt{3}}{3}\approx 7.255$

너비 2, 높이 2, 깊이 1인 타원체의 4분의 1 부분

원본 교재 풀이(영어)

$V=\frac{4\pi \sqrt{3}}{3}\approx 7.255$

A quarter section of an ellipsoid with width 2, height 2, and depth 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 37번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

288.OpenStax 3권 · 5.5절 · 48번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 구면좌표계에서 반복적분 $\int_{0}^{2\pi }\,\int_{\pi /4}^{3\pi /4}\,\int_{0}^{1}{\rho }^{2}\sin \,\varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta$ 로 부피가 주어지는 입체의 그래프를 그리세요. 이 입체의 부피 $V$ 를 구하세요. 답을 반올림하여 소수 셋째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] Use a CAS to graph the solid whose volume is given by the iterated integral in spherical coordinates as $\int_{0}^{2\pi }\,\int_{\pi /4}^{3\pi /4}\,\int_{0}^{1}{\rho }^{2}\sin \,\varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .$ Find the volume $V$ of the solid. Round your answer to three decimal places.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 41번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

289.OpenStax 3권 · 5.5절 · 49번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 삼중적분 $\iiint_{E}({x}^{2}+{y}^{2})dV$ 의 값을 구하세요. 여기서 $E$ 는 포물면 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 위쪽에 있고 평면 $z=3y$ 아래쪽에 있는 영역이다.

영어 원문 보기

[T] Use a CAS to evaluate the integral $\iiint_{E}({x}^{2}+{y}^{2})dV$ where $E$ lies above the paraboloid $z={x}^{2}+{y}^{2}$ and below the plane $z=3y.$

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정답·풀이 보기

$\frac{243\pi }{32}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{243\pi }{32}$

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# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

290.OpenStax 3권 · 5.5절 · 50번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용]

a. 적분 $\iiint_{E}{e}^{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}dV$ 의 값을 구하세요. 여기서 $E$ 는 구 $4{x}^{2}+4{y}^{2}+4{z}^{2}=1$ 과 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1$ 로 둘러싸인 영역입니다. b. CAS를 사용하여 앞의 적분의 근삿값을 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Evaluate the integral $\iiint_{E}{e}^{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}dV,$ where $E$ is bounded by the spheres $4{x}^{2}+4{y}^{2}+4{z}^{2}=1$ and ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1.$ b. Use a CAS to find an approximation of the previous integral. Round your answer to two decimal places.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 15번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

291.OpenStax 3권 · 5.5절 · 51번대학 수준우리말 번역

구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=16$ 의 안쪽이면서 원기둥 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ 의 바깥쪽에 있는 입체의 부피를 원기둥좌표계와 구면좌표계에서의 삼중적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Express the volume of the solid inside the sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=16$ and outside the cylinder ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ as triple integrals in cylindrical coordinates and spherical coordinates.

정답·풀이 보기

$\int_{0}^{2\pi }\,\int_{2}^{4}\,\int_{-\sqrt{16-{r}^{2}}}^{\sqrt{16-{r}^{2}}}r\,dz\,dr\,d\theta ;$ $\int_{\pi /6}^{5\pi /6}\,\int_{0}^{2\pi }\,\int_{2\,\csc \,\varphi }^{4}{\rho }^{2}\sin \,\varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{0}^{2\pi }\,\int_{2}^{4}\,\int_{-\sqrt{16-{r}^{2}}}^{\sqrt{16-{r}^{2}}}r\,dz\,dr\,d\theta ;$ $\int_{\pi /6}^{5\pi /6}\,\int_{0}^{2\pi }\,\int_{2\,\csc \,\varphi }^{4}{\rho }^{2}\sin \,\varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 19번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

292.OpenStax 3권 · 5.5절 · 52번대학 수준우리말 번역

구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=16$ 의 안쪽이면서 원기둥 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ 의 바깥쪽에 있고 제1팔분공간에 놓인 입체의 부피를 원기둥좌표계와 구면좌표계에서의 삼중적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Express the volume of the solid inside the sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=16$ and outside the cylinder ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ that is located in the first octant as triple integrals in cylindrical coordinates and spherical coordinates.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 7번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

293.OpenStax 3권 · 5.5절 · 53번대학 수준우리말 번역

안테나에서 방출되는 전력은 단위 부피당 전력 밀도가 구면좌표로

$p(\rho ,\theta ,\varphi )=\frac{{P}_{0}}{{\rho }^{2}}{\cos }^{2}\theta \,{\sin }^{4}\varphi$

로 주어진다. 여기서 ${P}_{0}$ 은 단위가 와트인 상수이다. 반지름이 $r$ 미터인 구 $B$ 안의 총 전력은 $P=\iiint_{B}p(\rho ,\theta ,\varphi )dV$ 로 정의된다. 반지름이 20미터인 구 안의 총 전력 $P$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The power emitted by an antenna has a power density per unit volume given in spherical coordinates by

$p(\rho ,\theta ,\varphi )=\frac{{P}_{0}}{{\rho }^{2}}{\cos }^{2}\theta \,{\sin }^{4}\varphi ,$ where ${P}_{0}$ is a constant with units in watts. The total power within a sphere $B$ of radius $r$ meters is defined as $P=\iiint_{B}p(\rho ,\theta ,\varphi )dV.$ Find the total power $P$ within a sphere of radius 20 meters.

