빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

호의 길이와 곡률

공간곡선의 길이, 호의 길이 매개화, 곡률을 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

95문제 · 2 / 5쪽

21.OpenStax 3권 · 3.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

t=π/3t=\pi /3 에 의해 정해지는 점에서 곡선 r(t)=⟨6cos⁡t,6sin⁡t⟩\text{r}(t)=\langle 6\cos t,6\sin t\rangle 의 주법선벡터를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the principal normal vector to the curve r(t)=⟨6cos⁡t,6sin⁡t⟩\text{r}(t)=\langle 6\cos t,6\sin t\rangle at the point determined by t=π/3.t=\pi /3.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 2번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
22.OpenStax 3권 · 3.3절 · 22번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

곡선 r(t)=(t3−4t)i+(5t2−2)j\text{r}(t)=({t}^{3}-4t)\text{i}+(5{t}^{2}-2)\text{j} 에 대해 T(t)\text{T}(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

Find T(t)\text{T}(t) for the curve r(t)=(t3−4t)i+(5t2−2)j.\text{r}(t)=({t}^{3}-4t)\text{i}+(5{t}^{2}-2)\text{j}.

정답·풀이 보기

T(t)=19t4+76t2+16([3t2−4]i+10tj)\text{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{9{t}^{4}+76{t}^{2}+16}}([3{t}^{2}-4]\text{i}+10t\text{j})

원본 교재 풀이(영어)

T(t)=19t4+76t2+16([3t2−4]i+10tj)\text{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{9{t}^{4}+76{t}^{2}+16}}([3{t}^{2}-4]\text{i}+10t\text{j})

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 20번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
23.OpenStax 3권 · 3.3절 · 23번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

곡선 r(t)=(t3−4t)i+(5t2−2)j\text{r}(t)=({t}^{3}-4t)\text{i}+(5{t}^{2}-2)\text{j} 에 대해 N(t)\text{N}(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

Find N(t)\text{N}(t) for the curve r(t)=(t3−4t)i+(5t2−2)j.\text{r}(t)=({t}^{3}-4t)\text{i}+(5{t}^{2}-2)\text{j}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.2절 · 7번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
24.OpenStax 3권 · 3.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

r(t)=⟨2sin⁡t,5t,2cos⁡t⟩\text{r}(t)=\langle 2\sin t,5t,2\cos t\rangle 에 대해 단위법선벡터 N(t)\text{N}(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

Find the unit normal vector N(t)\text{N}(t) for r(t)=⟨2sin⁡t,5t,2cos⁡t⟩.\text{r}(t)=\langle 2\sin t,5t,2\cos t\rangle .

정답·풀이 보기

N(t)=⟨−sin⁡t,0,−cos⁡t⟩\text{N}(t)=\langle -\sin t,0,-\cos t\rangle

원본 교재 풀이(영어)

N(t)=⟨−sin⁡t,0,−cos⁡t⟩\text{N}(t)=\langle -\sin t,0,-\cos t\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 22번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
25.OpenStax 3권 · 3.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

r(t)=⟨2sin⁡t,5t,2cos⁡t⟩\text{r}(t)=\langle 2\sin t,5t,2\cos t\rangle 에 대해 단위접선벡터 T(t)\text{T}(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

Find the unit tangent vector T(t)\text{T}(t) for r(t)=⟨2sin⁡t,5t,2cos⁡t⟩.\text{r}(t)=\langle 2\sin t,5t,2\cos t\rangle .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 40번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
26.OpenStax 3권 · 3.3절 · 26번대학 수준우리말 번역

선분 r(t)=⟨3−3t,4t⟩\text{r}(t)=\langle 3-3t,4t\rangle 에 대하여 호의 길이 함수 s(t)s(t) 를 구하세요. r 을 s 의 매개변수로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the arc-length function s(t)s(t) for the line segment given by r(t)=⟨3−3t,4t⟩.\text{r}(t)=\langle 3-3t,4t\rangle . Write r as a parameter of s.

