테일러 다항식과 오차 연습문제

21.APEX · 8.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 테일러 다항식으로 함수의 값을 어림하고 오차의 대략적인 한계를 구하세요.

3차 매클로린 다항식으로 $\sin 0.1$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, approximate the function value with the indicated Taylor polynomial and give approximate bounds on the error.

Approximate $\sin 0.1$ with the Maclaurin polynomial of degree 3.

정답·풀이 보기

$p_3(x) =x-\frac{x^3}{6}$ ; $p_3(0.1) = 0.09983$ . 오차는 $\pm \frac{1}{4!}\cdot0.1^4 \approx \pm 0.000004167$ 이내로 유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

$p_3(x) =x-\frac{x^3}{6}$ ; $p_3(0.1) = 0.09983$ . Error is bounded by $\pm \frac{1}{4!}\cdot0.1^4 \approx \pm 0.000004167$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 21번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

22.APEX · 8.7절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 테일러 다항식으로 함수의 값을 어림하고 오차의 대략적인 한계를 구하세요.

4차 매클로린 다항식으로 $\cos 1$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, approximate the function value with the indicated Taylor polynomial and give approximate bounds on the error.

Approximate $\cos 1$ with the Maclaurin polynomial of degree 4.

정답·풀이 보기

$p_4(x) =1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$ ; $p_4(1) = 13/24\approx 0.54167$ . 오차는 $\pm \frac{1}{5!}\cdot1^5 \approx \pm 0.00833$ 이내로 유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

$p_4(x) =1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$ ; $p_4(1) = 13/24\approx 0.54167$ . Error is bounded by $\pm \frac{1}{5!}\cdot1^5 \approx \pm 0.00833$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 8번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

23.APEX · 8.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 테일러 다항식으로 함수의 값을 어림하고 오차의 대략적인 범위를 구하세요.

$x=9$ 에서의 2차 테일러 다항식으로 $\sqrt{10}$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, approximate the function value with the indicated Taylor polynomial and give approximate bounds on the error.

Approximate $\sqrt{10}$ with the Taylor polynomial of degree 2 centered at $x=9$ .

정답·풀이 보기

$p_2(x) =3+\frac{1}{6} (-9+x)-\frac{1}{216} (-9+x)^2$ ; $p_2(10) = 3.16204$ . 함수 $f(x) =\sqrt x$ 의 3계 도함수는 $(8,11)$ 에서 $0.003$ 으로 유계이다. 오차는 $\pm \frac{0.003}{3!}\cdot1^3 = \pm 0.0005$ 이내이다.

원본 교재 풀이(영어)

$p_2(x) =3+\frac{1}{6} (-9+x)-\frac{1}{216} (-9+x)^2$ ; $p_2(10) = 3.16204$ . The third derivative of $f(x) =\sqrt x$ is bounded on $(8,11)$ by $0.003$ . Error is bounded by $\pm \frac{0.003}{3!}\cdot1^3 = \pm 0.0005.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.7절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

24.APEX · 8.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 테일러 다항식으로 함수의 값을 어림하고 오차의 대략적인 범위를 구하세요.

$x=1$ 에서의 3차 테일러 다항식으로 $\ln1.5$ 를 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, approximate the function value with the indicated Taylor polynomial and give approximate bounds on the error.

Approximate $\ln1.5$ with the Taylor polynomial of degree 3 centered at $x=1$ .

정답·풀이 보기

$p_3(x) =-1+x-\frac{1}{2} (-1+x)^2+\frac{1}{3} (-1+x)^3$ ; $p_3(1.5) = 0.41667$ . 함수 $f(x) =\ln x$ 의 4계 도함수는 $(.9,2)$ 에서 $10$ 으로 유계이다. 오차는 $\pm \frac{10}{4!}\cdot.5^4 = \pm 0.026$ 이내이다.

