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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

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43문제 · 1 / 3쪽

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hm_{\tan}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 를 써서 접선의 기울기 mtan⁡=f′(a)m_{\tan}=f'(a) 를 구하세요. b. x=ax=a 에서 ff 의 접선의 방정식을 구하세요.

f(x)=x2+x, a=1f(x)=x^{2}+x,\ a=1

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h{m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} to find the slope of the tangent line mtan⁡=f′(a),{m}_{\tan }={f}^{'}(a), and b. find an equation of the tangent line to ff at x=a.x=a.

f(x)=x2+x,a=1f(x)={x}^{2}+x,a=1

답 쓰고 채점
(a)
(b)
풀이 보기

미분계수는 정의대로 극한을 구하고, 접선은 점 (a,f(a))(a,f(a)) 와 그 기울기로 직선을 세워요.

  1. 1

    (a) 필요한 값을 준비해요. f(1)=12+1=2f(1)=1^2+1=2 이고 f(1+h)=(1+h)2+(1+h)=2+3h+h2f(1+h)=(1+h)^2+(1+h)=2+3h+h^2 이에요.

  2. 2

    차를 구해서 hh 로 나눠요.

    f(1+h)−f(1)h=3h+h2h=3+h\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=3+h

  3. 3

    극한을 취해요. h→0h\to0 이면 3+h→33+h\to3 이므로 f′(1)=3f'(1)=3 이에요.

  4. 4

    (b) 접선을 세워요. 접점은 (1,2)(1,2), 기울기는 33 이므로 y−2=3(x−1)y-2=3(x-1) 이고 정리하면 y=3x−1y=3x-1 이에요.

답

(a) 33 (b) y=3x−1y=3x-1

자주 하는 실수

hh 로 나누기 전에 h→0h\to0 을 먼저 넣어 0/00/0 이 되어 막혀요. 먼저 식을 정리해 hh 를 약분해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 33 b. y=3x−1y=3x-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번
# 평균변화율과 미분계수계산보통
2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hm_{\tan}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} 를 이용해 접선의 기울기 mtan⁡=f′(a)m_{\tan}=f'(a) 를 구하고, b. x=ax=a 에서 ff 에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

f(x)=2−3x2, a=−2f(x)=2-3x^2,\ a=-2

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h{m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} to find the slope of the tangent line mtan⁡=f′(a),{m}_{\tan }={f}^{'}(a), and b. find an equation of the tangent line to ff at x=a.x=a.

f(x)=2−3x2,a=−2f(x)=2-3{x}^{2},a=-2

답 쓰고 채점
(a)
(b)
풀이 보기

미분계수의 정의 식에서 분자를 전개하면 hh 가 약분되고, 남은 식에 h→0h\to 0 을 넣어요.

  1. 1

    함숫값을 구해요. f(−2)=2−3⋅4=−10f(-2)=2-3\cdot 4=-10 이에요. 그리고 f(−2+h)=2−3(4−4h+h2)=−10+12h−3h2f(-2+h)=2-3(4-4h+h^2)=-10+12h-3h^2

  2. 2

    a: 정의 식을 계산해요. f(−2+h)−f(−2)h=12h−3h2h=12−3h\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{12h-3h^2}{h}=12-3h 이제 h→0h\to 0 이면 12−3h→1212-3h\to 12 이므로 f′(−2)=12f'(-2)=12 예요.

  3. 3

    b: 접선의 방정식을 세워요. 접점은 (−2,−10)(-2,-10), 기울기는 1212 이므로 y+10=12(x+2) ⇒ y=12x+14y+10=12(x+2)\ \Rightarrow\ y=12x+14

답

a. 1212 b. y=12x+14y=12x+14

자주 하는 실수

(−2+h)2(-2+h)^2 를 전개할 때 4+h24+h^2 으로 가운데 항을 빠뜨리는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 1212 b. y=12x+14y=12x+14

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 3번
# 접선의 방정식계산보통
3.OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번우리말 풀이

다음 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 써서 f′(a)f'(a) 를 구하세요.

f(x)=x, a=4f(x)=\sqrt{x},\ a=4

영어 원문 보기

For the following functions y=f(x),y=f(x), find f′(a){f}^{'}(a) using f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a{f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

f(x)=x,a=4f(x)=\sqrt{x},a=4

답 쓰고 채점
풀이 보기

x−2\sqrt{x}-2 처럼 제곱근이 있는 분자는 켤레식 x+2\sqrt{x}+2 를 곱해서 x−4x-4 를 만들면 약분돼요.

