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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

극한·미분 심화 전체 문제

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402문제 · 20 / 21쪽

381.CLP-1 · 3.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0+log⁡xx\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\log x}{x} 의 값을 구하세요. (기억하세요: 이 노트에서 log⁡\log 는 밑이 ee 인 로그를 뜻합니다.)

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0+log⁡xx\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\log x}{x}. (Remember: in these notes, log⁡\log means logarithm base ee.)

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주의하자. 이것은 부정형이 아니다!

x→0+x\rightarrow 0+ 일 때 분자 log⁡x→−∞\log x\rightarrow-\infty 이다. 즉, 분자는 절댓값이 한없이 커지는 음수가 된다. x→0+x\rightarrow 0+ 일 때 분모 x→0+x\rightarrow 0+ 이므로, 분수 전체는 절댓값이 더욱 커지고 여전히 음수이다. 따라서 lim⁡x→0+log⁡xx=−∞\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\log x}{x} =-\infty 이다.

참고: 여기서 로피탈의 정리를 사용하려 했다면 잘못된 답이 나왔을 것이다. 분자와 분모를 각각 미분하면 분수는 1x1=1x\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x} 이 되고, lim⁡x→0+1x=∞\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty 이다. 로피탈의 정리를 적용할 수 없는 이유는 분자와 분모가 모두 무한대로 가거나 모두 0으로 가는 것과 같은 부정형이 아니기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Be careful– this is not an indeterminate form!

As x→0+x\rightarrow 0+, the numerator log⁡x→−∞\log x\rightarrow-\infty. That is, the numerator is becoming an increasingly huge, negative number. As x→0+x\rightarrow 0+, the denominator x→0+x\rightarrow 0+, which only serves to make the total fraction even larger, and still negative. So, lim⁡x→0+log⁡xx=−∞\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\log x}{x} =-\infty.

Remark: if we had tried to use l'Hopital's Rule here, we would have come up with the wrong answer. If we differentiate the numerator and the denominator, the fraction becomes 1x1=1x\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}, and lim⁡x→0+1x=∞\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty. The reason we cannot apply l'Hopital's Rule is that we do not have an indeterminate form, like both numerator and denominator going to infinity, or both numerator and denominator going to zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 6번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
382.CLP-1 · 3.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→∞(log⁡x)2e−x\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→∞(log⁡x)2e−x\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x}.

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식을 더 자연스러운 형태로 바꾼다:

lim⁡x→∞(log⁡x)2e−x=lim⁡x→∞(log⁡x)2ex⏟num→∞den→∞x 가 무한대로 갈 때 분자와 분모가 모두 무한대로 간다. 따라서 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 실제로는 두 번 적용하게 된다.=lim⁡x→∞2log⁡xxex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2/xxex+ex분자는 점점 작아지고 분모는 점점 커지므로:=0\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x} &=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{(\log x)^2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} \\ \text{$x$ 가 무한대로 갈 때 분자와 분모가 모두 무한대로 간다. 따라서 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 실제로는 두 번 적용하게 된다.} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{2\log x}{xe^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2/x}{xe^{x}+e^x} \\ \text{분자는 점점 작아지고 분모는 점점 커지므로:} \\ &={0} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We rearrange the expression to a more natural form:

lim⁡x→∞(log⁡x)2e−x=lim⁡x→∞(log⁡x)2ex⏟num→∞den→∞Both the numerator and denominator go to infinity as x goes to infinity. So, we can apply l’Hoˆpital’s Rule. In fact, we end up applying it twice.=lim⁡x→∞2log⁡xxex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2/xxex+exThe numerator gets smaller and smaller while the denominator gets larger and larger, so:=0\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x} &=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{(\log x)^2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} \\ \text{Both the numerator and denominator go to infinity as $x$ goes to infinity. So, we can apply l'H\^opital's Rule. In fact, we end up applying it twice.} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{2\log x}{xe^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2/x}{xe^{x}+e^x} \\ \text{The numerator gets smaller and smaller while the denominator gets larger and larger, so:} \\ &={0} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 7번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
383.CLP-1 · 3.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→∞x2e−x\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x^2e^{-x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→∞x2e−x\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x^2e^{-x}.

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lim⁡x→∞x2e−x=lim⁡x→∞x2ex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2xex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2ex⏟num→∞den→∞=0\lim_{x\rightarrow\infty}x^2e^{-x} =\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{x^2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \infty}} =\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{2x}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} ={0}

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡x→∞x2e−x=lim⁡x→∞x2ex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2xex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2ex⏟num→∞den→∞=0\lim_{x\rightarrow\infty}x^2e^{-x} =\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{x^2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \infty}} =\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{2x}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} ={0}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 8번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
384.CLP-1 · 3.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0x−xcos⁡xx−sin⁡x\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-x\cos x}{x-\sin x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0x−xcos⁡xx−sin⁡x\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-x\cos x}{x-\sin x}.

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lim⁡x→0x−xcos⁡xx−sin⁡x⏟num→0den→0=lim⁡x→01−cos⁡x+xsin⁡x1−cos⁡x⏟num→0den→0=lim⁡x→0sin⁡x+sin⁡x+xcos⁡xsin⁡x⏟num→0den→0=lim⁡x→02cos⁡x+cos⁡x−xsin⁡xcos⁡x=3\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{x-x\cos x}{x-\sin x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &= \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1-\cos x+x\sin x}{1-\cos x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} = \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\sin x+\sin x+x\cos x}{\sin x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos x+\cos x-x\sin x}{\cos x} ={3} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡x→0x−xcos⁡xx−sin⁡x⏟num→0den→0=lim⁡x→01−cos⁡x+xsin⁡x1−cos⁡x⏟num→0den→0=lim⁡x→0sin⁡x+sin⁡x+xcos⁡xsin⁡x⏟num→0den→0=lim⁡x→02cos⁡x+cos⁡x−xsin⁡xcos⁡x=3\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{x-x\cos x}{x-\sin x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &= \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1-\cos x+x\sin x}{1-\cos x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} = \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\sin x+\sin x+x\cos x}{\sin x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos x+\cos x-x\sin x}{\cos x} ={3} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 9번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
385.CLP-1 · 3.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

극한 lim⁡x→0x6+4x4x2cos⁡x\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0x6+4x4x2cos⁡x\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x}.

