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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터와 공간 전체 문제

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247문제 · 11 / 13쪽

201.APEX · 11.2절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 r⃗ ′(t)\vec r\,' (t) 를 구하세요. r⃗(t)\vec r(t) 와 r⃗ ′(1)\vec r\,'(1) 을 그리세요. 이때 r⃗ ′(1)\vec r\,'(1) 의 시점은 r⃗(1)\vec r(1) 에 놓으세요.

r⃗(t)=⟨t2−4t+5,t3−6t2+11t−6⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2-4t+5,t^3-6t^2+11t-6\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find r⃗ ′(t)\vec r\,' (t). Sketch r⃗(t)\vec r(t) and r⃗ ′(1)\vec r\,'(1), with the initial point of r⃗ ′(1)\vec r\,'(1) at r⃗(1)\vec r(1).

r⃗(t)=⟨t2−4t+5,t3−6t2+11t−6⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2-4t+5,t^3-6t^2+11t-6\right\rangle

정답·풀이 보기

그림

r⃗ ′(t)=⟨2t−4,3t2−12t+11⟩\vec r\,'(t) = \left\langle 2t-4,3t^2-12t+11\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

figure

r⃗ ′(t)=⟨2t−4,3t2−12t+11⟩\vec r\,'(t) = \left\langle 2t-4,3t^2-12t+11\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3장 복습 · 2번
# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
202.APEX · 11.2절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 tt 의 값에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

r⃗(t)=⟨t2+t,t2−t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2+t, t^2-t\right\rangle , t=1t=1 일 때.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, give the equation of the line tangent to the graph of r⃗(t)\vec r(t) at the given tt value.

r⃗(t)=⟨t2+t,t2−t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2+t, t^2-t\right\rangle at t=1t=1.

정답·풀이 보기

ℓ(t)=⟨2,0⟩+t⟨3,1⟩\ell(t) = \left\langle 2,0\right\rangle + t\left\langle 3,1\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

ℓ(t)=⟨2,0⟩+t⟨3,1⟩\ell(t) = \left\langle 2,0\right\rangle + t\left\langle 3,1\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3장 복습 · 16번
# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
203.APEX · 11.2절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 tt 의 값에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

r⃗(t)=⟨3cos⁡t,sin⁡t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 3\cos t,\sin t\right\rangle , t=π/4t=\pi/4 일 때.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, give the equation of the line tangent to the graph of r⃗(t)\vec r(t) at the given tt value.

r⃗(t)=⟨3cos⁡t,sin⁡t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 3\cos t,\sin t\right\rangle at t=π/4t=\pi/4.

정답·풀이 보기

ℓ(t)=⟨32/2,2/2⟩+t⟨−32/2,2/2⟩\ell(t) = \left\langle 3\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2\right\rangle + t\left\langle -3\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

ℓ(t)=⟨32/2,2/2⟩+t⟨−32/2,2/2⟩\ell(t) = \left\langle 3\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2\right\rangle + t\left\langle -3\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 23번
# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
204.APEX · 11.2절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 tt 의 값에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

r⃗(t)=⟨3cos⁡t,3sin⁡t,t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t,t\right\rangle , t=πt=\pi 일 때.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, give the equation of the line tangent to the graph of r⃗(t)\vec r(t) at the given tt value.

r⃗(t)=⟨3cos⁡t,3sin⁡t,t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t,t\right\rangle at t=πt=\pi.

정답·풀이 보기

ℓ(t)=⟨−3,0,π⟩+t⟨0,−3,1⟩\ell(t) = \left\langle -3,0,\pi\right\rangle + t\left\langle 0,-3,1\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

ℓ(t)=⟨−3,0,π⟩+t⟨0,−3,1⟩\ell(t) = \left\langle -3,0,\pi\right\rangle + t\left\langle 0,-3,1\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 57번
# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
205.APEX · 11.2절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 tt 의 값에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

r⃗(t)=⟨et,tan⁡t,t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle e^t,\tan t,t\right\rangle 의 t=0t=0 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, give the equation of the line tangent to the graph of r⃗(t)\vec r(t) at the given tt value.

r⃗(t)=⟨et,tan⁡t,t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle e^t,\tan t,t\right\rangle at t=0t=0.

