호의 길이와 곡률 연습문제

41.OpenStax 3권 · 3.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

타원 $4{y}^{2}+9{x}^{2}=36$ 위의 점 $(2,0)$ 과 $(0,3)$ 에서 접촉원의 방정식을 구하세요.

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Find equations of the osculating circles of the ellipse $4{y}^{2}+9{x}^{2}=36$ at the points $(2,0)$ and $(0,3).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 9번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

42.OpenStax 3권 · 3.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

곡선 $\text{r}(t)=\cos (2t)\text{i}+\sin (2t)\text{j}+t\text{k}$ 위의 점 $t=\pi /4$ 에서 접촉평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation for the osculating plane at point $t=\pi /4$ on the curve $\text{r}(t)=\cos (2t)\text{i}+\sin (2t)\text{j}+t\text{k}.$

정답·풀이 보기

$x+2z=\frac{\pi }{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$x+2z=\frac{\pi }{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 34번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

43.OpenStax 3권 · 3.3절 · 43번대학 수준우리말 번역

점 $\left(2,\frac{4}{3}\right)$ 에서 $6y={x}^{3}$ 의 곡률반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the radius of curvature of $6y={x}^{3}$ at the point $\left(2,\frac{4}{3}\right).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 13번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

44.OpenStax 3권 · 3.3절 · 44번대학 수준우리말 번역

쌍곡선 $\text{r}(t)=\langle a\cosh (t),b\sinh (t)\rangle$ 위의 각 점 $(x,y)$ 에서 곡률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature at each point $(x,y)$ on the hyperbola $\text{r}(t)=\langle a\cosh (t),b\sinh (t)\rangle .$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{{a}^{4}{b}^{4}}{{({b}^{4}{x}^{2}+{a}^{4}{y}^{2})}^{3/2}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{a}^{4}{b}^{4}}{{({b}^{4}{x}^{2}+{a}^{4}{y}^{2})}^{3/2}}$

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# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

45.OpenStax 3권 · 3.3절 · 45번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

원형 나선 $\text{r}(t)=r\sin (t)\text{i}+r\cos (t)\text{j}+t\text{k}$ 의 곡률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

Calculate the curvature of the circular helix $\text{r}(t)=r\sin (t)\text{i}+r\cos (t)\text{j}+t\text{k}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 12번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

46.OpenStax 3권 · 3.3절 · 46번대학 수준우리말 번역

점 $(2,\ln 3)$ 에서 $y=\ln (x+1)$ 의 곡률반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the radius of curvature of $y=\ln (x+1)$ at point $(2,\ln 3).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{10\sqrt{10}}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{10\sqrt{10}}{3}$

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# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

47.OpenStax 3권 · 3.3절 · 47번대학 수준우리말 번역

점 $(1,1)$ 에서 쌍곡선 $xy=1$ 의 곡률반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the radius of curvature of the hyperbola $xy=1$ at point $(1,1).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 22번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

48.OpenStax 3권 · 3.3절 · 48번대학 수준우리말 번역

구간 $[0,2]$ 에서 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the length of the curve over the interval $[0,2].$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{4}\ln \left( \sqrt{17}+4 \right)+\sqrt{17}\approx 4.647$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{4}\ln \left( \sqrt{17}+4 \right)+\sqrt{17}\approx 4.647$

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# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

49.OpenStax 3권 · 3.3절 · 49번대학 수준우리말 번역

$t=0,1,2$ 에서 평면 곡선의 곡률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature of the plane curve at $t=0,1,2.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 32번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

50.OpenStax 3권 · 3.3절 · 50번대학 수준우리말 번역

입자가 $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}$ 로 나타내어지는 평면 곡선 C를 따라 움직인다. 다음 문제를 푸세요.

$t=0$ 에서 $t=2$ 까지 t 가 증가함에 따라 곡률이 어떻게 변하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

A particle moves along the plane curve C described by $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}.$ Solve the following problems.

Describe the curvature as t increases from $t=0$ to $t=2.$

정답·풀이 보기

이 구간에서 곡률은 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

The curvature is decreasing over this interval.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 8번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

51.OpenStax 3권 · 3.3절 · 51번대학 수준우리말 번역

큰 컵의 표면은 함수 $y=0.25{x}^{1.6}$ 의 그래프를 $x=0$ 부터 $x=5$ 까지 y축을 중심으로 회전시켜 만든다(단위는 센티미터).

