교대급수 연습문제 | 빌드라인 스쿨

41.OpenStax 2권 · 5.5절 · 41번대학 수준우리말 번역

${b}_{n}\ge 0$ 이 감소하고 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{b}_{n}$ 이 조건수렴하지만 절대수렴하지는 않으면, ${b}_{n}$ 은 0으로 수렴하지 않는다.

영어 원문 보기

If ${b}_{n}\ge 0$ is decreasing and $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{b}_{n}$ converges conditionally but not absolutely, then ${b}_{n}$ does not tend to zero.

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# 교대급수계산자동 분류

42.OpenStax 2권 · 5.5절 · 42번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}^{+}={a}_{n}$ ( ${a}_{n}\ge 0$ 일 때), ${a}_{n}^{-}=-{a}_{n}$ ( ${a}_{n}<0$ 일 때)라 하자. (또한 ${a}_{n}^{+}=0\,\text{(단,}\,{a}_{n}<0$ 일 때), ${a}_{n}^{-}=0\,\text{(단,}\,{a}_{n}\ge 0.)$ 일 때이다.) $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 조건수렴하지만 절대수렴하지 않으면, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{+}$ 도 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{-}$ 도 수렴하지 않는다.

영어 원문 보기

Let ${a}_{n}^{+}={a}_{n}$ if ${a}_{n}\ge 0$ and ${a}_{n}^{-}=-{a}_{n}$ if ${a}_{n}<0.$ (Also, ${a}_{n}^{+}=0\,\text{if}\,{a}_{n}<0$ and ${a}_{n}^{-}=0\,\text{if}\,{a}_{n}\ge 0.)$ If $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges conditionally but not absolutely, then neither $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{+}$ nor $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{-}$ converge.

정답·풀이 보기

참이다. 둘 중 하나가 수렴하면 다른 하나도 수렴해야 하므로 절대수렴이 되기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

True. If one converges, then so must the other, implying absolute convergence.

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# 교대급수계산자동 분류

43.OpenStax 2권 · 5.5절 · 43번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}$ 이 양의 실수로 이루어진 수열이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴한다고 하자.

${b}_{n}$ 이 1과 -1로 이루어진 임의의 수열이라 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 은 반드시 수렴하나요?

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}$ is a sequence of positive real numbers and that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges.

Suppose that ${b}_{n}$ is an arbitrary sequence of ones and minus ones. Does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ necessarily converge?

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# 교대급수계산자동 분류

44.OpenStax 2권 · 5.5절 · 44번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}$ 이 0과 1로 이루어진 모든 가능한 수열 ${b}_{n}$ 에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 이 수렴하는 수열이라 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 은 절대수렴하나요?

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}$ is a sequence such that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ converges for every possible sequence ${b}_{n}$ of zeros and ones. Does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converge absolutely?

정답·풀이 보기

예. ${a}_{n}\ge 0$ 이면 ${b}_{n}=1$ 로, ${a}_{n}<0$ 이면 ${b}_{n}=0$ 으로 잡는다. 그러면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}=\sum_{n:{a}_{n}\ge 0}{a}_{n}$ 이 수렴한다. 같은 방법으로 $\sum_{n:{a}_{n}<0}{a}_{n}$ 도 수렴함을 보일 수 있다. 두 급수가 모두 수렴하므로 이 급수는 절대수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. Take ${b}_{n}=1$ if ${a}_{n}\ge 0$ and ${b}_{n}=0$ if ${a}_{n}<0.$ Then $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}=\sum_{n:{a}_{n}\ge 0}{a}_{n}$ converges. Similarly, one can show $\sum_{n:{a}_{n}<0}{a}_{n}$ converges. Since both series converge, the series must converge absolutely.

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# 교대급수계산자동 분류

45.OpenStax 2권 · 5.5절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 서술된 대로의 교대급수판정법의 조건을 만족하지 않는다.

각 경우에 어떤 조건이 만족되지 않는지 말하세요. 그 급수가 절대수렴하는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\frac{{\sin }^{2}n}{n}$

영어 원문 보기

The following series do not satisfy the hypotheses of the alternating series test as stated.

In each case, state which hypothesis is not satisfied. State whether the series converges absolutely.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\frac{{\sin }^{2}n}{n}$

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# 교대급수계산자동 분류

46.OpenStax 2권 · 5.5절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 서술된 대로의 교대급수판정법의 조건을 만족하지 않는다.

