편도함수 연습문제 | 빌드라인 스쿨

101.APEX · 12.3절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–26번에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ , $f_{yx}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) =3x^2+1$

영어 원문 보기

In Exercises 9–26, find $f_x$ , $f_y$ , $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ and $f_{yx}$ .

$\displaystyle f(x,y) =3x^2+1$

정답·풀이 보기

$f_x=6x$ , $f_y=0$

$f_{xx}=6$ , $f_{yy}=0$

$f_{xy}=0$ , $f_{yx}=0$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x=6x$ , $f_y=0$

$f_{xx}=6$ , $f_{yy}=0$

$f_{xy}=0$ , $f_{yx}=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 26번

# 편도함수계산자동 분류

102.APEX · 12.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–26번에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ , $f_{yx}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) =\ln(x^2+y)$

영어 원문 보기

In Exercises 9–26, find $f_x$ , $f_y$ , $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ and $f_{yx}$ .

$\displaystyle f(x,y) =\ln(x^2+y)$

정답·풀이 보기

$f_x=\frac{2x}{(x^2+y)}$ , $f_y=\frac{1}{(x^2+y)}$

$f_{xx}=-\frac{4x^2}{(x^2+y)^2}+\frac{2}{(x^2+y)}$ , $f_{yy}=-\frac{1}{(x^2+y)^2}$

$f_{xy}=-\frac{2x}{(x^2+y)^2}$ , $f_{yx}=-\frac{2x}{(x^2+y)^2}$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x=\frac{2x}{(x^2+y)}$ , $f_y=\frac{1}{(x^2+y)}$

$f_{xx}=-\frac{4x^2}{(x^2+y)^2}+\frac{2}{(x^2+y)}$ , $f_{yy}=-\frac{1}{(x^2+y)^2}$

$f_{xy}=-\frac{2x}{(x^2+y)^2}$ , $f_{yx}=-\frac{2x}{(x^2+y)^2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 20번

# 편도함수계산자동 분류

103.APEX · 12.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–26번에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ , $f_{yx}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) =\frac{\ln x}{4y}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–26, find $f_x$ , $f_y$ , $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ and $f_{yx}$ .

$\displaystyle f(x,y) =\frac{\ln x}{4y}$

정답·풀이 보기

$f_x=\frac{1}{4xy}$ , $f_y=-\frac{\ln x}{4y^2}$

$f_{xx}=-\frac{1}{4x^2y}$ , $f_{yy}=\frac{\ln x}{2y^3}$

$f_{xy}=-\frac{1}{4xy^2}$ , $f_{yx}=-\frac{1}{4xy^2}$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x=\frac{1}{4xy}$ , $f_y=-\frac{\ln x}{4y^2}$

$f_{xx}=-\frac{1}{4x^2y}$ , $f_{yy}=\frac{\ln x}{2y^3}$

$f_{xy}=-\frac{1}{4xy^2}$ , $f_{yx}=-\frac{1}{4xy^2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 4번

# 편도함수계산자동 분류

104.APEX · 12.3절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–26에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ , $f_{yx}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) =5e^x\sin y+9$

영어 원문 보기

In Exercises 9–26, find $f_x$ , $f_y$ , $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ and $f_{yx}$ .

$\displaystyle f(x,y) =5e^x\sin y+9$

정답·풀이 보기

$f_x=5e^x\sin y$ , $f_y=5e^x\cos y$

$f_{xx}=5e^x\sin y$ , $f_{yy}=-5e^x\sin y$

$f_{xy}=5e^x\cos y$ , $f_{yx}=5e^x\cos y$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x=5e^x\sin y$ , $f_y=5e^x\cos y$

$f_{xx}=5e^x\sin y$ , $f_{yy}=-5e^x\sin y$

$f_{xy}=5e^x\cos y$ , $f_{yx}=5e^x\cos y$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 2번

# 편도함수계산자동 분류

105.APEX · 12.3절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 $f_x$ 와 $f_y$ 가 주어진 것과 같아지도록 함수 $z=f(x,y)$ 를 만드세요.

$f_x = \sin y+1$ , $f_y = x\cos y$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, form a function $z=f(x,y)$ such that $f_x$ and $f_y$ match those given.

