적분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

661.APEX · 7.4절 · 14번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = x^{10}$ , 구간 $[0, 1]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = x^{10}$ on $[0, 1]$ .

정답·풀이 보기

$\int_0^1 \sqrt{1+100x^{18}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^1 \sqrt{1+100x^{18}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 25번

# 곡선의 길이계산자동 분류

662.APEX · 7.4절 · 15번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{x}$ , 구간 $[0, 1]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{x}$ on $[0, 1]$ .

정답·풀이 보기

$\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4x}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4x}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 41번

# 곡선의 길이계산자동 분류

663.APEX · 7.4절 · 16번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = \ln x$ , 구간 $[1, e]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \ln x$ on $[1, e]$ .

정답·풀이 보기

$\int_1^e \sqrt{1+\frac1{x^2}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_1^e \sqrt{1+\frac1{x^2}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 1번

# 곡선의 길이계산자동 분류

664.APEX · 7.4절 · 17번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{1-x^2}$ , 구간 $[-1, 1]$ . (참고: 이 함수는 반지름이 1인 원의 위쪽 반원을 나타낸다.)

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{1-x^2}$ on $[-1, 1]$ . (Note: this describes the top half of a circle with radius 1.)

정답·풀이 보기

$\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 3번

# 곡선의 길이계산자동 분류

665.APEX · 7.4절 · 18번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 그래프의 곡선 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{1-x^2/9}$ , 구간 $[-3, 3]$ . (참고: 이 함수는 긴 축의 길이가 6이고 짧은 축의 길이가 2인 타원의 위쪽 반을 나타낸다.)

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{1-x^2/9}$ on $[-3, 3]$ . (Note: this describes the top half of an ellipse with a major axis of length 6 and a minor axis of length 2.)

정답·풀이 보기

$\int_{-3}^3 \sqrt{1+\frac{x^2}{81-9x^2}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{-3}^3 \sqrt{1+\frac{x^2}{81-9x^2}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 21번

# 곡선의 길이계산자동 분류

666.APEX · 7.4절 · 19번우리말 번역

문제 13–20에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분의 값은 구하지 마세요.

$\displaystyle f(x) = \frac1x$ , 구간 $[1,2]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \frac1x$ on $[1,2]$ .

정답·풀이 보기

$\int_{1}^2 \sqrt{1+\frac1{x^4}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{1}^2 \sqrt{1+\frac1{x^4}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 47번

# 곡선의 길이계산자동 분류

667.APEX · 7.4절 · 20번우리말 번역

문제 13–20에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분의 값은 구하지 마세요.

$\displaystyle f(x) = \sec x$ , 구간 $[-\pi/4,\pi/4]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \sec x$ on $[-\pi/4,\pi/4]$ .

정답·풀이 보기

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sqrt{1+\sec^2x\tan^2x}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sqrt{1+\sec^2x\tan^2x}\ dx$

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# 곡선의 길이계산자동 분류

668.APEX · 7.4절 · 29번우리말 번역

문제 29–33에서, 설명하는 회전체의 겉넓이를 구하세요.

$[0,1]$ 에서 $y=2x$ 를 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체.

영어 원문 보기

In Exercises 29–33, find the surface area of the described solid of revolution.

The solid formed by revolving $y=2x$ on $[0,1]$ about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$2\pi\int_0^1 2x\sqrt{5}\ dx = 2\pi\sqrt{5}$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi\int_0^1 2x\sqrt{5}\ dx = 2\pi\sqrt{5}$

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# 곡선의 길이활용자동 분류

669.APEX · 7.4절 · 30번우리말 번역

문제 29–33에서, 설명하는 회전체의 겉넓이를 구하세요.

$[0,1]$ 에서 $y=x^2$ 을 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체.

영어 원문 보기

In Exercises 29–33, find the surface area of the described solid of revolution.

The solid formed by revolving $y=x^2$ on $[0,1]$ about the $y$ -axis.