  1. 1

    식을 세워요. f(4)=4=2f(4)=\sqrt4=2 이므로

    f′(4)=lim⁡x→4x−2x−4f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}

    대입하면 00\dfrac00 꼴이라 식을 바꿔야 해요.

  2. 2

    분자를 유리화해요. 분자와 분모에 x+2\sqrt{x}+2 를 곱하면 (x−2)(x+2)=x−4(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4 가 돼요.

    (x−2)(x+2)(x−4)(x+2)=x−4(x−4)(x+2)\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}

  3. 3

    약분하고 극한을 구해요. x≠4x\ne4 이므로 x−4x-4 를 약분하면 1x+2\dfrac{1}{\sqrt{x}+2} 이고, x→4x\to4 이면 12+2=14\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14 이에요.

답

14\dfrac14

자주 하는 실수

x−2\sqrt{x}-2 를 x−4\sqrt{x-4} 처럼 합쳐서 계산하거나, 켤레식을 분자에만 곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

14\frac{1}{4}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번
# 평균변화율과 미분계수계산보통
4.OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번우리말 풀이

다음 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용해 f′(a)f'(a) 를 구하세요.

f(x)=1x3, a=1f(x)=\dfrac{1}{x^3},\ a=1

영어 원문 보기

For the following functions y=f(x),y=f(x), find f′(a){f}^{'}(a) using f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a{f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

f(x)=1x3,a=1f(x)=\frac{1}{{x}^{3}},a=1

답 쓰고 채점
풀이 보기

분수식은 먼저 통분하고, 0/00/0 꼴이 되면 인수분해해서 x−1x-1 을 약분해요.

  1. 1

    정의 식에 대입해요. f(1)=1f(1)=1 이므로 f′(1)=lim⁡x→11x3−1x−1f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^3}-1}{x-1}

  2. 2

    분자를 통분해요. 1x3−1=1−x3x3\dfrac{1}{x^3}-1=\dfrac{1-x^3}{x^3} 이므로 1−x3x3(x−1)\frac{1-x^3}{x^3(x-1)} 이 돼요. 그대로 x=1x=1 을 넣으면 00\frac00 꼴이라 더 정리해야 해요.

  3. 3

    인수분해로 약분해요. 1−x3=−(x−1)(x2+x+1)1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1) 이므로 −(x−1)(x2+x+1)x3(x−1)=−x2+x+1x3(x≠1)\frac{-(x-1)(x^2+x+1)}{x^3(x-1)}=-\frac{x^2+x+1}{x^3}\quad(x\neq 1)

  4. 4

    극한값을 구해요. x→1x\to 1 이면 −1+1+11=−3-\dfrac{1+1+1}{1}=-3 이에요. 그러므로 f′(1)=−3f'(1)=-3 이에요.

답

−3-3

자주 하는 실수

1−x31-x^3 의 부호를 잘못 처리해 답의 부호가 바뀌는 실수가 많아요. x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 에서 부호를 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

−3-3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 8번
# 평균변화율과 미분계수계산보통
5.OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번우리말 풀이

f(x)=2x3+4x2−5x−3f(x)=2x^3+4x^2-5x-3 의 그래프에서 x=−1x=-1 인 점에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the tangent line to the graph of f(x)=2x3+4x2−5x−3f(x)=2{x}^{3}+4{x}^{2}-5x-3 at x=−1.x=-1.

답 쓰고 채점
풀이 보기

접점의 좌표와 그 점의 미분계수(기울기)만 알면 접선이 정해져요.

  1. 1

    접점의 좌표를 구해요. x=−1x=-1 일 때 f(−1)=2(−1)3+4(−1)2−5(−1)−3=−2+4+5−3=4f(-1)=2(-1)^3+4(-1)^2-5(-1)-3=-2+4+5-3=4 이므로 접점은 (−1, 4)(-1,\,4) 예요.

  2. 2

    기울기를 구해요. 접선의 기울기는 미분계수 f′(−1)f'(-1) 이에요. 먼저 도함수는 f′(x)=6x2+8x−5f'(x)=6x^2+8x-5 이고, x=−1x=-1 을 넣으면 f′(−1)=6−8−5=−7f'(-1)=6-8-5=-7 이에요.