정답·풀이 보기

ℓ(t)=⟨1,0,0⟩+t⟨1,1,1⟩\ell(t) = \left\langle 1,0,0 \right\rangle + t\left\langle 1,1,1\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

ℓ(t)=⟨1,0,0⟩+t⟨1,1,1⟩\ell(t) = \left\langle 1,0,0 \right\rangle + t\left\langle 1,1,1\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 28번
# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
206.APEX · 11.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 위치 함수 r⃗(t)\vec r(t) 가 주어져 있습니다. 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프를 그리세요. v⃗(t)\vec v(t) 와 a⃗(t)\vec a(t) 를 구한 다음, 주어진 t0t_0 의 값에 대해 v⃗(t0)\vec v(t_0) 와 a⃗(t0)\vec a(t_0) 를 시점이 r⃗(t0)\vec r(t_0) 가 되도록 그래프에 추가하세요.

r⃗(t)=⟨t,sin⁡t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t,\sin t \right\rangle ([0,π/2][0,\pi/2] 에서); t0=π/4t_0= \pi/4

영어 원문 보기

In Exercises 11–14 , a position function r⃗(t)\vec r(t) is given. Sketch r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval. Find v⃗(t)\vec v(t) and a⃗(t)\vec a(t), then add v⃗(t0)\vec v(t_0) and a⃗(t0)\vec a(t_0) to your sketch, with their initial points at r⃗(t0)\vec r(t_0), for the given value of t0t_0.

r⃗(t)=⟨t,sin⁡t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t,\sin t \right\rangle on [0,π/2][0,\pi/2]; t0=π/4t_0= \pi/4

정답·풀이 보기

v⃗(t)=⟨1,cos⁡t⟩\vec v(t) = \left\langle 1,\cos t\right\rangle , a⃗(t)=⟨0,−sin⁡t⟩\vec a(t) = \left\langle 0,-\sin t\right\rangle

그림

원본 교재 풀이(영어)

v⃗(t)=⟨1,cos⁡t⟩\vec v(t) = \left\langle 1,\cos t\right\rangle , a⃗(t)=⟨0,−sin⁡t⟩\vec a(t) = \left\langle 0,-\sin t\right\rangle

figure

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 3번
# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
207.APEX · 11.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 위치 함수 r⃗(t)\vec r(t) 가 주어져 있습니다. 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프를 그리세요. v⃗(t)\vec v(t) 와 a⃗(t)\vec a(t) 를 구한 다음, 주어진 t0t_0 의 값에 대해 v⃗(t0)\vec v(t_0) 와 a⃗(t0)\vec a(t_0) 를 시점이 r⃗(t0)\vec r(t_0) 가 되도록 그래프에 추가하세요.

r⃗(t)=⟨t2,sin⁡t2⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2,\sin t^2 \right\rangle ([0,π/2][0,\pi/2] 에서); t0=π/4t_0=\sqrt{\pi/4}

영어 원문 보기

In Exercises 11–14 , a position function r⃗(t)\vec r(t) is given. Sketch r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval. Find v⃗(t)\vec v(t) and a⃗(t)\vec a(t), then add v⃗(t0)\vec v(t_0) and a⃗(t0)\vec a(t_0) to your sketch, with their initial points at r⃗(t0)\vec r(t_0), for the given value of t0t_0.

r⃗(t)=⟨t2,sin⁡t2⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2,\sin t^2 \right\rangle on [0,π/2][0,\pi/2]; t0=π/4t_0=\sqrt{\pi/4}

정답·풀이 보기

v⃗(t)=⟨2t,2tcos⁡(t2)⟩\vec v(t) = \left\langle 2 t,2 t \cos \left(t^2\right)\right\rangle , a⃗(t)=⟨2,2(cos⁡(t2)−2t2sin⁡(t2))⟩\vec a(t) = \left\langle 2,2 \left(\cos \left(t^2\right)-2 t^2 \sin \left(t^2\right)\right)\right\rangle

그림

원본 교재 풀이(영어)

v⃗(t)=⟨2t,2tcos⁡(t2)⟩\vec v(t) = \left\langle 2 t,2 t \cos \left(t^2\right)\right\rangle , a⃗(t)=⟨2,2(cos⁡(t2)−2t2sin⁡(t2))⟩\vec a(t) = \left\langle 2,2 \left(\cos \left(t^2\right)-2 t^2 \sin \left(t^2\right)\right)\right\rangle

figure

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 13번
# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
208.APEX · 11.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 위치 함수 r⃗(t)\vec r(t) 가 주어져 있습니다. 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프를 그리세요. v⃗(t)\vec v(t) 와 a⃗(t)\vec a(t) 를 구한 다음, 주어진 t0t_0 의 값에 대해 v⃗(t0)\vec v(t_0) 와 a⃗(t0)\vec a(t_0) 를 시점이 r⃗(t0)\vec r(t_0) 가 되도록 그래프에 추가하세요.