각 경우에 어떤 조건이 만족되지 않는지 말하세요. 그 급수가 절대수렴하는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\frac{{\cos }^{2}n}{n}$

영어 원문 보기

The following series do not satisfy the hypotheses of the alternating series test as stated.

In each case, state which hypothesis is not satisfied. State whether the series converges absolutely.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\frac{{\cos }^{2}n}{n}$

정답·풀이 보기

감소하지 않는다. 절대수렴하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Not decreasing. Does not converge absolutely.

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# 교대급수계산자동 분류

47.OpenStax 2권 · 5.5절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 서술된 대로의 교대급수판정법의 조건을 만족하지 않는다.

각 경우에 어떤 조건이 만족되지 않는지 말하세요. 그 급수가 절대수렴하는지 말하세요.

$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots$

영어 원문 보기

The following series do not satisfy the hypotheses of the alternating series test as stated.

In each case, state which hypothesis is not satisfied. State whether the series converges absolutely.

$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots$

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# 교대급수계산자동 분류

48.OpenStax 2권 · 5.5절 · 48번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 서술된 대로의 교대급수판정법의 조건을 만족하지 않는다.

각 경우에 어떤 조건이 만족되지 않는지 말하세요. 그 급수가 절대수렴하는지 말하세요.

$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\cdots$

영어 원문 보기

The following series do not satisfy the hypotheses of the alternating series test as stated.

In each case, state which hypothesis is not satisfied. State whether the series converges absolutely.

$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\cdots$

정답·풀이 보기

교대하지 않는다. $\sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{3n-2}+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n}\right)$ 로 나타낼 수 있으며, 이 급수는 $\sum \frac{1}{3n-2}$ 과의 비교에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

Not alternating. Can be expressed as $\sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{3n-2}+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n}\right),$ which diverges by comparison with $\sum \frac{1}{3n-2}.$

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# 교대급수계산자동 분류

49.OpenStax 2권 · 5.5절 · 49번대학 수준우리말 번역

교대급수 $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots$ 이

수렴하지 않음을 보이세요. 교대급수판정법의 어떤 조건이 만족되지 않는지 말하세요.

영어 원문 보기

Show that the alternating series $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots$ does

not converge. What hypothesis of the alternating series test is not met?

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# 교대급수증명·논술자동 분류

50.OpenStax 2권 · 5.5절 · 50번대학 수준우리말 번역

$\sum {a}_{n}$ 이 절대수렴한다고 하자. 양의 항 ${a}_{n}$ 으로 이루어진 급수도 수렴함을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that $\sum {a}_{n}$ converges absolutely. Show that the series consisting of the positive terms ${a}_{n}$ also converges.

정답·풀이 보기

${a}_{n}\ge 0$ 이면 ${a}^{+}{}_{n}={a}_{n}$ 으로, ${a}_{n}<0$ 이면 ${a}^{+}{}_{n}=0$ 으로 정의하자. 그러면 모든 $n$ 에 대해 ${a}^{+}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ 이므로, ${a}^{+}{}_{n}$ 의 부분합으로 이루어진 수열은 증가하고, 수렴하는 $|{a}_{n}|$ 의 부분합으로 이루어진 수열에 의해 위로 유계이다. 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{+}{}_{n}$ 은 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Let ${a}^{+}{}_{n}={a}_{n}$ if ${a}_{n}\ge 0$ and ${a}^{+}{}_{n}=0$ if ${a}_{n}<0.$ Then ${a}^{+}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ for all $n$ so the sequence of partial sums of ${a}^{+}{}_{n}$ is increasing and bounded above by the sequence of partial sums of $|{a}_{n}|,$ which converges; hence, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{+}{}_{n}$ converges.

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# 교대급수증명·논술자동 분류

51.OpenStax 2권 · 5.5절 · 51번대학 수준우리말 번역

교대급수 $\frac{2}{3}-\frac{3}{5}+\frac{4}{7}-\frac{5}{9}+\cdots$ 가 수렴하지 않음을 보이세요. 교대급수 판정법의 가정 중 어느 것이 충족되지 않습니까?

