급수 심화 전체 연습문제

81.OpenStax 2권 · 5.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\left(1-\cos \left(\frac{1}{n}\right)\right)$

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\left(1-\cos \left(\frac{1}{n}\right)\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 50번

# 비교 판정법계산자동 분류

82.OpenStax 2권 · 5.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\left(\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}n\right)$

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\left(\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}n\right)$

정답·풀이 보기

p-급수( $p=2$ )와의 극한비교판정법에 의해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges by limit comparison with p-series, $p=2.$

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# 비교 판정법계산자동 분류

83.OpenStax 2권 · 5.4절 · 27번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n}$ (힌트: ${\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n}\to 1/e.)$

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

$\sum_{n=1}^{\infty }{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n}$ (*Hint:* ${\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n}\to 1/e.)$

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# 비교 판정법계산자동 분류

84.OpenStax 2권 · 5.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }(1-{e}^{-1/n})$ (힌트: $1/e\approx {(1-1/n)}^{n}$ 이므로 $1-{e}^{-1/n}\approx 1/n.)$

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

$\sum_{n=1}^{\infty }(1-{e}^{-1/n})$ (*Hint:* $1/e\approx {(1-1/n)}^{n},$ so $1-{e}^{-1/n}\approx 1/n.)$

정답·풀이 보기

$1/n$ 과의 극한비교판정법에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges by limit comparison with $1/n.$

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# 비교 판정법계산자동 분류

85.OpenStax 2권 · 5.4절 · 29번대학 수준우리말 번역

$p$ 가 충분히 크면 $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{{(\ln n)}^{p}}$ 은 수렴하나요? 그렇다면 어떤 $p$ 에 대해 수렴하나요?

영어 원문 보기

Does $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{{(\ln n)}^{p}}$ converge if $p$ is large enough? If so, for which $p?$

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# 비교 판정법계산자동 분류

86.OpenStax 2권 · 5.4절 · 30번대학 수준우리말 번역

$p$ 가 충분히 크면 $\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{(\ln n)}{n}\right)}^{p}$ 은 수렴하나요? 그렇다면 어떤 $p$ 에 대해 수렴하나요?

영어 원문 보기

Does $\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{(\ln n)}{n}\right)}^{p}$ converge if $p$ is large enough? If so, for which $p?$

정답·풀이 보기

$p>1$ 일 때 수렴한다. $p$ 가 약간 더 작은 $p$ 급수와 비교하면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges for $p>1$ by comparison with a $p$ series for slightly smaller $p.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 26번

# 비교 판정법계산자동 분류

87.OpenStax 2권 · 5.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

어떤 $p$ 에 대해 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{pn}/{3}^{n}$ 이 수렴하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

For which $p$ does the series $\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{pn}/{3}^{n}$ converge?

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 18번

# 비교 판정법계산자동 분류

88.OpenStax 2권 · 5.4절 · 32번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

어떤 $p>0$ 에 대해 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{p}}{{2}^{n}}$ 이 수렴하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

For which $p>0$ does the series $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{p}}{{2}^{n}}$ converge?

정답·풀이 보기

모든 $p>0$ 에 대해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges for all $p>0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 24번

# 비교 판정법계산자동 분류

89.OpenStax 2권 · 5.4절 · 33번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

어떤 $r>0$ 에 대해 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{r}^{{n}^{2}}}{{2}^{n}}$ 이 수렴하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

For which $r>0$ does the series $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{r}^{{n}^{2}}}{{2}^{n}}$ converge?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 52번

# 비교 판정법계산자동 분류

90.OpenStax 2권 · 5.4절 · 34번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

어떤 $r>0$ 에 대해 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{r}^{{n}^{2}}}$ 이 수렴하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

For which $r>0$ does the series $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{r}^{{n}^{2}}}$ converge?

