함수의 극한과 연속 전체 연습문제

141.OpenStax 1권 · 2.4절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 함수가 불연속인 점이 있다면 그 점을 구하세요. 불연속은 도약 불연속, 제거 가능 불연속, 무한 불연속, 기타로 분류하세요.

$f(x)=\frac{5}{{e}^{x}-2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the point(s), if any, at which each function is discontinuous. Classify any discontinuity as jump, removable, infinite, or other.

$f(x)=\frac{5}{{e}^{x}-2}$

정답·풀이 보기

$x=\ln 2$ 에서 무한 불연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

Infinite discontinuity at $x=\ln 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 6번

# 함수의 연속계산자동 분류

142.OpenStax 1권 · 2.4절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 함수가 불연속인 점이 있다면 그 점을 구하세요. 불연속은 도약 불연속, 제거 가능 불연속, 무한 불연속, 기타로 분류하세요.

$f(x)=\frac{|x-2|}{x-2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the point(s), if any, at which each function is discontinuous. Classify any discontinuity as jump, removable, infinite, or other.

$f(x)=\frac{|x-2|}{x-2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 16번

# 함수의 연속계산자동 분류

143.OpenStax 1권 · 2.4절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 함수가 불연속인 점이 있다면 그 점을 구하세요. 불연속은 도약 불연속, 제거 가능 불연속, 무한 불연속, 기타로 분류하세요.

$H(x)=\tan 2x$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the point(s), if any, at which each function is discontinuous. Classify any discontinuity as jump, removable, infinite, or other.

$H(x)=\tan 2x$

정답·풀이 보기

$k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots$ 에 대해 $x=\frac{(2k+1)\pi }{4}$ 에서 무한 불연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

Infinite discontinuities at $x=\frac{(2k+1)\pi }{4},$ for $k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 5번

# 함수의 연속계산자동 분류

144.OpenStax 1권 · 2.4절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 함수가 불연속인 점이 있다면 그 점을 구하세요. 불연속은 도약 불연속, 제거 가능 불연속, 무한 불연속, 기타로 분류하세요.

$f(t)=\frac{t+3}{{t}^{2}+5t+6}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the point(s), if any, at which each function is discontinuous. Classify any discontinuity as jump, removable, infinite, or other.

$f(t)=\frac{t+3}{{t}^{2}+5t+6}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 23번

# 함수의 연속계산자동 분류

145.OpenStax 1권 · 2.4절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인지 답하세요.

$h(\theta )=\frac{\sin \theta -\cos \theta }{\tan \theta }$ ( $\theta =\pi$ 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$h(\theta )=\frac{\sin \theta -\cos \theta }{\tan \theta }$ at $\theta =\pi$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 21번

# 함수의 연속계산자동 분류

146.OpenStax 1권 · 2.4절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이면 어떤 종류의 불연속인지 답하세요.

$g(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{6{u}^{2}+u-2}{2u-1} & \text{(}\,u\ne \frac{1}{2}\text{ 일 때)}\\ \frac{7}{2} & \text{(}\,u=\frac{1}{2}\text{ 일 때)}\end{array}\right.,$ $u=\frac{1}{2}$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$g(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{6{u}^{2}+u-2}{2u-1} & \text{if}\,u\ne \frac{1}{2} \\ \frac{7}{2} & \text{if}\,u=\frac{1}{2}\end{array}\right.,$ at $u=\frac{1}{2}$

정답·풀이 보기

예. 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. It is continuous.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 1번

# 함수의 연속계산자동 분류

147.OpenStax 1권 · 2.4절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인지 말하세요.

$f(y)=\frac{\sin (\pi y)}{\tan (\pi y)},$ ( $y=1$ 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$f(y)=\frac{\sin (\pi y)}{\tan (\pi y)},$ at $y=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번

# 함수의 연속계산자동 분류

148.OpenStax 1권 · 2.4절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인지 구하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^{2}-{e}^{x} & \text{(}\,x<0\text{ 일 때)}\\ x-1 & \text{(}\,x\ge 0\text{ 일 때)}\end{array}\right.,$ $x=0$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^{2}-{e}^{x} & \text{if}\,x<0 \\ x-1 & \text{if}\,x\ge 0\end{array}\right.,$ at $x=0$

정답·풀이 보기

예. 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. It is continuous.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 3번

# 함수의 연속계산자동 분류

149.OpenStax 1권 · 2.4절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서, 함수가 주어진 점에서 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인지 말하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\sin (x)\,\text{(}\,x\le \pi\text{ 일 때)}\\ x\tan (x)\,\text{(}\,x>\pi\text{ 일 때)}\end{array}\right.,$ $x=\pi$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\sin (x)\,\text{if}\,x\le \pi \\ x\tan (x)\,\text{if}\,x>\pi \end{array}\right.,$ at $x=\pi$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 7번

# 함수의 연속계산자동 분류

150.OpenStax 1권 · 2.4절 · 15번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 k 의 값을 모두 구하세요.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}3x+2, & x<k \\ 2x-3, & k\le x\le 8\end{array}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}3x+2, & x<k \\ 2x-3, & k\le x\le 8\end{array}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$k=-5$

원본 교재 풀이(영어)

$k=-5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 13번

# 함수의 연속계산자동 분류

151.OpenStax 1권 · 2.4절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 k 의 값을 모두 구하세요.