정답·풀이 보기

$2\pi\int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}\ dx = \pi/6(5\sqrt{5}-1)$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi\int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}\ dx = \pi/6(5\sqrt{5}-1)$

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# 곡선의 길이활용자동 분류

670.APEX · 7.4절 · 31번우리말 번역

문제 29–33에서, 설명하는 회전체의 겉넓이를 구하세요.

$[0,1]$ 에서 $y=x^3$ 을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체.

영어 원문 보기

In Exercises 29–33, find the surface area of the described solid of revolution.

The solid formed by revolving $y=x^3$ on $[0,1]$ about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$2\pi\int_0^1 x^3\sqrt{1+9x^4}\ dx = \pi/27(10\sqrt{10}-1)$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi\int_0^1 x^3\sqrt{1+9x^4}\ dx = \pi/27(10\sqrt{10}-1)$

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# 곡선의 길이활용자동 분류

671.APEX · 7.4절 · 32번우리말 번역

연습문제 29–33에서, 설명한 회전체의 겉넓이를 구하세요.

$[0,1]$ 에서 $y=\sqrt{x}$ 를 $x$ 축을 회전축으로 회전시켜 만든 회전체.

영어 원문 보기

In Exercises 29–33, find the surface area of the described solid of revolution.

The solid formed by revolving $y=\sqrt{x}$ on $[0,1]$ about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$2\pi\int_0^1 \sqrt{x}\sqrt{1+1/(4x)}\ dx = \pi/6(5\sqrt{5}-1)$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi\int_0^1 \sqrt{x}\sqrt{1+1/(4x)}\ dx = \pi/6(5\sqrt{5}-1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 21번

# 곡선의 길이활용자동 분류

672.APEX · 7.4절 · 33번우리말 번역

연습문제 29–33에서, 설명한 회전체의 겉넓이를 구하세요.

$[-1,1]$ 에서 $y=\sqrt{1-x^2}$ 를 $x$ 축을 회전축으로 회전시켜 만든 구.

영어 원문 보기

In Exercises 29–33, find the surface area of the described solid of revolution.

The sphere formed by revolving $y=\sqrt{1-x^2}$ on $[-1,1]$ about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$2\pi\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x/(1-x^2)}\ dx = 4\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x/(1-x^2)}\ dx = 4\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 47번

# 곡선의 길이활용자동 분류

673.CLP-2 · 1.1절 · 19번우리말 번역

직사각형 세 개와 왼쪽 끝점을 이용하여 $\displaystyle\int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Estimate $\displaystyle\int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x$ using three approximating rectangles and left hand end points.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

주어진 적분의 적분 구간은 $a=-1$ 에서 $b=5$ 까지이다. 따라서 너비가 모두 같은 직사각형 세 개를 사용하면 공통 너비는 $\Delta x=\frac{b-a}{n} = 2$ 이다. 첫 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_0=a=-1$ 이고, 두 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_1=a+\Delta x=1$ 이며, 세 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_2=a+2\Delta x=3$ 이다. 그러므로

$\begin{aligned} \int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x \approx \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x =\big[(-1)^3+1^3+3^3\big]\times2 =54 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The given integral has interval of integration going from $a=-1$ to $b=5$ . So when we use three approximating rectangles, all of the same width, the common width is $\Delta x=\frac{b-a}{n} = 2$ . The first rectangle has left endpoint $x_0=a=-1$ , the second has left hand endpoint $x_1=a+\Delta x=1$ , and the third has left hand end point $x_2=a+2\Delta x=3$ . So

$\begin{aligned} \int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x \approx \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x =\big[(-1)^3+1^3+3^3\big]\times2 =54 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 5번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통자동 분류

674.CLP-2 · 1.1절 · 20번우리말 번역

$f$ 를 실수 전체에서 정의된 함수라 하자. 오른쪽 끝점을 이용하여 $\displaystyle\int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 리만 합의 극한으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $f$ be a function on the whole real line. Express $\displaystyle\int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x$ as a limit of Riemann sums, using the right endpoints.