  3. 3

    직선의 방정식을 세워요. 점 (−1,4)(-1,4) 를 지나고 기울기가 −7-7 인 직선은 y−4=−7(x+1) ⇒ y=−7x−3y-4=-7(x+1)\ \Rightarrow\ y=-7x-3

답

y=−7x−3y=-7x-3

자주 하는 실수

접점의 yy 좌표를 구하지 않고 f′(−1)f'(-1) 만으로 직선을 쓰려는 실수가 있어요. 점과 기울기가 둘 다 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

y=−7x−3y=-7x-3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번
# 접선의 방정식계산보통
6.OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번우리말 풀이

다음 조건을 만족하는 이차다항식을 구하세요. f(1)=5, f′(1)=3, f′′(1)=−6f(1)=5,\ f'(1)=3,\ f''(1)=-6

영어 원문 보기

For the following exercises,

a. evaluate f′(a),{f}^{'}(a), and b. graph the function f(x)f(x) and the tangent line at x=a.x=a.

Find a quadratic polynomial such that f(1)=5,f′(1)=3f(1)=5,{f}^{'}(1)=3 and f′′(1)=−6.{f}^{''}(1)=-6.

답 쓰고 채점
풀이 보기

이차식을 ax2+bx+cax^2+bx+c 로 놓고 f′′f'', f′f', ff 순서로 조건을 대입하면 aa, bb, cc 가 차례로 정해져요.

  1. 1

    구하려는 함수를 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c 로 놓아요. 미분하면

    f′(x)=2ax+b,f′′(x)=2af'(x)=2ax+b,\qquad f''(x)=2a

  2. 2

    가장 간단한 조건인 f′′(1)=−6f''(1)=-6 부터 써요. f′′f'' 는 상수 2a2a 이므로 2a=−62a=-6, 즉 a=−3a=-3 이에요.

  3. 3

    f′(1)=2a+b=3f'(1)=2a+b=3 이고 a=−3a=-3 이므로 −6+b=3-6+b=3, 즉 b=9b=9 예요.

  4. 4

    f(1)=a+b+c=5f(1)=a+b+c=5 에서 −3+9+c=5-3+9+c=5 이므로 c=−1c=-1 이에요.

    f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^2+9x-1

답

f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^{2}+9x-1

자주 하는 실수

f′′(1)=−6f''(1)=-6 을 a=−6a=-6 으로 읽어요. f′′=2af''=2a 이므로 a=−3a=-3 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

y=−3x2+9x−1y=-3{x}^{2}+9x-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 9번
# 다항함수의 미분법계산보통
7.OpenStax 1권 · 4.3절 · 32번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 정의역에서 함수의 극값 또는 최댓값·최솟값을 구하세요.

구간 (0,1)(0,1) 에서 y=1x−x2y=\dfrac{1}{x-x^2}

영어 원문 보기

For the following exercises, find the local and/or absolute extrema for the functions over the specified domain.

y=1(x−x2)y=\frac{1}{(x-{x}^{2})} over (0,1)(0,1)

풀이 보기

분모가 가장 클 때 분수는 가장 작아져요. 그래서 분모 x−x2x-x^2 의 최댓값을 찾아도 되고, 도함수가 0인 곳을 찾아도 돼요.

  1. 1

    분모를 살펴요. 0<x<10<x<1 에서 x−x2=x(1−x)>0x-x^2=x(1-x)>0 이라서 y>0y>0 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 x−x2=−(x−12)2+14x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14 이므로 x=12x=\tfrac12 일 때 분모가 최대 14\tfrac14 예요.

  2. 2

    함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 yy 가 가장 작으므로 x=12x=\tfrac12 에서 y=11/4=4y=\dfrac{1}{1/4}=4 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. y′=−1−2x(x−x2)2y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2} 이고 x<12x<\tfrac12 에서 음수, x>12x>\tfrac12 에서 양수라서 x=12x=\tfrac12 에서 극소예요.)

