빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

급수 심화 전체 문제

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832문제 · 18 / 42쪽

341.OpenStax 2권 · 6.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

매년 $9,000씩 영원히 지급되는 연금의 현재가치 P 를 이자율이 r=0.03,r=0.05r=0.03,r=0.05 및 r=0.07r=0.07 일 때 각각 구하세요.

영어 원문 보기

Calculate the present values P of annuities in which $9,000 is to be paid out annually perpetually, assuming interest rates of r=0.03,r=0.05r=0.03,r=0.05 and r=0.07.r=0.07.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 49번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
342.OpenStax 2권 · 6.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

현재 가치가 $100,000인 연금에 대해, 이자율이 각각 r=0.03,r=0.05r=0.03,r=0.05, 그리고 r=0.07r=0.07 일 때 20년 동안 지급할 연간 지급액 C 를 계산하세요.

영어 원문 보기

Calculate the annual payouts C to be given for 20 years on annuities having present value $100,000 assuming respective interest rates of r=0.03,r=0.05,r=0.03,r=0.05, and r=0.07.r=0.07.

정답·풀이 보기

일반적으로 N년 동안 지급할 때 P=C(1−(1+r)−N)rP=\frac{C(1-{(1+r)}^{-N})}{r} 이고, 이는 C=Pr1−(1+r)−NC=\frac{Pr}{1-{(1+r)}^{-N}} 와 같다. N=20N=20 이고 P=100,000P=100,000 이면 C=6721.57C=6721.57 이고 이때 r=0.03;C=8024.26r=0.03;C=8024.26 이며 이때 r=0.05r=0.05; 그리고 C≈9439.29C\approx 9439.29 이며 이때 r=0.07r=0.07 이다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, P=C(1−(1+r)−N)rP=\frac{C(1-{(1+r)}^{-N})}{r} for N years of payouts, or C=Pr1−(1+r)−N.C=\frac{Pr}{1-{(1+r)}^{-N}}. For N=20N=20 and P=100,000,P=100,000, one has C=6721.57C=6721.57 when r=0.03;C=8024.26r=0.03;C=8024.26 when r=0.05;r=0.05; and C≈9439.29C\approx 9439.29 when r=0.07.r=0.07.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 15번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
343.OpenStax 2권 · 6.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

현재가치가 $100,000인 연금에서 영원히 지급되는 매년의 지급액 C 를 이자율이 각각 r=0.03,r=0.05r=0.03,r=0.05, 및 r=0.07r=0.07 일 때 구하세요.

영어 원문 보기

Calculate the annual payouts C to be given perpetually on annuities having present value $100,000 assuming respective interest rates of r=0.03,r=0.05,r=0.03,r=0.05, and r=0.07.r=0.07.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 3번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
344.OpenStax 2권 · 6.2절 · 15번대학 수준우리말 번역

어떤 연금의 현재가치가 P=1 million dollarsP=1\,\text{million dollars} 라고 하자. 매년 $50,000씩 영원히 지급할 수 있게 하는 이자율 r은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that an annuity has a present value P=1 million dollars.P=1\,\text{million dollars}. What interest rate r would allow for perpetual annual payouts of $50,000?

정답·풀이 보기

일반적으로 P=CrP=\frac{C}{r} 이다. 따라서 r=CP=5 × 104106=0.05r=\frac{C}{P}=5\,\times \,\frac{{10}^{4}}{{10}^{6}}=0.05 이다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, P=Cr.P=\frac{C}{r}. Thus, r=CP=5 × 104106=0.05.r=\frac{C}{P}=5\,\times \,\frac{{10}^{4}}{{10}^{6}}=0.05.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 17번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
345.OpenStax 2권 · 6.2절 · 16번대학 수준우리말 번역

어떤 연금의 현재가치가 P=10 million dollarsP=10\,\text{million dollars} 라고 하자. 매년 $100,000씩 영원히 지급할 수 있게 하는 이자율 r은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that an annuity has a present value P=10 million dollars.P=10\,\text{million dollars}. What interest rate r would allow for perpetual annual payouts of $100,000?

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
346.OpenStax 2권 · 6.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 거듭제곱급수의 합을 등비급수로 나타낸 다음, 그 합을 유리함수로 나타내세요.

x+x2−x3+x4+x5−x6+⋯x+{x}^{2}-{x}^{3}+{x}^{4}+{x}^{5}-{x}^{6}+\cdots (힌트: 거듭제곱 x3k, x3k−1,{x}^{3k-1}, x3k−2.){x}^{3k-2}.) 끼리 묶으세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, express the sum of each power series in terms of geometric series, and then express the sum as a rational function.

x+x2−x3+x4+x5−x6+⋯x+{x}^{2}-{x}^{3}+{x}^{4}+{x}^{5}-{x}^{6}+\cdots (Hint: Group powers x3k, x3k−1,{x}^{3k-1}, and x3k−2.){x}^{3k-2}.)