정답·풀이 보기

주어진 적분에서 적분 구간은 $a=-1$ 에서 $b=7$ 까지이다. 따라서 $\Delta x = \frac{(b-a)}{n}= \frac{(7-(-1))}{n} = \frac{8}{n}$ 이다. 첫 번째 부분구간의 왼쪽 끝점은 $x_0=a=-1$ 이다. 따라서 $i^{\rm th}$ 번째 구간의 오른쪽 끝점은 $x_i^* = -1+\frac{8i}{n}$ 이다. 그러므로:

$\begin{aligned} \int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f\left(-1+\frac{8i}{n}\right)\frac{8}{n} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In the given integral, the domain of integration runs from $a=-1$ to $b=7$ . So, we have $\Delta x = \frac{(b-a)}{n}= \frac{(7-(-1))}{n} = \frac{8}{n}$ . The left-hand end of the first subinterval is at $x_0=a=-1$ . So, the right-hand end of the $i^{\rm th}$ interval is at $x_i^* = -1+\frac{8i}{n}$ . So:

$\begin{aligned} \int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f\left(-1+\frac{8i}{n}\right)\frac{8}{n} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 25번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통자동 분류

675.CLP-2 · 1.1절 · 25번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg)$ 을 서로 다른 세 가지 방법으로 적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Express $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg)$ as an integral in three different ways.

정답·풀이 보기

선택 1: $\Delta x = \frac{2}{n}$ , $x_i^*= \frac{2i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=0$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = e^{-1-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=0$ 이고 $b=x_n=2$} \\ &=\int_0^2 e^{-1-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 2: $\Delta x = \frac{2}{n}$ , $x_i^*= 1+\frac{2i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=1$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = e^{-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=1$ 이고 $b=x_n=3$} \\ &=\int_1^3 e^{-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 3: $\Delta x = \frac{1}{n}$ , $x_i^*= \frac{i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=0$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2x_i^*}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = 2e^{-1-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=0$ 이고 $b=x_n=1$} \\ &=2\int_0^1 e^{-1-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 4: $\Delta x = \frac{1}{n}$ , $x_i^*= \frac{1}{2}+\frac{i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=\frac{1}{2}$ 일 때 $x_i = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-2x_i}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = 2e^{-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=\frac{1}{2}$ 이고 $b=x_n=\frac{3}{2}$} \\ &=2\int_{1/2}^{3/2} e^{-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Choice #1: If we set $\Delta x = \frac{2}{n}$ and $x_i^*= \frac{2i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=0$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = e^{-1-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=0$ and $b=x_n=2$} \\ &=\int_0^2 e^{-1-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #2: If we set $\Delta x = \frac{2}{n}$ and $x_i^*= 1+\frac{2i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=1$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = e^{-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=1$ and $b=x_n=3$} \\ &=\int_1^3 e^{-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #3: If we set $\Delta x = \frac{1}{n}$ and $x_i^*= \frac{i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=0$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2x_i^*}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = 2e^{-1-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=0$ and $b=x_n=1$} \\ &=2\int_0^1 e^{-1-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #4: If we set $\Delta x = \frac{1}{n}$ and $x_i^*= \frac{1}{2}+\frac{i}{n}$ , i.e. $x_i = a + i\Delta x$ with $a=\frac{1}{2}$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-2x_i}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = 2e^{-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=\frac{1}{2}$ and $b=x_n=\frac{3}{2}$} \\ &=2\int_{1/2}^{3/2} e^{-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 47번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통자동 분류

676.CLP-2 · 1.1절 · 37번우리말 번역

(a) $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2}$

을 정적분으로 나타내세요.

(b) (a)의 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Express

$\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2}$

as a definite integal.

(b) Evaluate the integral of part (a).