  3. 3

    최댓값이 있는지 봐요. x→0+x\to0^+ 또는 x→1−x\to1^- 이면 분모가 00 에 가까워져 y→∞y\to\infty 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

답

x=12x=\dfrac12 에서 절대(최)솟값 y=4y=4, 최댓값은 없다

자주 하는 실수

열린 구간에서는 끝점을 대입할 수 없어요. 끝으로 갈 때의 극한을 따져 최댓값이 없음을 말해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Absolute minimum: x=12,x=\frac{1}{2}, y=4y=4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번
# 최댓값·최솟값과 최적화계산보통
8.OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 함수의 그래프를 그리고, 양 끝점을 잇는 할선을 그려 보세요. f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)f'(c)(b-a)=f(b)-f(a) 를 만족하는 점 cc 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 [−1,1][-1,1] 에서 y=3x3+2x+1y=3x^3+2x+1

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points cc such that f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).{f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).

[T] y=3x3+2x+1y=3{x}^{3}+2x+1 over [−1,1][-1,1]

답 쓰고 채점
점
풀이 보기

평균값 정리는 구간의 평균변화율과 같은 기울기(도함수 값)를 갖는 점 cc 가 있다는 정리예요. 방정식 f′(c)=평균변화율f'(c)=\text{평균변화율} 을 풀면 개수까지 알 수 있어요.

  1. 1

    평균변화율을 구해요. f(1)=3+2+1=6f(1)=3+2+1=6, f(−1)=−3−2+1=−4f(-1)=-3-2+1=-4 이므로 f(1)−f(−1)1−(−1)=6−(−4)2=5\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{6-(-4)}{2}=5 즉 양 끝점을 잇는 할선의 기울기는 55 예요.

  2. 2

    도함수가 5가 되는 곳을 찾아요. f′(x)=9x2+2f'(x)=9x^2+2 이므로 f′(c)=5f'(c)=5 를 풀면 9c2+2=5 ⇒ c2=13 ⇒ c=±13≈±0.5779c^2+2=5\ \Rightarrow\ c^2=\tfrac13\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx\pm0.577

  3. 3

    구간 안에 있는지 확인해요. 두 값 모두 −1<c<1-1<c<1 이므로 조건에 맞아요. 따라서 점 cc 는 모두 2개예요. 그래프로 보면 할선과 나란한 접선을 곡선의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 한 번씩 그을 수 있다는 뜻이에요.

답

22개 (c=±13c=\pm\dfrac{1}{\sqrt3})

자주 하는 실수

평균값 정리의 cc 는 구간 안의 점이어야 해요. 방정식의 해가 구간 밖이면 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

2 points

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산보통
9.OpenStax 1권 · 4.5절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 a. ff 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간, b. ff 의 변곡점을 구하세요.

f(x)=x3−4x2+x+2f(x)=x^3-4x^2+x+2

영어 원문 보기

For the following exercises, determine a. intervals where ff is concave up or concave down, and b. the inflection points of f.f.

f(x)=x3−4x2+x+2f(x)={x}^{3}-4{x}^{2}+x+2

풀이 보기

이계도함수 f′′f'' 의 부호가 양수이면 아래로 볼록, 음수이면 위로 볼록이고, 부호가 바뀌는 점이 변곡점이에요.

  1. 1

    이계도함수를 구해요. f′(x)=3x2−8x+1f'(x)=3x^2-8x+1 이고 다시 미분하면 f′′(x)=6x−8f''(x)=6x-8

  2. 2

    f′′=0f''=0 인 점을 찾아요. 6x−8=06x-8=0 에서 x=43x=\dfrac43 이에요.

  3. 3

    a: 부호를 구간별로 살펴요. x>43x>\tfrac43 이면 f′′(x)>0f''(x)>0 이라 아래로 볼록이고, x<43x<\tfrac43 이면 f′′(x)<0f''(x)<0 이라 위로 볼록이에요.

  4. 4

    b: 변곡점이에요. x=43x=\tfrac43 의 앞뒤에서 f′′f'' 의 부호가 바뀌므로 변곡점이에요. yy 좌표는 f ⁣(43)=6427−649+43+2=−3827f\!\left(\tfrac43\right)=\tfrac{64}{27}-\tfrac{64}{9}+\tfrac43+2=-\tfrac{38}{27} 이므로 변곡점은 (43,−3827)\left(\tfrac43,-\tfrac{38}{27}\right) 예요.