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분자와 분모에 x=0x=0 을 대입하면 둘 다 0이므로 로피탈 법칙을 쓸 수 있는 후보이다. 그러나 이 극한을 구하는 더 쉬운 방법은 분자와 분모에서 x2x^2 을 묶어 내어 약분하는 것이다.

lim⁡x→0x6+4x4x2cos⁡x=lim⁡x→0x4x2+4x2cos⁡x=lim⁡x→0x2x2+4x2cos⁡x=lim⁡x→0x2+4cos⁡x=02+4cos⁡(0)=2\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x} &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^4}\sqrt{x^2+4}}{x^2\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sqrt{x^2+4}}{x^2\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+4}}{\cos x}\\ &=\frac{\sqrt{0^2+4}}{\cos(0)}=2 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

If we plug in x=0x=0 to the numerator and denominator, both are zero, so this is a candidate for l'Hopital's Rule. However, an easier way to evaluate the limit is to factor x2x^2 from the numerator and denominator, and cancel.

lim⁡x→0x6+4x4x2cos⁡x=lim⁡x→0x4x2+4x2cos⁡x=lim⁡x→0x2x2+4x2cos⁡x=lim⁡x→0x2+4cos⁡x=02+4cos⁡(0)=2\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x} &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^4}\sqrt{x^2+4}}{x^2\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sqrt{x^2+4}}{x^2\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+4}}{\cos x}\\ &=\frac{\sqrt{0^2+4}}{\cos(0)}=2 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.7절 · 5번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
386.CLP-1 · 3.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

극한 lim⁡x→∞(log⁡x)2x\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(\log x)^2}{x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→∞(log⁡x)2x\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(\log x)^2}{x}.

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lim⁡x→∞(log⁡x)2x⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2(log⁡x)1x1=2lim⁡x→∞log⁡xx⏟num→∞den→∞=2lim⁡x→∞1x1=0\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{(\log x)^2}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} &=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2(\log x)\frac{1}{x}}{1} =2\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{\log x}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} = 2\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}={0} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡x→∞(log⁡x)2x⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2(log⁡x)1x1=2lim⁡x→∞log⁡xx⏟num→∞den→∞=2lim⁡x→∞1x1=0\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{(\log x)^2}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} &=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2(\log x)\frac{1}{x}}{1} =2\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{\log x}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} = 2\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}={0} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 17번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
387.CLP-1 · 3.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

극한 lim⁡x→01−cos⁡xsin⁡2x\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→01−cos⁡xsin⁡2x\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x}.

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lim⁡x→01−cos⁡xsin⁡2x⏟num→0den→0=lim⁡x→0sin⁡x2sin⁡xcos⁡x=lim⁡x→012cos⁡x=12\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow0}\underbrace{\frac{1-\cos x}{\sin^2 x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &= \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{2\sin x\cos x} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2\cos x} ={\frac{1}{2}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡x→01−cos⁡xsin⁡2x⏟num→0den→0=lim⁡x→0sin⁡x2sin⁡xcos⁡x=lim⁡x→012cos⁡x=12\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow0}\underbrace{\frac{1-\cos x}{\sin^2 x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &= \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{2\sin x\cos x} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2\cos x} ={\frac{1}{2}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 10번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
388.CLP-1 · 3.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

극한 lim⁡x→0xsec⁡x\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\sec x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0xsec⁡x\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\sec x}.

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x=0x=0 을 대입하면 분자는 0이고, 분모는

sec⁡0=1cos⁡0=11=1\sec 0 = \dfrac{1}{\cos 0}=\dfrac{1}{1}=1 이다. 따라서 극한은 01=0\dfrac{0}{1}=0 이다.

주의할 점: 이 분수는 부정형이 아니므로 여기에서는 로피탈 법칙을 쓸 수 없다. 분자와 분모를 각각 미분하면, 극한이 존재하지 않는 식을 얻게 된다.

lim⁡x→01sec⁡xtan⁡x=lim⁡x→0cos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=DNE\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sec x \tan x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}=DNE.

원본 교재 풀이(영어)

If we plug in x=0x=0, the numerator is zero, and the denominator is

sec⁡0=1cos⁡0=11=1\sec 0 = \dfrac{1}{\cos 0}=\dfrac{1}{1}=1. So the limit is 01=0\dfrac{0}{1}=0.

Be careful: you cannot use l'Hopital's Rule here, because the fraction does not give an indeterminate form. If you try to differentiate the numerator and the denominator, you get an expression whose limit does not exist:

lim⁡x→01sec⁡xtan⁡x=lim⁡x→0cos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=DNE\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sec x \tan x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}=DNE.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 11번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
389.CLP-1 · 3.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

극한 lim⁡x→0csc⁡x⋅tan⁡x⋅(x2+5)ex\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\csc x\cdot \tan x\cdot (x^2+5)}{e^x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0csc⁡x⋅tan⁡x⋅(x2+5)ex\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\csc x\cdot \tan x\cdot (x^2+5)}{e^x}.

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분모에 x=0x=0 을 대입하면 1이다. 그러나 분자는 부정형이다. tan⁡0=0\tan 0 =0 이지만 lim⁡x→0+csc⁡x=∞\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\csc x=\infty 이고 lim⁡x→0−csc⁡x=−∞\displaystyle \lim_{x \to 0^-}\csc x=-\infty 이기 때문이다. csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \frac{1}{\sin x} 를 쓰면 주어진 식은 다음과 같이 된다.