$f(\theta )=\left\{\begin{array}{ll}\sin \theta , & 0\le \theta <\frac{\pi }{2} \\ \cos (\theta +k), & \frac{\pi }{2}\le \theta \le \pi \end{array}\right.$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(\theta )=\left\{\begin{array}{ll}\sin \theta , & 0\le \theta <\frac{\pi }{2} \\ \cos (\theta +k), & \frac{\pi }{2}\le \theta \le \pi \end{array}\right.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 4번

# 함수의 연속계산자동 분류

152.OpenStax 1권 · 2.4절 · 17번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 k 의 값을 모두 구하세요.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{x}^{2}+3x+2}{x+2}, & x\ne -2 \\ k, & x=-2\end{array}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{x}^{2}+3x+2}{x+2}, & x\ne -2 \\ k, & x=-2\end{array}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$k=-1$

원본 교재 풀이(영어)

$k=-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 25번

# 함수의 연속계산자동 분류

153.OpenStax 1권 · 2.4절 · 18번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 k 의 값을 모두 구하세요.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{kx}, & 0\le x<4 \\ x+3, & 4\le x\le 8\end{array}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{kx}, & 0\le x<4 \\ x+3, & 4\le x\le 8\end{array}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 1번

# 함수의 연속계산자동 분류

154.OpenStax 1권 · 2.4절 · 20번우리말 번역

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}3{x}^{2}-4, & x\le 2 \\ 5+4x, & x>2\end{array}\right.$ 라 하자. 구간 $[0,4]$ 에서 $h(0)<10$ 이고 $h(4)>10$ 이지만 $h(x)=10$ 인 x 의 값은 없다. 이것이 사잇값 정리에 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $h(x)=\left\{\begin{array}{ll}3{x}^{2}-4, & x\le 2 \\ 5+4x, & x>2\end{array}\right.$ Over the interval $[0,4],$ there is no value of x such that $h(x)=10,$ although $h(0)<10$ and $h(4)>10.$ Explain why this does not contradict the IVT.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 5번

# 함수의 연속계산자동 분류

155.OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번우리말 번역

직선을 따라 움직이는 입자의 시각 t 에서의 위치 함수 $s(t)$ 가 연속이라 하자. $s(2)=5$ 이고 $s(5)=2$ 라 하자. 또 다른 입자는 위치가 $h(t)=s(t)-t$ 로 주어지도록 움직인다. $2<c<5$ 이고 $h(c)=0$ 인 값 c 가 반드시 존재하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

A particle moving along a line has at each time t a position function $s(t),$ which is continuous. Assume $s(2)=5$ and $s(5)=2.$ Another particle moves such that its position is given by $h(t)=s(t)-t.$ Explain why there must be a value c for $2<c<5$ such that $h(c)=0.$

정답·풀이 보기

s 와 $y=t$ 는 모든 곳에서 연속이므로 $h(t)=s(t)-t$ 도 모든 곳에서 연속이고, 특히 닫힌구간 $[2,5]$ 에서 연속이다. 또한 $h(2)=3>0$ 이고 $h(5)=-3<0$ 이다. 따라서 사잇값 정리에 의해 $h(c)=0$ 인 값 $x=c$ 가 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Since both s and $y=t$ are continuous everywhere, then $h(t)=s(t)-t$ is continuous everywhere and, in particular, it is continuous over the closed interval $[2,5].$ Also, $h(2)=3>0$ and $h(5)=-3<0.$ Therefore, by the IVT, there is a value $x=c$ such that $h(c)=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번

# 함수의 연속계산자동 분류

156.OpenStax 1권 · 2.4절 · 22번우리말 번역

[계산기 사용] “t 의 코사인 값은 t 의 세제곱과 같다.”라는 문장을 이용하세요.

a. 이 문장을 수학적 방정식으로 나타내세요. b. a의 방정식이 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이세요. c. 계산기를 이용하여 해를 포함하는 길이 0.01 의 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Use the statement “The cosine of t is equal to t cubed.”

a. Write a mathematical equation of the statement. b. Prove that the equation in part a. has at least one real solution. c. Use a calculator to find an interval of length 0.01 that contains a solution.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 2번

# 함수의 연속증명·논술자동 분류

157.OpenStax 1권 · 2.4절 · 23번우리말 번역

사잇값 정리를 적용하여 ${2}^{x}={x}^{3}$ 이 구간 $[1.25,1.375]$ 또는 $[1.375,1.5]$ 중 하나에서 해를 갖는지 판단하세요. 각 구간에 대해 답을 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

Apply the IVT to determine whether ${2}^{x}={x}^{3}$ has a solution in one of the intervals $[1.25,1.375]$ or $[1.375,1.5].$ Briefly explain your response for each interval.

