다중적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

41.OpenStax 3권 · 5.1절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 이중적분의 성질 v 와 앞 연습문제의 답을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이세요.

$\frac{{\pi }^{2}}{144}\le \iint_{R}\sin \,x\,\cos \,y\,dA\le \frac{{\pi }^{2}}{48}$ , 단, $R=\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]\,\times \,\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$

영어 원문 보기

In the following exercises, use property v. of double integrals and the answer from the preceding exercise to show that the following inequalities are true.

$\frac{{\pi }^{2}}{144}\le \iint_{R}\sin \,x\,\cos \,y\,dA\le \frac{{\pi }^{2}}{48},$ where $R=\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]\,\times \,\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 13번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

42.OpenStax 3권 · 5.1절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 이중적분의 성질 v 와 앞 연습문제의 답을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이세요.

$0\le \iint_{R}{e}^{-y}\cos \,x\,dA\le {\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{2}$ , 단, $R=\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\,\times \,\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$

영어 원문 보기

In the following exercises, use property v. of double integrals and the answer from the preceding exercise to show that the following inequalities are true.

$0\le \iint_{R}{e}^{-y}\cos \,x\,dA\le {\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{2},$ where $R=\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\,\times \,\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 4번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

43.OpenStax 3권 · 5.1절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 이중적분의 성질 v 와 앞 연습문제의 답을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이세요.

$0\le \iint_{R}(\ln \,x)(\ln \,y)dA\le {(e-1)}^{2}$ , 단, $R=[1,e]\,\times \,[1,e]$

영어 원문 보기

In the following exercises, use property v. of double integrals and the answer from the preceding exercise to show that the following inequalities are true.

$0\le \iint_{R}(\ln \,x)(\ln \,y)dA\le {(e-1)}^{2},$ where $R=[1,e]\,\times \,[1,e]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 11번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

44.OpenStax 3권 · 5.1절 · 44번대학 수준우리말 번역

f 와 g 를 두 연속함수라 하고, $0\le {m}_{1}\le f(x)\le {M}_{1}$ 이 임의의 $x\in [a,b]$ 에 대해 성립하고 $0\le {m}_{2}\le g(y)\le {M}_{2}$ 가 임의의 $y\in [c,d]$ 에 대해 성립한다고 하자. 다음 부등식이 참임을 보이세요.

$({m}_{1}+{m}_{2})(b-a)(d-c)\le \int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}[f(x)+g(y)]dy\,dx\le ({M}_{1}+{M}_{2})(b-a)(d-c).$

영어 원문 보기

Let f and g be two continuous functions such that $0\le {m}_{1}\le f(x)\le {M}_{1}$ for any $x\in [a,b]$ and $0\le {m}_{2}\le g(y)\le {M}_{2}$ for any $y\in [c,d].$ Show that the following inequality is true:

$({m}_{1}+{m}_{2})(b-a)(d-c)\le \int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}[f(x)+g(y)]dy\,dx\le ({M}_{1}+{M}_{2})(b-a)(d-c).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 25번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

45.OpenStax 3권 · 5.1절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이중적분의 성질 v 와 바로 앞 문제의 답을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이세요.

$\frac{2}{e}\le \iint_{R}({e}^{-{x}^{2}}+{e}^{-{y}^{2}})dA\le 2$ , 단, $R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

영어 원문 보기

In the following exercises, use property v. of double integrals and the answer from the preceding exercise to show that the following inequalities are true.

$\frac{2}{e}\le \iint_{R}({e}^{-{x}^{2}}+{e}^{-{y}^{2}})dA\le 2,$ where $R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 1번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

46.OpenStax 3권 · 5.1절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이중적분의 성질 v 와 바로 앞 문제의 답을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이세요.

$\frac{{\pi }^{2}}{36}\le \iint_{R}(\sin \,x+\cos \,y)dA\le \frac{{\pi }^{2}\sqrt{3}}{36}$ , 단, $R=\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]\,\times \,\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$

영어 원문 보기

In the following exercises, use property v. of double integrals and the answer from the preceding exercise to show that the following inequalities are true.

$\frac{{\pi }^{2}}{36}\le \iint_{R}(\sin \,x+\cos \,y)dA\le \frac{{\pi }^{2}\sqrt{3}}{36},$ where $R=\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]\,\times \,\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 3번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

47.OpenStax 3권 · 5.1절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이중적분의 성질 v 와 바로 앞 문제의 답을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이세요.