lim⁡x→0tan⁡x⋅(x2+5)sin⁡x⋅exx=0 을 대입하면 분자와 분모가 모두 0이 되므로 로피탈 법칙을 쓸 수 있는 후보이다. 그러나 먼저 삼각함수를 간단히 하는 것이 훨씬 쉬운 방법이다.lim⁡x→0tan⁡x⋅(x2+5)sin⁡x⋅ex=lim⁡x→0sin⁡x⋅(x2+5)cos⁡x⋅sin⁡x⋅ex=lim⁡x→0x2+5cos⁡x⋅ex=02+5cos⁡(0)⋅e0=5\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\tan x\cdot (x^2+5)}{\sin x \cdot e^x}& \\ \text{$x=0$ 을 대입하면 분자와 분모가 모두 0이 되므로 로피탈 법칙을 쓸 수 있는 후보이다. 그러나 먼저 삼각함수를 간단히 하는 것이 훨씬 쉬운 방법이다.} \\ \lim_{x\to0}\frac{\tan x\cdot (x^2+5)}{\sin x \cdot e^x}&= \lim_{x\to0}\frac{\sin x\cdot (x^2+5)}{\cos x \cdot\sin x \cdot e^x}\\&= \lim_{x\to0}\frac{x^2+5}{\cos x \cdot e^x}\\ &=\frac{0^2+5}{\cos(0)\cdot e^0}=5 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

If we plug x=0x=0 into the denominator, we get 1. However, the numerator is an indeterminate form: tan⁡0=0\tan 0 =0, while lim⁡x→0+csc⁡x=∞\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\csc x=\infty and lim⁡x→0−csc⁡x=−∞\displaystyle \lim_{x \to 0^-}\csc x=-\infty. If we use csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \frac{1}{\sin x}, our expression becomes

lim⁡x→0tan⁡x⋅(x2+5)sin⁡x⋅exSince plugging in x=0 makes both the numerator and the denominator equal to zero, this is a candidate for l’Hoˆspital’s Rule. However, a much easier way is to simplify the trig first.lim⁡x→0tan⁡x⋅(x2+5)sin⁡x⋅ex=lim⁡x→0sin⁡x⋅(x2+5)cos⁡x⋅sin⁡x⋅ex=lim⁡x→0x2+5cos⁡x⋅ex=02+5cos⁡(0)⋅e0=5\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\tan x\cdot (x^2+5)}{\sin x \cdot e^x}& \\ \text{Since plugging in $x=0$ makes both the numerator and the denominator equal to zero, this is a candidate for l'H\^ospital's Rule. However, a much easier way is to simplify the trig first.} \\ \lim_{x\to0}\frac{\tan x\cdot (x^2+5)}{\sin x \cdot e^x}&= \lim_{x\to0}\frac{\sin x\cdot (x^2+5)}{\cos x \cdot\sin x \cdot e^x}\\&= \lim_{x\to0}\frac{x^2+5}{\cos x \cdot e^x}\\ &=\frac{0^2+5}{\cos(0)\cdot e^0}=5 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 12번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
390.CLP-1 · 3.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→∞2x2+1−x2+x\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→∞2x2+1−x2+x\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}.

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lim⁡x→∞2x2+1−x2+x\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x} 은 ∞−∞\infty - \infty 꼴의 부정형이다. 상황을 더 잘 파악하기 위해 유리화해 보자.

lim⁡x→∞2x2+1−x2+x=lim⁡x→∞(2x2+1−x2+x)(2x2+1+x2+x2x2+1+x2+x)=lim⁡x→∞(2x2+1)−(x2+x)2x2+1+x2+x=lim⁡x→∞x2−x+12x2+1+x2+x여기서 ∞∞ 꼴의 부정형이므로 로피탈의 정리를 쓸 수 있다. 그러나 여기에 적용하려 하면 식이 금방 매우 복잡해진다. 대신 이전에 이런 꼴의 극한을 어떻게 처리했는지 떠올려 보자. 분모의 최고차항인 x 로 묶어 낸다.=lim⁡x→∞x(x−1+1x)x2(2+1x2)+x2(1+1x)=lim⁡x→∞x(x−1+1x)x(2+1x2+1+1x)=lim⁡x→∞x−1+1x2+1x2+1+1x⏟num→∞den→2+1=∞\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}&= \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}\right)\left( \frac{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}\right)\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2+1)-(x^2+x)}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x+1}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}} \\ \text{여기서 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 부정형이므로 로피탈의 정리를 쓸 수 있다. 그러나 여기에 적용하려 하면 식이 금방 매우 복잡해진다. 대신 이전에 이런 꼴의 극한을 어떻게 처리했는지 떠올려 보자. 분모의 최고차항인 $x$ 로 묶어 낸다.} \\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x^2(2+\frac{1}{x^2})}+\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}}\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}\\ &=\lim_{x \to \infty} \underbrace{\frac{x-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \sqrt{2}+1}}\\ &=\infty \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡x→∞2x2+1−x2+x\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x} has the indeterminate form ∞−∞\infty - \infty. To get a better idea of what's going on, let's rationalize.

lim⁡x→∞2x2+1−x2+x=lim⁡x→∞(2x2+1−x2+x)(2x2+1+x2+x2x2+1+x2+x)=lim⁡x→∞(2x2+1)−(x2+x)2x2+1+x2+x=lim⁡x→∞x2−x+12x2+1+x2+xHere, we have the indeterminate form ∞∞, so l’Hoˆpital’s Rule applies. However, if we try to use it here, we quickly get a huge mess. Instead, remember how we dealt with these kinds of limits in the past: factor out the highest power of the denominator, which is x.=lim⁡x→∞x(x−1+1x)x2(2+1x2)+x2(1+1x)=lim⁡x→∞x(x−1+1x)x(2+1x2+1+1x)=lim⁡x→∞x−1+1x2+1x2+1+1x⏟num→∞den→2+1=∞\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}&= \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}\right)\left( \frac{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}\right)\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2+1)-(x^2+x)}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x+1}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}} \\ \text{Here, we have the indeterminate form $\frac{\infty}{\infty}$, so l'H\^opital's Rule applies. However, if we try to use it here, we quickly get a huge mess. Instead, remember how we dealt with these kinds of limits in the past: factor out the highest power of the denominator, which is $x$.} \\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x^2(2+\frac{1}{x^2})}+\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}}\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}\\ &=\lim_{x \to \infty} \underbrace{\frac{x-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \sqrt{2}+1}}\\ &=\infty \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 22번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
391.CLP-1 · 3.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0sin⁡(x3+3x2)sin⁡2x\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(x^3+3x^2)}{\sin^2x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0sin⁡(x3+3x2)sin⁡2x\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(x^3+3x^2)}{\sin^2x}.

