문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

적분법 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

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745문제 · 16 / 38쪽

301.OpenStax 1권 · 6.2절 · 44번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 이 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 와셔 방법으로 구하세요.

$x={e}^{2y},x={y}^{2},y=0,\,\text{그리고}\,y=\ln (2)$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the washer method to find the volume when the region is revolved around the y-axis.

$x={e}^{2y},x={y}^{2},y=0,\,\text{and}\,y=\ln (2)$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 그려진 그래프이다. 색칠된 영역은 위쪽은 곡선 y=ln(2)로, 아래쪽은 x축으로, 왼쪽은 곡선 x=y^2로, 오른쪽은 곡선 x=e^(2y)로 둘러싸여 있다.

$\frac{\pi }{20}(75-4\,{\ln }^{5}(2))$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the curve y=ln(2), below by the x-axis, to the left by the curve x=y^2, and to the right by the curve x=e^(2y).

$\frac{\pi }{20}(75-4\,{\ln }^{5}(2))$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 20번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

302.OpenStax 1권 · 6.2절 · 45번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 이 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 와셔법을 이용하여 구하세요.

$x=\sqrt{9-{y}^{2}},x={e}^{-y},y=0,\,\text{그리고}\,y=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the washer method to find the volume when the region is revolved around the y-axis.

$x=\sqrt{9-{y}^{2}},x={e}^{-y},y=0,\,\text{and}\,y=3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 40번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

303.OpenStax 1권 · 6.2절 · 46번우리말 번역

요거트 용기는 원뿔대 모양일 수 있습니다. 직선 $y=\frac{1}{m}x$ 를 y축을 중심으로 회전시켜 $y=a\,\text{와}\,y=b$ 사이의 부피를 구하세요.

이 그림은 두 부분으로 이루어져 있다. 첫 번째 부분은 속이 찬 원뿔이다. 원뿔의 밑면이 윗면보다 넓다. 원뿔은 3차원 상자 안에 그려져 있다. 원뿔 아래에는 이 그림과 같은 모양의 요거트 용기 사진이 있다.

영어 원문 보기

Yogurt containers can be shaped like frustums. Rotate the line $y=\frac{1}{m}x$ around the y-axis to find the volume between $y=a\,\text{and}\,y=b.$

This figure has two parts. The first part is a solid cone. The base of the cone is wider than the top. It is shown in a 3-dimensional box. Underneath the cone is an image of a yogurt container with the same shape as the figure.

정답·풀이 보기

$\frac{{m}^{2}\pi }{3}({b}^{3}-{a}^{3})$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{m}^{2}\pi }{3}({b}^{3}-{a}^{3})$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 26번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

304.OpenStax 1권 · 6.2절 · 47번우리말 번역

타원 $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ 을 x축을 중심으로 회전시켜, 그림과 같은 미식축구공의 부피를 어림하세요.

이 그림에는 미식축구공 사진과 거의 같은 모양의 타원이 있다.

영어 원문 보기

Rotate the ellipse $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ around the x-axis to approximate the volume of a football, as seen here.

This figure has an oval that is approximately equal to the image of a football.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 46번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

305.OpenStax 1권 · 6.2절 · 48번우리말 번역

타원 $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ 을 y축을 중심으로 회전시켜 미식축구공의 부피를 어림하세요.

영어 원문 보기

Rotate the ellipse $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ around the y-axis to approximate the volume of a football.

정답·풀이 보기

$\frac{4{a}^{2}b\pi }{3}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4{a}^{2}b\pi }{3}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 50번

# 입체도형의 부피활용자동 분류

306.OpenStax 1권 · 6.2절 · 49번우리말 번역

$x=0$ 에서 $x=\pi$ 까지 $y=\sin \,x$ 를 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 입체는 미식축구공의 부피에 대한 더 나은 근삿값을 줍니다. 그림과 같은 이 미식축구공 근사의 부피는 얼마인가요?

이 그림은 3차원 타원체 모양이다. 이 입체는 상자 안에 있으며, 상자 아래쪽 앞 모서리인 *x*축과 평행하게 놓여 있다. *y*축은 입체에 수직이다.

영어 원문 보기

A better approximation of the volume of a football is given by the solid that comes from rotating $y=\sin \,x$ around the x-axis from $x=0$ to $x=\pi .$ What is the volume of this football approximation, as seen here?

This figure has a 3-dimensional oval shape. It is inside of a box parallel to the x axis on the bottom front edge of the box. The y-axis is vertical to the solid.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.2절 · 8번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

307.OpenStax 1권 · 6.2절 · 50번우리말 번역

$x=0$ 에서 $x=\pi$ 까지 $y=\sin \,x$ 를 y축을 중심으로 회전시켜 얻은 번트 케이크의 부피는 얼마인가요?