$\frac{{\pi }^{2}}{4}{e}^{\frac{-\pi }{2}}\le \iint_{R}(\cos \,x+{e}^{-y})dA\le \frac{{\pi }^{2}}{2}$ , 단, $R=\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\,\times \,\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$

영어 원문 보기

In the following exercises, use property v. of double integrals and the answer from the preceding exercise to show that the following inequalities are true.

$\frac{{\pi }^{2}}{4}{e}^{\frac{-\pi }{2}}\le \iint_{R}(\cos \,x+{e}^{-y})dA\le \frac{{\pi }^{2}}{2},$ where $R=\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\,\times \,\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 15번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

48.OpenStax 3권 · 5.1절 · 48번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이중적분의 성질 v 와 바로 앞 문제의 답을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이세요.

$0\le \iint_{R}(\ln x+\ln \,y)dA\le 2{(e-1)}^{2}$ , 단, $R=[1,e]\,\times \,[1,e]$

영어 원문 보기

In the following exercises, use property v. of double integrals and the answer from the preceding exercise to show that the following inequalities are true.

$0\le \iint_{R}(\ln x+\ln \,y)dA\le 2{(e-1)}^{2},$ where $R=[1,e]\,\times \,[1,e]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 19번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

49.OpenStax 3권 · 5.1절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 f는 이중적분으로 주어져 있습니다.

a. 함수 f의 명시적인 식을 구하세요. b. 곡면 $z=f(x,y)$ 아래쪽과 영역 R 위쪽에 있는 입체의 부피를 구하세요. c. R에서 함수 f의 평균값을 구하세요. d. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 $z=f(x,y)$ 와 $z={f}_{\text{ave}}$ 의 그래프를 같은 좌표계에 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=\int_{0}^{y}\,\int_{0}^{x}(xs+yt)ds\,dt$ , 단, $(x,y)\in R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

영어 원문 보기

In the following exercises, the function f is given in terms of double integrals.

a. Determine the explicit form of the function f. b. Find the volume of the solid under the surface $z=f(x,y)$ and above the region R. c. Find the average value of the function f on R. d. Use a computer algebra system (CAS) to plot $z=f(x,y)$ and $z={f}_{\text{ave}}$ in the same system of coordinates.

[T] $f(x,y)=\int_{0}^{y}\,\int_{0}^{x}(xs+yt)ds\,dt,$ where $(x,y)\in R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

정답·풀이 보기

a. $f(x,y)=\frac{1}{2}xy({x}^{2}+{y}^{2})$ b. $V=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1}f(x,y)dx\,dy=\frac{1}{8}$ c. ${f}_{\text{ave}}=\frac{1}{8};$

d.

좌표공간에서 z 좌표가 1/8인 평면이 있고, 원점에서 시작하여 점 (1, 0.25, 0.125)에서 점 (0.25, 1, 0.125)까지 대략 이어지는 선을 따라 그 평면을 뚫고 올라가다가, 점 (1, 1, 1)까지 급격히 증가하는 또 다른 도형이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $f(x,y)=\frac{1}{2}xy({x}^{2}+{y}^{2})$ b. $V=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1}f(x,y)dx\,dy=\frac{1}{8}$ c. ${f}_{\text{ave}}=\frac{1}{8};$

d.

In xyz space, a plane is formed at z = 1/8, and there is another shape that starts at the origin, increases through the plane in a line roughly running from (1, 0.25, 0.125) to (0.25, 1, 0.125), and then rapidly increases to (1, 1, 1).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 33번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

50.OpenStax 3권 · 5.1절 · 50번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 f 는 이중적분으로 주어져 있다.

a. 함수 f 의 명시적인 식을 구하세요. b. 곡면 $z=f(x,y)$ 아래이면서 영역 R 위에 있는 입체의 부피를 구하세요. c. R 에서 함수 f 의 평균값을 구하세요. d. 컴퓨터 대수 시스템(CAS)을 사용하여 $z=f(x,y)$ 와 $z={f}_{\text{ave}}$ 를 같은 좌표계에 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=\int_{0}^{x}\,\int_{0}^{y}[\cos (s)+\cos (t)]dt\,ds$ , 여기서 $(x,y)\in R=[0,3]\,\times \,[0,3]$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, the function f is given in terms of double integrals.

a. Determine the explicit form of the function f. b. Find the volume of the solid under the surface $z=f(x,y)$ and above the region R. c. Find the average value of the function f on R. d. Use a computer algebra system (CAS) to plot $z=f(x,y)$ and $z={f}_{\text{ave}}$ in the same system of coordinates.