영어 원문 보기

Show that the alternating series $\frac{2}{3}-\frac{3}{5}+\frac{4}{7}-\frac{5}{9}+\cdots$ does not converge. What hypothesis of the alternating series test is not met?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 교대급수증명·논술자동 분류

52.OpenStax 2권 · 5.5절 · 52번대학 수준우리말 번역

공식 $\cos \theta =1-\frac{{\theta }^{2}}{2!}+\frac{{\theta }^{4}}{4!}-\frac{{\theta }^{6}}{6!}+\cdots$ 은 다음 단원에서 유도할 것이다. 나머지 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여, $\theta =1,$ $\theta =\pi /6,$ $\theta =\pi$ 일 때 $\cos \theta$ 를 제5부분합 $1-{\theta }^{2}/2!+{\theta }^{4}/4!-{\theta }^{6}/6!+{\theta }^{8}/8!$ 로 어림할 때 생기는 오차의 한계를 구하세요.

영어 원문 보기

The formula $\cos \theta =1-\frac{{\theta }^{2}}{2!}+\frac{{\theta }^{4}}{4!}-\frac{{\theta }^{6}}{6!}+\cdots$ will be derived in the next chapter. Use the remainder $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ to find a bound for the error in estimating $\cos \theta$ by the fifth partial sum $1-{\theta }^{2}/2!+{\theta }^{4}/4!-{\theta }^{6}/6!+{\theta }^{8}/8!$ for $\theta =1,$ $\theta =\pi /6,$ and $\theta =\pi .$

정답·풀이 보기

$N=5$ 일 때 $|{R}_{N}|{b}_{6}={\theta }^{10}/10!$ 이다. $\theta =1$ 일 때 ${R}_{5}\le 1/10!\approx 2.75\,\times \,{10}^{-7}$ 이다. $\theta =\pi /6$ 일 때 ${R}_{5}\le {(\pi /6)}^{10}/10!\approx 4.26\,\times \,{10}^{-10}$ 이다. $\theta =\pi$ 일 때 ${R}_{5}\le {\pi }^{10}/10!=0.0258$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

For $N=5$ one has $|{R}_{N}|{b}_{6}={\theta }^{10}/10!.$ When $\theta =1,$ ${R}_{5}\le 1/10!\approx 2.75\,\times \,{10}^{-7}.$ When $\theta =\pi /6,$ ${R}_{5}\le {(\pi /6)}^{10}/10!\approx 4.26\,\times \,{10}^{-10}.$ When $\theta =\pi ,$ ${R}_{5}\le {\pi }^{10}/10!=0.0258.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.5절 · 4번

# 교대급수계산자동 분류

53.OpenStax 2권 · 5.5절 · 53번대학 수준우리말 번역

공식 $\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^{3}}{3!}+\frac{{\theta }^{5}}{5!}-\frac{{\theta }^{7}}{7!}+\cdots$ 은 다음 단원에서 유도할 것이다. 나머지 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여, $\theta =1,$ $\theta =\pi /6,$ $\theta =\pi$ 일 때 $\sin \theta$ 를 제5부분합 $\theta -{\theta }^{3}/3!+{\theta }^{5}/5!-{\theta }^{7}/7!+{\theta }^{9}/9!$ 로 어림할 때 생기는 오차의 한계를 구하세요.

영어 원문 보기

The formula $\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^{3}}{3!}+\frac{{\theta }^{5}}{5!}-\frac{{\theta }^{7}}{7!}+\cdots$ will be derived in the next chapter. Use the remainder $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ to find a bound for the error in estimating $\sin \theta$ by the fifth partial sum $\theta -{\theta }^{3}/3!+{\theta }^{5}/5!-{\theta }^{7}/7!+{\theta }^{9}/9!$ for $\theta =1,$ $\theta =\pi /6,$ and $\theta =\pi .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.5절 · 4번

# 교대급수계산자동 분류

54.OpenStax 2권 · 5.5절 · 54번대학 수준우리말 번역

$\cos \theta =1-\frac{{\theta }^{2}}{2!}+\frac{{\theta }^{4}}{4!}-\frac{{\theta }^{6}}{6!}+\cdots$ 에서 $\cos 1$ 을 오차가 최대 $0.00001$ 이하가 되도록 어림하려면 몇 개의 항이 필요합니까?