$f_x = \sin y+1$ , $f_y = x\cos y$

정답·풀이 보기

$f(x,y) = x\sin y+ x+ C$ , 여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

$f(x,y) = x\sin y+ x+ C$ , where $C$ is any constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.3절 · 2번

# 편도함수계산자동 분류

106.APEX · 12.3절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 $f_x$ 와 $f_y$ 가 주어진 것과 같아지도록 함수 $z=f(x,y)$ 를 만드세요.

$f_x = x+y$ , $f_y = x+ y$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, form a function $z=f(x,y)$ such that $f_x$ and $f_y$ match those given.

$f_x = x+y$ , $f_y = x+ y$

정답·풀이 보기

$f(x,y) = \frac12x^2+xy+\frac12y^2+ C$ , 여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

$f(x,y) = \frac12x^2+xy+\frac12y^2+ C$ , where $C$ is any constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.3절 · 4번

# 편도함수계산자동 분류

107.APEX · 12.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 $f_x$ 와 $f_y$ 가 주어진 것과 같아지도록 함수 $z=f(x,y)$ 를 만드세요.

$f_x = 6xy-4y^2$ , $f_y = 3x^2-8xy+2$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, form a function $z=f(x,y)$ such that $f_x$ and $f_y$ match those given.

$f_x = 6xy-4y^2$ , $f_y = 3x^2-8xy+2$

정답·풀이 보기

$f(x,y) = 3x^2y-4xy^2+2y +C$ , 여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

$f(x,y) = 3x^2y-4xy^2+2y +C$ , where $C$ is any constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 2번

# 편도함수계산자동 분류

108.APEX · 12.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 $f_x$ 와 $f_y$ 가 주어진 것과 같아지도록 함수 $z=f(x,y)$ 를 만드세요.

$\displaystyle f_x = \frac{2x}{x^2+y^2}$ , $\displaystyle f_y = \frac{2y}{x^2+y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, form a function $z=f(x,y)$ such that $f_x$ and $f_y$ match those given.

$\displaystyle f_x = \frac{2x}{x^2+y^2}$ , $\displaystyle f_y = \frac{2y}{x^2+y^2}$

정답·풀이 보기

$f(x,y) = \ln (x^2+y^2)+ C$ , 여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

$f(x,y) = \ln (x^2+y^2)+ C$ , where $C$ is any constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 34번

# 편도함수계산자동 분류

109.APEX · 12.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2e^{2y-3z}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2e^{2y-3z}$

정답·풀이 보기

$f_x = 2xe^{2y-3z}$ , $f_y = 2x^2e^{2y-3z}$ , $f_z = -3x^2e^{2y-3z}$

$f_{yz} = -6x^2e^{2y-3z}$ , $f_{zy} = -6x^2e^{2y-3z}$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = 2xe^{2y-3z}$ , $f_y = 2x^2e^{2y-3z}$ , $f_z = -3x^2e^{2y-3z}$

$f_{yz} = -6x^2e^{2y-3z}$ , $f_{zy} = -6x^2e^{2y-3z}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 6번

# 편도함수계산자동 분류

110.APEX · 12.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^3y^2+x^3z+y^2z$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = x^3y^2+x^3z+y^2z$

정답·풀이 보기

$f_x = 3x^2y^2+3x^2z$ , $f_y = 2x^3y+2yz$ , $f_z = x^3+y^2$

$f_{yz} = 2y$ , $f_{zy} = 2y$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = 3x^2y^2+3x^2z$ , $f_y = 2x^3y+2yz$ , $f_z = x^3+y^2$

$f_{yz} = 2y$ , $f_{zy} = 2y$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.3절 · 5번

# 편도함수계산자동 분류

111.APEX · 12.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{3x}{7y^2z}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{3x}{7y^2z}$

정답·풀이 보기

$f_x = \frac{3}{7y^2z}$ , $f_y = -\frac{6x}{7y^3z}$ , $f_z = -\frac{3x}{7y^2z^2}$

$f_{yz} = \frac{6x}{7y^3z^2}$ , $f_{zy} = \frac{6x}{7y^3z^2}$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = \frac{3}{7y^2z}$ , $f_y = -\frac{6x}{7y^3z}$ , $f_z = -\frac{3x}{7y^2z^2}$