[계산기 사용] 공학적 도구를 이용하여 이 곡면의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

The surface of a large cup is formed by revolving the graph of the function $y=0.25{x}^{1.6}$ from $x=0$ to $x=5$ about the y-axis (measured in centimeters).

[T] Use technology to graph the surface.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 3번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

52.OpenStax 3권 · 3.3절 · 52번대학 수준우리말 번역

생성 곡선의 곡률 $\kappa$ 를 x 의 함수로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the curvature $\kappa$ of the generating curve as a function of x.

정답·풀이 보기

$\kappa =\frac{6}{{x}^{2/5}(25+4{x}^{6/5})}$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa =\frac{6}{{x}^{2/5}(25+4{x}^{6/5})}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 50번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

53.OpenStax 3권 · 3.3절 · 53번대학 수준우리말 번역

큰 컵의 표면은 함수 $y=0.25{x}^{1.6}$ 의 그래프를 $x=0$ 부터 $x=5$ 까지 y축을 중심으로 회전시켜 만든다(단위는 센티미터).

[계산기 사용] 공학적 도구를 이용하여 곡률 함수의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

The surface of a large cup is formed by revolving the graph of the function $y=0.25{x}^{1.6}$ from $x=0$ to $x=5$ about the y-axis (measured in centimeters).

[T] Use technology to graph the curvature function.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 1번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

54.APEX · 11.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

위치는 흔히 _____ 와/과 _____ 또는 둘 중 하나로 나타낸다.

영어 원문 보기

It is common to describe position in terms of both _____ and/or _____.

정답·풀이 보기

시간 및/또는 거리

원본 교재 풀이(영어)

time and/or distance

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 18번

# 호의 길이와 곡률개념 확인자동 분류

55.APEX · 11.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

곡선이 "휘어진 정도"를 나타내는 척도는 _____이다.

영어 원문 보기

A measure of the “curviness” of a curve is _____.

정답·풀이 보기

곡률

원본 교재 풀이(영어)

curvature

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 1번

# 호의 길이와 곡률개념 확인자동 분류

56.APEX · 11.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

상수 곡률을 갖는 도형을 두 가지 쓰세요.

영어 원문 보기

Give two shapes with constant curvature.

정답·풀이 보기

직선, 원, 나선 등을 답으로 쓸 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may include lines, circles, helixes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 2번

# 호의 길이와 곡률개념 확인자동 분류

57.APEX · 11.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

"접촉원"이 무엇인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe in your own words what an “osculating circle” is.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있으나, 그 원이 곡선에 접하고 그 점에서 곡선과 곡률이 같다는 내용이 들어 있어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary; they should mention the circle is tangent to the curve and has the same curvature as the curve at that point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 3번

# 호의 길이와 곡률개념 확인자동 분류

58.APEX · 11.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

항등식을 완성하세요: $\vec T\,'(s) = \underline{}\vec N(s)$ .

영어 원문 보기

Complete the identity: $\vec T\,'(s) = \underline{}\vec N(s)$ .

정답·풀이 보기

$\kappa$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 4번

# 호의 길이와 곡률개념 확인자동 분류

59.APEX · 11.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어질 때, $a_{\text{T}}$ 와 $a_{\text{N}}$ 은 곡률의 영향을 어떻게 받습니까?

영어 원문 보기

Given a position function $\vec r(t)$ , how are $a_{\text{T}}$ and $a_{\text{N}}$ affected by the curvature?

정답·풀이 보기

$a_{\text{T}}$ 는 곡률의 영향을 받지 않으며, 곡률이 클수록 $a_{\text{N}}$ 은 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

$a_{\text{T}}$ is not affected by curvature; the greater the curvature, the larger $a_{\text{N}}$ becomes.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 5번

# 호의 길이와 곡률개념 확인자동 분류

60.APEX · 11.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서는 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어지며, $t=0$ 은 처음 위치에 해당한다. 곡선의 길이 매개변수 $s$ 를 구하고, $\vec r(t)$ 를 $s$ 에 대한 식으로 다시 나타내세요. 즉, $\vec r(s)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 2t, t, -2t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10 , a position function $\vec r(t)$ is given, where $t=0$ corresponds to the initial position. Find the arc length parameter $s$ , and rewrite $\vec r(t)$ in terms of $s$ ; that is, find $\vec r(s)$ .

$\vec r(t) = \left\langle 2t, t, -2t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$s = 3t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 2s/3, s/3, -2s/3\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$s = 3t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 2s/3, s/3, -2s/3\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 42번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류