정답·풀이 보기

(x+x2−x3)(1+x3+x6+⋯ )=x+x2−x31−x3(x+{x}^{2}-{x}^{3})(1+{x}^{3}+{x}^{6}+\cdots )=\frac{x+{x}^{2}-{x}^{3}}{1-{x}^{3}}

원본 교재 풀이(영어)

(x+x2−x3)(1+x3+x6+⋯ )=x+x2−x31−x3(x+{x}^{2}-{x}^{3})(1+{x}^{3}+{x}^{6}+\cdots )=\frac{x+{x}^{2}-{x}^{3}}{1-{x}^{3}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 19번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
347.OpenStax 2권 · 6.2절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 거듭제곱급수의 합을 등비급수로 나타낸 다음, 그 합을 유리함수로 나타내세요.

x+x2−x3−x4+x5+x6−x7−x8+⋯x+{x}^{2}-{x}^{3}-{x}^{4}+{x}^{5}+{x}^{6}-{x}^{7}-{x}^{8}+\cdots (힌트: 거듭제곱 x4k, x4k−1{x}^{4k-1}, 등끼리 묶으세요.)

영어 원문 보기

In the following exercises, express the sum of each power series in terms of geometric series, and then express the sum as a rational function.

x+x2−x3−x4+x5+x6−x7−x8+⋯x+{x}^{2}-{x}^{3}-{x}^{4}+{x}^{5}+{x}^{6}-{x}^{7}-{x}^{8}+\cdots (Hint: Group powers x4k, x4k−1,{x}^{4k-1}, etc.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 13번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
348.OpenStax 2권 · 6.2절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 거듭제곱급수의 합을 등비급수로 나타낸 다음, 그 합을 유리함수로 나타내세요.

x−x2−x3+x4−x5−x6+x7−⋯x-{x}^{2}-{x}^{3}+{x}^{4}-{x}^{5}-{x}^{6}+{x}^{7}-\cdots (힌트: 거듭제곱 x3k, x3k−1,{x}^{3k-1}, x3k−2.){x}^{3k-2}.) 끼리 묶으세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, express the sum of each power series in terms of geometric series, and then express the sum as a rational function.

x−x2−x3+x4−x5−x6+x7−⋯x-{x}^{2}-{x}^{3}+{x}^{4}-{x}^{5}-{x}^{6}+{x}^{7}-\cdots (Hint: Group powers x3k, x3k−1,{x}^{3k-1}, and x3k−2.){x}^{3k-2}.)

정답·풀이 보기

(x−x2−x3)(1+x3+x6+⋯ )=x−x2−x31−x3(x-{x}^{2}-{x}^{3})(1+{x}^{3}+{x}^{6}+\cdots )=\frac{x-{x}^{2}-{x}^{3}}{1-{x}^{3}}

원본 교재 풀이(영어)

(x−x2−x3)(1+x3+x6+⋯ )=x−x2−x31−x3(x-{x}^{2}-{x}^{3})(1+{x}^{3}+{x}^{6}+\cdots )=\frac{x-{x}^{2}-{x}^{3}}{1-{x}^{3}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
349.OpenStax 2권 · 6.2절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 거듭제곱급수의 합을 등비급수로 나타낸 다음, 그 합을 유리함수로 나타내세요.

x2+x24−x38+x416+x532−x664+⋯\frac{x}{2}+\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{x}^{3}}{8}+\frac{{x}^{4}}{16}+\frac{{x}^{5}}{32}-\frac{{x}^{6}}{64}+\cdots (힌트: 거듭제곱 (x2)3k,(x2)3k−1,{\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k},{\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k-1}, (x2)3k−2.){\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k-2}.) 끼리 묶으세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, express the sum of each power series in terms of geometric series, and then express the sum as a rational function.

x2+x24−x38+x416+x532−x664+⋯\frac{x}{2}+\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{x}^{3}}{8}+\frac{{x}^{4}}{16}+\frac{{x}^{5}}{32}-\frac{{x}^{6}}{64}+\cdots (Hint: Group powers (x2)3k,(x2)3k−1,{\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k},{\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k-1}, and (x2)3k−2.){\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k-2}.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 53번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
350.OpenStax 2권 · 6.2절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 f 와 g 가 주어진 대로 정의될 때, f(x)g(x)f(x)g(x) 의 거듭제곱급수를 구하세요.