답

a. x>43x>\frac43 에서 아래로 볼록, x<43x<\frac43 에서 위로 볼록 b. 변곡점 x=43x=\frac43, 즉 (43,−3827)\left(\frac43,-\frac{38}{27}\right)

자주 하는 실수

f′′(x)=0f''(x)=0 인 점이라고 해서 모두 변곡점은 아니에요. 앞뒤 부호가 바뀌는지 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. Concave up for x>43,x>\frac{4}{3}, concave down for x<43x<\frac{4}{3} b. Inflection point at x=43x=\frac{4}{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번
# 함수의 그래프 그리기계산보통
10.CLP-1 · 2.2절 · 9번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 곡선 y(x)=x3+5y(x)=x^3+5 위의 점 (1,6)(1,6) 에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to find the equation of the tangent line to the curve y(x)=x3+5y(x)=x^3+5 at the point (1,6)(1,6).

정답·풀이 보기

한 점과 그 점에서의 기울기를 알면 점-기울기 꼴로 직선의 방정식을 구할 수 있다. 점은 (1,6)(1,6) 으로 주어져 있다. 기울기는 미분계수이다.

y′(1)=lim⁡h→0y(1+h)−y(1)h=lim⁡h→0[(1+h)3+5]−[13+5]h=lim⁡h→0[1+3h+3h2+h3+5]−[1+5]h=lim⁡h→03h+3h2+h3h=lim⁡h→03+3h+h2=3\begin{aligned} y'(1)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{y(1+h)-y(1)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[(1+h)^3+5]-[1^3+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[1+3h+3h^2+h^3+5]-[1+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{3h+3h^2+h^3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}{3+3h+h^2}\\ &=3 \end{aligned}

따라서 기울기는 3이고, 직선의 방정식은 y−6=3(x−1)y-6=3(x-1) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We can use point-slope form to get the equation of the line, if we have a point and its slope. The point is given: (1,6)(1,6). The slope is the derivative:

y′(1)=lim⁡h→0y(1+h)−y(1)h=lim⁡h→0[(1+h)3+5]−[13+5]h=lim⁡h→0[1+3h+3h2+h3+5]−[1+5]h=lim⁡h→03h+3h2+h3h=lim⁡h→03+3h+h2=3\begin{aligned} y'(1)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{y(1+h)-y(1)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[(1+h)^3+5]-[1^3+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[1+3h+3h^2+h^3+5]-[1+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{3h+3h^2+h^3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}{3+3h+h^2}\\ &=3 \end{aligned}

So our slope is 3, which gives a line of equation y−6=3(x−1)y-6=3(x-1).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 19번
# 도함수의 뜻계산보통자동 분류
11.CLP-1 · 2.2절 · 10번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to find the derivative of f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

도함수의 정의를 세운다.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01x+h−1xh=lim⁡h→0xx(x+h)−x+hx(x+h)h=lim⁡h→0x−(x+h)x(x+h)h=lim⁡h→0−hx(x+h)h=lim⁡h→0−1x(x+h)=−1x2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x}{x(x+h)}-\frac{x+h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-1}{x(x+h)}\\ &=\frac{-1}{x^2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We set up the definition of the derivative.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01x+h−1xh=lim⁡h→0xx(x+h)−x+hx(x+h)h=lim⁡h→0x−(x+h)x(x+h)h=lim⁡h→0−hx(x+h)h=lim⁡h→0−1x(x+h)=−1x2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x}{x(x+h)}-\frac{x+h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-1}{x(x+h)}\\ &=\frac{-1}{x^2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 26번
# 도함수의 뜻계산보통자동 분류
12.CLP-1 · 2.2절 · 12번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 함수 f(x)=2x+1f(x)=\frac{2}{x+1} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to compute the derivative of the function f(x)=2x+1f(x)=\frac{2}{x+1}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