r⃗(t)=⟨t2+t,−t2+2t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2+t,-t^2+2t \right\rangle ([−2,2][-2,2] 에서); t0=1t_0=1

영어 원문 보기

In Exercises 11–14 , a position function r⃗(t)\vec r(t) is given. Sketch r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval. Find v⃗(t)\vec v(t) and a⃗(t)\vec a(t), then add v⃗(t0)\vec v(t_0) and a⃗(t0)\vec a(t_0) to your sketch, with their initial points at r⃗(t0)\vec r(t_0), for the given value of t0t_0.

r⃗(t)=⟨t2+t,−t2+2t⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2+t,-t^2+2t \right\rangle on [−2,2][-2,2]; t0=1t_0=1

정답·풀이 보기

v⃗(t)=⟨2t+1,−2t+2⟩\vec v(t) = \left\langle 2t+1,-2t+2\right\rangle , a⃗(t)=⟨2,−2⟩\vec a(t) = \left\langle 2,-2\right\rangle

그림

원본 교재 풀이(영어)

v⃗(t)=⟨2t+1,−2t+2⟩\vec v(t) = \left\langle 2t+1,-2t+2\right\rangle , a⃗(t)=⟨2,−2⟩\vec a(t) = \left\langle 2,-2\right\rangle

figure

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 1번
# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
209.APEX · 11.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 위치 함수 r⃗(t)\vec r(t) 가 주어져 있습니다. 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프를 그리세요. v⃗(t)\vec v(t) 와 a⃗(t)\vec a(t) 를 구한 다음, 주어진 t0t_0 의 값에 대해 v⃗(t0)\vec v(t_0) 와 a⃗(t0)\vec a(t_0) 를 시작점이 r⃗(t0)\vec r(t_0) 가 되도록 그래프에 추가하세요.

r⃗(t)=⟨2t+3t2+1,t2⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \frac{2t+3}{t^2+1},t^2\right\rangle ([−1,1][-1,1] 에서); t0=0t_0= 0

영어 원문 보기

In Exercises 11–14 , a position function r⃗(t)\vec r(t) is given. Sketch r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval. Find v⃗(t)\vec v(t) and a⃗(t)\vec a(t), then add v⃗(t0)\vec v(t_0) and a⃗(t0)\vec a(t_0) to your sketch, with their initial points at r⃗(t0)\vec r(t_0), for the given value of t0t_0.

r⃗(t)=⟨2t+3t2+1,t2⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \frac{2t+3}{t^2+1},t^2\right\rangle on [−1,1][-1,1]; t0=0t_0= 0

정답·풀이 보기

v⃗(t)=⟨−2(t2+3 t−1)(t2+1)2,2t⟩\vec v(t) = \left\langle -\frac{2 \left(t^2+3 \ t-1\right)}{\left(t^2+1\right)^2},2 t\right\rangle , a⃗(t)=⟨2(2t3+9t2−6t−3)(t2+1)3,2⟩\vec a(t) = \left\langle \frac{2 \left(2 t^3+9 t^2-6 t-3\right)}{\left(t^2+1\right)^3},2\right\rangle

그림

원본 교재 풀이(영어)

v⃗(t)=⟨−2(t2+3 t−1)(t2+1)2,2t⟩\vec v(t) = \left\langle -\frac{2 \left(t^2+3 \ t-1\right)}{\left(t^2+1\right)^2},2 t\right\rangle , a⃗(t)=⟨2(2t3+9t2−6t−3)(t2+1)3,2⟩\vec a(t) = \left\langle \frac{2 \left(2 t^3+9 t^2-6 t-3\right)}{\left(t^2+1\right)^3},2\right\rangle

figure

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 2번
# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
210.APEX · 11.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 r⃗(t)\vec r(t) 가 주어졌을 때 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 을 구하세요. 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프를 그리고, 주어진 tt 의 값에서 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 의 상대적인 크기에 대해 설명하세요.

r⃗(t)=⟨t,t2⟩\vec r(t) = \left\langle t,t^2 \right\rangle ([−1,1][-1,1] 에서); t=0t=0 과 t=1t=1 을 생각하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 25–30 , find aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} given r⃗(t)\vec r(t). Sketch r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval, and comment on the relative sizes of aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} at the indicated tt values.

r⃗(t)=⟨t,t2⟩\vec r(t) = \left\langle t,t^2 \right\rangle on [−1,1][-1,1]; consider t=0t=0 and t=1t=1.