[T] $f(x,y)=\int_{0}^{x}\,\int_{0}^{y}[\cos (s)+\cos (t)]dt\,ds,$ where $(x,y)\in R=[0,3]\,\times \,[0,3]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 5번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

51.OpenStax 3권 · 5.1절 · 51번대학 수준우리말 번역

f 와 g 가 각각 $[a,b]$ 와 $[c,d]$ 에서 연속이면 다음이 성립함을 보이세요.

$\int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}[f(x)+g(y)]dy\,dx=(d-c)\int_{a}^{b}f(x)dx$

$\quad +\int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}g(y)dy\,dx=(b-a)\int_{c}^{d}g(y)dy+\int_{c}^{d}\,\int_{a}^{b}f(x)dx\,dy.$

영어 원문 보기

Show that if f and g are continuous on $[a,b]$ and $[c,d],$ respectively, then

$\int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}[f(x)+g(y)]dy\,dx=(d-c)\int_{a}^{b}f(x)dx$

$\quad +\int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}g(y)dy\,dx=(b-a)\int_{c}^{d}g(y)dy+\int_{c}^{d}\,\int_{a}^{b}f(x)dx\,dy.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 31번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

52.OpenStax 3권 · 5.1절 · 52번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 f 는 이중적분으로 주어져 있다.

a. 함수 f 의 명시적인 식을 구하세요. b. 곡면 $z=f(x,y)$ 아래이면서 영역 R 위에 있는 입체의 부피를 구하세요. c. R 에서 함수 f 의 평균값을 구하세요. d. 컴퓨터 대수 시스템(CAS)을 사용하여 $z=f(x,y)$ 와 $z={f}_{\text{ave}}$ 를 같은 좌표계에 그리세요.

$\int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}yf(x)+xg(y)dy\,dx=\frac{1}{2}({d}^{2}-{c}^{2})\left(\int_{a}^{b}f(x)dx\right)+\frac{1}{2}({b}^{2}-{a}^{2})\left(\int_{c}^{d}g(y)dy\right)$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, the function f is given in terms of double integrals.

a. Determine the explicit form of the function f. b. Find the volume of the solid under the surface $z=f(x,y)$ and above the region R. c. Find the average value of the function f on R. d. Use a computer algebra system (CAS) to plot $z=f(x,y)$ and $z={f}_{\text{ave}}$ in the same system of coordinates.

Show that $\int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}yf(x)+xg(y)dy\,dx=\frac{1}{2}({d}^{2}-{c}^{2})\left(\int_{a}^{b}f(x)dx\right)+\frac{1}{2}({b}^{2}-{a}^{2})\left(\int_{c}^{d}g(y)dy\right).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 1번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

53.OpenStax 3권 · 5.1절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 함수 $f(x,y)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 를 생각하세요. 단, $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1].$

a. 중점 규칙을 $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ 으로 하여 이중적분 $I=\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ 의 값을 어림하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. b. $m=n=2$ 일 때, 영역 R 에서 함수 f 의 평균값을 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. c. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여, 부피가 $\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ 로 주어지는 입체와 평면 $z={f}_{\text{ave}}$ 의 그래프를 같은 좌표계에 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Consider the function $f(x,y)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}},$ where $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1].$

a. Use the midpoint rule with $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ to estimate the double integral $I=\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA.$ Round your answers to the nearest hundredths. b. For $m=n=2,$ find the average value of f over the region R. Round your answer to the nearest hundredths. c. Use a CAS to graph in the same coordinate system the solid whose volume is given by $\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ and the plane $z={f}_{\text{ave}}.$

정답·풀이 보기

a. $m=n=2$ 일 때, $I=4{e}^{-0.5}\approx 2.43$ b. ${f}_{\text{ave}}={e}^{-0.5}\simeq 0.61;$

c.

x축, y축, z축으로 이루어진 좌표공간에 z = 0.61 인 평면이 있고, 또 다른 도형이 있다. 이 도형은 대략 (0, 0, 0.92) 에서 최댓값을 가지며, 모든 가장자리를 따라 값이 감소하여 점 (±1, ±1, 0.12) 에 이른다.