이 그림은 3차원 입체의 그래프이다. 입체는 둥글고 아래쪽으로 갈수록 더 크다. 가운데에 구멍이 있으며, 이 구멍은 아래쪽으로 갈수록 점점 작아진다. 그래프 옆에는 이 입체와 닮은 번트 케이크 사진이 있다.

영어 원문 보기

What is the volume of the Bundt cake that comes from rotating $y=\sin \,x$ around the y-axis from $x=0$ to $x=\pi ?$

This figure is a graph of a 3-dimensional solid. It is round, bigger towards the bottom. It has a hole in the center that progressively gets smaller towards the bottom. Next to the graph is an image of a bundt cake, resembling the solid.

정답·풀이 보기

$2{\pi }^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$2{\pi }^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 52번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

308.OpenStax 1권 · 6.2절 · 51번우리말 번역

밑면은 $y=x$ 와 $y={x}^{2}$ 사이의 영역이다. $x$ 축에 수직인 단면은 반원이다.

영어 원문 보기

The base is the region between $y=x$ and $y={x}^{2}.$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 52번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

309.OpenStax 1권 · 6.2절 · 52번우리말 번역

밑면은 일반적인 타원 $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ 로 둘러싸인 영역이다. $x$ 축에 수직인 단면은 반원이다.

영어 원문 보기

The base is the region enclosed by the generic ellipse $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1.$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

정답·풀이 보기

$\frac{2a{b}^{2}\pi }{3}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{2a{b}^{2}\pi }{3}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 28번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

310.OpenStax 1권 · 6.2절 · 53번우리말 번역

다음 그림과 같이 높이가 $b$ 이고 반지름이 $b$ 인 직원뿔의 밑면을 통과하여, 원뿔의 축을 따라 반지름이 $a$ 인 구멍을 뚫으세요.

이 그림은 거꾸로 세워진 원뿔이다. 윗면의 반지름은 “b”, 중심은 “a”, 높이는 “b”이다.

영어 원문 보기

Bore a hole of radius $a$ down the axis of a right cone of height $b$ and radius $b$ through the base of the cone as seen here.

This figure is an upside down cone. It has a radius of the top as “b”, center at “a”, and height as “b”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 48번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

311.OpenStax 1권 · 6.2절 · 54번우리말 번역

다음 그림과 같이 반지름이 $r$ 이고 중심 사이의 거리가 $2h$ 인 두 구의 공통 부분의 부피를 구하세요.

이 그림에는 서로 겹치는 두 원이 있다. 두 원의 반지름은 모두 “r”이다. 한 원의 중심에서 다른 원의 중심까지 선분이 그어져 있다. 두 원이 겹치는 부분의 가운데에 점 “h”가 있고, 이 점은 그 선분 위에 있다.

영어 원문 보기

Find the volume common to two spheres of radius $r$ with centers that are $2h$ apart, as shown here.

This figure has two circles that intersect. Both circles have radius “r”. There is a line segment from one center to the other. In the middle of the intersection of the circles is point “h”. It is on the line segment.

정답·풀이 보기

$V=\frac{2\pi }{3}(2r+h){(r-h)}^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$V=\frac{2\pi }{3}(2r+h){(r-h)}^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 42번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

312.OpenStax 1권 · 6.2절 · 55번우리말 번역

다음 그림과 같이 높이가 $h$ 이고 반지름이 $r$ 인 구의 일부(구관)의 부피를 구하세요. 단, $h<r$ 이다.

이 그림은 구의 일부분이다. 이 구관의 반지름은 “r”이고 높이는 “h”이다.

영어 원문 보기

Find the volume of a spherical cap of height $h$ and radius $r$ where $h<r,$ as seen here.

This figure a portion of a sphere. This spherical cap has radius “r” and height “h”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 34번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

313.OpenStax 1권 · 6.2절 · 56번우리말 번역

다음 그림과 같이 반지름이 $R$ 인 구에서 위쪽의 높이 $h$ 인 부분(구관)을 잘라 낸 입체의 부피를 구하세요.

이 그림은 윗부분이 제거된 구이다. 구의 반지름은 “R”이다. 중심에서 윗부분이 제거된 곳까지의 거리는 “R-h”이다.

영어 원문 보기

Find the volume of a sphere of radius $R$ with a cap of height $h$ removed from the top, as seen here.

This figure is a sphere with a top portion removed. The radius of the sphere is “R”. The distance from the center to where the top portion is removed is “R-h”.