정답·풀이 보기

aT=4t1+4t2a_{\text{T}} = \frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}} 이고 aN=4−16t21+4t2a_{\text{N}} = \sqrt{4-\frac{16t^2}{1+4t^2}} 이다.

t=0t=0 일 때, aT=0a_{\text{T}} = 0 이고 aN=2a_{\text{N}} = 2 이다;

t=1t=1 일 때, aT=4/5a_{\text{T}} = 4/\sqrt{5} 이고 aN=2/5a_{\text{N}} = 2/\sqrt{5} 이다.

t=0t=0 에서는 모든 가속도가 속력이 아니라 속도의 방향을 바꾸는 형태로 나타난다; t=1t=1 에서는 방향을 바꾸는 데보다 속력을 바꾸는 데 더 많은 가속도가 쓰인다.

원본 교재 풀이(영어)

aT=4t1+4t2a_{\text{T}} = \frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}} and aN=4−16t21+4t2a_{\text{N}} = \sqrt{4-\frac{16t^2}{1+4t^2}}

At t=0t=0, aT=0a_{\text{T}} = 0 and aN=2a_{\text{N}} = 2;

At t=1t=1, aT=4/5a_{\text{T}} = 4/\sqrt{5} and aN=2/5a_{\text{N}} = 2/\sqrt{5}.

At t=0t=0, all acceleration comes in the form of changing the direction of velocity and not the speed; at t=1t=1, more acceleration comes in changing the speed than in changing direction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.4절 · 2번
# 단위접선·법선벡터그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
211.APEX · 11.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 r⃗(t)\vec r(t) 가 주어졌을 때 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 을 구하세요. 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프를 그리고, 주어진 tt 의 값에서 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 의 상대적인 크기에 대해 설명하세요.

r⃗(t)=⟨t,1/t⟩\vec r(t) = \left\langle t,1/t \right\rangle ((0,4](0,4] 에서); t=1t=1 과 t=2t=2 를 생각하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 25–30 , find aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} given r⃗(t)\vec r(t). Sketch r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval, and comment on the relative sizes of aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} at the indicated tt values.

r⃗(t)=⟨t,1/t⟩\vec r(t) = \left\langle t,1/t \right\rangle on (0,4](0,4]; consider t=1t=1 and t=2t=2.

정답·풀이 보기

aT=−2/t51+1/t4a_{\text{T}} = \frac{-2/t^5}{\sqrt{1+1/t^4}} 이고 aN=4t6−4/t101+1/t4a_{\text{N}} = \sqrt{\frac{4}{t^6}-\frac{4/t^{10}}{1+1/t^4}} 이다.

t=1t=1 일 때, aT=2a_{\text{T}} = \sqrt{2} 이고 aN=−2a_{\text{N}} = -\sqrt{2} 이다;

t=2t=2 일 때, aT=−1417a_{\text{T}} = -\frac{1}{4\sqrt{17}} 이고 aN=117a_{\text{N}} = \frac{1}{\sqrt{17}} 이다.

t=1t=1 에서는 가속도가 속력을 바꾸는 것과 방향을 바꾸는 것에서 “같은 정도로” 나온다; t=2t=2 에서는 가속도 자체가 거의 0⃗\vec 0 이다; aTa_{\text{T}} 의 값이 작은 것은 속력이 거의 일정함을 보여 주고, aNa_{\text{N}} 의 값이 작은 것은 방향이 빠르게 바뀌지 않음을 보여 준다.

원본 교재 풀이(영어)

aT=−2/t51+1/t4a_{\text{T}} = \frac{-2/t^5}{\sqrt{1+1/t^4}} and aN=4t6−4/t101+1/t4a_{\text{N}} = \sqrt{\frac{4}{t^6}-\frac{4/t^{10}}{1+1/t^4}}

At t=1t=1, aT=2a_{\text{T}} = \sqrt{2} and aN=−2a_{\text{N}} = -\sqrt{2};

At t=2t=2, aT=−1417a_{\text{T}} = -\frac{1}{4\sqrt{17}} and aN=117a_{\text{N}} = \frac{1}{\sqrt{17}}.