정답·풀이 보기

모든 $r>1$ 에 대해 수렴한다. $r>1$ 이면 $n>\ln (2)/\ln (r)$ 일 때부터 예를 들어 ${r}^{n}>4$ 이고, 그러면 비가 $1/2$ 인 등비급수와의 극한비교판정법에 의해 이 급수는 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges for all $r>1.$ If $r>1$ then ${r}^{n}>4,$ say, once $n>\ln (2)/\ln (r)$ and then the series converges by limit comparison with a geometric series with ratio $1/2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 44번

# 비교 판정법계산자동 분류

91.OpenStax 2권 · 5.4절 · 35번대학 수준우리말 번역

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{p}}{{(n!)}^{q}}$ 이 수렴하도록 하는 $p$ 와 $q$ 의 모든 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find all values of $p$ and $q$ such that $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{p}}{{(n!)}^{q}}$ converges.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 6번

# 비교 판정법계산자동 분류

92.OpenStax 2권 · 5.4절 · 36번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$_{n=1}^{\infty }\left( \frac{n\pi }{2} \right)$ 은 수렴합니까, 발산합니까? 설명하세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

Does $_{n=1}^{\infty }\left( \frac{n\pi }{2} \right)$ converge or diverge? Explain.

정답·풀이 보기

분자는 $n$ 이 홀수일 때 $1$ 이고 $n$ 이 짝수일 때 $0$ 이므로, 이 급수는 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n+1}$ 로 다시 쓸 수 있고, 이는 조화급수와의 극한비교판정법에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

The numerator is equal to $1$ when $n$ is odd and $0$ when $n$ is even, so the series can be rewritten $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n+1},$ which diverges by limit comparison with the harmonic series.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 28번

# 비교 판정법계산자동 분류

93.OpenStax 2권 · 5.4절 · 37번대학 수준우리말 번역

각 $n$ 에 대해 $\{|\sin n|,|\sin (n+1)|,...,|\sin n+6|\}$ 중 적어도 하나가 $1/2$ 보다 큰 이유를 설명하세요. 이 관계를 이용하여 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{|\sin n|}{\sqrt{n}}$ 의 수렴 여부를 판정하세요.

영어 원문 보기

Explain why, for each $n,$ at least one of $\{|\sin n|,|\sin (n+1)|,...,|\sin n+6|\}$ is larger than $1/2.$ Use this relation to test convergence of $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{|\sin n|}{\sqrt{n}}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 23번

# 비교 판정법계산자동 분류

94.OpenStax 2권 · 5.4절 · 38번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}\ge 0$ 이고 ${b}_{n}\ge 0$ 이며 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 과 $\sum_{n=1}^{\infty }{b}^{2}{}_{n}$ 이 수렴한다고 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 이 수렴하고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}\,{b}_{n}\le \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}^{2}\right)$ 임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}\ge 0$ and ${b}_{n}\ge 0$ and that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ and $\sum_{n=1}^{\infty }{b}^{2}{}_{n}$ converge. Prove that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ converges and $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}\,{b}_{n}\le \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}^{2}\right).$

정답·풀이 보기

${(a-b)}^{2}={a}^{2}-2ab+{b}^{2}$ 또는 ${a}^{2}+{b}^{2}\ge 2ab$ 이므로, 수렴은 $2{a}_{n}{b}_{n}$ 과 ${a}^{2}{}_{n}+{b}^{2}{}_{n}$ 의 비교에서 얻어진다. 좌변의 부분합이 우변의 부분합으로 유계이므로 무한급수에 대해서도 부등식이 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

${(a-b)}^{2}={a}^{2}-2ab+{b}^{2}$ or ${a}^{2}+{b}^{2}\ge 2ab,$ so convergence follows from comparison of $2{a}_{n}{b}_{n}$ with ${a}^{2}{}_{n}+{b}^{2}{}_{n}.$ Since the partial sums on the left are bounded by those on the right, the inequality holds for the infinite series.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 40번

# 비교 판정법증명·논술자동 분류

95.OpenStax 2권 · 5.4절 · 39번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 급수가 각각 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{-\ln \ln n}$ 은 수렴합니까? (힌트: ${2}^{\ln \ln n}$ 을 $\ln n.)$ 의 거듭제곱으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

Does $\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{-\ln \ln n}$ converge? (Hint: Write ${2}^{\ln \ln n}$ as a power of $\ln n.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 11번

# 비교 판정법계산자동 분류

96.OpenStax 2권 · 5.4절 · 40번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(\ln n)}^{-\ln n}$ 은 수렴하나요? (힌트: $n={e}^{\ln (n)}$ 을 이용하여 $p-\text{급수}.)$ 와 비교하세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

