함수의 극한과 연속 전체 연습문제

161.OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번우리말 번역

성질 i.부터 vi.까지를 만족하는 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

i. f 의 정의역은 $(-\infty ,+\infty )$ 이다. ii. f 는 $x=-6$ 에서 무한 불연속이다. iii. $f(-6)=3$ iv. $\lim_{x\to {-3}^{-}}f(x)=\lim_{x\to {-3}^{+}}f(x)=2$ v. $f(-3)=3$ vi. f 는 $x=3$ 에서 좌연속이지만 우연속은 아니다.

영어 원문 보기

Sketch the graph of a function $y=f(x)$ with properties i. through vi.

i. The domain of f is $(-\infty ,+\infty ).$ ii. f has an infinite discontinuity at $x=-6.$ iii. $f(-6)=3$ iv. $\lim_{x\to {-3}^{-}}f(x)=\lim_{x\to {-3}^{+}}f(x)=2$ v. $f(-3)=3$ vi. f is left continuous but not right continuous at $x=3.$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 다음은 한 예이다.

여러 선분과 곡선으로 이루어진 구간별로 정의된 함수의 그래프이다. 첫 번째는 x < -8 에서 존재하는 증가하는 직선이다. 이 직선은 (-8,-8)에서 속이 빈 원으로 끝난다. 두 번째는 -8 <= x < -6 에서 존재하는 증가하는 곡선이다. 이 곡선은 (-8, 0 )에서 속이 찬 원으로 시작하며, x가 왼쪽에서 -6에 가까워질 때 무한대로 발산한다. 세 번째는 점 (-6, 3)에 있는 속이 찬 원이다. 네 번째는 -6 < x <= 3 에서 존재하는 직선이다. 이 직선은 (-6, 2)에서 속이 빈 원으로 시작하여 (3,2)에서 속이 찬 원으로 끝난다. 다섯 번째는 (3,3)에서 속이 빈 원으로 시작하는 증가하는 직선이다. 이 직선은 x > 3 에서 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; see the following example:

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 17번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

162.OpenStax 1권 · 2.4절 · 28번우리말 번역

성질 i.부터 iv.까지를 만족하는 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

i. f 의 정의역은 $[0,5]$ 이다. ii. $\lim_{x\to {1}^{+}}f(x)$ 와 $\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)$ 가 존재하고 서로 같다. iii. $f(x)$ 는 $x=2$ 에서 좌연속이지만 연속은 아니고, $x=3$ 에서 우연속이지만 연속은 아니다. iv. $f(x)$ 는 $x=1$ 에서 제거 가능한 불연속, $x=2$ 에서 점프 불연속이고, 다음 극한이 성립한다: $\lim_{x\to {3}^{-}}f(x)=-\infty$ 그리고 $\lim_{x\to {3}^{+}}f(x)=2.$

영어 원문 보기

Sketch the graph of a function $y=f(x)$ with properties i. through iv.

i. The domain of f is $[0,5].$ ii. $\lim_{x\to {1}^{+}}f(x)$ and $\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)$ exist and are equal. iii. $f(x)$ is left continuous but not continuous at $x=2,$ and right continuous but not continuous at $x=3.$ iv. $f(x)$ has a removable discontinuity at $x=1,$ a jump discontinuity at $x=2,$ and the following limits hold: $\lim_{x\to {3}^{-}}f(x)=-\infty$ and $\lim_{x\to {3}^{+}}f(x)=2.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 45번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

163.OpenStax 1권 · 2.4절 · 30번우리말 번역

다음 문제에서 $y=f(x)$ 가 모든 $x$ 에 대해 정의되어 있다고 하자. 각 설명에 대해 주어진 성질을 갖는 그래프를 그리세요.

$x=2$ 에서는 불연속이지만 그 외에서는 연속이고 $\lim_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose $y=f(x)$ is defined for all x. For each description, sketch a graph with the indicated property.

Discontinuous at $x=2$ but continuous elsewhere with $\lim_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 11번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

164.OpenStax 1권 · 2.4절 · 31번우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 판단하세요. 설명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

$f(t)=\frac{2}{{e}^{t}-{e}^{-t}}$ 는 모든 곳에서 연속이다.

영어 원문 보기

Determine whether each of the given statements is true. Justify your response with an explanation or counterexample.

$f(t)=\frac{2}{{e}^{t}-{e}^{-t}}$ is continuous everywhere.