원본 교재 풀이(영어)

$p_3(x) =-1+x-\frac{1}{2} (-1+x)^2+\frac{1}{3} (-1+x)^3$ ; $p_3(1.5) = 0.41667$ . The fourth derivative of $f(x) =\ln x$ is bounded on $(.9,2)$ by $10$ . Error is bounded by $\pm \frac{10}{4!}\cdot.5^4 = \pm 0.026.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

25.APEX · 8.7절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28은 $p_n(x)$ 가 $f(x)$ 를 일정한 정확도 범위 안에서 근사하도록 하는 $n$ 을 구하라는 문제이다.

$f(x)= e^x$ 의 $n$ 차 매클로린 다항식이 $e$ 의 실제 값과 $0.0001$ 이내로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 25–28 ask for an $n$ to be found such that $p_n(x)$ approximates $f(x)$ within a certain bound of accuracy.

Find $n$ such that the Maclaurin polynomial of degree $n$ of $f(x)= e^x$ approximates $e$ within $0.0001$ of the actual value.

정답·풀이 보기

$f(x)=e^x$ 의 $n^\text{th}$ 도함수는 $0$ 과 1을 포함하는 구간에서 $3$ 으로 유계이다. 따라서 $|R_n(1)|\leq \frac{3}{(n+1)!}1^{(n+1)}$ 이다. $n=7$ 일 때, 이 값은 $0.0001$ 보다 작다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ derivative of $f(x)=e^x$ is bounded by $3$ on intervals containing $0$ and 1. Thus $|R_n(1)|\leq \frac{3}{(n+1)!}1^{(n+1)}$ . When $n=7$ , this is less than $0.0001$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

26.APEX · 8.7절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28은 $p_n(x)$ 가 $f(x)$ 를 일정한 정확도 범위 이내로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하는 문제입니다.

$x=4$ 를 중심으로 하는 $f(x)= \sqrt x$ 의 $n$ 차 테일러 다항식이 $\sqrt 3$ 을 실제 값과 $0.0001$ 이내의 오차로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 25–28 ask for an $n$ to be found such that $p_n(x)$ approximates $f(x)$ within a certain bound of accuracy.

Find $n$ such that the Taylor polynomial of degree $n$ of $f(x)= \sqrt x$ , centered at $x=4$ , approximates $\sqrt 3$ within $0.0001$ of the actual value.

정답·풀이 보기

$f(x)=\sqrt x$ 의 $n^\text{th}$ 도함수는 $3$ 과 $4$ 를 포함하는 구간에서 $0.1$ 로 유계이다. 따라서 $|R_n(\pi)|\leq \frac{0.1}{(n+1)!}(1)^{(n+1)}$ 이다. $n=4$ 일 때 이 값은 $0.0001$ 보다 작다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ derivative of $f(x)=\sqrt x$ is bounded by $0.1$ on intervals containing $3$ and $4$ . Thus $|R_n(\pi)|\leq \frac{0.1}{(n+1)!}(1)^{(n+1)}$ . When $n=4$ , this is less than $0.0001$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 9번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

27.APEX · 8.7절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28은 $p_n(x)$ 가 $f(x)$ 를 어느 정확도 범위 안에서 근사하도록 하는 $n$ 을 구하는 문제이다.

$f(x)= \cos x$ 의 $n$ 차 매클로린 다항식이 $\cos \pi/3$ 의 실제 값과 $0.0001$ 이내로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 25–28 ask for an $n$ to be found such that $p_n(x)$ approximates $f(x)$ within a certain bound of accuracy.

Find $n$ such that the Maclaurin polynomial of degree $n$ of $f(x)= \cos x$ approximates $\cos \pi/3$ within $0.0001$ of the actual value.