$f_{yz} = \frac{6x}{7y^3z^2}$ , $f_{zy} = \frac{6x}{7y^3z^2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 10번

# 편도함수계산자동 분류

112.APEX · 12.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \ln(xyz)$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = \ln(xyz)$

정답·풀이 보기

$f_x = \frac1x$ , $f_y = \frac1y$ , $f_z = \frac1z$

$f_{yz} = 0$ , $f_{zy} = 0$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = \frac1x$ , $f_y = \frac1y$ , $f_z = \frac1z$

$f_{yz} = 0$ , $f_{zy} = 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 2번

# 편도함수계산자동 분류

113.CLP-3 · 2.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

당신은 기복이 있는 지형을 가로지르고 있습니다. $z$ 축은 하늘을 향해 곧장 위쪽, 양의 $x$ 축은 정남쪽, 양의 $y$ 축은 정동쪽이라고 합시다. 그러면 당신 주변의 지형은 방정식 $z=f(x,y)$ 로 나타나고, 당신은 점 $(0,0,f(0,0))$ 에 있습니다. 함수 $f(x,y)$ 는 미분가능합니다.

$f_y(0,0)<0$ 이라고 합시다. 당신이 정상에 있을 수 있습니까? 설명하세요.

영어 원문 보기

You are traversing an undulating landscape. Take the $z$ -axis to be straight up towards the sky, the positive $x$ -axis to be due south, and the positive $y$ -axis to be due east. Then the landscape near you is described by the equation $z=f(x,y)$ , with you at the point $(0,0,f(0,0))$ . The function $f(x,y)$ is differentiable.

Suppose $f_y(0,0)<0$ . Is it possible that you are at a summit? Explain.

정답·풀이 보기

$f_y(0,0)<0$ 이면 $y$ 가 $0$ 에서 증가할 때 $f(0,y)$ 는 감소한다. 따라서 $y$ 가 양인 방향으로 이동하면 내리막길이 된다. 이는 계곡의 가장 낮은 지점에 있지 않다는 뜻이다. 아직 내려갈 수 있기 때문이다. 한편 $f_y(0,0)<0$ 이므로, $y$ 가 조금 작은 음수 값에서 $0$ 을 향해 증가할 때에도 $f(0,y)$ 는 감소한다. 따라서 $y=0$ 에서 음의 $y$ 방향으로 이동하면 높이 $z$ 는 증가한다. 그러므로 당신은 국소적으로 가장 높은 지점에 있지 않다. 즉 정상에 있지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

If $f_y(0,0)<0$ , then $f(0,y)$ decreases as $y$ increases from $0$ . Thus moving in the positive $y$ direction takes you downhill. This means you aren't at the lowest point in a valley, since you can still move downhill. On the other hand, as $f_y(0,0)<0$ , $f(0,y)$ also decreases as $y$ increases towards $0$ from slightly negative values. Thus if you move in the negative $y$ -direction from $y=0$ , your height $z$ will increase. So you are not at a locally highest point—you're not at a summit.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 3번

# 편도함수계산기본자동 분류

114.CLP-3 · 2.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2}& \text{$(x,y)\ne (0,0)$ 이면} \\ 0 & \text{$(x,y)=(0,0)$ 이면} \end{cases}$

이라고 하자. 정의로부터 직접 다음을 계산하세요.

(a) $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ (b) $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ (c) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t,t)\Big|_{t=0}$

영어 원문 보기

Let

$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2}& \text{if $(x,y)\ne (0,0)$} \\ 0 & \text{if $(x,y)=(0,0)$} \end{cases}$

Compute, directly from the definitions,

(a) $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ (b) $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ (c) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t,t)\Big|_{t=0}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) 정의에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{(\Delta x^2)(0)}{\Delta x^2+0^2}-0}{\Delta x} \\ &=0 \end{aligned}$

(b) 정의에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} \\ &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{\frac{(0^2)(\Delta y)}{0^2+\Delta y^2}-0}{\Delta y} \\ &=0 \end{aligned}$

(c) 정의에 의해

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t,t)\Big|_{t=0} &=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t,t)-f(0,0)}{t} \\ &=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{(t^2)(t)}{t^2+t^2}-0}{t} \\ &=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t/2}{t} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) By definition