도함수의 정의를 세운다.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01h(2x+h+1−2x+1)=lim⁡h→02h (x+1)−(x+h+1)(x+h+1)(x+1)=lim⁡h→02h −h(x+h+1)(x+1)=lim⁡h→0−2(x+h+1)(x+1)=−2(x+1)2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{2}{x+h+1} -\frac{2}{x+1}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{(x+1)-(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{-h}{(x+h+1)(x+1)} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2}{(x+h+1)(x+1)} =\frac{-2}{(x+1)^2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We set up the definition of the derivative.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01h(2x+h+1−2x+1)=lim⁡h→02h (x+1)−(x+h+1)(x+h+1)(x+1)=lim⁡h→02h −h(x+h+1)(x+1)=lim⁡h→0−2(x+h+1)(x+1)=−2(x+1)2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{2}{x+h+1} -\frac{2}{x+1}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{(x+1)-(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{-h}{(x+h+1)(x+1)} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2}{(x+h+1)(x+1)} =\frac{-2}{(x+1)^2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 5번
# 도함수의 뜻계산보통자동 분류
13.CLP-1 · 2.2절 · 13번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 함수 f(x)=1x2+3f(x)=\frac{1}{x^2+3} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to compute the derivative of the function f(x)=1x2+3f(x)=\frac{1}{x^2+3}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01h(1(x+h)2+3−1x2+3)=lim⁡h→01hx2−(x+h)2[(x+h)2+3][x2+3]=lim⁡h→01h−2xh−h2[(x+h)2+3][x2+3]=lim⁡h→0−2x−h[(x+h)2+3][x2+3]=−2x[x2+3]2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{1}{(x+h)^2+3} -\frac{1}{x^2+3}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{x^2-(x+h)^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{-2xh-h^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\boxed{\frac{-2x}{[x^2+3]^2}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01h(1(x+h)2+3−1x2+3)=lim⁡h→01hx2−(x+h)2[(x+h)2+3][x2+3]=lim⁡h→01h−2xh−h2[(x+h)2+3][x2+3]=lim⁡h→0−2x−h[(x+h)2+3][x2+3]=−2x[x2+3]2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{1}{(x+h)^2+3} -\frac{1}{x^2+3}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{x^2-(x+h)^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{-2xh-h^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\boxed{\frac{-2x}{[x^2+3]^2}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 20번
# 도함수의 뜻계산보통자동 분류
14.CLP-1 · 2.2절 · 14번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 곡선 f(x)=xlog⁡10(2x+10)f(x)=x\log_{10}(2x+10) 의 x=0x=0 인 점에서의 접선의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to find the slope of the tangent line to the curve f(x)=xlog⁡10(2x+10)f(x)=x\log_{10}(2x+10) at the point x=0x=0.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

접선의 기울기는 미분계수이다. 항상 사용하는 도함수의 정의를 이용하여 식을 세운다. 이 극한은 일반적인 xx 에 대해서는 구하기 어렵지만 x=0x=0 일 때는 쉽다.

f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0hlog⁡10(2h+10)−0h=lim⁡h→0log⁡10(2h+10)=log⁡10(10)=1\begin{aligned} f'(0)&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h\log_{10}(2h+10)-0}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \log_{10}(2h+10)=\log_{10}(10)=1 \end{aligned}

따라서 접선의 기울기는 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of the tangent line is the derivative. We set this up using the same definition of the derivative that we always do. This limit is hard to take for general xx, but easy when x=0x=0.

f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0hlog⁡10(2h+10)−0h=lim⁡h→0log⁡10(2h+10)=log⁡10(10)=1\begin{aligned} f'(0)&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h\log_{10}(2h+10)-0}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \log_{10}(2h+10)=\log_{10}(10)=1 \end{aligned}

So, the slope of the tangent line is 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 22번
# 도함수의 뜻계산보통자동 분류
15.CLP-1 · 2.2절 · 15번우리말 번역

정의를 이용하여 직접 f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^2} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the derivative of f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^2} directly from the definition.

정답·풀이 보기

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01(x+h)2−1x2h=lim⁡h→0x2−(x+h)2(x+h)2x2h=lim⁡h→0−2xh−h2(x+h)2x2h=lim⁡h→0−2x−h(x+h)2x2=−2xx4=−2x3\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2-(x+h)^2}{(x+h)^2x^2h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2xh-h^2}{(x+h)^2x^2h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{(x+h)^2x^2}=\frac{-2x}{x^4} =-\frac{2}{x^3} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01(x+h)2−1x2h=lim⁡h→0x2−(x+h)2(x+h)2x2h=lim⁡h→0−2xh−h2(x+h)2x2h=lim⁡h→0−2x−h(x+h)2x2=−2xx4=−2x3\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2-(x+h)^2}{(x+h)^2x^2h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2xh-h^2}{(x+h)^2x^2h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{(x+h)^2x^2}=\frac{-2x}{x^4} =-\frac{2}{x^3} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 14번
# 도함수의 뜻계산보통자동 분류
16.CLP-1 · 2.2절 · 17번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 f(x)=1+xf(x) = \sqrt{1 + x} 일 때 f′(x)f'(x) 를 계산하세요. f′(x)f'(x) 는 어디에서 존재하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to compute f′(x)f'(x) if f(x)=1+xf(x) = \sqrt{1 + x}. Where does f′(x)f'(x) exist?