원본 교재 풀이(영어)

a. For $m=n=2,$ $I=4{e}^{-0.5}\approx 2.43$ b. ${f}_{\text{ave}}={e}^{-0.5}\simeq 0.61;$

c.

In xyz space, a plane is formed at z = 0.61, and there is another shape with maximum roughly at (0, 0, 0.92), which decreases along all the sides to the points (plus or minus 1, plus or minus 1, 0.12).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 35번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

54.OpenStax 3권 · 5.1절 · 54번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 함수 $f(x,y)=\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2})$ 를 생각하세요. 여기서 $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1]$ 입니다.

a. $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ 으로 중점 규칙을 사용하여 이중적분 $I=\iint_{R}\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2})dA$ 의 값을 어림하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. b. $m=n=2$ 일 때, 영역 R 에서 f 의 평균값을 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. c. CAS를 사용하여 같은 좌표계에 $\iint_{R}\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2})dA$ 로 부피가 주어지는 입체와 평면 $z={f}_{\text{ave}}$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Consider the function $f(x,y)=\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2}),$ where $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1].$

a. Use the midpoint rule with $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ to estimate the double integral $I=\iint_{R}\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2})dA.$ Round your answers to the nearest hundredths. b. For $m=n=2,$ find the average value of f over the region R. Round your answer to the nearest hundredths. c. Use a CAS to graph in the same coordinate system the solid whose volume is given by $\iint_{R}\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2})dA$ and the plane $z={f}_{\text{ave}}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 53번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

55.OpenStax 3권 · 5.1절 · 55번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 ${f}_{n}$ 이 주어져 있다. 여기서 $n\ge 1$ 은 자연수이다.

a. 곡면 $z={f}_{n}(x,y)$ 아래쪽과 영역 R 위쪽에 있는 입체 ${S}_{n}$ 의 부피를 구하세요. b. n 이 한없이 커질 때 입체 ${S}_{n}$ 의 부피의 극한을 구하세요.

${f}_{n}(x,y)={x}^{n}+{y}^{n}+xy,(x,y)\in R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

영어 원문 보기

In the following exercises, the functions ${f}_{n}$ are given, where $n\ge 1$ is a natural number.

a. Find the volume of the solids ${S}_{n}$ under the surfaces $z={f}_{n}(x,y)$ and above the region R. b. Determine the limit of the volumes of the solids ${S}_{n}$ as n increases without bound.

${f}_{n}(x,y)={x}^{n}+{y}^{n}+xy,(x,y)\in R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

a. $\frac{2}{n+1}+\frac{1}{4}$ b. $\frac{1}{4}$

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{2}{n+1}+\frac{1}{4}$ b. $\frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 29번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

56.OpenStax 3권 · 5.1절 · 56번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 ${f}_{n}$ 이 주어져 있다. 여기서 $n\ge 1$ 은 자연수이다.

a. 곡면 $z={f}_{n}(x,y)$ 아래쪽과 영역 R 위쪽에 있는 입체 ${S}_{n}$ 의 부피를 구하세요. b. n 이 한없이 커질 때 입체 ${S}_{n}$ 의 부피의 극한을 구하세요.

${f}_{n}(x,y)=\frac{1}{{x}^{n}}+\frac{1}{{y}^{n}},(x,y)\in R=[1,2]\,\times \,[1,2]$

영어 원문 보기

In the following exercises, the functions ${f}_{n}$ are given, where $n\ge 1$ is a natural number.

a. Find the volume of the solids ${S}_{n}$ under the surfaces $z={f}_{n}(x,y)$ and above the region R. b. Determine the limit of the volumes of the solids ${S}_{n}$ as n increases without bound.

${f}_{n}(x,y)=\frac{1}{{x}^{n}}+\frac{1}{{y}^{n}},(x,y)\in R=[1,2]\,\times \,[1,2]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 49번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

57.OpenStax 3권 · 5.1절 · 57번대학 수준우리말 번역

직사각형 영역 $R=[a,b]\,\times \,[c,d]$ 위에서 함수 f 의 평균값이 ${f}_{\text{ave}}\approx \frac{1}{mn}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f\left({x}_{ij}^{*},{y}_{ij}^{*}\right)$ 임을 보이세요. 여기서 $\left({x}_{ij}^{*},{y}_{ij}^{*}\right)$ 는 R 의 분할에서의 표본점이고, $1\le i\le m$ , $1\le j\le n$ 이다.