At t=1t=1, acceleration comes from changing speed and changing direction in “equal measure;” at t=2t=2, acceleration is nearly 0⃗\vec 0 as it is; the low value of aTa_{\text{T}} shows that the speed is nearly constant and the low value of aNa_{\text{N}} shows the direction is not changing quickly.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.4절 · 4번
# 단위접선·법선벡터그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
212.APEX · 11.4절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 r⃗(t)\vec r(t) 가 주어졌을 때 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 을 구하세요. 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프를 그리고, 주어진 tt 의 값에서 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 의 상대적인 크기에 대해 설명하세요.

r⃗(t)=⟨2cos⁡t,2sin⁡t⟩\vec r(t) = \left\langle 2\cos t,2\sin t \right\rangle ([0,2π][0,2\pi] 에서); t=0t=0 과 t=π/2t=\pi/2 를 생각하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 25–30 , find aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} given r⃗(t)\vec r(t). Sketch r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval, and comment on the relative sizes of aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} at the indicated tt values.

r⃗(t)=⟨2cos⁡t,2sin⁡t⟩\vec r(t) = \left\langle 2\cos t,2\sin t \right\rangle on [0,2π][0,2\pi]; consider t=0t=0 and t=π/2t=\pi/2.

정답·풀이 보기

aT=0a_{\text{T}} = 0 이고 aN=2a_{\text{N}} = 2 이다.

t=0t=0 일 때, aT=0a_{\text{T}} = 0 이고 aN=2a_{\text{N}} = 2 이다;

t=π/2t=\pi/2 일 때, aT=0a_{\text{T}} = 0 이고 aN=2a_{\text{N}} = 2 이다.

물체가 일정한 속력으로 움직이므로 모든 가속도는 방향을 바꾸는 데서 나오며, 따라서 aT=0a_{\text{T}}=0 이다. a⃗(t)\vec a(t) 는 항상 N⃗(t)\vec N(t) 와 평행하지만 길이가 두 배이므로 aN=2a_{\text{N}}=2 이다.

원본 교재 풀이(영어)

aT=0a_{\text{T}} = 0 and aN=2a_{\text{N}} = 2

At t=0t=0, aT=0a_{\text{T}} = 0 and aN=2a_{\text{N}} = 2;

At t=π/2t=\pi/2, aT=0a_{\text{T}} = 0 and aN=2a_{\text{N}} = 2.

The object moves at constant speed, so all acceleration comes from changing direction, hence aT=0a_{\text{T}}=0. a⃗(t)\vec a(t) is always parallel to N⃗(t)\vec N(t), but twice as long, hence aN=2a_{\text{N}}=2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 31번
# 단위접선·법선벡터그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
213.APEX · 11.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 r⃗(t)\vec r(t) 가 주어졌을 때 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 을 구하세요. 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프를 그리고, 주어진 tt 값에서 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 의 상대적인 크기에 대해 설명하세요.

r⃗(t)=⟨cos⁡(t2),sin⁡(t2)⟩\vec r(t) = \left\langle \cos (t^2),\sin (t^2) \right\rangle , 구간 (0,2π](0,2\pi]; t=π/2t=\sqrt{\pi/2} 와 t=πt=\sqrt{\pi} 에서 생각하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 25–30 , find aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} given r⃗(t)\vec r(t). Sketch r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval, and comment on the relative sizes of aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} at the indicated tt values.

r⃗(t)=⟨cos⁡(t2),sin⁡(t2)⟩\vec r(t) = \left\langle \cos (t^2),\sin (t^2) \right\rangle on (0,2π](0,2\pi]; consider t=π/2t=\sqrt{\pi/2} and t=πt=\sqrt{\pi}.

정답·풀이 보기

aT=2a_{\text{T}} = 2 이고 aN=4t2a_{\text{N}} = 4t^2

t=π/2t=\sqrt{\pi/2} 일 때 aT=2a_{\text{T}} = 2 이고 aN=2πa_{\text{N}} = 2\pi 이다.

t=πt=\sqrt{\pi} 일 때 aT=2a_{\text{T}} = 2 이고 aN=4πa_{\text{N}} = 4\pi 이다.