정답·풀이 보기

$\frac{\pi }{3}(h+R){(h-2R)}^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\pi }{3}(h+R){(h-2R)}^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 40번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

314.OpenStax 1권 · 6.4절 · 2번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 함수들의 길이를 구하세요.

$y=-\frac{1}{2}x+25\,\text{구간}\,x=1\,\text{에서}\,x=4$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the length of the functions over the given interval.

$y=-\frac{1}{2}x+25\,\text{from}\,x=1\,\text{to}\,x=4$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 51번

# 곡선의 길이계산자동 분류

315.OpenStax 1권 · 6.4절 · 3번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간에서 함수의 길이를 구하세요.

$x=4y\,\text{의}\,y=-1\,\text{부터}\,y=1\,\text{까지}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the length of the functions over the given interval.

$x=4y\,\text{from}\,y=-1\,\text{to}\,y=1$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2\sqrt{17}$

원본 교재 풀이(영어)

$2\sqrt{17}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 13번

# 곡선의 길이계산자동 분류

316.OpenStax 1권 · 6.4절 · 4번우리말 번역

원하는 임의의 구간 $({y}_{1},{y}_{2})$ 에서 임의의 일차함수 $x=g(y)$ 를 하나 고르세요. 이 함수의 길이를 구한 다음, 기하를 이용하여 그 길이가 맞음을 증명하세요.

영어 원문 보기

Pick an arbitrary linear function $x=g(y)$ over any interval of your choice $({y}_{1},{y}_{2}).$ Determine the length of the function and then prove the length is correct by using geometry.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 5번

# 곡선의 길이증명·논술자동 분류

317.OpenStax 1권 · 6.4절 · 5번우리말 번역

곡선 $y=\sqrt{x}$ 를 $(1,1)$ 에서 $(4,2)$ 까지 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 겉넓이를 구하세요. 아래 그림과 같습니다.

이 그림은 곡면이다. 곡선 y = (x의 제곱근)을 x축을 중심으로 회전시켜 만든 것이다. 곡면은 3차원임을 나타내기 위해 정육면체 안에 그려져 있다.

영어 원문 보기

Find the surface area of the volume generated when the curve $y=\sqrt{x}$ revolves around the $x\text{-axis}$ from $(1,1)$ to $(4,2),$ as seen here.

This figure is a surface. It has been formed by rotating the curve y=squareroot(x) about the x-axis. The surface is inside of a cube to show 3-dimensions.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{\pi }{6}\left(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\pi }{6}\left(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 39번

# 곡선의 길이그래프·표 해석자동 분류

318.OpenStax 1권 · 6.4절 · 6번우리말 번역

곡선 $y={x}^{2}$ 이 $(1,\,1)$ 에서 $(3,9)$ 까지 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전할 때 생기는 입체의 겉넓이를 구하세요.

이 그림은 곡면이다. 위쪽이 타원 모양이어서 "그릇" 모양을 이룬다.

영어 원문 보기

Find the surface area of the volume generated when the curve $y={x}^{2}$ revolves around the $y\text{-axis}$ from $(1,\,1)$ to $(3,9).$

This figure is a surface. It has an elliptical shape to the top, forming a “bowl”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 27번

# 곡선의 길이그래프·표 해석자동 분류

319.OpenStax 1권 · 6.4절 · 7번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 $x$ 에 대한 함수의 길이를 구하세요. 적분을 정확히 계산할 수 없으면 공학 도구를 사용하여 어림하세요.

$y={x}^{3/2}$ 의 $(0,0)\,\text{에서}\,(1,1)$ 까지

영어 원문 보기

For the following exercises, find the lengths of the functions of $x$ over the given interval. If you cannot evaluate the integral exactly, use technology to approximate it.

$y={x}^{3/2}$ from $(0,0)\,\text{to}\,(1,1)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{13\sqrt{13}-8}{27}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{13\sqrt{13}-8}{27}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 5번

# 곡선의 길이계산자동 분류

320.OpenStax 1권 · 6.4절 · 8번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 $x$ 에 대한 함수의 길이를 구하세요. 적분을 정확하게 계산할 수 없으면 공학용 도구를 사용하여 어림하세요.

$y={x}^{2/3}$ , $(1,1)\,\text{에서}\,(8,4)$ 까지

영어 원문 보기

For the following exercises, find the lengths of the functions of $x$ over the given interval. If you cannot evaluate the integral exactly, use technology to approximate it.

$y={x}^{2/3}$ from $(1,1)\,\text{to}\,(8,4)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.4절 · 2번

# 곡선의 길이계산자동 분류