정답·풀이 보기

호의 길이 함수: s(t)=5t;s(t)=5t; s 에 대한 매개변수 r: r(s)=(3−3s5)i+4s5j\text{r}(s)=\left(3-\frac{3s}{5}\right)\text{i}+\frac{4s}{5}\text{j}

원본 교재 풀이(영어)

Arc-length function: s(t)=5t;s(t)=5t; r as a parameter of s: r(s)=(3−3s5)i+4s5j\text{r}(s)=\left(3-\frac{3s}{5}\right)\text{i}+\frac{4s}{5}\text{j}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 48번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
27.OpenStax 3권 · 3.3절 · 27번대학 수준우리말 번역

나선 r(t)=cos⁡ti+sin⁡tj+tk\text{r}(t)=\cos t\text{i}+\sin t\text{j}+t\text{k} 를 t=0t=0 에서부터 호의 길이 매개변수 s 를 사용하여 매개변수화하세요.

영어 원문 보기

Parameterize the helix r(t)=cos⁡ti+sin⁡tj+tk\text{r}(t)=\cos t\text{i}+\sin t\text{j}+t\text{k} using the arc-length parameter s, from t=0.t=0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 42번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
28.OpenStax 3권 · 3.3절 · 28번대학 수준우리말 번역

r(t)=etsin⁡ti+etcos⁡tj\text{r}(t)={e}^{t}\sin t\text{i}+{e}^{t}\cos t\text{j} 에서 t=0t=0 인 점을 기준으로 호의 길이 매개변수 s 를 사용하여 곡선을 매개변수화하세요.

영어 원문 보기

Parameterize the curve using the arc-length parameter s, at the point at which t=0t=0 for r(t)=etsin⁡ti+etcos⁡tj.\text{r}(t)={e}^{t}\sin t\text{i}+{e}^{t}\cos t\text{j}.

정답·풀이 보기

r(s)=(1+s2) sin⁡(ln⁡(1+s2))i+(1+s2) cos⁡[ln⁡(1+s2)]j\text{r}(s)=\left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\sin \left(\ln \left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\right)\text{i}+\left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\cos \left[\ln \left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\right]\text{j}

원본 교재 풀이(영어)

r(s)=(1+s2) sin⁡(ln⁡(1+s2))i+(1+s2) cos⁡[ln⁡(1+s2)]j\text{r}(s)=\left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\sin \left(\ln \left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\right)\text{i}+\left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\cos \left[\ln \left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\right]\text{j}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 9번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
29.OpenStax 3권 · 3.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

곡선 r(t)=5cos⁡ti+4sin⁡tj\text{r}(t)=5\cos t\text{i}+4\sin t\text{j} 의 t=π/3t=\pi /3 에서의 곡률을 구하세요. (참고: 그래프는 타원이다.)

이 그림은 타원의 그래프이다. 타원은 x축 방향으로 길쭉한 모양이다. 원점을 중심으로 하며 y축과 -4와 4에서 만난다.

영어 원문 보기

Find the curvature of the curve r(t)=5cos⁡ti+4sin⁡tj\text{r}(t)=5\cos t\text{i}+4\sin t\text{j} at t=π/3.t=\pi /3. (Note: The graph is an ellipse.)

This figure is the graph of an ellipse. The ellipse is oval along the x-axis. It is centered at the origin and intersects the y-axis at -4 and 4.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 10번
# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
30.OpenStax 3권 · 3.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

곡선 y=1/xy=1/x 의 곡률이 최댓값이 되는 점의 x좌표를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the x-coordinate at which the curvature of the curve y=1/xy=1/x is a maximum value.

정답·풀이 보기

곡률의 최댓값은 x=1x=1 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The maximum value of the curvature occurs at x=1.x=1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 26번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
31.OpenStax 3권 · 3.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

곡선 r(t)=5cos⁡ti+5sin⁡tj\text{r}(t)=5\cos t\text{i}+5\sin t\text{j} 의 곡률을 구하세요. 곡률은 매개변수 t 에 따라 달라지나요?

영어 원문 보기

Find the curvature of the curve r(t)=5cos⁡ti+5sin⁡tj.\text{r}(t)=5\cos t\text{i}+5\sin t\text{j}. Does the curvature depend upon the parameter t?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 1번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
32.OpenStax 3권 · 3.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

곡선 y=x−14x2y=x-\frac{1}{4}{x}^{2} 의 x=2x=2 인 점에서의 곡률 κ\kappa 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature κ\kappa for the curve y=x−14x2y=x-\frac{1}{4}{x}^{2} at the point x=2.x=2.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

12\frac{1}{2}

원본 교재 풀이(영어)

12\frac{1}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 24번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
33.OpenStax 3권 · 3.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

곡선 y=13x3y=\frac{1}{3}{x}^{3} 의 x=1x=1 인 점에서의 곡률 κ\kappa 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature κ\kappa for the curve y=13x3y=\frac{1}{3}{x}^{3} at the point x=1.x=1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 3번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
34.OpenStax 3권 · 3.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

곡선 r(t)=ti+6t2j+4tk\text{r}(t)=t\text{i}+6{t}^{2}\text{j}+4t\text{k} 의 곡률 κ\kappa 를 구하세요. 그래프는 다음과 같습니다.