물체는 속력이 증가하며 움직이고(상수인 가속도로 증가), 따라서 aT=2a_{\text{T}}=2 이다. 물체의 속력이 증가하는데도 항상 반지름이 1인 원을 따라 움직이므로, 방향은 더 빠르게 변해야 한다. 방향을 바꾸는 가속도의 크기는 시간이 지날수록 증가한다.

원본 교재 풀이(영어)

aT=2a_{\text{T}} = 2 and aN=4t2a_{\text{N}} = 4t^2

At t=π/2t=\sqrt{\pi/2}, aT=2a_{\text{T}} = 2 and aN=2πa_{\text{N}} = 2\pi;

At t=πt=\sqrt{\pi}, aT=2a_{\text{T}} = 2 and aN=4πa_{\text{N}} = 4\pi.

The object moves at increasing speed (increasing at a constant rate of acceleration), hence aT=2a_{\text{T}}=2. Since the object is increasing speed yet always traveling in a circle of radius 1, the direction must change more quickly; the amount of acceleration that changes direction increases over time.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 2번
# 단위접선·법선벡터그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
214.APEX · 11.4절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 r⃗(t)\vec r(t) 가 주어졌을 때 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 을 구하세요. 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프를 그리고, 주어진 tt 값에서 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 의 상대적인 크기에 대해 설명하세요.

r⃗(t)=⟨acos⁡t,asin⁡t,bt⟩\vec r(t) = \left\langle a\cos t,a\sin t, bt \right\rangle , 구간 [0,2π][0,2\pi], 단 a,b>0a,b>0; t=0t=0 과 t=π/2t=\pi/2 에서 생각하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 25–30 , find aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} given r⃗(t)\vec r(t). Sketch r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval, and comment on the relative sizes of aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} at the indicated tt values.

r⃗(t)=⟨acos⁡t,asin⁡t,bt⟩\vec r(t) = \left\langle a\cos t,a\sin t, bt \right\rangle on [0,2π][0,2\pi], where a,b>0a,b>0; consider t=0t=0 and t=π/2t=\pi/2.

정답·풀이 보기

aT=0a_{\text{T}} = 0 이고 aN=aa_{\text{N}} = a

t=0t=0 일 때 aT=0a_{\text{T}} = 0 이고 aN=aa_{\text{N}} = a 이다.

t=π/2t=\pi/2 일 때 aT=0a_{\text{T}} = 0 이고 aN=aa_{\text{N}} = a 이다.

물체는 일정한 속력으로 움직이므로 aTa_{\text{T}} 는 항상 0 이다. 물체는 zz 축을 따라 일정한 비율로 “상승”하므로, 모든 가속도는 zz 축 둘레를 도는 방향 변화에서 나온다. 이 원의 반지름이 클수록 가속도가 크므로 aN=aa_{\text{N}}=a 이다.

원본 교재 풀이(영어)

aT=0a_{\text{T}} = 0 and aN=aa_{\text{N}} = a

At t=0t=0, aT=0a_{\text{T}} = 0 and aN=aa_{\text{N}} = a;

At t=π/2t=\pi/2, aT=0a_{\text{T}} = 0 and aN=aa_{\text{N}} = a.

The object moves at constant speed, meaning that aTa_{\text{T}} is always 0. The object “rises” along the zz-axis at a constant rate, so all acceleration comes in the form of changing direction circling the zz-axis. The greater the radius of this circle the greater the acceleration, hence aN=aa_{\text{N}}=a.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 1번
# 단위접선·법선벡터그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
215.APEX · 11.4절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 r⃗(t)\vec r(t) 가 주어졌을 때 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 을 구하세요. 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 그래프를 그리고, 주어진 tt 값에서 aTa_{\text{T}} 와 aNa_{\text{N}} 의 상대적인 크기에 대해 설명하세요.

r⃗(t)=⟨5cos⁡t,4sin⁡t,3sin⁡t⟩\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,4\sin t, 3\sin t \right\rangle , 구간 [0,2π][0,2\pi]; t=0t=0 과 t=π/2t=\pi/2 에서 생각하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 25–30 , find aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} given r⃗(t)\vec r(t). Sketch r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval, and comment on the relative sizes of aTa_{\text{T}} and aNa_{\text{N}} at the indicated tt values.

r⃗(t)=⟨5cos⁡t,4sin⁡t,3sin⁡t⟩\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,4\sin t, 3\sin t \right\rangle on [0,2π][0,2\pi]; consider t=0t=0 and t=π/2t=\pi/2.