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{(\Delta x^2)(0)}{\Delta x^2+0^2}-0}{\Delta x} \\ &=0 \end{aligned}$

(b) By definition

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} \\ &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{\frac{(0^2)(\Delta y)}{0^2+\Delta y^2}-0}{\Delta y} \\ &=0 \end{aligned}$

(c) By definition

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t,t)\Big|_{t=0} &=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t,t)-f(0,0)}{t} \\ &=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{(t^2)(t)}{t^2+t^2}-0}{t} \\ &=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t/2}{t} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 6번

# 편도함수계산기본자동 분류

115.CLP-3 · 2.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 함수의 모든 1계 편도함수를 구하고, 주어진 점에서의 값을 구하세요.

(a) $f(x,y,z)=x^3y^4z^5\qquad (0,-1,-1)$ (b) $w(x,y,z)=\ln\left(1+e^{xyz}\right)\qquad (2,0,-1)$ (c) $f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad (-3,4)$

영어 원문 보기

Find all first partial derivatives of the following functions and evaluate them at the given point.

(a) $f(x,y,z)=x^3y^4z^5\qquad (0,-1,-1)$ (b) $w(x,y,z)=\ln\left(1+e^{xyz}\right)\qquad (2,0,-1)$ (c) $f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad (-3,4)$

정답·풀이 보기

(a)

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=3x^2y^4z^5 & f_x(0,-1,-1)&=0\\ f_y(x,y,z)&=4x^3y^3z^5 & f_y(0,-1,-1)&=0\\ f_z(x,y,z)&=5x^3y^4z^4 & f_z(0,-1,-1)&=0 \end{aligned}$

(b)

$\begin{aligned} w_x(x,y,z)&=\frac{yz e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_x(2,0,-1)&=0\\ w_y(x,y,z)&=\frac{xz e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_y(2,0,-1)&=-1\\ w_z(x,y,z)&=\frac{xy e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_z(2,0,-1)&=0 \end{aligned}$

(c)

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_x(-3,4)&=\frac{3}{125}\\ f_y(x,y)&=-\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_y(-3,4)&=-\frac{4}{125} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a)

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=3x^2y^4z^5 & f_x(0,-1,-1)&=0\\ f_y(x,y,z)&=4x^3y^3z^5 & f_y(0,-1,-1)&=0\\ f_z(x,y,z)&=5x^3y^4z^4 & f_z(0,-1,-1)&=0 \end{aligned}$

(b)

$\begin{aligned} w_x(x,y,z)&=\frac{yz e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_x(2,0,-1)&=0\\ w_y(x,y,z)&=\frac{xz e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_y(2,0,-1)&=-1\\ w_z(x,y,z)&=\frac{xy e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_z(2,0,-1)&=0 \end{aligned}$

(c)

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_x(-3,4)&=\frac{3}{125}\\ f_y(x,y)&=-\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_y(-3,4)&=-\frac{4}{125} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 5번

# 편도함수계산보통자동 분류

116.CLP-3 · 2.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

함수 $z(x,y)=\frac{x+y}{x-y}$ 가 다음을 만족시킴을 보이세요.

$x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0$

영어 원문 보기

Show that the function $z(x,y)=\frac{x+y}{x-y}$ obeys

$x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0$

정답·풀이 보기

몫의 미분법에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^2} &&=\frac{-2y}{(x-y)^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^2} &&=\frac{2x}{(x-y)^2} \end{aligned}$

따라서

$x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =\frac{-2xy+2yx}{(x-y)^2} =0$

원본 교재 풀이(영어)

By the quotient rule

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^2} &&=\frac{-2y}{(x-y)^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^2} &&=\frac{2x}{(x-y)^2} \end{aligned}$

Hence

$x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =\frac{-2xy+2yx}{(x-y)^2} =0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 11번

# 편도함수증명·논술보통자동 분류

117.CLP-3 · 2.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

곡면 $z(x, y)$ 가 $zy - y + x = \ln(xyz)$ 로 정의된다.

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 를 $x$ , $y$ , $z$ 로 나타내어 구하세요. (b) $(x, y, z) = (-1, -2, 1/2)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 와 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A surface $z(x, y)$ is defined by $zy - y + x = \ln(xyz)$ .