정답·풀이 보기

f(x)f(x) 를 도함수의 정의에 대입한다. 극한값을 구하기 위해 분자의 켤레식을 분모와 분자에 곱한 다음 간단히 한다.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01+x+h−1+xh=lim⁡h→01+x+h−1+xh(1+x+h+1+x1+x+h+1+x)=lim⁡h→0(1+x+h)−(1+x)h(1+x+h+1+x)=lim⁡h→0hh(1+x+h+1+x)=lim⁡h→011+x+h+1+x=11+x+0+1+x=121+x\begin{aligned} f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x+h}-\sqrt{1+x}}{h}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x+h}-\sqrt{1+x}}{h} \left(\frac{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}\right)\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(1+x+h)-(1+x)}{h(\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x})}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h(\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x})}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+x+0}+\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \end{aligned}

함수의 정의역은 [−1,∞)[-1,\infty) 이다. 특히 x=−1x=-1 에서 f(x)f(x) 는 정의된다. 그러나 x=−1x=-1 에서 f′(x)f'(x) 는 정의되지 않으므로, f′(x)f'(x) 는 (−1,∞)(-1,\infty) 에서만 존재한다.

참고: lim⁡x→−1+f′(x)=∞\displaystyle \lim_{x \to -1^+}f'(x)=\infty 이므로, 점 x=−1x=-1 에서 f(x)f(x) 의 접선은 접선이 수직이다.

원본 교재 풀이(영어)

We plug in f(x)f(x) to the definition of a derivative. To evaluate the limit, we multiply and divide by the conjugate of the numerator, then simplify.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01+x+h−1+xh=lim⁡h→01+x+h−1+xh(1+x+h+1+x1+x+h+1+x)=lim⁡h→0(1+x+h)−(1+x)h(1+x+h+1+x)=lim⁡h→0hh(1+x+h+1+x)=lim⁡h→011+x+h+1+x=11+x+0+1+x=121+x\begin{aligned} f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x+h}-\sqrt{1+x}}{h}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x+h}-\sqrt{1+x}}{h} \left(\frac{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}\right)\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(1+x+h)-(1+x)}{h(\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x})}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h(\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x})}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+x+0}+\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \end{aligned}

The domain of the function is [−1,∞)[-1,\infty). In particular, f(x)f(x) is defined when x=−1x=-1. However, f′(x)f'(x) is not defined when x=−1x=-1, so f′(x)f'(x) only exists over (−1,∞)(-1,\infty).

Remark: lim⁡x→−1+f′(x)=∞\displaystyle \lim_{x \to -1^+}f'(x)=\infty, so the tangent line to f(x)f(x) at the point x=−1x=-1 has a vertical slope.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 16번
# 도함수의 뜻계산보통자동 분류
17.CLP-1 · 2.3절 · 4번우리말 번역

C(w)C(w) 는 특정 요리 ww 그램에 들어 있는 열량(칼로리)을 나타낸다. C′(w)C'(w) 는 무엇을 나타내나요?

영어 원문 보기

C(w)C(w) gives the calories in ww grams of a particular dish. What does C′(w)C'(w) describe?

정답·풀이 보기

C′(w)=lim⁡h→0C(w+h)−C(w)h≈C(w+1)−C(w)1=C(w+1)−C(w)C'(w)=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{C(w+h)-C(w)}{h} \approx \dfrac{C(w+1)-C(w)}{1}=C(w+1)-C(w) 이고, 이는 C(w+1)C(w+1) 그램에 들어 있는 열량에서 C(w)C(w) 그램에 들어 있는 열량을 뺀 값이다. 이것은 ww 그램일 때, 1그램이 추가될 때마다 늘어나는 열량이다.

