삼중적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

41.OpenStax 3권 · 5.4절 · 41번대학 수준우리말 번역

$x=0,x=1,y=0,y=3,z=0$ , 그리고 $z=5$ 로 결정되는 평행육면체 위에서 함수 $f(x,y,z)=x+y+z$ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the average value of the function $f(x,y,z)=x+y+z$ over the parallelepiped determined by $x=0,x=1,y=0,y=3,z=0,$ and $z=5.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{9}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{9}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 55번

# 삼중적분계산자동 분류

42.OpenStax 3권 · 5.4절 · 42번대학 수준우리말 번역

제1팔분공간에 놓인 입체 $E=[0,1]\,\times \,[0,1]\,\times \,[0,1]$ 위에서 함수 $f(x,y,z)=xyz$ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the average value of the function $f(x,y,z)=xyz$ over the solid $E=[0,1]\,\times \,[0,1]\,\times \,[0,1]$ situated in the first octant.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 16번

# 삼중적분계산자동 분류

43.OpenStax 3권 · 5.4절 · 43번대학 수준우리말 번역

평면 $x+y+z=9$ 아래에 놓여 있고, $xy$ 평면으로의 사영이 $x=\sqrt{y-1},x=0$ , 그리고 $x+y=7$ 로 둘러싸인 입체 $E$ 의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the solid $E$ that lies under the plane $x+y+z=9$ and whose projection onto the $xy$ -plane is bounded by $x=\sqrt{y-1},x=0,$ and $x+y=7.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{156}{5}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{156}{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 25번

# 삼중적분활용자동 분류

44.OpenStax 3권 · 5.4절 · 44번대학 수준우리말 번역

평면 $2x+y+z=8$ 아래에 놓여 있고 $xy$ 평면으로의 정사영이 $x={\sin }^{-1}y,y=0$ , 그리고 $x=\frac{\pi }{2}$ 로 둘러싸인 입체 E 의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the solid E that lies under the plane $2x+y+z=8$ and whose projection onto the $xy$ -plane is bounded by $x={\sin }^{-1}y,y=0,$ and $x=\frac{\pi }{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 31번

# 삼중적분활용자동 분류

45.OpenStax 3권 · 5.4절 · 45번대학 수준우리말 번역

밑면이 $xy$ 평면 위의 $[-2,2]\,\times \,[-2,2]$ 이고 꼭짓점이 점 $(0,0,8)$ 인 각뿔을 생각하세요.

a. 이 각뿔의 옆면을 포함하는 평면의 방정식이 $4y+z=8,$ $4y-z=-8,$ $4x+z=8,$ $-4x+z=8$ 임을 보이세요. b. 이 각뿔의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the pyramid with the base in the $xy$ -plane of $[-2,2]\,\times \,[-2,2]$ and the vertex at the point $(0,0,8).$

a. Show that the equations of the planes of the lateral faces of the pyramid are $4y+z=8,$ $4y-z=-8,$ $4x+z=8,$ and $-4x+z=8.$ b. Find the volume of the pyramid.

정답·풀이 보기

a. 답은 다양할 수 있다; b. $\frac{128}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

a. Answers may vary; b. $\frac{128}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 51번

# 삼중적분증명·논술자동 분류

46.OpenStax 3권 · 5.4절 · 46번대학 수준우리말 번역

밑면이 $xy$ 평면 위의 $[-3,3]\,\times \,[-3,3]$ 이고 꼭짓점이 점 $(0,0,9)$ 인 각뿔을 생각하세요.

a. 이 각뿔의 옆면을 포함하는 평면의 방정식이 다음과 같음을 보이세요. $3x+z=9,-3x+z=9,-3y+z=9,\text{ 그리고 }3y+z=9$ b. 이 각뿔의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the pyramid with the base in the $xy$ -plane of $[-3,3]\,\times \,[-3,3]$ and the vertex at the point $(0,0,9).$

a. Show that the equations of the planes of the side faces of the pyramid are $3x+z=9,-3x+z=9,-3y+z=9,\text{ and }3y+z=9$ b. Find the volume of the pyramid.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 35번

# 삼중적분증명·논술자동 분류

47.OpenStax 3권 · 5.4절 · 47번대학 수준우리말 번역

방정식 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={r}^{2}$ (단, $r>0$ ) 의 구로 둘러싸이고 제1팔분공간에 놓인 입체 $E$ 가 다음 그림에 나타나 있다.

원점이 중심이고 반지름이 2인 구의, x, y, z 가 양수인 부분인 8분의 1 구.

a. 먼저 $z$ 에 대해, 다음에 $y$ 에 대해, 그다음에 $x$ 에 대해 적분하여 $E$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 쓰세요. b. a의 적분을 다른 다섯 가지 순서의 같은 값을 갖는 적분으로 다시 쓰세요.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by the sphere of equation ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={r}^{2}$ with $r>0$ and located in the first octant is represented in the following figure.

The eighth of a sphere of radius 2 with center at the origin for positive x, y, and z.

a. Write the triple integral that gives the volume of $E$ by integrating first with respect to $z,$ then with $y,$ and then with $x.$ b. Rewrite the integral in part a. as an equivalent integral in five other orders.

정답·풀이 보기

a. $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dy\,dx;$ b. $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dx\,dy,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dx\,dz,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dz\,dx,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dy\,dz,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dz\,dy$

원본 교재 풀이(영어)

a. $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dy\,dx;$ b. $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dx\,dy,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dx\,dz,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dz\,dx,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dy\,dz,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dz\,dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.6절 · 3번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

48.OpenStax 3권 · 5.4절 · 48번대학 수준우리말 번역

방정식 $9{x}^{2}+4{y}^{2}+{z}^{2}=1$ 로 둘러싸이고 제1팔분공간에 놓인 입체 $E$ 가 다음 그림에 나타나 있다.