f(x)=2∑n=0∞xn,g(x)=∑n=0∞nxnf(x)=2\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }n{x}^{n}

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of f(x)g(x)f(x)g(x) given f and g as defined.

f(x)=2∑n=0∞xn,g(x)=∑n=0∞nxnf(x)=2\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }n{x}^{n}

정답·풀이 보기

an=2,bn=n{a}_{n}=2,{b}_{n}=n 이므로 cn=∑k=0nbkan−k=2∑k=0nk=(n)(n+1){c}_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b}_{k}{a}_{n-k}=2\sum_{k=0}^{n}k=(n)(n+1) 이고 f(x)g(x)=∑n=1∞n(n+1)xnf(x)g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

an=2,bn=n{a}_{n}=2,{b}_{n}=n so cn=∑k=0nbkan−k=2∑k=0nk=(n)(n+1){c}_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b}_{k}{a}_{n-k}=2\sum_{k=0}^{n}k=(n)(n+1) and f(x)g(x)=∑n=1∞n(n+1)xnf(x)g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 23번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
351.OpenStax 2권 · 6.2절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, ff 와 gg 가 아래와 같이 주어질 때 f(x)g(x)f(x)g(x) 의 거듭제곱급수를 구하세요.

f(x)=∑n=1∞xn,g(x)=∑n=1∞1nxn.f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{x}^{n}. f(x)g(x)f(x)g(x) 의 계수를 Hn=∑k=1n1k{H}_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} 로 나타내세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of f(x)g(x)f(x)g(x) given f and g as defined.

f(x)=∑n=1∞xn,g(x)=∑n=1∞1nxn.f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{x}^{n}. Express the coefficients of f(x)g(x)f(x)g(x) in terms of Hn=∑k=1n1k.{H}_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 43번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
352.OpenStax 2권 · 6.2절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, ff 와 gg 가 아래와 같이 주어질 때 f(x)g(x)f(x)g(x) 의 거듭제곱급수를 구하세요.

f(x)=g(x)=∑n=1∞(x2)nf(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of f(x)g(x)f(x)g(x) given f and g as defined.

f(x)=g(x)=∑n=1∞(x2)nf(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}

정답·풀이 보기

an=bn=2−n{a}_{n}={b}_{n}={2}^{-n} 이므로 cn=∑k=1n−1bkan−k=2−n∑k=1n−11=n−12n{c}_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}{b}_{k}{a}_{n-k}={2}^{-n}\sum_{k=1}^{n-1}1=\frac{n-1}{{2}^{n}} 이고 f(x)g(x)=∑n=2∞(n−1)(x2)nf(x)g(x)=\sum_{n=2}^{\infty }(n-1){\left(\frac{x}{2}\right)}^{n} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

an=bn=2−n{a}_{n}={b}_{n}={2}^{-n} so cn=∑k=1n−1bkan−k=2−n∑k=1n−11=n−12n{c}_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}{b}_{k}{a}_{n-k}={2}^{-n}\sum_{k=1}^{n-1}1=\frac{n-1}{{2}^{n}} and f(x)g(x)=∑n=2∞(n−1)(x2)nf(x)g(x)=\sum_{n=2}^{\infty }(n-1){\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 33번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
353.OpenStax 2권 · 6.2절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, ff 와 gg 가 아래와 같이 주어질 때 f(x)g(x)f(x)g(x) 의 거듭제곱급수를 구하세요.

f(x)=g(x)=∑n=1∞nxnf(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n{x}^{n}

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of f(x)g(x)f(x)g(x) given f and g as defined.

f(x)=g(x)=∑n=1∞nxnf(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n{x}^{n}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 11번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
354.OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 ff 의 급수 전개를 항별로 미분하여 ff 의 도함수에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

f(x)=11+x=∑n=0∞(−1)nxnf(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{n}

영어 원문 보기

In the following exercises, differentiate the given series expansion of f term-by-term to obtain the corresponding series expansion for the derivative of f.

f(x)=11+x=∑n=0∞(−1)nxnf(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{n}

정답·풀이 보기

ff 의 도함수는 −1(1+x)2=−∑n=0∞(−1)n(n+1)xn-\frac{1}{{(1+x)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}(n+1){x}^{n} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of ff is −1(1+x)2=−∑n=0∞(−1)n(n+1)xn.-\frac{1}{{(1+x)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}(n+1){x}^{n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 31번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
355.OpenStax 2권 · 6.2절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 ff 의 급수 전개를 항별로 미분하여 ff 의 도함수에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

f(x)=11−x2=∑n=0∞x2nf(x)=\frac{1}{1-{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}