정답·풀이 보기

거짓. $(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$ 에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

False. It is continuous over $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 33번

# 함수의 연속증명·논술자동 분류

165.OpenStax 1권 · 2.4절 · 32번우리말 번역

$x\to a$ 일 때 $f(x)$ 의 좌극한과 우극한이 존재하고 서로 같으면, f 는 $x=a$ 에서 불연속일 수 없다.

영어 원문 보기

If the left- and right-hand limits of $f(x)$ as $x\to a$ exist and are equal, then f cannot be discontinuous at $x=a.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 26번

# 함수의 연속계산자동 분류

166.OpenStax 1권 · 2.4절 · 33번우리말 번역

함수가 한 점에서 연속이 아니면, 그 점에서 정의되지 않는다.

영어 원문 보기

If a function is not continuous at a point, then it is not defined at that point.

정답·풀이 보기

거짓이다. 다음 함수를 생각하자. $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{(}\,x\ne 0\text{ 일 때)}\\ 4\,\text{(}\,x=0\text{ 일 때)}\end{array}\right.$

원본 교재 풀이(영어)

False. Consider $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{if}\,x\ne 0 \\ 4\,\text{if}\,x=0\end{array}\right..$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 35번

# 함수의 연속계산자동 분류

167.OpenStax 1권 · 2.4절 · 34번우리말 번역

사잇값 정리에 따르면, $\cos x-\sin x-x=2$ 는 구간 $[-1,1]$ 에서 해를 가진다.

영어 원문 보기

According to the IVT, $\cos x-\sin x-x=2$ has a solution over the interval $[-1,1].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 9번

# 함수의 연속계산자동 분류

168.OpenStax 1권 · 2.4절 · 35번우리말 번역

$f(x)$ 가 연속이고 $f(a)$ 와 $f(b)$ 의 부호가 서로 반대이면, $f(x)=0$ 은 $[a,b]$ 에서 해를 정확히 하나 가진다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ is continuous such that $f(a)$ and $f(b)$ have opposite signs, then $f(x)=0$ has exactly one solution in $[a,b].$

정답·풀이 보기

거짓이다. 사잇값 정리는 해가 적어도 하나 있다는 것만 말해 줄 뿐, 해가 정확히 하나임을 보장하지는 않는다. 구간 $[-\pi ,2\pi ]$ 에서 $f(x)=\cos (x)$ 를 생각하자.

원본 교재 풀이(영어)

False. IVT only says that there is at least one solution; it does not guarantee that there is exactly one. Consider $f(x)=\cos (x)$ on $[-\pi ,2\pi ].$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 45번

# 함수의 연속계산자동 분류

169.OpenStax 1권 · 2.4절 · 36번우리말 번역

주어진 각 명제가 참인지 판단하세요. 설명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

함수 $f(x)=\frac{{x}^{2}-4x+3}{{x}^{2}-1}$ 은 구간 $[0,3]$ 에서 연속이다.

영어 원문 보기

Determine whether each of the given statements is true. Justify your response with an explanation or counterexample.

The function $f(x)=\frac{{x}^{2}-4x+3}{{x}^{2}-1}$ is continuous over the interval $[0,3].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번

# 함수의 연속증명·논술자동 분류

170.OpenStax 1권 · 2.4절 · 37번우리말 번역

$f(x)$ 가 모든 곳에서 연속이고 $f(a),f(b)>0$ 이면, 구간 $[a,b]$ 에 $f(x)$ 의 근은 없다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ is continuous everywhere and $f(a),f(b)>0,$ then there is no root of $f(x)$ in the interval $[a,b].$

정답·풀이 보기

거짓. 사잇값 정리는 역으로는 성립하지 않는다! 구간 $[-2,2]$ 에서 ${(x-1)}^{2}$ 을 생각해 보자.

원본 교재 풀이(영어)

False. The IVT does not work in reverse! Consider ${(x-1)}^{2}$ over the interval $[-2,2].$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 43번

# 함수의 연속계산자동 분류

171.OpenStax 1권 · 2.4절 · 38번우리말 번역

많은 입자가 상호작용하는 모형의 계산을 간단히 하기 위해, 어떤 기준값 $r=R$ 이후에서는 F 를 0으로 어림한다.

a. 이 가정의 물리적 근거를 설명하세요. b. 힘의 방정식은 무엇인지 구하세요. c. 전하량의 크기가 $1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{쿨롱 (C)}$ 인 두 양성자와 쿨롱 상수 ${k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}$ 에 대해, 두 양성자가 1 m 떨어져 있다고 하고 쿨롱 법칙과 우리의 어림을 모두 사용하여 힘 F 의 값을 구하세요. 또한 $R<1\,\text{m}$ 라고 가정하세요. 우리의 어림은 얼마나 큰 오차를 만드는지 구하세요. 우리의 어림은 타당한지 판단하세요. d. 이 계가 R 에서 연속이 되도록 하는 R 의 유한한 값이 존재하는지 판단하세요.