(a) Compute $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ in terms of $x$ , $y$ , $z$ . (b) Evaluate $\frac{\partial z}{\partial x}$ and $\frac{\partial z}{\partial y}$ at $(x, y, z) = (-1, -2, 1/2)$ .

정답·풀이 보기

(a) $z(x,y)$ 는 다음을 만족시킨다고 주어졌다.

$\begin{aligned} z(x,y)\, y - y + x = \ln\big(xy\,z(x,y)\big) \tag{$*$}\end{aligned}$

이는 모든 $(x,y)$ ( $(-1,-2)$ 근방)에 대해 성립한다. $(*)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} y\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + 1 = \frac{1}{x} + \frac{\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)}{z(x,y)} \implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{\frac{1}{x}-1}{y-\frac{1}{z(x,y)}} \end{aligned}$

이고, 인수 $(x,y)$ 를 생략한 뒤 분자와 분모에 모두 $xz$ 를 곱하면

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z-xz}{xyz-x} = \frac{z(1-x)}{x(yz-1)} \end{aligned}$

$(*)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} z(x,y)+y\,\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 1 = \frac{1}{y} + \frac{\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)}{z(x,y)} \implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{\frac{1}{y}+1-z(x,y)}{y-\frac{1}{z(x,y)}} \end{aligned}$

이고, 인수 $(x,y)$ 를 생략한 뒤 분자와 분모에 모두 $yz$ 를 곱하면

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z+yz-yz^2}{y^2z-y} = \frac{z(1+y-yz)}{y(yz-1)} \end{aligned}$

(b) $(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)$ 일 때,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(-1,-2) &= \left.\frac{\frac{1}{x}-1}{y-\frac{1}{z}} \right|_{(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)} =\frac{\frac{1}{-1}-1}{-2-2} =\frac{1}{2} \\ \frac{\partial z}{\partial y}(-1,-2) &= \left.\frac{\frac{1}{y}+1-z}{y-\frac{1}{z}} \right|_{(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)} =\frac{\frac{1}{-2}+1-\frac{1}{2}}{-2-2} =0 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that $z(x,y)$ obeys

$\begin{aligned} z(x,y)\, y - y + x = \ln\big(xy\,z(x,y)\big) \tag{$*$}\end{aligned}$

for all $(x,y)$ (near $(-1,-2)$ ). Differentiating $(*)$ with respect to $x$ gives

$\begin{aligned} y\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + 1 = \frac{1}{x} + \frac{\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)}{z(x,y)} \implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{\frac{1}{x}-1}{y-\frac{1}{z(x,y)}} \end{aligned}$

or, dropping the arguments $(x,y)$ and multiplying both the numerator and denominator by $xz$ ,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z-xz}{xyz-x} = \frac{z(1-x)}{x(yz-1)} \end{aligned}$

Differentiating $(*)$ with respect to $y$ gives

$\begin{aligned} z(x,y)+y\,\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 1 = \frac{1}{y} + \frac{\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)}{z(x,y)} \implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{\frac{1}{y}+1-z(x,y)}{y-\frac{1}{z(x,y)}} \end{aligned}$

or, dropping the arguments $(x,y)$ and multiplying both the numerator and denominator by $yz$ ,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z+yz-yz^2}{y^2z-y} = \frac{z(1+y-yz)}{y(yz-1)} \end{aligned}$

(b) When $(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)$ ,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(-1,-2) &= \left.\frac{\frac{1}{x}-1}{y-\frac{1}{z}} \right|_{(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)} =\frac{\frac{1}{-1}-1}{-2-2} =\frac{1}{2} \\ \frac{\partial z}{\partial y}(-1,-2) &= \left.\frac{\frac{1}{y}+1-z}{y-\frac{1}{z}} \right|_{(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)} =\frac{\frac{1}{-2}+1-\frac{1}{2}}{-2-2} =0 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 7번

# 편도함수계산보통자동 분류

118.CLP-3 · 2.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

$(T, U, V, W)$ 가 다음 식으로 서로 관계되어 있을 때, $(1, 1, 2, 4)$ 에서 $\frac{\partial U}{\partial T}$ 와 $\frac{\partial T}{\partial V}$ 를 구하세요.