정답·풀이 보기

풀이 1: $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=-2$ , $b=x_n=0$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

적분 $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-x^2}$ 은 $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $x^2+y^2=4$ (반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $-2\le x\le 0$ 에서의 $x$ 축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

풀이 2: $x_i^*=\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=0$ , $b=x_n=2$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

적분 $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ 은 $(x-2)^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $(x-2)^2+y^2=4$ (중심이 $(2,0)$ 이고 반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $0\le x\le 2$ 에서의 $x$ 축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution #1: Set $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ . Then $a=x_0=-2$ and $b=x_n=0$ and $\Delta x=\frac{2}{n}$ . So

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

For the integral $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ , $y=\sqrt{4-x^2}$ is equivalent to $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ . So the integral represents the area between the upper half of the circle $x^2+y^2=4$ (which has radius $2$ ) and the $x$ -axis with $-2\le x\le 0$ , which is a quarter circle with area $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ .

Solution #2: Set $x_i^*=\frac{2i}{n}$ . Then $a=x_0=0$ and $b=x_n=2$ and $\Delta x=\frac{2}{n}$ . So

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

For the integral $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ , $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ is equivalent to $(x-2)^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ . So the integral represents the area between the upper half of the circle $(x-2)^2+y^2=4$ (which is centered at $(2,0)$ and has radius $2$ ) and the $x$ -axis with $0\le x\le 2$ , which is a quarter circle with area $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 3번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

677.CLP-2 · 1.1절 · 38번우리말 번역

다음 적분을 생각하세요.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) 구간의 수를 $n=3$ 으로 하여 왼쪽 리만 합으로 이 적분의 근삿값을 구하세요. (b) 구간의 수가 $n$ 일 때 오른쪽 리만 합을 식으로 나타내고, 그 합을 계산하세요. 이제 리만 합의 식에서 극한 $n \to \infty$ 를 취하여 적분 ( $*$ ) 의 값을 정확하게 구하세요.

다음 항등식을 이용해도 됩니다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Consider the integral:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) Approximate this integral using the left Riemann sum with $n=3$ intervals. (b) Write down the expression for the right Riemann sum with $n$ intervals and calculate the sum. Now take the limit $n \to \infty$ in your expression for the Riemann sum, to evaluate the integral ( $*$ ) exactly.

You may use the identity

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 왼쪽 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{여기서 }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

$n=3$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ 이고, $x_0=0$ , $x_1=1$ , $x_2=2$ 이다. 함수 $f(x) = 7 + x^3$ 의 값은 $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , $f(x_2) = 7+2^3=15$ 이므로 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) $n$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ 이다. 따라서 오른쪽 리만 합은 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

합을 계산하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

극한값을 정확하게 구하기 위해 $n \to \infty$ 를 취한다. $1/n$ 을 포함한 항은 0 으로 사라지므로 다음이 남는다.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The left Riemann sum is defined as

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{with }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

We subdivide into $n=3$ intervals, so that $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ , $x_0=0$ , $x_1=1$ and $x_2=2$ . The function $f(x) = 7 + x^3$ has the values $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , and $f(x_2) = 7+2^3=15$ , from which we evaluate

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) We divide into $n$ intervals so that $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ . The right Riemann sum is therefore:

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

To calculate the sum:

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

To evaluate the limit exactly, we take $n \to \infty$ . The expressions involving $1/n$ vanish leaving:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 39번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

678.CLP-2 · 1.1절 · 39번우리말 번역

오른쪽 끝점 리만 합의 극한을 이용하여 $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

공식 $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ 과 $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ 을 사용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Using a limit of right–endpoint Riemann sums, evaluate $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ .

You may use the formulas $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ and $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

일반적으로 $n$ 개의 직사각형을 사용하여 적분 $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 오른쪽 끝점 리만 합으로 근사한 값은

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

이다. 여기서 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 이다. 이 문제에서 $a=2$ , $b=4$ , $f(x)=x^2$ 이므로 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이고, 오른쪽 끝점 리만 합 근삿값은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, the right–endpoint Riemann sum approximation to the integral $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ using $n$ rectangles is

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

where $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ . In this problem, $a=2$ , $b=4$ , and $f(x)=x^2$ , so that $\Delta x=\frac{2}{n}$ and the right–endpoint Riemann sum approximation becomes

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

So

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.2절 · 10번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

679.CLP-2 · 1.1절 · 40번우리말 번역

정적분의 정의를 이용하여 $\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. 합의 공식 $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ 과 $\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}$ 을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Find $\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\mathrm{d}x$ using the definition of the definite integral. You may use the summation formulas $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ and $\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$a=0$ , $b=2$ 인 오른쪽 리만 합을 이용한다. 직사각형이 $n$ 개일 때 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x=2i/n$ 이다. 따라서 다음의 값을 구해야 한다.

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( (x_i)^3 + x_i\right) \Delta x\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 + \frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ & = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{2i}{n}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \right) \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16(n^4+2n^3+n^2)}{n^4 \cdot 4} + \frac{4(n^2+n)}{n^2 \cdot 2} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{4}\left(1+\frac{2}{n} + \frac1{n^2} \right) + \frac{4}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\ & = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 6. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We'll use right Riemann sums with $a=0$ and $b=2$ . When there are $n$ rectangles, $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x=2i/n$ . So we need to evaluate

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( (x_i)^3 + x_i\right) \Delta x\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 + \frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ & = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{2i}{n}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \right) \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16(n^4+2n^3+n^2)}{n^4 \cdot 4} + \frac{4(n^2+n)}{n^2 \cdot 2} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{4}\left(1+\frac{2}{n} + \frac1{n^2} \right) + \frac{4}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\ & = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 6. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 4번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

680.CLP-2 · 1.1절 · 42번우리말 번역

$n=10$ , $\Delta(x)=10$ , $a=-5$ 일 때 다음 식이 오른쪽 리만 합이 되도록 하는 함수 $f(x)$ 를 하나 구하세요: $\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,.$

영어 원문 보기

Give a function $f(x)$ that has the following expression as a right Riemann sum when $n=10$ , $\Delta(x)=10$ and $a=-5$ : $\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

오른쪽 리만 합의 정의에 의해

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \Delta x f(a+i\Delta x) \\ \text{$\Delta x = 10$ 이고 $a=-5$ 이므로,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10 f(-5+10i) \\ \text{두 식을 모두 10으로 나누면,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} f(-5+10i) \\ \text{따라서 $f(-5+10i)$ 에 대한 식을 얻는다:} \\ f(-5+10i) &= \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) \\ \text{$f(x)$ 를 구하기 위해 $x=-5+10i$ 로 놓으면 $i=\frac{x}{10}+\frac{1}{2}$ 이다.} \\ f(x) &= \frac{3}{10}\left(7+2\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)^2\sin\left(4\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\\ &=\frac{3}{10}\left(\frac{x}{5}+8\right)^2\sin\left(\frac{2x}{5}+2\right)\ . \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Using the definition of a right Riemann sum,

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \Delta x f(a+i\Delta x) \\ \text{Since $\Delta x = 10$ and $a=-5$,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10 f(-5+10i) \\ \text{Dividing both expressions by 10,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} f(-5+10i) \\ \text{So, we have an expression for $f(-5+10i)$:} \\ f(-5+10i) &= \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) \\ \text{In order to find $f(x)$, let $x=-5+10i$. Then $i=\frac{x}{10}+\frac{1}{2}$.} \\ f(x) &= \frac{3}{10}\left(7+2\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)^2\sin\left(4\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\\ &=\frac{3}{10}\left(\frac{x}{5}+8\right)^2\sin\left(\frac{2x}{5}+2\right)\ . \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 40번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

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