이 그림은 3차원 공간에 그려진 곡선의 그래프이다. 곡선은 상자 안에 있다. 상자는 8분공간 하나를 나타낸다. 곡선은 상자의 가운데에서 포물선 모양을 이룬다.

영어 원문 보기

Find the curvature κ\kappa of the curve r(t)=ti+6t2j+4tk.\text{r}(t)=t\text{i}+6{t}^{2}\text{j}+4t\text{k}. The graph is shown here:

This figure is the graph of a curve in 3 dimensions. It is inside of a box. The box represents an octant. The curve has a parabolic shape in the middle of the box.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

κ≈49.477(17+144t2)3/2\kappa \approx \frac{49.477}{{(17+144{t}^{2})}^{3/2}}

원본 교재 풀이(영어)

κ≈49.477(17+144t2)3/2\kappa \approx \frac{49.477}{{(17+144{t}^{2})}^{3/2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 44번
# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
35.OpenStax 3권 · 3.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

r(t)=⟨2sin⁡t,5t,2cos⁡t⟩\text{r}(t)=\langle 2\sin t,5t,2\cos t\rangle 의 곡률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

Find the curvature of r(t)=⟨2sin⁡t,5t,2cos⁡t⟩.\text{r}(t)=\langle 2\sin t,5t,2\cos t\rangle .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 16번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
36.OpenStax 3권 · 3.3절 · 36번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

점 P(0,1,1)P(0,1,1) 에서 r(t)=2ti+etj+e−tk\text{r}(t)=\sqrt{2}t\text{i}+{e}^{t}\text{j}+{e}^{-t}\text{k} 의 곡률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

Find the curvature of r(t)=2ti+etj+e−tk\text{r}(t)=\sqrt{2}t\text{i}+{e}^{t}\text{j}+{e}^{-t}\text{k} at point P(0,1,1).P(0,1,1).

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

122\frac{1}{2\sqrt{2}}

원본 교재 풀이(영어)

122\frac{1}{2\sqrt{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 46번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
37.OpenStax 3권 · 3.3절 · 37번대학 수준우리말 번역

곡선 y=exy={e}^{x} 은 어떤 점에서 곡률이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

At what point does the curve y=exy={e}^{x} have maximum curvature?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 12번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
38.OpenStax 3권 · 3.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

곡선 y=exy={e}^{x} 에서 x→∞x\to \infty 일 때 곡률은 어떻게 되는지 설명하세요.

영어 원문 보기

What happens to the curvature as x→∞x\to \infty for the curve y=ex?y={e}^{x}?

정답·풀이 보기

곡률은 0에 가까워진다.

원본 교재 풀이(영어)

The curvature approaches zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 13번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
39.OpenStax 3권 · 3.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

곡선 y=ln⁡xy=\ln x 에서 곡률이 최대인 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point of maximum curvature on the curve y=ln⁡x.y=\ln x.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 28번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
40.OpenStax 3권 · 3.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

점 (0,π,−2)(0,\pi ,-2) 에서 곡선 r(t)=⟨2sin⁡(3t),t,2cos⁡(3t)⟩\text{r}(t)=\langle 2\sin (3t),t,2\cos (3t)\rangle 의 법평면과 접촉평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equations of the normal plane and the osculating plane of the curve r(t)=⟨2sin⁡(3t),t,2cos⁡(3t)⟩\text{r}(t)=\langle 2\sin (3t),t,2\cos (3t)\rangle at point (0,π,−2).(0,\pi ,-2).

정답·풀이 보기

y=6x+πy=6x+\pi 와 x+6y=6πx+6y=6\pi

원본 교재 풀이(영어)

y=6x+πy=6x+\pi and x+6y=6πx+6y=6\pi

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.2절 · 3번
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)