영어 원문 보기

How many terms in $\cos \theta =1-\frac{{\theta }^{2}}{2!}+\frac{{\theta }^{4}}{4!}-\frac{{\theta }^{6}}{6!}+\cdots$ are needed to approximate $\cos 1$ accurate to an error of at most $0.00001?$

정답·풀이 보기

${b}_{n}=1/(2n-2)!$ 이라 하자. 그러면 $(2N)!>{10}^{5}$ 일 때, 즉 $N=5$ 일 때 ${R}_{N}\le 1/(2N)!<0.00001$ 이고, $1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}+\frac{1}{8!}=0.540325\ldots$ , 한편 $\cos 1=0.5403023\ldots$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let ${b}_{n}=1/(2n-2)!.$ Then ${R}_{N}\le 1/(2N)!<0.00001$ when $(2N)!>{10}^{5}$ or $N=5$ and $1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}+\frac{1}{8!}=0.540325\ldots ,$ whereas $\cos 1=0.5403023\ldots$

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# 교대급수계산자동 분류

55.OpenStax 2권 · 5.5절 · 55번대학 수준우리말 번역

$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^{3}}{3!}+\frac{{\theta }^{5}}{5!}-\frac{{\theta }^{7}}{7!}+\cdots$ 에서 $\sin 1$ 을 오차가 최대 $0.00001?$ 이내가 되도록 어림하려면 몇 개의 항이 필요한가요?

영어 원문 보기

How many terms in $\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^{3}}{3!}+\frac{{\theta }^{5}}{5!}-\frac{{\theta }^{7}}{7!}+\cdots$ are needed to approximate $\sin 1$ accurate to an error of at most $0.00001?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 38번

# 교대급수계산자동 분류

56.OpenStax 2권 · 5.5절 · 56번대학 수준우리말 번역

교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{b}_{n}$ 이 절대수렴하는 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}$ 의 어떤 분수 배로 더 빠르게 수렴하는 경우가 있다. $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}=\frac{{\pi }^{2}}{6}$ 이 주어졌을 때, $12=1-\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}+\cdots$ 을 구하세요. 두 급수 $6\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}$ 과 $S\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{{n}^{2}}$ 중 $1000$ 개의 항을 사용하여 ${\pi }^{2}$ 을 더 잘 어림하는 것은 어느 것인가요?

영어 원문 보기

Sometimes the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{b}_{n}$ converges to a certain fraction of an absolutely convergent series $\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}$ at a faster rate. Given that $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}=\frac{{\pi }^{2}}{6},$ find $12=1-\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}+\cdots .$ Which of the series $6\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}$ and $S\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{{n}^{2}}$ gives a better estimation of ${\pi }^{2}$ using $1000$ terms?

정답·풀이 보기

$T=\sum \frac{1}{{n}^{2}}$ 이라 하자. 그러면 $T-S=\frac{1}{2}T$ 이므로 $S=T/2$ 이다. $\sqrt{6\,\times \,\sum_{n=1}^{1000}1/{n}^{2}}=3.140638\ldots ;$ $\sqrt{12\,\times \,\sum_{n=1}^{1000}{(-1)}^{n-1}/{n}^{2}}=3.141591\ldots ;$

$\pi =3.141592\ldots$ 이다. $1000$ 개의 항을 사용할 때 교대급수가 더 정확하다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $T=\sum \frac{1}{{n}^{2}}.$ Then $T-S=\frac{1}{2}T,$ so $S=T/2.$ $\sqrt{6\,\times \,\sum_{n=1}^{1000}1/{n}^{2}}=3.140638\ldots ;$ $\sqrt{12\,\times \,\sum_{n=1}^{1000}{(-1)}^{n-1}/{n}^{2}}=3.141591\ldots ;$

$\pi =3.141592\ldots .$ The alternating series is more accurate for $1000$ terms.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 34번

# 교대급수계산자동 분류

57.OpenStax 2권 · 5.5절 · 57번대학 수준우리말 번역

다음 교대급수는 $\pi$ 의 주어진 배수로 수렴한다. 급수의 $N\text{th}$ 부분합이 좌변을 주어진 오차 이내로 정확하게 근사하도록 하는, 나머지 추정으로 예측되는 $N$ 의 값을 구하세요. 오차 한계가 성립하는 최소의 $N$ 을 구하고, 각 경우에 원하는 근삿값을 구하세요. 소수점 아래 15째 자리까지 $\pi =3.141592653589793\ldots$ 이다.