정답·풀이 보기

aT=0a_{\text{T}} = 0 이고 aN=5a_{\text{N}} = 5

t=0t=0 일 때 aT=0a_{\text{T}} = 0 이고 aN=5a_{\text{N}} = 5 이다.

t=π/2t=\pi/2 일 때 aT=0a_{\text{T}} = 0 이고 aN=5a_{\text{N}} = 5 이다.

물체는 일정한 속력으로 움직이므로 aTa_{\text{T}} 는 항상 0 이다. 따라서 가속도는 항상 진행 방향에 수직이다. 이 경우에는 항상 진행 방향에 수직인 단위벡터의 5배이다.

원본 교재 풀이(영어)

aT=0a_{\text{T}} = 0 and aN=5a_{\text{N}} = 5

At t=0t=0, aT=0a_{\text{T}} = 0 and aN=5a_{\text{N}} = 5;

At t=π/2t=\pi/2, aT=0a_{\text{T}} = 0 and aN=5a_{\text{N}} = 5.

The object moves at constant speed, meaning that aTa_{\text{T}} is always 0. Acceleration is thus always perpendicular to the direction of travel; in this particular case, it is always 5 times the unit vector pointing orthogonal to the direction of travel.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 16번
# 단위접선·법선벡터그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
216.APEX · 11.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서는 곡선 CC 와 CC 위의 2개의 점이 주어진다.

(a) 그림을 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) CC 의 곡률 κ\kappa 를 구하고, 주어진 2개의 점에서 각각 κ\kappa 의 값을 구하세요.

CC 는 y=x3−xy = x^3-x 로 정의되며, 주어진 점은 x=0x=0 과 x=1/2x=1/2 에서의 점이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve CC is described along with 2 points on CC.

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature κ\kappa of CC, and evaluate κ\kappa at each of the 2 given points.

CC is defined by y=x3−xy = x^3-x; points given at x=0x=0 and x=1/2x=1/2.

정답·풀이 보기

κ=∣6x∣(1+(3x2−1)2)3/2\kappa = \frac{|6x|}{\left(1+(3x^2-1)^2\right)^{3/2}};

κ(0)=0\kappa(0) = 0, κ(1/2)=1921717≈2.74\kappa(1/2) = \frac{192}{17\sqrt{17}} \approx 2.74.

원본 교재 풀이(영어)

κ=∣6x∣(1+(3x2−1)2)3/2\kappa = \frac{|6x|}{\left(1+(3x^2-1)^2\right)^{3/2}};

κ(0)=0\kappa(0) = 0, κ(1/2)=1921717≈2.74\kappa(1/2) = \frac{192}{17\sqrt{17}} \approx 2.74.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 1번
# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
217.APEX · 11.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서 곡선 CC 와 CC 위의 점 2개가 주어져 있다.

(a) 스케치를 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) CC 의 곡률 κ\kappa 를 구하고, 주어진 2개의 점 각각에서 κ\kappa 의 값을 구하세요.

CC 는 y=1x2+1\displaystyle y = \frac1{x^2+1} 로 정의되며, 주어진 점은 x=0x=0 과 x=2x=2 에서의 점이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve CC is described along with 2 points on CC.

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature κ\kappa of CC, and evaluate κ\kappa at each of the 2 given points.

CC is defined by y=1x2+1\displaystyle y = \frac1{x^2+1}; points given at x=0x=0 and x=2x=2.

정답·풀이 보기

κ=∣6x2−2(x2+1)3∣(1+4x2(x2+1)4)3/2\kappa = \frac{\left|\frac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}\right|}{\left(1+\frac{4x^2}{(x^2+1)^4}\right)^{3/2}};

κ(0)=2\kappa(0) = 2, κ(2)=2750641641≈0.169\kappa(2) = \frac{2750}{641\sqrt{641}} \approx 0.169.

원본 교재 풀이(영어)

κ=∣6x2−2(x2+1)3∣(1+4x2(x2+1)4)3/2\kappa = \frac{\left|\frac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}\right|}{\left(1+\frac{4x^2}{(x^2+1)^4}\right)^{3/2}};

κ(0)=2\kappa(0) = 2, κ(2)=2750641641≈0.169\kappa(2) = \frac{2750}{641\sqrt{641}} \approx 0.169.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 44번
# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
218.APEX · 11.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서 곡선 CC 와 CC 위의 2개의 점이 주어져 있다.