정답·풀이 보기

$f(x)=\cos x$ 의 $n^\text{th}$ 도함수는 0과 $\pi/3$ 을 포함하는 구간에서 1로 유계이다. 따라서 $|R_n(\pi/3)|\leq \frac{1}{(n+1)!}(\pi/3)^{(n+1)}$ 이다. $n=7$ 일 때 이 값은 $0.0001$ 보다 작다. $\cos x$ 의 매클로린 다항식은 짝수 차수의 항만 사용하므로, 실제로는 $n=6$ 을 사용해도 된다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ derivative of $f(x)=\cos x$ is bounded by $1$ on intervals containing $0$ and $\pi/3$ . Thus $|R_n(\pi/3)|\leq \frac{1}{(n+1)!}(\pi/3)^{(n+1)}$ . When $n=7$ , this is less than $0.0001$ . Since the Maclaurin polynomial of $\cos x$ only uses even powers, we can actually just use $n=6$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

28.APEX · 8.7절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28은 $p_n(x)$ 이 $f(x)$ 를 어떤 정확도 한계 이내로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하라는 문제이다.

$f(x)= \sin x$ 의 $n$ 차 매클로린 다항식이 $\cos \pi$ 의 실제 값과 $0.0001$ 이내로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 25–28 ask for an $n$ to be found such that $p_n(x)$ approximates $f(x)$ within a certain bound of accuracy.

Find $n$ such that the Maclaurin polynomial of degree $n$ of $f(x)= \sin x$ approximates $\cos \pi$ within $0.0001$ of the actual value.

정답·풀이 보기

$f(x)=\sin x$ 의 $n^\text{th}$ 도함수는 $0$ 과 $\pi$ 를 포함하는 구간에서 $1$ 로 유계이다. 따라서 $|R_n(\pi)|\leq \frac{1}{(n+1)!}(\pi)^{(n+1)}$ 이다. $n=12$ 일 때 이 값은 $0.0001$ 보다 작다. $\sin x$ 의 매클로린 다항식은 홀수 차수의 거듭제곱만 사용하므로, 실제로는 $n=11$ 을 써도 된다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ derivative of $f(x)=\sin x$ is bounded by $1$ on intervals containing $0$ and $\pi$ . Thus $|R_n(\pi)|\leq \frac{1}{(n+1)!}(\pi)^{(n+1)}$ . When $n=12$ , this is less than $0.0001$ . Since the Maclaurin polynomial of $\sin x$ only uses odd powers, we can actually just use $n=11$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 2번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

29.APEX · 8.7절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$f(x)=e^x$ 의 매클로린 다항식의 $n^\text{th}$ 항에 대한 식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Maclaurin polynomial for $f(x)=e^x$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 $\frac{1}{n!}x^n$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is $\frac{1}{n!}x^n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

30.APEX · 8.7절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$f(x)=\cos x$ 에 대한 매클로린 다항식의 $n^\text{th}$ 항의 공식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Maclaurin polynomial for $f(x)=\cos x$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 다음과 같다: $n$ 이 짝수일 때 $\frac{(-1)^{n/2}}{n!}x^n$ 이고, $n$ 이 홀수일 때 $0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is: when $n$ is even, $\frac{(-1)^{n/2}}{n!}x^n$ ; when $n$ is odd, $0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 10번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

31.APEX · 8.7절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서, 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$f(x)=\sin x$ 의 매클로린 다항식의 $n^\text{th}$ 항에 대한 공식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Maclaurin polynomial for $f(x)=\sin x$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 다음과 같다: $n$ 이 짝수일 때 0, $n$ 이 홀수일 때 $\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!}x^n$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is: when $n$ even, 0; when $n$ is odd, $\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!}x^n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

32.APEX · 8.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}$ 의 매클로린 다항식에서 $n^\text{th}$ 항에 대한 공식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Maclaurin polynomial for $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 $x^n$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is $x^n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 6번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

33.APEX · 8.7절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}$ 의 매클로린 다항식의 $n^\text{th}$ 항에 대한 공식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Maclaurin polynomial for $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 $(-1)^nx^n$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is $(-1)^nx^n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

34.APEX · 8.7절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서, 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$x=1$ 에서의 $\displaystyle f(x)=\ln x$ 의 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항에 대한 식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Taylor polynomial for $\displaystyle f(x)=\ln x$ centered at $x=1$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 $(-1)^n\frac{(x-1)^n}{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is $(-1)^n\frac{(x-1)^n}{n}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 5번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

35.APEX · 8.7절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–37에서 주어진 미분방정식의 해를 4차 매클로린 다항식으로 어림하세요.