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x=0x=0 을 대입하면 분자와 분모가 모두 0이 된다. 따라서 로피탈의 법칙을 적용할 수 있는 부정형 중 하나이다.

lim⁡x→0sin⁡(x3+3x2)sin⁡2x⏟num→0den→0=lim⁡x→0(3x2+6x)cos⁡(x3+3x2)2sin⁡xcos⁡xx=0 을 대입해도 여전히 분자와 분모가 모두 0으로 간다. 로피탈의 법칙을 한 번 더 적용할 수도 있다. 그러나 도함수가 다소 복잡해지므로, 극한의 성질을 이용하여 분수를 두 분수의 곱으로 나눈다. 두 극한이 모두 존재하면:lim⁡x→0(3x2+6x)cos⁡(x3+3x2)2sin⁡xcos⁡x=(lim⁡x→0x2+2xsin⁡x)⋅(lim⁡x→03cos⁡(x3+3x2)2cos⁡x)오른쪽 극한은 x=0 을 그대로 대입하여 구할 수 있다:=32lim⁡x→0x2+2xsin⁡x⏟num→0den→0=32lim⁡x→02x+2cos⁡x=32(21)=3\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{\sin(x^3+3x^2)}{\sin^2x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} &= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(3x^2+6x)\cos(x^3+3x^2)}{2\sin x\cos x} \\ \text{$x=0$ 을 대입해도 여전히 분자와 분모가 모두 0으로 간다. 로피탈의 법칙을 한 번 더 적용할 수도 있다. 그러나 도함수가 다소 복잡해지므로, 극한의 성질을 이용하여 분수를 두 분수의 곱으로 나눈다. 두 극한이 모두 존재하면:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(3x^2+6x)\cos(x^3+3x^2)}{2\sin x\cos x}&=\left(\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2+2x}{\sin x}\right)\cdot \left(\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{3\cos(x^3+3x^2)}{2\cos x}\right) \\ \text{오른쪽 극한은 $x=0$ 을 그대로 대입하여 구할 수 있다:} \\ &=\dfrac{3}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{x^2+2x}{\sin x}}_ {\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} \\ &= \dfrac{3}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2x+2}{\cos x}\\ &=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{1}\right)=3\end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

If we plug in x=0x=0, both numerator and denominator become zero. So, we have exactly one of the indeterminate forms that l'Hopital's Rule applies to.

lim⁡x→0sin⁡(x3+3x2)sin⁡2x⏟num→0den→0=lim⁡x→0(3x2+6x)cos⁡(x3+3x2)2sin⁡xcos⁡xIf we plug in x=0, still we find that both the numerator and the denominator go to zero. We could jump in with another iteration of l’Hoˆpital’s Rule. However, the derivatives would be a little messy, so we use limit laws and break up the fraction into the product of two fractions. If both limits exist:lim⁡x→0(3x2+6x)cos⁡(x3+3x2)2sin⁡xcos⁡x=(lim⁡x→0x2+2xsin⁡x)⋅(lim⁡x→03cos⁡(x3+3x2)2cos⁡x)We can evaluate the right-hand limit by simply plugging in x=0:=32lim⁡x→0x2+2xsin⁡x⏟num→0den→0=32lim⁡x→02x+2cos⁡x=32(21)=3\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{\sin(x^3+3x^2)}{\sin^2x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} &= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(3x^2+6x)\cos(x^3+3x^2)}{2\sin x\cos x} \\ \text{If we plug in $x=0$, still we find that both the numerator and the denominator go to zero. We could jump in with another iteration of l'H\^opital's Rule. However, the derivatives would be a little messy, so we use limit laws and break up the fraction into the product of two fractions. If both limits exist:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(3x^2+6x)\cos(x^3+3x^2)}{2\sin x\cos x}&=\left(\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2+2x}{\sin x}\right)\cdot \left(\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{3\cos(x^3+3x^2)}{2\cos x}\right) \\ \text{We can evaluate the right-hand limit by simply plugging in $x=0$:} \\ &=\dfrac{3}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{x^2+2x}{\sin x}}_ {\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} \\ &= \dfrac{3}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2x+2}{\cos x}\\ &=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{1}\right)=3\end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 14번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
392.CLP-1 · 3.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→1log⁡(x3)x2−1\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\log(x^3)}{x^2-1} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→1log⁡(x3)x2−1\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\log(x^3)}{x^2-1}.

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lim⁡x→1log⁡(x3)x2−1=lim⁡x→13log⁡(x)x2−1⏟num→0den→0=lim⁡x→13/x2x=32\lim_{x\rightarrow1}\frac{\log(x^3)}{x^2-1} =\lim_{x\rightarrow1}\underbrace{\frac{3\log(x)}{x^2-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} =\lim_{x\rightarrow1}\frac{3/x}{2x} =\frac{3}{2}

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡x→1log⁡(x3)x2−1=lim⁡x→13log⁡(x)x2−1⏟num→0den→0=lim⁡x→13/x2x=32\lim_{x\rightarrow1}\frac{\log(x^3)}{x^2-1} =\lim_{x\rightarrow1}\underbrace{\frac{3\log(x)}{x^2-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} =\lim_{x\rightarrow1}\frac{3/x}{2x} =\frac{3}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 24번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
393.CLP-1 · 3.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0e−1/x2x4\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^4} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0e−1/x2x4\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^4}.