Does $\sum_{n=1}^{\infty }{(\ln n)}^{-\ln n}$ converge? (Hint: Use $n={e}^{\ln (n)}$ to compare to a $p-\text{series}.)$

정답·풀이 보기

${(\ln n)}^{-\ln n}={e}^{-\ln (n)\ln \ln (n)}.$ $n$ 이 충분히 크면 $\ln \ln n>2$ 이므로 ${(\ln n)}^{-\ln n}<1/{n}^{2}$ 이고, $p-\text{급수}$ 와의 비교에 의해 이 급수는 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${(\ln n)}^{-\ln n}={e}^{-\ln (n)\ln \ln (n)}.$ If $n$ is sufficiently large, then $\ln \ln n>2,$ so ${(\ln n)}^{-\ln n}<1/{n}^{2},$ and the series converges by comparison to a $p-\text{series}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 42번

# 비교 판정법계산자동 분류

97.OpenStax 2권 · 5.4절 · 41번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=2}^{\infty }{(\ln n)}^{-\ln \ln n}$ 은 수렴하는지 판단하세요. (힌트: ${a}_{n}$ 을 $1/n.)$ 과 비교하세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

Does $\sum_{n=2}^{\infty }{(\ln n)}^{-\ln \ln n}$ converge? (Hint: Compare ${a}_{n}$ to $1/n.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 12번

# 비교 판정법계산자동 분류

98.OpenStax 2권 · 5.4절 · 42번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}\ge 0$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 도 수렴함을 보이세요. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 도 반드시 수렴합니까?

영어 원문 보기

Show that if ${a}_{n}\ge 0$ and $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges, then $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ converges. If $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ converges, does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ necessarily converge?

정답·풀이 보기

${a}_{n}\to 0$ 이므로 충분히 큰 $n$ 에 대해 ${a}^{2}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ 이다. 수렴은 극한비교판정법에 의해 따른다. $\sum 1/{n}^{2}$ 은 수렴하지만 $\sum 1/n$ 은 수렴하지 않으므로, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 이 수렴한다는 사실이 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴함을 뜻하지는 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}\to 0,$ so ${a}^{2}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ for large $n.$ Convergence follows from limit comparison. $\sum 1/{n}^{2}$ converges, but $\sum 1/n$ does not, so the fact that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ converges does not imply that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 34번

# 비교 판정법증명·논술자동 분류

99.OpenStax 2권 · 5.4절 · 43번대학 수준우리말 번역

모든 $n$ 에 대해 ${a}_{n}>0$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴한다고 하자. ${b}_{n}$ 은 0과 1로 이루어진 임의의 수열이라고 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 은 반드시 수렴합니까?

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}>0$ for all $n$ and that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges. Suppose that ${b}_{n}$ is an arbitrary sequence of zeros and ones. Does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ necessarily converge?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 8번

# 비교 판정법계산자동 분류

100.OpenStax 2권 · 5.4절 · 44번대학 수준우리말 번역

모든 $n$ 에 대해 ${a}_{n}>0$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 발산한다고 하자. ${b}_{n}$ 은 0과 1로 이루어진 임의의 수열이고 값이 1인 항이 무한히 많다고 하자. 이때 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 은 반드시 발산합니까?

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}>0$ for all $n$ and that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ diverges. Suppose that ${b}_{n}$ is an arbitrary sequence of zeros and ones with infinitely many terms equal to one. Does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ necessarily diverge?

정답·풀이 보기

아니요. $\sum_{n=1}^{\infty }1/n$ 은 발산한다. 어떤 $n$ 에 대해 $k={n}^{2}$ 인 경우가 아니면 ${b}_{k}=0$ 이라 하자. 그러면 $\sum_{k}{b}_{k}/k=\sum 1/{k}^{2}$ 은 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

No. $\sum_{n=1}^{\infty }1/n$ diverges. Let ${b}_{k}=0$ unless $k={n}^{2}$ for some $n.$ Then $\sum_{k}{b}_{k}/k=\sum 1/{k}^{2}$ converges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 36번

# 비교 판정법계산자동 분류

급수 심화 전체 문제