$y'=y$ , $y(0) = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 35–37, approximate the solution to the given differential equation with a degree 4 Maclaurin polynomial.

$y'=y$ , $y(0) = 1$

정답·풀이 보기

$\displaystyle 1+x+\frac12x^2+\frac16x^3+\frac1{24}x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle 1+x+\frac12x^2+\frac16x^3+\frac1{24}x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

36.APEX · 8.7절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–37에서 주어진 미분방정식의 해를 4차 매클로린 다항식으로 어림하세요.

$y'=5y$ , $y(0) = 3$

영어 원문 보기

In Exercises 35–37, approximate the solution to the given differential equation with a degree 4 Maclaurin polynomial.

$y'=5y$ , $y(0) = 3$

정답·풀이 보기

$\displaystyle 3+15x+\frac{75}{2}x^2+\frac{375}{6}x^3+\frac{1875}{24}x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle 3+15x+\frac{75}{2}x^2+\frac{375}{6}x^3+\frac{1875}{24}x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 11번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

37.APEX · 8.7절 · 37번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–37에서 주어진 미분방정식의 해를 4차 매클로린 다항식으로 어림하세요.

$\displaystyle y'=\frac2y$ , $y(0) = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 35–37, approximate the solution to the given differential equation with a degree 4 Maclaurin polynomial.

$\displaystyle y'=\frac2y$ , $y(0) = 1$

정답·풀이 보기

$\displaystyle 1+2x-2x^2+4x^3-10x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle 1+2x-2x^2+4x^3-10x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 5번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

38.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x)$ 의 $x=3$ 에서의 이차근사는 다음과 같다. $f(x) \approx -x^2+6x$ $f(3)$ , $f'(3)$ , $f''(3)$ , $f'''(3)$ 의 값을 각각 구하세요.

영어 원문 보기

The quadratic approximation of a function $f(x)$ about $x=3$ is $f(x) \approx -x^2+6x$ What are the values of $f(3)$ , $f'(3)$ , $f''(3)$ , and $f'''(3)$ ?

정답·풀이 보기

$Q(x)$ 가 $3$ 에서 $f$ 의 이차근사이면 $Q(3)=f(3)$ , $Q'(3)=f'(3)$ , $Q''(3)=f''(3)$ 이다. 그러나 $f(x)$ 와 $Q(x)$ 의 3계 도함수가 같다는 보장은 없으므로, $f'''(3)$ 을 알기에는 정보가 충분하지 않다.

$\begin{aligned} f(3)&=-3^2+6(3)=9\\ f'(3)&=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-x^2+6x\right\}\right|_{x=3}=\left.-2x+6\right|_{x=3}=0\\ f''(3)&=\left.\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left\{-x^2+6x\right\}\right|_{x=3}= \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-2x+6\right\}\right|_{x=3}=-2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

If $Q(x)$ is the quadratic approximation of $f$ about $3$ , then $Q(3)=f(3)$ , $Q'(3)=f'(3)$ , and $Q''(3)=f''(3)$ . There is no guarantee that $f(x)$ and $Q(x)$ share the same third derivative, though, so we do not have enough information to know $f'''(3)$ .

$\begin{aligned} f(3)&=-3^2+6(3)=9\\ f'(3)&=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-x^2+6x\right\}\right|_{x=3}=\left.-2x+6\right|_{x=3}=0\\ f''(3)&=\left.\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left\{-x^2+6x\right\}\right|_{x=3}= \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-2x+6\right\}\right|_{x=3}=-2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 6번

# 테일러 다항식과 오차계산기본자동 분류

39.CLP-1 · 3.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

$f(x)=2x+5$ 의 $x=a$ 에서의 이차근사를 구하세요.