정답·풀이 보기

함수 $f(x)={2}^{x}-{x}^{3}$ 은 구간 $[1.25,1.375]$ 에서 연속이고 양 끝점에서 부호가 반대이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function $f(x)={2}^{x}-{x}^{3}$ is continuous over the interval $[1.25,1.375]$ and has opposite signs at the endpoints.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번

# 함수의 연속계산자동 분류

158.OpenStax 1권 · 2.4절 · 24번우리말 번역

다음 그래프에 나타난 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 생각하세요.

사잇값 정리를 나타낸 그림이다. 구간 (a,b) 에서 연속인 임의의 곡선 모양 함수가 그려져 있다. 점 fa. 와 fb. 가 표시되어 있고, a, b, fa., fb. 에서 각각 점 (a, fa.) 와 (b, fb.) 로 점선이 그어져 있다. a 와 b 사이에 세 번째 점 c 가 찍혀 있다. 함수가 연속이므로 곡선 위에 fc. 의 값이 존재하며, c 에서 (c, fc.) 로, 그리고 (c, fc.) 에서 y축 위의 fc. 로 선이 그어져 있고, 이 값은 y축에서 z 로 표시되어 있다.

a. 함수가 불연속인 값을 모두 구하세요. b. a에서 구한 각 값에 대해, 연속의 정의를 적용할 수 없는 이유를 말하세요. c. 각 불연속을 점프(도약), 제거 가능, 무한 중 하나로 분류하세요.

영어 원문 보기

Consider the graph of the function $y=f(x)$ shown in the following graph.

a. Find all values for which the function is discontinuous. b. For each value in part a., state why the formal definition of continuity does not apply. c. Classify each discontinuity as either jump, removable, or infinite.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 20번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

159.OpenStax 1권 · 2.4절 · 25번우리말 번역

$f(x)=\{\begin{array}{c}3x,x>1 \\ {x}^{3},x<1\end{array}$ 라고 하세요.

a. f 의 그래프를 그리세요. b. $f(1)=k$ 로 정의하여 $f(x)$ 가 모든 실수에서 연속이 되게 하는 값 k 를 찾는 것이 가능한지 판단하세요. 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\{\begin{array}{c}3x,x>1 \\ {x}^{3},x<1\end{array}.$

a. Sketch the graph of f. b. Is it possible to find a value k such that $f(1)=k,$ which makes $f(x)$ continuous for all real numbers? Briefly explain.

정답·풀이 보기

a.

주어진 구간별로 정의된 함수의 그래프로, 두 부분으로 이루어져 있다. 첫 번째 부분은 x^3 으로, x < 1 에서 존재하며 (1,1) 에서 속이 빈 원으로 끝난다. 두 번째 부분은 3x 로, x > 1 에서 존재한다. 이 부분은 (1,3) 에서 속이 빈 원으로 시작한다.

b. 이 불연속은 점프 불연속이므로 $f(1)$ 을 다시 정의하는 것은 불가능하다.

원본 교재 풀이(영어)

a.

A graph of the given piecewise function containing two segments. The first, x^3, exists for x < 1 and ends with an open circle at (1,1). The second, 3x, exists for x > 1. It beings with an open circle at (1,3).

b. It is not possible to redefine $f(1)$ since the discontinuity is a jump discontinuity.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 15번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

160.OpenStax 1권 · 2.4절 · 26번우리말 번역

$x\ne -1,1$ 에 대해 $f(x)=\frac{{x}^{4}-1}{{x}^{2}-1}$ 이라고 하세요.

a. f 의 그래프를 그리세요. b. $f(-1)={k}_{1}$ 과 $f(1)={k}_{2}$ 로 정의하여 $f(x)$ 가 모든 실수에서 연속이 되게 하는 값 ${k}_{1}$ 과 ${k}_{2}$ 를 찾는 것이 가능한지 판단하세요. 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\frac{{x}^{4}-1}{{x}^{2}-1}$ for $x\ne -1,1.$

a. Sketch the graph of f. b. Is it possible to find values ${k}_{1}$ and ${k}_{2}$ such that $f(-1)={k}_{1}$ and $f(1)={k}_{2},$ and that makes $f(x)$ continuous for all real numbers? Briefly explain.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

함수의 극한과 연속 전체 문제