정답·풀이 보기

$P=\frac{64{P}_{0}\pi }{3}$ 와트

원본 교재 풀이(영어)

$P=\frac{64{P}_{0}\pi }{3}$ watts

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 51번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

294.OpenStax 3권 · 5.5절 · 54번대학 수준우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여, 단위 부피당 전력 밀도가 $p(\rho ,\theta ,\varphi )=\frac{30}{{\rho }^{2}}{\cos }^{2}\theta \,{\sin }^{4}\varphi$ 로 주어질 때, 반지름이 5미터인 구 $B$ 안의 총 전력을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to find the total power within a sphere $B$ of radius 5 meters when the power density per unit volume is given by $p(\rho ,\theta ,\varphi )=\frac{30}{{\rho }^{2}}{\cos }^{2}\theta \,{\sin }^{4}\varphi .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 5번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

295.OpenStax 3권 · 5.5절 · 55번대학 수준우리말 번역

원점을 중심으로 하고 반지름이 r 센티미터인 구 $B$ 안에 들어 있는 전하 구름의 전하 밀도가 $q(x,y,z)=k\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}\frac{\mu \,\text{C}}{{\text{cm}}^{3}}$ 으로 주어진다. 여기서 $k>0$ 이다. $B$ 안에 들어 있는 총 전하량은 $Q=\iiint_{B}q(x,y,z)dV$ 로 주어진다. 총 전하량 $Q$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

A charge cloud contained in a sphere $B$ of radius r centimeters centered at the origin has its charge density given by $q(x,y,z)=k\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}\frac{\mu \,\text{C}}{{\text{cm}}^{3}},$ where $k>0.$ The total charge contained in $B$ is given by $Q=\iiint_{B}q(x,y,z)dV.$ Find the total charge $Q.$

정답·풀이 보기

$Q=k{r}^{4}\pi \mu C$

원본 교재 풀이(영어)

$Q=k{r}^{4}\pi \mu C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 15번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

296.OpenStax 3권 · 5.5절 · 56번대학 수준우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여, 전하 밀도가 $q(x,y,z)=20\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}\frac{\mu \,\text{C}}{{\text{cm}}^{3}}$ 일 때, 단위구 안에 들어 있는 전하 구름의 총 전하량을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to find the total charge cloud contained in the unit sphere if the charge density is $q(x,y,z)=20\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}\frac{\mu \,\text{C}}{{\text{cm}}^{3}}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 4번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

297.OpenStax 3권 · 5.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 얇은 판이 차지하는 영역 $R$ 이 그래프에 나타나 있습니다. 밀도함수가 $\rho$ 일 때 $R$ 의 질량을 구하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,0),(0,3)$ 와 $(6,0);\rho (x,y)=xy$ 인 삼각형 영역입니다.

x축, y축, 그리고 직선 y = -x/2 + 3으로 둘러싸인 직각삼각형이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, the region $R$ occupied by a lamina is shown in a graph. Find the mass of $R$ with the density function $\rho .$

$R$ is the triangular region with vertices $(0,0),(0,3),$ and $(6,0);\rho (x,y)=xy.$

A right triangle bounded by the x and y axes and the line y = negative x/2 + 3.

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$\frac{27}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{27}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 3번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)그래프·표 해석자동 분류

298.OpenStax 3권 · 5.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 얇은 판이 차지하는 영역 $R$ 이 그래프로 주어져 있다. 밀도 함수 $\rho$ 에 대한 $R$ 의 질량을 구하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,0),(1,1),$ $(0,5);\rho (x,y)=x+y$ 인 삼각형 모양의 영역이다.

y축, 직선 x = y, 직선 y = -4x + 5 로 둘러싸인 삼각형.

영어 원문 보기

In the following exercises, the region $R$ occupied by a lamina is shown in a graph. Find the mass of $R$ with the density function $\rho .$

$R$ is the triangular region with vertices $(0,0),(1,1),$ $(0,5);\rho (x,y)=x+y.$

A triangle bounded by the y axis, the line x = y, and the line y = negative 4x + 5.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.4절 · 4번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)그래프·표 해석자동 분류

299.OpenStax 3권 · 5.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 얇은 판이 차지하는 영역 $R$ 이 그래프로 주어져 있다. 밀도 함수 $\rho$ 에 대한 $R$ 의 질량을 구하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,0),(0,3),(6,3)$ 와 $(6,0);$ $\rho (x,y)=\sqrt{xy}$ 인 직사각형 모양의 영역이다.

x축, y축, 직선 x = 6, 직선 y = 3 으로 둘러싸인 직사각형.

영어 원문 보기

In the following exercises, the region $R$ occupied by a lamina is shown in a graph. Find the mass of $R$ with the density function $\rho .$

$R$ is the rectangular region with vertices $(0,0),(0,3),(6,3),$ and $(6,0);$ $\rho (x,y)=\sqrt{xy}.$

A rectangle bounded by the x and y axes and the lines x = 6 and y = 3.

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정답·풀이 보기

$24\sqrt{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$24\sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 9번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)그래프·표 해석자동 분류

300.OpenStax 3권 · 5.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 얇은 판이 차지하는 영역 $R$ 이 그래프로 주어져 있다. 밀도 함수 $\rho$ 에 대한 $R$ 의 질량을 구하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,1),(0,3),(3,3)$ 와 $(3,1);$ $\rho (x,y)={x}^{2}y$ 인 직사각형 모양의 영역이다.

y축, 직선 y = 1, 직선 y = 3, 직선 x = 3 으로 둘러싸인 직사각형.

영어 원문 보기

In the following exercises, the region $R$ occupied by a lamina is shown in a graph. Find the mass of $R$ with the density function $\rho .$

$R$ is the rectangular region with vertices $(0,1),(0,3),(3,3),$ and $(3,1);$ $\rho (x,y)={x}^{2}y.$

A rectangle bounded by the y axis, the lines y = 1 and 3, and the line x = 3.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.3절 · 7번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)그래프·표 해석자동 분류

다중적분 전체 문제