영어 원문 보기

Give a quadratic approximation of $f(x)=2x+5$ about $x=a$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 이차근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x) &\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 \\ \text{$f(a)=2a+5$, $f'(a)=2$, $f''(a)=0$ 을 대입하면:} \\ f(x) &\approx (2a+5)+2(x-a)=2x+5 \end{aligned}$

따라서 구하는 근사는 $f(x) \approx 2x+5$ 이다.

참고: 이 근사는 $x$ 의 모든 값에 대해 정확하다. 이차함수, 일차함수, 상수함수의 이차근사는 항상 이렇게 된다.

원본 교재 풀이(영어)

The quadratic approximation of $f(x)$ about $x=a$ is

$\begin{aligned} f(x) &\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 \\ \text{We subsitute $f(a)=2a+5$, $f'(a)=2$, and $f''(a)=0$:} \\ f(x) &\approx (2a+5)+2(x-a)=2x+5 \end{aligned}$

So, our approximation is $f(x) \approx 2x+5$ .

Remark: Our approximation is exact for every value of $x$ . This will always happen with a quadratic approximation of a function that is quadratic, linear, or constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산기본자동 분류

40.CLP-1 · 3.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

2차 근사를 이용하여 $\log(0.93)$ 의 값을 어림하세요.

(씨엘피-1에서는 $\log x$ 를 $x$ 의 자연로그, 즉 $\log_e x$ 의 뜻으로 쓴다는 점을 기억하세요.)

영어 원문 보기

Use a quadratic approximation to estimate $\log(0.93)$ .

(Remember that in CLP-1 we use $\log x$ to mean the natural logarithm of $x$ , $\log_e x$ .)

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

함수 $f(x)=\log x$ 를 $x=1$ 근처에서 근사한다. 1은 $0.93$ 에 가깝고, $x=1$ 에서 $f(x)$ 와 처음 두 도함수의 값을 구할 수 있으므로 1을 택한다.

$\begin{aligned} f(1)&=0\\ f'(x)&=\frac{1}{x}\qquad \Rightarrow \qquad f'(1)=1\\ f''(x)&=\frac{-1}{x^2} \qquad \Rightarrow \qquad f''(1)=-1 \\ \text{따라서,} \\ f(x) &\approx f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{1}{2}f''(1)(x-1)^2\\ &=0+(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2 \\ \text{$x=0.93$ 일 때:} \\ f(0.93) &\approx (0.93-1)-\frac{1}{2}(0.93-1)^2=-0.07-\frac{1}{2}(0.0049)=-0.07245 \end{aligned}$

따라서 $\log(0.93) \approx -0.07245$ 로 어림한다.

참고: 계산기로 구하면 $\log(0.93) \approx -0.07257$ 이다. 꽤 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

We approximate the function $f(x)=\log x$ about the point $x=1$ . We choose 1 because it is close to $0.93$ , and we can evaluate $f(x)$ and its first two derivatives at $x=1$ .

$\begin{aligned} f(1)&=0\\ f'(x)&=\frac{1}{x}\qquad \Rightarrow \qquad f'(1)=1\\ f''(x)&=\frac{-1}{x^2} \qquad \Rightarrow \qquad f''(1)=-1 \\ \text{So,} \\ f(x) &\approx f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{1}{2}f''(1)(x-1)^2\\ &=0+(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2 \\ \text{When $x=0.93$:} \\ f(0.93) &\approx (0.93-1)-\frac{1}{2}(0.93-1)^2=-0.07-\frac{1}{2}(0.0049)=-0.07245 \end{aligned}$

We estimate $\log(0.93) \approx -0.07245$ .

Remark: a calculator approximates $\log(0.93) \approx -0.07257$ . We're pretty close.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

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