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  • 풀이 1. lim⁡x→0e−1/x2x4=lim⁡x→01x4e1/x2⏟num→∞den→∞=lim⁡x→0−4x5−2x3e1/x2=lim⁡x→02x2e1/x2⏟num→∞den→∞=lim⁡x→0−4x3−2x3e1/x2=lim⁡x→02e1/x2=0\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{1}{x^4}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^5}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{2}{x^2}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^3}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{e^{1/x^2}} ={0} 이는 x→0x\rightarrow 0 일 때 지수 1x2→∞\frac{1}{x^2}\rightarrow\infty 이므로 e1/x2→∞e^{1/x^2}\rightarrow\infty 이고 e−1/x2→0e^{-1/x^2}\rightarrow 0 이기 때문이다.
  • 풀이 2. lim⁡x→0e−1/x2x4=lim⁡t=1x2→∞e−tt−2=lim⁡t→∞t2et⏟num→∞den→∞=lim⁡t→∞2tet⏟num→∞den→∞=lim⁡t→∞2et=0\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{t=\frac{1}{x^2}\rightarrow \infty}\frac{e^{-t}}{t^{-2}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{t^2}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{2t}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{2}{e^{t}} ={0}
원본 교재 풀이(영어)
  • Solution 1. lim⁡x→0e−1/x2x4=lim⁡x→01x4e1/x2⏟num→∞den→∞=lim⁡x→0−4x5−2x3e1/x2=lim⁡x→02x2e1/x2⏟num→∞den→∞=lim⁡x→0−4x3−2x3e1/x2=lim⁡x→02e1/x2=0\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{1}{x^4}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^5}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{2}{x^2}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^3}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{e^{1/x^2}} ={0} since, as x→0x\rightarrow 0, the exponent 1x2→∞\frac{1}{x^2}\rightarrow\infty so that e1/x2→∞e^{1/x^2}\rightarrow\infty and e−1/x2→0e^{-1/x^2}\rightarrow 0.
  • Solution 2. lim⁡x→0e−1/x2x4=lim⁡t=1x2→∞e−tt−2=lim⁡t→∞t2et⏟num→∞den→∞=lim⁡t→∞2tet⏟num→∞den→∞=lim⁡t→∞2et=0\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{t=\frac{1}{x^2}\rightarrow \infty}\frac{e^{-t}}{t^{-2}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{t^2}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{2t}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{2}{e^{t}} ={0}
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 16번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
394.CLP-1 · 3.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0xextan⁡(3x)\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{xe^x}{\tan (3x)}의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0xextan⁡(3x)\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{xe^x}{\tan (3x)}.

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lim⁡x→0xextan⁡(3x)⏟num→0den→0=lim⁡x→0ex+xex3sec⁡2(3x)=13\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{xe^x}{\tan (3x)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x+xe^x}{3\sec^2 (3x)} =\frac{1}{3}

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡x→0xextan⁡(3x)⏟num→0den→0=lim⁡x→0ex+xex3sec⁡2(3x)=13\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{xe^x}{\tan (3x)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x+xe^x}{3\sec^2 (3x)} =\frac{1}{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.2절 · 14번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
395.CLP-1 · 3.7절 · 19번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0sin⁡2xx2\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\sin^2 x}의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0sin⁡2xx2\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\sin^2 x}.

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lim⁡x→0sin⁡2x=0\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin^2 x = 0이고 lim⁡x→01x2=∞\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty이므로 0∞0^\infty 꼴이다. (sin⁡2x\sin^2 x는 양수이므로 거듭제곱근이 정의된다.) 이는 부정형이 아니다: lim⁡x→0sin⁡2xx2=0\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\sin^2 x}=0.

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡x→0sin⁡2x=0\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin^2 x = 0, and lim⁡x→01x2=∞\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty, so we have the form 0∞0^\infty. (Note that sin⁡2x\sin^2 x is positive, so our root is defined.) This is not an indeterminate form: lim⁡x→0sin⁡2xx2=0\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\sin^2 x}=0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 21번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
396.CLP-1 · 3.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0cos⁡xx2\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\cos x}의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0cos⁡xx2\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\cos x}.

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lim⁡x→0cos⁡x=1\displaystyle \lim_{x \to 0} \cos x =1이고 lim⁡x→01x2=∞\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty이므로 lim⁡x→0(cos⁡x)1x2\displaystyle \lim_{x \to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}} 은 1∞1^\infty 꼴의 부정형이다. 로피탈 정리를 쓰고 싶지만, 그러려면 함수를 분수 꼴의 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 사용한다.

y:=(cos⁡x)1x2log⁡y=log⁡((cos⁡x)1x2)=1x2log⁡(cos⁡x)=log⁡cos⁡xx2lim⁡x→0log⁡y=lim⁡x→0log⁡cos⁡xx2⏟num→0den→0=lim⁡x→0−sin⁡xcos⁡x2x=lim⁡x→0−tan⁡x2x⏟num→0den→0=lim⁡x→0−sec⁡2x2=lim⁡x→0−12cos⁡2x=−12따라서, lim⁡x→0y=lim⁡x→0elog⁡y=e−1/2=1e\begin{aligned} y:&=(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\\ \log y &= \log \left((\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\right)=\frac{1}{x^2}\log(\cos x)=\frac{\log \cos x}{x^2}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\log \cos x}{x^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{2x}= \lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-\tan x}{2x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} = \lim_{x \to 0}\frac{-\sec^2x}{2}\\ &=\lim_{x \to 0}\frac{-1}{2\cos^2 x}=-\frac{1}{2}\\ \text{따라서, } \lim_{x \to 0} y &=\lim_{x \to 0}e^{\log y}=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡x→0cos⁡x=1\displaystyle \lim_{x \to 0} \cos x =1 and lim⁡x→01x2=∞\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty, so lim⁡x→0(cos⁡x)1x2\displaystyle \lim_{x \to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}} has the indeterminate form 1∞1^\infty. We want to use l'Hopital, but we need to get our function into a fractional indeterminate form. So, we'll use a logarithm.

y:=(cos⁡x)1x2log⁡y=log⁡((cos⁡x)1x2)=1x2log⁡(cos⁡x)=log⁡cos⁡xx2lim⁡x→0log⁡y=lim⁡x→0log⁡cos⁡xx2⏟num→0den→0=lim⁡x→0−sin⁡xcos⁡x2x=lim⁡x→0−tan⁡x2x⏟num→0den→0=lim⁡x→0−sec⁡2x2=lim⁡x→0−12cos⁡2x=−12Therefore, lim⁡x→0y=lim⁡x→0elog⁡y=e−1/2=1e\begin{aligned} y:&=(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\\ \log y &= \log \left((\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\right)=\frac{1}{x^2}\log(\cos x)=\frac{\log \cos x}{x^2}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\log \cos x}{x^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{2x}= \lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-\tan x}{2x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} = \lim_{x \to 0}\frac{-\sec^2x}{2}\\ &=\lim_{x \to 0}\frac{-1}{2\cos^2 x}=-\frac{1}{2}\\ \text{Therefore, } \lim_{x \to 0} y &=\lim_{x \to 0}e^{\log y}=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 19번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
397.CLP-1 · 3.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0+exlog⁡x\displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{x \log x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0+exlog⁡x\displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{x \log x}.