[계산기 사용] $\frac{\pi }{4}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1}$ , 오차 $<0.0001$

영어 원문 보기

The following alternating series converge to given multiples of $\pi .$ Find the value of $N$ predicted by the remainder estimate such that the $N\text{th}$ partial sum of the series accurately approximates the left-hand side to within the given error. Find the minimum $N$ for which the error bound holds, and give the desired approximate value in each case. Up to $15$ decimals places, $\pi =3.141592653589793\ldots .$

[T] $\frac{\pi }{4}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1},$ error $<0.0001$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 60번

# 교대급수계산자동 분류

58.OpenStax 2권 · 5.5절 · 58번대학 수준우리말 번역

다음 교대급수는 $\pi$ 의 주어진 배수로 수렴한다. 급수의 $N\text{th}$ 부분합이 좌변을 주어진 오차 이내로 정확하게 근사하도록 하는, 나머지 추정으로 예측되는 $N$ 의 값을 구하세요. 오차 한계가 성립하는 최소의 $N$ 을 구하고, 각 경우에 원하는 근삿값을 구하세요. 소수점 아래 15째 자리까지 $\pi =3.141592653589793\ldots$ 이다.

[계산기 사용] $\frac{\pi }{\sqrt{12}}=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{{(-3)}^{-k}}{2k+1}$ , 오차 $<0.0001$

영어 원문 보기

The following alternating series converge to given multiples of $\pi .$ Find the value of $N$ predicted by the remainder estimate such that the $N\text{th}$ partial sum of the series accurately approximates the left-hand side to within the given error. Find the minimum $N$ for which the error bound holds, and give the desired approximate value in each case. Up to $15$ decimals places, $\pi =3.141592653589793\ldots .$

[T] $\frac{\pi }{\sqrt{12}}=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{{(-3)}^{-k}}{2k+1},$ error $<0.0001$

정답·풀이 보기

$N=6,$ ${S}_{N}=0.9068$

원본 교재 풀이(영어)

$N=6,$ ${S}_{N}=0.9068$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.5절 · 2번

# 교대급수계산자동 분류

59.OpenStax 2권 · 5.5절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\sin (x+\pi n)}{x+\pi n}$ 은 신호 처리에서 중요한 역할을 한다. $0<x<\pi$ 인 모든 $x$ 에 대해 $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\sin (x+\pi n)}{x+\pi n}$ 이 수렴함을 보이세요. (힌트: 각의 합에 대한 사인 공식을 이용하세요.)

영어 원문 보기

[T] The series $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\sin (x+\pi n)}{x+\pi n}$ plays an important role in signal processing. Show that $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\sin (x+\pi n)}{x+\pi n}$ converges whenever $0<x<\pi .$ (Hint: Use the formula for the sine of a sum of angles.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 52번

# 교대급수증명·논술자동 분류

60.OpenStax 2권 · 5.5절 · 60번대학 수준우리말 번역

다음 교대급수는 주어진 $\pi$ 의 배수로 수렴합니다. 나머지 추정으로 예측되는 $N$ 의 값을 구하세요. 이때 급수의 $N\text{th}$ 부분합이 좌변을 주어진 오차 이내로 정확하게 근사해야 합니다. 오차 한계가 성립하는 $N$ 의 최솟값을 구하고, 각 경우에 대해 원하는 근삿값을 쓰세요. 소수 15째 자리까지 $\pi =3.141592653589793\ldots$ 입니다.

[계산기 사용] $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{1}{n}\to \ln 2$ 일 때, $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{8}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots$ 의 값은 얼마인가요?

영어 원문 보기

The following alternating series converge to given multiples of $\pi .$ Find the value of $N$ predicted by the remainder estimate such that the $N\text{th}$ partial sum of the series accurately approximates the left-hand side to within the given error. Find the minimum $N$ for which the error bound holds, and give the desired approximate value in each case. Up to $15$ decimals places, $\pi =3.141592653589793\ldots .$

[T] If $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{1}{n}\to \ln 2,$ what is $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{8}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots ?$

정답·풀이 보기

$\ln (2)$ 이다. $3n\text{th}$ 부분합은 교대조화급수의 부분합과 같다.

원본 교재 풀이(영어)

$\ln (2).$ The $3n\text{th}$ partial sum is the same as that for the alternating harmonic series.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 62번

# 교대급수계산자동 분류