빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

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572문제 · 2 / 29쪽

21.OpenStax 2권 · 7.2절 · 4번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 매개변수로 나타낸 식은 각각 직선을 나타내요. 매개변수를 없애지 말고 각 직선의 기울기를 구하세요.

x=−5t+7,  y=3t−1x=-5t+7,\ \ y=3t-1

영어 원문 보기

For the following exercises, each set of parametric equations represents a line. Without eliminating the parameter, find the slope of each line.

x=−5t+7,y=3t−1\begin{array}{cc}x=-5t+7, & y=3t-1\end{array}

답 쓰고 채점
풀이 보기

기울기 dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} 를 쓰면 매개변수를 없애지 않아도 돼요.

  1. 1

    매개변수 tt 로 나타낸 곡선의 기울기는 dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} 예요. 분자·분모를 각각 tt 로 미분해서 나눠요.

  2. 2

    dxdt=−5\frac{dx}{dt}=-5, dydt=3\frac{dy}{dt}=3 이에요.

  3. 3

    dydx=3−5=−35\frac{dy}{dx}=\frac{3}{-5}=-\frac35

답

−35-\frac35

자주 하는 실수

분자와 분모를 거꾸로 나누어 −53-\frac53 이라고 쓰기 쉬워요. yy 의 변화량이 분자예요.

원본 교재 풀이(영어)

−35\frac{-3}{5}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 32번
# 매개변수로 나타낸 함수의 미분계산기본
22.OpenStax 2권 · 7.2절 · 32번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 매개변수의 주어진 값에서 dydx\frac{dy}{dx} 의 값을 구하세요.

x=cos⁡t,  y=sin⁡t,  t=3π4x=\cos t,\ \ y=\sin t,\ \ t=\frac{3\pi}{4}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dy/dxdy/dx at the value of the parameter.

x=cos⁡ t,y=sin⁡ t,t=3π4\begin{array}{cc}x=\cos \,t, & y=\sin \,t,\quad t=\frac{3\pi }{4}\end{array}

답 쓰고 채점
풀이 보기

dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} 를 먼저 tt 의 식으로 구한 뒤 tt 값을 넣어요.

  1. 1

    매개변수 곡선의 기울기는 dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} 예요. 먼저 각각 미분해요. dxdt=−sin⁡t\frac{dx}{dt}=-\sin t, dydt=cos⁡t\frac{dy}{dt}=\cos t 예요.

  2. 2

    dydx=cos⁡t−sin⁡t=−cos⁡tsin⁡t\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}

  3. 3

    t=3π4t=\frac{3\pi}{4} 에서 cos⁡t=−22\cos t=-\frac{\sqrt2}{2}, sin⁡t=22\sin t=\frac{\sqrt2}{2} 이므로 dydx=−−2/22/2=1\frac{dy}{dx}=-\frac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1

  4. 4

    검산해요. 이 곡선은 단위원이고, 원 위의 점 (−22,22)\left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right) 에서 반지름의 기울기는 −1-1 이에요. 접선은 반지름에 수직이므로 기울기는 11 이에요.

답

11

자주 하는 실수

dxdt=−sin⁡t\frac{dx}{dt}=-\sin t 의 부호를 빠뜨리면 답이 −1-1 이 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 4번
# 매개변수로 나타낸 함수의 미분계산기본
23.OpenStax 1권 · 3.5절 · 2번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=3csc⁡x+5xy=3\csc x+\frac{5}{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=3csc⁡x+5xy=3\csc x+\frac{5}{x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.2절 · 6번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
24.OpenStax 1권 · 3.5절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=x2cot⁡xy={x}^{2}\cot x

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=x2cot⁡xy={x}^{2}\cot x

정답·풀이 보기

dydx=2xcot⁡x−x2csc⁡2x\frac{dy}{dx}=2x\cot x-{x}^{2}{\csc }^{2}x

원본 교재 풀이(영어)

dydx=2xcot⁡x−x2csc⁡2x\frac{dy}{dx}=2x\cot x-{x}^{2}{\csc }^{2}x

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.4절 · 10번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
25.OpenStax 1권 · 3.5절 · 4번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=x−x3sin⁡xy=x-{x}^{3}\sin x

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=x−x3sin⁡xy=x-{x}^{3}\sin x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.4절 · 8번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
26.OpenStax 1권 · 3.5절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=sec⁡xxy=\frac{\sec x}{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=sec⁡xxy=\frac{\sec x}{x}

정답·풀이 보기

dydx=xsec⁡xtan⁡x−sec⁡xx2\frac{dy}{dx}=\frac{x\sec x\tan x-\sec x}{{x}^{2}}

원본 교재 풀이(영어)

dydx=xsec⁡xtan⁡x−sec⁡xx2\frac{dy}{dx}=\frac{x\sec x\tan x-\sec x}{{x}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 3번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
27.OpenStax 1권 · 3.5절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=sin⁡xtan⁡xy=\sin x\tan x

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=sin⁡xtan⁡xy=\sin x\tan x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 23번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
28.OpenStax 1권 · 3.5절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=(x+cos⁡x)(1−sin⁡x)y=(x+\cos x)(1-\sin x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=(x+cos⁡x)(1−sin⁡x)y=(x+\cos x)(1-\sin x)

정답·풀이 보기

dydx=(1−sin⁡x)(1−sin⁡x)−cos⁡x(x+cos⁡x)\frac{dy}{dx}=(1-\sin x)(1-\sin x)-\cos x(x+\cos x)