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  • 풀이 1

y:=exlog⁡x=(ex)log⁡xlim⁡x→0+y=lim⁡x→0+(ex)log⁡x이는 1−∞=11∞ 꼴이고, 1∞ 은 부정형이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.lim⁡x→0+log⁡y=lim⁡x→0+log⁡((ex)log⁡x)=lim⁡x→0+log⁡xlog⁡(ex)=lim⁡x→0+(log⁡x)⋅x이는 부정형 0⋅∞ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.=lim⁡x→0+log⁡x1x⏟num→−∞den→∞=lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+−x=0이제 처음 함수 y 가 어떻게 되는지 알 수 있다:lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+elog⁡y=e0=1\begin{aligned} y:&= e^{x \log x} = (e^x)^{\log x} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} (e^x)^{\log x} \\ \text{이는 $1^{-\infty} = \frac{1}{1^\infty}$ 꼴이고, $1^{\infty}$ 은 부정형이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.} \\ \lim_{x \to 0^+} \log y &=\lim_{x \to 0 ^+} \log\left((e^x)^{\log x} \right) =\lim_{x \to 0 ^+} \log x \log\left(e^x \right)=\lim_{x \to 0 ^+} (\log x)\cdot x \\ \text{이는 부정형 $0 \cdot \infty$ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.} \\ &=\lim_{x \to 0 ^+} \underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num} \to -\infty}{\mathrm{den} \to \infty}} =\lim_{x \to 0 ^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0 ^+}-x=0 \\ \text{이제 처음 함수 $y$ 가 어떻게 되는지 알 수 있다:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}

  • 풀이 2

y:=exlog⁡x=(elog⁡x)x=xxlim⁡x→0+y=lim⁡x→0+xx부정형 00 꼴이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.lim⁡x→0+log⁡y=lim⁡x→0+log⁡(xx)=lim⁡x→0+xlog⁡x이제 부정형 0⋅∞ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+log⁡x1x⏟num→0den→−∞=lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+−x=0이제 처음 함수 y 가 어떻게 되는지 알 수 있다:lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+elog⁡y=e0=1\begin{aligned} y:&=e^{x\log x}=\left(e^{\log x}\right)^x=x^x\\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}x^x \\ \text{부정형 $0^0$ 꼴이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.} \\ \lim_{x \to 0^+}\log y &=\lim_{x \to 0^+}\log(x^x)=\lim_{x \to 0^+}x\log x \\ \text{이제 부정형 $0 \cdot \infty$ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}\underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den} \to -\infty}} =\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0^+}-x=0 \\ \text{이제 처음 함수 $y$ 가 어떻게 되는지 알 수 있다:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)
  • Solution 1

y:=exlog⁡x=(ex)log⁡xlim⁡x→0+y=lim⁡x→0+(ex)log⁡xThis has the form 1−∞=11∞, and 1∞ is an indeterminate form. We want to use l’Hoˆpital, but we need to get a different indeterminate form. So, we’ll use logarithms.lim⁡x→0+log⁡y=lim⁡x→0+log⁡((ex)log⁡x)=lim⁡x→0+log⁡xlog⁡(ex)=lim⁡x→0+(log⁡x)⋅xThis has the indeterminate form 0⋅∞, so we need one last adjustment before we can use l’Hoˆpital’s Rule.=lim⁡x→0+log⁡x1x⏟num→−∞den→∞=lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+−x=0Now, we can figure out what happens to our original function, y:lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+elog⁡y=e0=1\begin{aligned} y:&= e^{x \log x} = (e^x)^{\log x} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} (e^x)^{\log x} \\ \text{This has the form $1^{-\infty} = \frac{1}{1^\infty}$, and $1^{\infty}$ is an indeterminate form. We want to use l'H\^opital, but we need to get a different indeterminate form. So, we'll use logarithms.} \\ \lim_{x \to 0^+} \log y &=\lim_{x \to 0 ^+} \log\left((e^x)^{\log x} \right) =\lim_{x \to 0 ^+} \log x \log\left(e^x \right)=\lim_{x \to 0 ^+} (\log x)\cdot x \\ \text{This has the indeterminate form $0 \cdot \infty$, so we need one last adjustment before we can use l'H\^opital's Rule.} \\ &=\lim_{x \to 0 ^+} \underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num} \to -\infty}{\mathrm{den} \to \infty}} =\lim_{x \to 0 ^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0 ^+}-x=0 \\ \text{Now, we can figure out what happens to our original function, $y$:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}

  • Solution 2

y:=exlog⁡x=(elog⁡x)x=xxlim⁡x→0+y=lim⁡x→0+xxWe have the indeterminate form 00. We want to use l’Hoˆpital, but we need a different indeterminate form. So, we’ll use logarithms.lim⁡x→0+log⁡y=lim⁡x→0+log⁡(xx)=lim⁡x→0+xlog⁡xNow we have the indeterminate form 0⋅∞, so we need one last adjustment before we can use l’Hoˆpital’s Rule.lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+log⁡x1x⏟num→0den→−∞=lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+−x=0Now, we can figure out what happens to our original function, y:lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+elog⁡y=e0=1\begin{aligned} y:&=e^{x\log x}=\left(e^{\log x}\right)^x=x^x\\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}x^x \\ \text{We have the indeterminate form $0^0$. We want to use l'H\^opital, but we need a different indeterminate form. So, we'll use logarithms.} \\ \lim_{x \to 0^+}\log y &=\lim_{x \to 0^+}\log(x^x)=\lim_{x \to 0^+}x\log x \\ \text{Now we have the indeterminate form $0 \cdot \infty$, so we need one last adjustment before we can use l'H\^opital's Rule.} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}\underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den} \to -\infty}} =\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0^+}-x=0 \\ \text{Now, we can figure out what happens to our original function, $y$:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 18번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
398.CLP-1 · 3.7절 · 22번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0[−log⁡(x2)]x\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left[-\log(x^2)\right]^x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0[−log⁡(x2)]x\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left[-\log(x^2)\right]^x.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