영어 원문 보기

In the following exercises, differentiate the given series expansion of f term-by-term to obtain the corresponding series expansion for the derivative of f.

f(x)=11−x2=∑n=0∞x2nf(x)=\frac{1}{1-{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 27번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
356.OpenStax 2권 · 6.2절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 ff 의 급수 전개를 항별로 0부터 x 까지 적분하여 ff 의 부정적분에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

f(x)=2x(1+x2)2=∑n=1∞(−1)n(2n)x2n−1f(x)=\frac{2x}{{(1+{x}^{2})}^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}(2n){x}^{2n-1}

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate the given series expansion of ff term-by-term from zero to x to obtain the corresponding series expansion for the indefinite integral of f.f.

f(x)=2x(1+x2)2=∑n=1∞(−1)n(2n)x2n−1f(x)=\frac{2x}{{(1+{x}^{2})}^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}(2n){x}^{2n-1}

정답·풀이 보기

ff 의 부정적분은 −11+x2=∑n=0∞(−1)nx2n-\frac{1}{1+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The indefinite integral of ff is −11+x2=∑n=0∞(−1)nx2n.-\frac{1}{1+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 37번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
357.OpenStax 2권 · 6.2절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 ff 의 급수 전개를 항별로 0부터 x 까지 적분하여 ff 의 부정적분에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

f(x)=2x1+x2=2∑n=0∞(−1)nx2n+1f(x)=\frac{2x}{1+{x}^{2}}=2\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n+1}

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate the given series expansion of ff term-by-term from zero to x to obtain the corresponding series expansion for the indefinite integral of f.f.

f(x)=2x1+x2=2∑n=0∞(−1)nx2n+1f(x)=\frac{2x}{1+{x}^{2}}=2\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n+1}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
358.OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

f(x)=∑n=0∞xnf(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 일 때, ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}} 의 값을 f′(12){f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right) 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}} as f′(12){f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right) where f(x)=∑n=0∞xn.f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.

정답·풀이 보기

f(x)=∑n=0∞xn=11−x;f′(12)=∑n=1∞n2n−1=ddx(1−x)−1∣x=1/2=1(1−x)2∣x=1/2=4f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n-1}}={\frac{d}{dx}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{1}{{(1-x)}^{2}}|}_{x=1/2}=4 so ∑n=1∞n2n=2.\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}=2.

원본 교재 풀이(영어)

f(x)=∑n=0∞xn=11−x;f′(12)=∑n=1∞n2n−1=ddx(1−x)−1∣x=1/2=1(1−x)2∣x=1/2=4f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n-1}}={\frac{d}{dx}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{1}{{(1-x)}^{2}}|}_{x=1/2}=4 so ∑n=1∞n2n=2.\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}=2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 39번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
359.OpenStax 2권 · 6.2절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

f(x)=∑n=0∞xnf(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 일 때, ∑n=1∞n3n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{3}^{n}} 의 값을 f′(13){f}^{'}\left(\frac{1}{3}\right) 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate ∑n=1∞n3n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{3}^{n}} as f′(13){f}^{'}\left(\frac{1}{3}\right) where f(x)=∑n=0∞xn.f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 9번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
360.OpenStax 2권 · 6.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

f(x)=∑n=0∞xnf(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 일 때, ∑n=2∞n(n−1)2n\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}} 의 값을 f′′(12){f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right) 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate ∑n=2∞n(n−1)2n\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}} as f′′(12){f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right) where f(x)=∑n=0∞xn.f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.

정답·풀이 보기

f(x)=∑n=0∞xn=11−x;f′′(12)=∑n=2∞n(n−1)2n−2=d2dx2(1−x)−1∣x=1/2=2(1−x)3∣x=1/2=16f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n-2}}={\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{2}{{(1-x)}^{3}}|}_{x=1/2}=16 so ∑n=2∞n(n−1)2n=4.\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}=4.

원본 교재 풀이(영어)

f(x)=∑n=0∞xn=11−x;f′′(12)=∑n=2∞n(n−1)2n−2=d2dx2(1−x)−1∣x=1/2=2(1−x)3∣x=1/2=16f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n-2}}={\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{2}{{(1-x)}^{3}}|}_{x=1/2}=16 so ∑n=2∞n(n−1)2n=4.\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}=4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 41번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)