(a) 그림을 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) CC 의 곡률 κ\kappa 를 구하고, 주어진 2개의 점 각각에서 κ\kappa 의 값을 구하세요.

CC 는 y=cos⁡x\displaystyle y = \cos x 로 정의되며, 주어진 점은 x=0x=0 과 x=π/2x=\pi/2 에서의 점이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve CC is described along with 2 points on CC.

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature κ\kappa of CC, and evaluate κ\kappa at each of the 2 given points.

CC is defined by y=cos⁡x\displaystyle y = \cos x; points given at x=0x=0 and x=π/2x=\pi/2.

정답·풀이 보기

κ=∣cos⁡x∣(1+sin⁡2x)3/2\kappa = \frac{|\cos x|}{\left(1+\sin^2x\right)^{3/2}};

κ(0)=1\kappa(0) = 1, κ(π/2)=0\kappa(\pi/2) = 0

원본 교재 풀이(영어)

κ=∣cos⁡x∣(1+sin⁡2x)3/2\kappa = \frac{|\cos x|}{\left(1+\sin^2x\right)^{3/2}};

κ(0)=1\kappa(0) = 1, κ(π/2)=0\kappa(\pi/2) = 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 32번
# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
219.APEX · 11.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서는 곡선 CC 와 CC 위의 2개의 점이 주어져 있다.

(a) 그림을 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) CC 의 곡률 κ\kappa 를 구하고, 주어진 2개의 점에서 각각 κ\kappa 의 값을 구하세요.

CC 는 (−1,1)(-1,1) 에서 y=1−x2\displaystyle y = \sqrt{1-x^2} 으로 정의되며, 주어진 점은 x=0x=0 일 때와 x=1/2x=1/2 일 때의 점이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve CC is described along with 2 points on CC.

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature κ\kappa of CC, and evaluate κ\kappa at each of the 2 given points.

CC is defined by y=1−x2\displaystyle y = \sqrt{1-x^2} on (−1,1)(-1,1); points given at x=0x=0 and x=1/2x=1/2.

정답·풀이 보기

κ=1\kappa = 1;

κ(0)=1\kappa(0) = 1, κ(1/2)=1\kappa(1/2) = 1

원본 교재 풀이(영어)

κ=1\kappa = 1;

κ(0)=1\kappa(0) = 1, κ(1/2)=1\kappa(1/2) = 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 3번
# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
220.APEX · 11.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서는 곡선 CC 와 CC 위의 2개의 점이 주어진다.

(a) 그림을 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) CC 의 곡률 κ\kappa 를 구하고, 주어진 2개의 점 각각에서 κ\kappa 의 값을 구하세요.

CC 는 r⃗(t)=⟨cos⁡t,sin⁡(2t)⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \cos t, \sin (2t)\right\rangle 로 정의되며, 주어진 점은 t=0t=0 과 t=π/4t=\pi/4 일 때의 점이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve CC is described along with 2 points on CC.

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature κ\kappa of CC, and evaluate κ\kappa at each of the 2 given points.

CC is defined by r⃗(t)=⟨cos⁡t,sin⁡(2t)⟩\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \cos t, \sin (2t)\right\rangle ; points given at t=0t=0 and t=π/4t=\pi/4.

정답·풀이 보기

κ=∣2cos⁡tcos⁡(2t)+4sin⁡tsin⁡(2t)∣(4cos⁡2(2t)+sin⁡2t)3/2\kappa = \frac{|2\cos t\cos(2t)+4\sin t\sin(2t)|}{\left(4\cos^2(2t)+\sin^2t\right)^{3/2}};

κ(0)=1/4\kappa(0) = 1/4, κ(π/4)=8\kappa(\pi/4) = 8

원본 교재 풀이(영어)

κ=∣2cos⁡tcos⁡(2t)+4sin⁡tsin⁡(2t)∣(4cos⁡2(2t)+sin⁡2t)3/2\kappa = \frac{|2\cos t\cos(2t)+4\sin t\sin(2t)|}{\left(4\cos^2(2t)+\sin^2t\right)^{3/2}};

κ(0)=1/4\kappa(0) = 1/4, κ(π/4)=8\kappa(\pi/4) = 8

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 16번
# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)