먼저 0 근처에서 이 함수가 존재함을 확인한다. x2x^2 은 양수이므로 log⁡(x2)\log(x^2) 이 존재한다. 0 근처에서 log⁡x2\log x^2 은 음수이므로 −log⁡(x2)-\log(x^2) 은 양수이고, 따라서 xx 가 음수일 때에도 [−log⁡(x2)]x\left[-\log(x^2)\right]^x 이 존재한다.

lim⁡x→0−log⁡(x2)=∞\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} -\log(x^2)=\infty 이고 lim⁡x→0x=0\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}x=0 이므로 ∞0\infty^0 꼴의 부정형이다. 로피탈 정리를 써야 하는데, 그러려면 함수를 알맞은 꼴로 바꿔야 한다. 로그를 이용하여 이렇게 바꾼다.

y:=[−log⁡(x2)]xlog⁡y=log⁡([−log⁡(x2)]x)=x⏟→0⋅log⁡(−log⁡(x2)⏟→∞)⏟→∞=log⁡(−log⁡(x2))1xlim⁡x→0log⁡y=lim⁡x→0log⁡(−log⁡(x2))1x⏟num→∞den→±∞=lim⁡x→0−2x−log⁡(x2)−1x2=lim⁡x→0−2xlog⁡(x2)⏟num→0den→−∞=0이제 처음의 극한을 구할 수 있다.lim⁡x→0y=lim⁡x→0elog⁡y=e0=1\begin{aligned} y:&=\left[-\log(x^2)\right]^x\\ \log y &= \log \left( \left[-\log(x^2)\right]^x\right)= \underbrace{x}_{\to 0}\cdot\underbrace{\log\left(\underbrace{-\log(x^2)}_{\to\infty} \right)}_{\to\infty}=\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \pm\infty}} =\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\frac{2}{x}}{-\log(x^2)}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-2x}{\log(x^2)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to-\infty}}=0 \\ \text{이제 처음의 극한을 구할 수 있다.} \\ \lim_{x\to 0} y &= \lim_{x \to 0} e^{\log y}=e^0=1 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

First, note that the function exists near 0: x2x^2 is positive, so log⁡(x2)\log(x^2) exists; near 0, log⁡x2\log x^2 is negative, so −log⁡(x2)-\log(x^2) is positive, so [−log⁡(x2)]x\left[-\log(x^2)\right]^x exists even when xx is negative.

Since lim⁡x→0−log⁡(x2)=∞\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} -\log(x^2)=\infty and lim⁡x→0x=0\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}x=0, we have the indeterminate form ∞0\infty^0. We need l'Hopital, but we need to manipulate our function into an appropriate form. We do this using logarithms.

y:=[−log⁡(x2)]xlog⁡y=log⁡([−log⁡(x2)]x)=x⏟→0⋅log⁡(−log⁡(x2)⏟→∞)⏟→∞=log⁡(−log⁡(x2))1xlim⁡x→0log⁡y=lim⁡x→0log⁡(−log⁡(x2))1x⏟num→∞den→±∞=lim⁡x→0−2x−log⁡(x2)−1x2=lim⁡x→0−2xlog⁡(x2)⏟num→0den→−∞=0Now, we’re ready to figure out our original limit.lim⁡x→0y=lim⁡x→0elog⁡y=e0=1\begin{aligned} y:&=\left[-\log(x^2)\right]^x\\ \log y &= \log \left( \left[-\log(x^2)\right]^x\right)= \underbrace{x}_{\to 0}\cdot\underbrace{\log\left(\underbrace{-\log(x^2)}_{\to\infty} \right)}_{\to\infty}=\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \pm\infty}} =\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\frac{2}{x}}{-\log(x^2)}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-2x}{\log(x^2)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to-\infty}}=0 \\ \text{Now, we're ready to figure out our original limit.} \\ \lim_{x\to 0} y &= \lim_{x \to 0} e^{\log y}=e^0=1 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 23번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
399.CLP-1 · 3.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→01+cx−cos⁡xex2−1\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1} 이 존재하도록 하는 cc 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find cc so that lim⁡x→01+cx−cos⁡xex2−1\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1} exists.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

분자와 분모는 모두 x→0x\rightarrow 0 일 때 00 으로 수렴한다. 따라서 로피탈 정리에 의해 lim⁡x→01+cx−cos⁡xex2−1⏟num→0den→0=lim⁡x→0c+sin⁡x2xex2\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{c+\sin x}{ 2xe^{x^2}} 새로운 분모는 여전히 x→0x\rightarrow 0 일 때 00 으로 수렴한다. 극한이 존재하려면 새로운 분자도 마찬가지여야 한다. 따라서 c≠0c \neq 0 이면 극한이 존재하지 않는다. c=0c=0 일 때 극한이 존재하는지 확인해야 한다. 로피탈 정리를 이용하면 lim⁡x→0sin⁡x2xex2⏟num→0den→0=lim⁡x→0cos⁡xex2(4x2+2)=11(0+2)=12.\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\sin x}{2xe^{x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{e^{x^2}(4x^2+2)}=\frac{1}{1(0+2)}=\frac{1}{2}. 따라서 c=0c=0 일 때 극한이 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Both the numerator and denominator converge to 00 as x→0x\rightarrow 0. So, by l'Hopital, lim⁡x→01+cx−cos⁡xex2−1⏟num→0den→0=lim⁡x→0c+sin⁡x2xex2\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{c+\sin x}{ 2xe^{x^2}} The new denominator still converges to 00 as x→0x\rightarrow 0. For the limit to exist, the same must be true for the new numerator. This tells us that if c≠0c \neq 0, the limit does not exist. We should check whether the limit exists when c=0c=0. Using l'Hopital: lim⁡x→0sin⁡x2xex2⏟num→0den→0=lim⁡x→0cos⁡xex2(4x2+2)=11(0+2)=12.\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\sin x}{2xe^{x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{e^{x^2}(4x^2+2)}=\frac{1}{1(0+2)}=\frac{1}{2}. So, the limit exists when c=0c=0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 20번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류
400.CLP-1 · 3.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

kk가 상수일 때, lim⁡x→0eksin⁡(x2)−(1+2x2)x4\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{k\sin(x^2)}-(1+2x^2)}{x^4} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0eksin⁡(x2)−(1+2x2)x4\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{k\sin(x^2)}-(1+2x^2)}{x^4}, where kk is a constant.