영어 원문 보기

Show that the average value of a function f on a rectangular region $R=[a,b]\,\times \,[c,d]$ is ${f}_{\text{ave}}\approx \frac{1}{mn}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f\left({x}_{ij}^{*},{y}_{ij}^{*}\right),$ where $\left({x}_{ij}^{*},{y}_{ij}^{*}\right)$ are the sample points of the partition of R, where $1\le i\le m$ and $1\le j\le n.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 33번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

58.OpenStax 3권 · 5.1절 · 58번대학 수준우리말 번역

$m=n$ 인 중점 규칙을 사용하여, 직사각형 영역 $R=[a,b]\,\times \,[c,d]$ 위에서 함수 f 의 평균값이 다음과 같이 근사됨을 보이세요.

${f}_{\text{ave}}\approx \frac{1}{{n}^{2}}\sum_{i,j=1}^{n}f\left(\frac{1}{2}({x}_{i-1}+{x}_{i}),\frac{1}{2}({y}_{j-1}+{y}_{j})\right).$

영어 원문 보기

Use the midpoint rule with $m=n$ to show that the average value of a function f on a rectangular region $R=[a,b]\,\times \,[c,d]$ is approximated by

${f}_{\text{ave}}\approx \frac{1}{{n}^{2}}\sum_{i,j=1}^{n}f\left(\frac{1}{2}({x}_{i-1}+{x}_{i}),\frac{1}{2}({y}_{j-1}+{y}_{j})\right).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 13번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분증명·논술자동 분류

59.OpenStax 3권 · 5.1절 · 59번대학 수준우리말 번역

등온선 지도는 주어진 시점에 주어진 기간 동안 같은 온도를 갖는 점들을 이은 도표이다. 앞의 연습문제를 이용하고 $m=n=2$ 인 중점 규칙을 적용하여, 다음 그림에 주어진 영역의 평균 온도를 구하세요.

화씨 온도(도)로 표면 온도를 나타낸 등고선 지도이다. 이 지도에 중점 규칙을 적용하면 값이 71, 72, 40, 43인 직사각형들이 얻어진다.

영어 원문 보기

An isotherm map is a chart connecting points having the same temperature at a given time for a given period of time. Use the preceding exercise and apply the midpoint rule with $m=n=2$ to find the average temperature over the region given in the following figure.

A contour map showing surface temperature in degrees Fahrenheit. Given the map, the midpoint rule would give rectangles with values 71, 72, 40, and 43.

정답·풀이 보기

$56.5^\circ$ F; 여기서 $f\left({x}_{1}^{*},{y}_{1}^{*}\right)=71,$ $f\left({x}_{2}^{*},{y}_{1}^{*}\right)=72,$ $f\left({x}_{1}^{*},{y}_{2}^{*}\right)=40,$ $f\left({x}_{2}^{*},{y}_{2}^{*}\right)=43$ 이고, ${x}_{i}^{*}$ 와 ${y}_{j}^{*}$ 는 각각 $[a,b]$ 와 $[c,d]$ 의 분할에서 나뉜 부분 구간의 중점이다.

원본 교재 풀이(영어)

$56.5^\circ$ F; here $f\left({x}_{1}^{*},{y}_{1}^{*}\right)=71,$ $f\left({x}_{2}^{*},{y}_{1}^{*}\right)=72,$ $f\left({x}_{1}^{*},{y}_{2}^{*}\right)=40,$ $f\left({x}_{2}^{*},{y}_{2}^{*}\right)=43,$ where ${x}_{i}^{*}$ and ${y}_{j}^{*}$ are the midpoints of the subintervals of the partitions of $[a,b]$ and $[c,d],$ respectively.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 2번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

60.OpenStax 3권 · 5.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 그림과 같이 $y={x}^{3},$ $y={x}^{3}+1,$ $x=0,$ $x=1$ 로 둘러싸인 영역 $D$ .

y = 1 + x의 세제곱, y = x의 세제곱, x = 0, x = 1로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

The region $D$ bounded by $y={x}^{3},$ $y={x}^{3}+1,$ $x=0,$ and $x=1$ as given in the following figure.

A region is bounded by y = 1 + x cubed, y = x cubed, x = 0, and x = 1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 36번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

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