원본 교재 풀이(영어)

C′(w)=lim⁡h→0C(w+h)−C(w)h≈C(w+1)−C(w)1=C(w+1)−C(w)C'(w)=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{C(w+h)-C(w)}{h} \approx \dfrac{C(w+1)-C(w)}{1}=C(w+1)-C(w), which is the number of calories in C(w+1)C(w+1) grams minus the number of calories in C(w)C(w) grams. This is the number of calories per additional gram, when there are ww grams.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 7번
# 평균변화율과 미분계수계산보통자동 분류
18.CLP-1 · 2.4절 · 9번우리말 번역

2x−12x+1\dfrac{2x-1}{2x+1} 의 도함수를 구하여 간단히 하세요.

영어 원문 보기

Calculate and simplify the derivative of 2x−12x+1\dfrac{2x-1}{2x+1}

정답·풀이 보기

여기에서는 몫의 미분법을 사용할 수 있다.

ddx{2x−12x+1}=(2x+1)(2)−(2x−1)(2)(2x+1)2=4(2x+1)2=1(x+1/2)2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{2x-1}{2x+1}\right\}&=\frac{(2x+1)(2)-(2x-1)(2)}{(2x+1)^2} =\frac{4}{(2x+1)^2}=\frac{1}{(x+1/2)^2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We can use the quotient rule here.

ddx{2x−12x+1}=(2x+1)(2)−(2x−1)(2)(2x+1)2=4(2x+1)2=1(x+1/2)2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{2x-1}{2x+1}\right\}&=\frac{(2x+1)(2)-(2x-1)(2)}{(2x+1)^2} =\frac{4}{(2x+1)^2}=\frac{1}{(x+1/2)^2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 2번
# 다항함수의 미분법계산보통자동 분류
19.CLP-1 · 2.6절 · 3번우리말 번역

f(x)=23x6+5x4+12x2+9f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9 를 미분하고 그 결과를 인수분해하세요.

영어 원문 보기

Differentiate f(x)=23x6+5x4+12x2+9f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9 and factor the result.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

f(x)=23x6+5x4+12x2+9f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9 는 다항식이다.

f′(x)=4x5+20x3+24x=4x(x4+5x2+6)=4x((x2)2+5(x2)+6)=4x(x2+2)(x2+3)\begin{aligned} f'(x)&=4x^5+20x^3+24x\\& =4x(x^4+5x^2+6)\\& = 4x((x^2)^2+5(x^2)+6)\\&=4x(x^2+2)(x^2+3) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

f(x)=23x6+5x4+12x2+9f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9 is a polynomial:

f′(x)=4x5+20x3+24x=4x(x4+5x2+6)=4x((x2)2+5(x2)+6)=4x(x2+2)(x2+3)\begin{aligned} f'(x)&=4x^5+20x^3+24x\\& =4x(x^4+5x^2+6)\\& = 4x((x^2)^2+5(x^2)+6)\\&=4x(x^2+2)(x^2+3) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 13번
# 다항함수의 미분법계산보통자동 분류
20.CLP-1 · 2.6절 · 4번우리말 번역

s(t)=3t4+5t3−1ts(t)=3t^4+5t^3-\frac{1}{t} 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate s(t)=3t4+5t3−1ts(t)=3t^4+5t^3-\frac{1}{t}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

각 항이 tt 의 거듭제곱이 되도록 식을 조금 바꿔 쓸 수 있다:

s(t)=3t4+5t3−t−1s′(t)=4⋅3t3+3⋅5t2−(−1)⋅t−2=12t3+15t2+1t2\begin{aligned} s(t)&=3t^4+5t^3-t^{-1}\\ s'(t)&=4\cdot 3t^{3}+3\cdot 5t^2-(-1)\cdot t^{-2}\\ &=12t^3+15t^2+\frac{1}{t^2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We can rewrite slightly to make every term into a power of tt:

s(t)=3t4+5t3−t−1s′(t)=4⋅3t3+3⋅5t2−(−1)⋅t−2=12t3+15t2+1t2\begin{aligned} s(t)&=3t^4+5t^3-t^{-1}\\ s'(t)&=4\cdot 3t^{3}+3\cdot 5t^2-(-1)\cdot t^{-2}\\ &=12t^3+15t^2+\frac{1}{t^2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 5번
# 다항함수의 미분법계산보통자동 분류