정답·풀이 보기

가장 먼저 눈에 띄는 것은, kk 의 값에 관계없이 x=0x=0 을 대입하면 분자와 분모가 모두 0이 된다는 점이다. 이 사실을 이용하여 로피탈의 정리를 적용하자.

lim⁡x→0eksin⁡(x2)−(1+2x2)x4⏟num→0den→0=lim⁡x→02kxcos⁡(x2)eksin⁡(x2)−4x4x3=lim⁡x→02kcos⁡(x2)eksin⁡(x2)−44x2x=0 을 대입하면 분모는 0이 되고 분자는 2k−4 가 된다. 극한의 거동이 k 에 따라 달라지므로 경우를 나누어야 한다.k=2 일 때:lim⁡x→02kcos⁡(x2)eksin⁡(x2)−44x2=lim⁡x→04cos⁡(x2)e2sin⁡(x2)−44x2⏟num→0den→0=lim⁡x→0−8xsin⁡(x2)e2sin⁡(x2)+16xcos⁡2(x2)e2sin⁡(x2)8x=lim⁡x→0[−sin⁡(x2)e2sin⁡(x2)+2cos⁡2(x2)e2sin⁡(x2)]=2k>2 일 때, 분자는 양의 상수인 2k−4 에 가까워지고 분모는 오른쪽에서 0 에 가까워지므로:lim⁡x→02kcos⁡(x2)eksin⁡(x2)−44x2=∞k<2 일 때, 분자는 음의 상수인 2k−4 에 가까워지고 분모는 오른쪽에서 0 에 가까워지므로:lim⁡x→02kcos⁡(x2)eksin⁡(x2)−44x2=−∞\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{e^{k\sin(x^2)}-(1+2x^2)}{x^4}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2kx\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4x}{4x^3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2} \\ \text{$x=0$ 을 대입하면 분모는 0이 되고 분자는 $2k-4$ 가 된다. 극한의 거동이 $k$ 에 따라 달라지므로 경우를 나누어야 한다.} \\ \\ \text{$k=2$ 일 때:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{4\cos(x^2)e^{2\sin(x^2)}-4}{4x^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-8x\sin(x^2)e^{2\sin(x^2)} +16x\cos^2(x^2)e^{2\sin(x^2)}}{8x}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\big[-\sin(x^2)e^{2\sin(x^2)} +2\cos^2(x^2)e^{2\sin(x^2)}\big]\\ &=2 \\ \text{$k>2$ 일 때, 분자는 양의 상수인 $2k-4$ 에 가까워지고 분모는 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지므로:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= \infty \\ \text{$k<2$ 일 때, 분자는 음의 상수인 $2k-4$ 에 가까워지고 분모는 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지므로:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= -\infty \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The first thing we notice is, regardless of kk, when we plug in x=0x=0 both numerator and denominator become zero. Let's use this fact, and apply l'Hopital's Rule.

lim⁡x→0eksin⁡(x2)−(1+2x2)x4⏟num→0den→0=lim⁡x→02kxcos⁡(x2)eksin⁡(x2)−4x4x3=lim⁡x→02kcos⁡(x2)eksin⁡(x2)−44x2When we plug in x=0, the denominator becomes 0, and the numerator becomes 2k−4. So, we’ll need some cases, because the behaviour of the limit depends on k.For k=2:lim⁡x→02kcos⁡(x2)eksin⁡(x2)−44x2=lim⁡x→04cos⁡(x2)e2sin⁡(x2)−44x2⏟num→0den→0=lim⁡x→0−8xsin⁡(x2)e2sin⁡(x2)+16xcos⁡2(x2)e2sin⁡(x2)8x=lim⁡x→0[−sin⁡(x2)e2sin⁡(x2)+2cos⁡2(x2)e2sin⁡(x2)]=2For k>2, the numerator goes to 2k−4, which is a positive constant, while the denominator goes to 0 from the right, so:lim⁡x→02kcos⁡(x2)eksin⁡(x2)−44x2=∞For k<2, the numerator goes to 2k−4, which is a negative constant, while the denominator goes to 0 from the right, so:lim⁡x→02kcos⁡(x2)eksin⁡(x2)−44x2=−∞\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{e^{k\sin(x^2)}-(1+2x^2)}{x^4}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2kx\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4x}{4x^3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2} \\ \text{When we plug in $x=0$, the denominator becomes 0, and the numerator becomes $2k-4$. So, we'll need some cases, because the behaviour of the limit depends on $k$.} \\ \\ \text{For $k=2$:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{4\cos(x^2)e^{2\sin(x^2)}-4}{4x^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-8x\sin(x^2)e^{2\sin(x^2)} +16x\cos^2(x^2)e^{2\sin(x^2)}}{8x}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\big[-\sin(x^2)e^{2\sin(x^2)} +2\cos^2(x^2)e^{2\sin(x^2)}\big]\\ &=2 \\ \text{For $k>2$, the numerator goes to $2k-4$, which is a positive constant, while the denominator goes to $0$ from the right, so:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= \infty \\ \text{For $k<2$, the numerator goes to $2k-4$, which is a negative constant, while the denominator goes to $0$ from the right, so:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= -\infty \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 15번
# 로피탈 정리계산보통자동 분류