영어 원문 보기

To simplify the calculation of a model with many interacting particles, after some threshold value $r=R,$ we approximate F as zero.

a. Explain the physical reasoning behind this assumption. b. What is the force equation? c. Evaluate the force F using both Coulomb’s law and our approximation, assuming two protons with a charge magnitude of $1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{coulombs (C)},$ and the Coulomb constant ${k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}$ are 1 m apart. Also, assume $R<1\,\text{m}.$ How much inaccuracy does our approximation generate? Is our approximation reasonable? d. Is there any finite value of R for which this system remains continuous at R?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 31번

# 함수의 연속계산자동 분류

172.OpenStax 1권 · 2.4절 · 40번우리말 번역

[계산기 사용] 로켓의 질량이 3백만 kg일 때, k의 값과 단위를 구하세요. (힌트: 지구 중심에서 지구 표면까지의 거리는 6378 km이다.)

영어 원문 보기

[T] Determine the value and units of k given that the mass of the rocket is 3 million kg. (Hint: The distance from the center of Earth to its surface is 6378 km.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 25번

# 함수의 연속계산자동 분류

173.OpenStax 1권 · 2.4절 · 41번우리말 번역

[계산기 사용] 어떤 거리 D 를 지나면 지구의 중력 효과는 무시할 만큼 작아지므로, 힘 함수를 $F(d)=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{mk}{{d}^{2}} & \text{(}\,d<D\text{ 일 때)}\\ 10,000 & \text{(}\,d\ge D\text{ 일 때)}\end{array}\right.$ 로 근사할 수 있다. 앞의 문제에서 구한 k의 값을 이용하여, 힘 함수가 연속이 되도록 하는 D 의 필요조건을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] After a certain distance D has passed, the gravitational effect of Earth becomes quite negligible, so we can approximate the force function by $F(d)=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{mk}{{d}^{2}} & \text{if}\,d<D \\ 10,000 & \text{if}\,d\ge D\end{array}\right..$ Using the value of k found in the previous exercise, find the necessary condition D such that the force function remains continuous.

답 쓰고 채점

km

정답·풀이 보기

$D=345,826\,\text{km}$

원본 교재 풀이(영어)

$D=345,826\,\text{km}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 19번

# 함수의 연속계산자동 분류

174.OpenStax 1권 · 2.4절 · 42번우리말 번역

로켓이 지구 표면에서 멀어지면, 더 이상 여분의 연료 저장 공간이 필요하지 않으므로 로켓이 질량의 일부를 버리는 거리 D가 존재한다. 이 함수를 $F(d)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{{m}_{1}k}{{d}^{2}}\,\text{(}\,d<D\text{ 일 때)}\\ -\frac{{m}_{2}k}{{d}^{2}}\,\text{(}\,d\ge D\text{ 일 때)}\end{array}\right.$ 와 같이 쓸 수 있다. ${m}_{1}\ne {m}_{2}$ 라고 가정할 때, 이 함수가 연속이 되도록 하는 D 값이 존재하는지 답하세요.

영어 원문 보기

As the rocket travels away from Earth’s surface, there is a distance D where the rocket sheds some of its mass, since it no longer needs the excess fuel storage. We can write this function as $F(d)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{{m}_{1}k}{{d}^{2}}\,\text{if}\,d<D \\ -\frac{{m}_{2}k}{{d}^{2}}\,\text{if}\,d\ge D\end{array}\right..$ Is there a D value such that this function is continuous, assuming ${m}_{1}\ne {m}_{2}?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 5번

# 함수의 연속계산자동 분류

175.OpenStax 1권 · 2.4절 · 43번우리말 번역

다음 함수가 모든 곳에서 연속임을 증명하세요.

$f(\theta )=\sin \theta$

영어 원문 보기

Prove the following functions are continuous everywhere

$f(\theta )=\sin \theta$

정답·풀이 보기

모든 값에 대해 $a,f(a)$ 가 정의되고, $\lim_{\theta \to a}f(\theta )$ 가 존재하며, $\lim_{\theta \to a}f(\theta )=f(a)$ 이다. 따라서 $f(\theta )$ 는 모든 곳에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

For all values of $a,f(a)$ is defined, $\lim_{\theta \to a}f(\theta )$ exists, and $\lim_{\theta \to a}f(\theta )=f(a).$ Therefore, $f(\theta )$ is continuous everywhere.