$(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2$

영어 원문 보기

Find $\frac{\partial U}{\partial T}$ and $\frac{\partial T}{\partial V}$ at $(1, 1, 2, 4)$ if $(T, U, V, W)$ are related by

$(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2$

정답·풀이 보기

네 변수 $T$ , $U$ , $V$ , $W$ 는 하나의 방정식 $(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2$ 를 만족한다고 하였다. 따라서 이 변수들이 모두 독립인 것은 아니다. 대략 말하면, 이 중 세 변수를 독립변수로 보고, 주어진 방정식을 나머지 한 변수에 대해 선택한 세 독립변수의 함수로 풀 수 있다.

먼저 $\frac{\partial U}{\partial T}$ 를 구하라고 하였다. 이는 $T$ , $V$ , $W$ 를 독립변수로 보고 $U$ 를 다음을 만족하는 함수 $U(T,V,W)$ 로 보라는 뜻이다.

$\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) = \ln 2 \tag{E1}$

이는 $(1, 1, 2, 4)$ 에 충분히 가까운 모든 $(T, U, V, W)$ 에 대해 성립한다. (E1)의 양변을 $T$ 에 대해 미분하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} &2\big(T\, U(T,V,W)-V\big) \left[ U(T,V,W) +T\ \frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\right] \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) \\ & -\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \frac{1}{W-U(T,V,W)\,V}\frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\,V = 0 \end{aligned}$

특히 $(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4)$ 에서는 다음과 같다.

$\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ 1 +(1)\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)}\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\,(2) = 0 \end{aligned}$

이를 간단히 하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} -2\left[ 1 +\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln(2) -\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)=0 \implies \frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4) = -\frac{2\ln(2)}{1+2\ln(2)} \end{aligned}$

다음으로 $\frac{\partial T}{\partial V}$ 를 구하라고 하였다. 이는 $U$ , $V$ , $W$ 를 독립변수로 보고 $T$ 를 다음을 만족하는 함수 $T(U,V,W)$ 로 보라는 뜻이다.

$\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \ln\big(W-U\,V\big) = \ln 2 \tag{E2}$

이는 $(1, 1, 2, 4)$ 에 충분히 가까운 모든 $(T, U, V, W)$ 에 대해 성립한다. (E2)의 양변을 $V$ 에 대해 미분하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} &2\big(T(U,V,W)\, U-V\big)\ \left[\frac{\partial T}{\partial V}(U,V,W)\ U-1\right] \ln\big(W-U\,V\big) \\ & -\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \frac{U}{W-U\,V} = 0 \end{aligned}$

특히 $(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4)$ 에서는 다음과 같다.

$\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ (1)\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)} = 0 \end{aligned}$

이를 간단히 하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} -2\left[\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln(2) -\frac{1}{2}=0 \implies \frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4) = 1 -\frac{1}{4\ln(2)} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We are told that the four variables $T$ , $U$ , $V$ , $W$ obey the single equation $(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2$ . So they are not all independent variables. Roughly speaking, we can treat any three of them as independent variables and solve the given equation for the fourth as a function of the three chosen independent variables.

We are first asked to find $\frac{\partial U}{\partial T}$ . This implicitly tells to treat $T$ , $V$ and $W$ as independent variables and to view $U$ as a function $U(T,V,W)$ that obeys

$\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) = \ln 2 \tag{E1}$

for all $(T, U, V, W)$ sufficiently near $(1, 1, 2, 4)$ . Differentiating (E1) with respect to $T$ gives

$\begin{aligned} &2\big(T\, U(T,V,W)-V\big) \left[ U(T,V,W) +T\ \frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\right] \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) \\ & -\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \frac{1}{W-U(T,V,W)\,V}\frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\,V = 0 \end{aligned}$

In particular, for $(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4)$ ,

$\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ 1 +(1)\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)}\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\,(2) = 0 \end{aligned}$

This simplifies to

$\begin{aligned} -2\left[ 1 +\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln(2) -\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)=0 \implies \frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4) = -\frac{2\ln(2)}{1+2\ln(2)} \end{aligned}$