원본 교재 풀이(영어)

dydx=(1−sin⁡x)(1−sin⁡x)−cos⁡x(x+cos⁡x)\frac{dy}{dx}=(1-\sin x)(1-\sin x)-\cos x(x+\cos x)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 5번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
29.OpenStax 1권 · 3.5절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=tan⁡x1−sec⁡xy=\frac{\tan x}{1-\sec x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=tan⁡x1−sec⁡xy=\frac{\tan x}{1-\sec x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 6번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
30.OpenStax 1권 · 3.5절 · 10번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=cos⁡x(1+csc⁡x)y=\cos x(1+\csc x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=cos⁡x(1+csc⁡x)y=\cos x(1+\csc x)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 19번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
31.OpenStax 1권 · 3.5절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 각 함수에 대해, 지시된 xx 의 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선을 함께 그래프로 그려서 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] f(x)=−sin⁡x,x=0f(x)=-\sin x,x=0

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of x.x. Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] f(x)=−sin⁡x,x=0f(x)=-\sin x,x=0

정답·풀이 보기

y=−xy=-x

그래프에는 −sin(x)의 그래프와, 기울기가 −1이고 y절편이 0인 직선 T(x)가 나타나 있다.

원본 교재 풀이(영어)

y=−xy=-x

The graph shows negative sin(x) and the straight line T(x) with slope −1 and y intercept 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 26번
# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
32.OpenStax 1권 · 3.5절 · 12번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 각 함수에 대해, 지시된 xx 의 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선을 함께 그래프로 그려서 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] f(x)=csc⁡x,x=π2f(x)=\csc x,x=\frac{\pi }{2}

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of x.x. Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] f(x)=csc⁡x,x=π2f(x)=\csc x,x=\frac{\pi }{2}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 13번
# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
33.OpenStax 1권 · 3.5절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 각 함수에 대해, 지시된 xx 의 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선을 함께 그래프로 그려서 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] f(x)=1+cos⁡x,x=3π2f(x)=1+\cos x,x=\frac{3\pi }{2}

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of x.x. Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] f(x)=1+cos⁡x,x=3π2f(x)=1+\cos x,x=\frac{3\pi }{2}

정답·풀이 보기

y=x+2−3π2y=x+\frac{2-3\pi }{2}

그래프에는 코사인 함수를 위로 1만큼 평행이동한 그래프와, 기울기가 1이고 y절편이 (2 – 3π)/2인 직선 T(x)가 나타나 있다.

원본 교재 풀이(영어)

y=x+2−3π2y=x+\frac{2-3\pi }{2}

The graph shows the cosine function shifted up one and has the straight line T(x) with slope 1 and y intercept (2 – 3π)/2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 24번
# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
34.OpenStax 1권 · 3.5절 · 14번우리말 번역

다음 문제에 대해 주어진 각 함수에 대해, 지시된 xx 의 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선을 함께 그래프로 그려서 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] f(x)=sec⁡x,x=π4f(x)=\sec x,x=\frac{\pi }{4}

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of x.x. Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] f(x)=sec⁡x,x=π4f(x)=\sec x,x=\frac{\pi }{4}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 19번
# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
35.OpenStax 1권 · 3.5절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 각 함수의 지정된 xx 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 모두 그려 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] f(x)=x2−tan⁡x, x=0f(x)={x}^{2}-\tan x,\,x=0

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of x.x. Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] f(x)=x2−tan⁡x, x=0f(x)={x}^{2}-\tan x,\,x=0

정답·풀이 보기

y=−xy=-x

그래프는 이 함수가 (−1, 3)에서 시작하여 원점까지 감소하고, 계속해서 완만하게 감소하여 약 (1, −0.5)에 이르며, 그 지점에서 매우 빠르게 감소하는 모습을 보여 준다.

원본 교재 풀이(영어)

y=−xy=-x

The graph shows the function as starting at (−1, 3), decreasing to the origin, continuing to slowly decrease to about (1, −0.5), at which point it decreases very quickly.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 2번
# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
36.OpenStax 1권 · 3.5절 · 16번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 각 함수의 지정된 xx 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 모두 그려 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] f(x)=5cot⁡x, x=π4f(x)=5\cot x,\,x=\frac{\pi }{4}

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of x.x. Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] f(x)=5cot⁡x, x=π4f(x)=5\cot x,\,x=\frac{\pi }{4}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 29번
# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
37.OpenStax 1권 · 3.5절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수에 대해 d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} 을 구하세요.

y=sin⁡xcos⁡xy=\sin x\cos x

영어 원문 보기

For the following exercises, find d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} for the given functions.

y=sin⁡xcos⁡xy=\sin x\cos x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 27번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
38.OpenStax 1권 · 3.5절 · 19번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수에 대해 d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} 을 구하세요.

y=x−12sin⁡xy=x-\frac{1}{2}\sin x

영어 원문 보기

For the following exercises, find d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} for the given functions.

y=x−12sin⁡xy=x-\frac{1}{2}\sin x

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

12sin⁡x\frac{1}{2}\sin x

원본 교재 풀이(영어)

12sin⁡x\frac{1}{2}\sin x

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 20번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
39.OpenStax 1권 · 3.5절 · 20번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} 을 구하세요.

y=1x+tan⁡xy=\frac{1}{x}+\tan x

영어 원문 보기

For the following exercises, find d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} for the given functions.

y=1x+tan⁡xy=\frac{1}{x}+\tan x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 14번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
40.OpenStax 1권 · 3.5절 · 21번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} 을 구하세요.

y=2csc⁡xy=2\csc x

영어 원문 보기

For the following exercises, find d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} for the given functions.

y=2csc⁡xy=2\csc x

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

2csc⁡x(csc⁡2x+cot⁡2x)2\csc x({\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x)

원본 교재 풀이(영어)

2csc⁡x(csc⁡2x+cot⁡2x)2\csc x({\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 19번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)