We are then asked to find $\frac{\partial T}{\partial V}$ . This implicitly tells to treat $U$ , $V$ and $W$ as independent variables and to view $T$ as a function $T(U,V,W)$ that obeys

$\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \ln\big(W-U\,V\big) = \ln 2 \tag{E2}$

for all $(T, U, V, W)$ sufficiently near $(1, 1, 2, 4)$ . Differentiating (E2) with respect to $V$ gives

$\begin{aligned} &2\big(T(U,V,W)\, U-V\big)\ \left[\frac{\partial T}{\partial V}(U,V,W)\ U-1\right] \ln\big(W-U\,V\big) \\ & -\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \frac{U}{W-U\,V} = 0 \end{aligned}$

In particular, for $(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4)$ ,

$\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ (1)\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)} = 0 \end{aligned}$

This simplifies to

$\begin{aligned} -2\left[\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln(2) -\frac{1}{2}=0 \implies \frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4) = 1 -\frac{1}{4\ln(2)} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 4번

# 편도함수계산보통자동 분류

119.CLP-3 · 2.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

$u = x^2 + yz$ , $x = \rho r \cos(\theta)$ , $y = \rho r \sin(\theta)$ , $z = \rho r$ 라고 하자. 점 $(\rho_0 , r_0 , \theta_0) = (2, 3, \pi/2)$ 에서 $\frac{\partial u}{\partial r}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $u = x^2 + yz$ , $x = \rho r \cos(\theta)$ , $y = \rho r \sin(\theta)$ and $z = \rho r$ . Find $\frac{\partial u}{\partial r}$ at the point $(\rho_0 , r_0 , \theta_0) = (2, 3, \pi/2)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

함수

$\begin{aligned} u(\rho, r,\theta) &= \big[\rho r\cos\theta\big]^2 +\big[\rho r\sin\theta\big] \rho r \\ &=\rho^2 r^2\cos^2\theta +\rho^2 r^2\sin\theta \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}(\rho, r,\theta) &=2 \rho^2 r\cos^2\theta +2 \rho^2 r\sin\theta \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}(2, 3,\pi/2) &=2 (2^2) (3) (0)^2 +2 (2^2) (3) (1) =24 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function

$\begin{aligned} u(\rho, r,\theta) &= \big[\rho r\cos\theta\big]^2 +\big[\rho r\sin\theta\big] \rho r \\ &=\rho^2 r^2\cos^2\theta +\rho^2 r^2\sin\theta \end{aligned}$

So

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}(\rho, r,\theta) &=2 \rho^2 r\cos^2\theta +2 \rho^2 r\sin\theta \end{aligned}$

and

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}(2, 3,\pi/2) &=2 (2^2) (3) (0)^2 +2 (2^2) (3) (1) =24 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 9번

# 편도함수계산보통자동 분류

120.CLP-3 · 2.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

미분계수의 정의를 이용하여 다음 함수에 대해 $f_x(0,0)$ 과 $f_y(0,0)$ 의 값을 구하세요.

$f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2-2y^2}{x-y}&\text{$x\ne y$ 이면}\\ 0&\text{$x=y$ 이면} \end{cases}$

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to evaluate $f_x(0,0)$ and $f_y(0,0)$ for

$f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2-2y^2}{x-y}&\text{if $x\ne y$}\\ 0&\text{if $x=y$} \end{cases}$

정답·풀이 보기

정의에 의해

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \qquad f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$

이다. $x_0=y_0=0$ 을 대입하면

$\begin{aligned} f_x(0,0)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)}{\Delta x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{((\Delta x)^2-2\times0^2)/(\Delta x-0)}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1 =1\\ f_y(0,0)&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)}{\Delta y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{(0^2-2(\Delta y)^2)/(0-\Delta y)}{\Delta y} \\ &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}2 =2 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \qquad f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$

Setting $x_0=y_0=0$ ,

$\begin{aligned} f_x(0,0)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)}{\Delta x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{((\Delta x)^2-2\times0^2)/(\Delta x-0)}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1 =1\\ f_y(0,0)&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)}{\Delta y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{(0^2-2(\Delta y)^2)/(0-\Delta y)}{\Delta y} \\ &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}2 =2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 2번

# 편도함수계산보통자동 분류