제1팔분공간에 있는 복잡한 모양의 도형으로, 원점이 중심이고 높이가 1, 폭이 0.5, 길이가 0.35인 대략 달걀 모양의 입체이다.

a. 먼저 $z$ 에 대해, 다음에 $y$ 에 대해, 그다음에 $x$ 에 대해 적분하여 $E$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 쓰세요. b. a의 적분을 다른 다섯 가지 순서의 같은 값을 갖는 적분으로 다시 쓰세요.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by the equation $9{x}^{2}+4{y}^{2}+{z}^{2}=1$ and located in the first octant is represented in the following figure.

In the first octant, a complex shape is shown that is roughly a solid ovoid with center the origin, height 1, width 0.5, and length 0.35.

a. Write the triple integral that gives the volume of $E$ by integrating first with respect to $z,$ then with $y,$ and then with $x.$ b. Rewrite the integral in part a. as an equivalent integral in five other orders.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 22번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

49.OpenStax 3권 · 5.4절 · 49번대학 수준우리말 번역

꼭짓점이 $(0,0,0),(2,0,0),(2,3,0),$ $(0,3,0),(0,0,1),\,\text{그리고}\,(2,0,1)$ 인 각기둥의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the prism with vertices $(0,0,0),(2,0,0),(2,3,0),$ $(0,3,0),(0,0,1),\,\text{and}\,(2,0,1).$

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정답·풀이 보기

$3$

원본 교재 풀이(영어)

$3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.6절 · 2번

# 삼중적분활용자동 분류

50.OpenStax 3권 · 5.4절 · 50번대학 수준우리말 번역

꼭짓점이 $(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),$ $(0,6,0),(0,0,1),\,\text{그리고}\,(4,0,1)$ 인 각기둥의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the prism with vertices $(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),$ $(0,6,0),(0,0,1),\,\text{and}\,(4,0,1).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 27번

# 삼중적분활용자동 분류

51.OpenStax 3권 · 5.4절 · 51번대학 수준우리말 번역

$z=10-2x-y$ 로 둘러싸이고 제1팔분공간에 놓인 입체 $E$ 가 다음 그림에 주어져 있습니다. 이 입체의 부피를 구하세요.

xy 평면, yz 평면, xz 평면과 꼭짓점이 (0, 0, 10), (5, 0, 0), (0, 10, 0)인 삼각형으로 둘러싸인 사면체.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by $z=10-2x-y$ and situated in the first octant is given in the following figure. Find the volume of the solid.

A tetrahedron bounded by the x y, y z, and x z planes and a triangle with vertices (0, 0, 10), (5, 0, 0), and (0, 10, 0).

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정답·풀이 보기

$\frac{250}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{250}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 53번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

52.OpenStax 3권 · 5.4절 · 52번대학 수준우리말 번역

$z=1-{x}^{2}$ 과 $y=5$ 로 둘러싸이고 제1팔분공간에 놓인 입체 $E$ 가 다음 그림에 주어져 있습니다. 이 입체의 부피를 구하세요.

높이 1, 폭 5, 길이 1인 제1팔분공간 안의 복잡한 모양. 이 모양은 반지름이 1이고 폭이 5인 원기둥의 4분의 1이 약간 찌그러진 것처럼 보인다.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by $z=1-{x}^{2}$ and $y=5$ and situated in the first octant is given in the following figure. Find the volume of the solid.

A complex shape in the first octant with height 1, width 5, and length 1. The shape appears to be a slightly deformed quarter of a cylinder of radius 1 and width 5.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 21번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

53.OpenStax 3권 · 5.4절 · 53번대학 수준우리말 번역

직육면체 상자 $B$ 위에서의 삼중적분 $\iiint_{B}f(x,y,z)dV$ 에 대한 중점 규칙은 이중적분에 대한 중점 규칙을 일반화한 것입니다. 영역 $B$ 를 크기가 같은 작은 상자들로 나누고, 적분을 삼중 리만 합 $\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}f\left(\overset{-}{{x}_{i}},\overset{-}{{y}_{j}},\overset{-}{{z}_{k}}\right)\Delta V$ 로 근사합니다. 여기서 $\left(\overset{-}{{x}_{i}},\overset{-}{{y}_{j}},\overset{-}{{z}_{k}}\right)$ 는 상자 ${B}_{ijk}$ 의 중심이고 $\Delta V$ 는 각 작은 상자의 부피입니다. 크기가 같은 정육면체 8개로 이루어진 분할을 사용하여, 입체 $B=\{(x,y,z)|0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1\}$ 위에서 $\iiint_{B}{x}^{2}dV$ 를 중점 규칙으로 어림하세요. 답은 반올림하여 소수 셋째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

The midpoint rule for the triple integral $\iiint_{B}f(x,y,z)dV$ over the rectangular solid box $B$ is a generalization of the midpoint rule for double integrals. The region $B$ is divided into subboxes of equal sizes and the integral is approximated by the triple Riemann sum $\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}f\left(\overset{-}{{x}_{i}},\overset{-}{{y}_{j}},\overset{-}{{z}_{k}}\right)\Delta V,$ where $\left(\overset{-}{{x}_{i}},\overset{-}{{y}_{j}},\overset{-}{{z}_{k}}\right)$ is the center of the box ${B}_{ijk}$ and $\Delta V$ is the volume of each subbox. Apply the midpoint rule to approximate $\iiint_{B}{x}^{2}dV$ over the solid $B=\{(x,y,z)|0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1\}$ by using a partition of eight cubes of equal size. Round your answer to three decimal places.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{5}{16}\approx 0.313$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{5}{16}\approx 0.313$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 39번

# 삼중적분활용자동 분류

54.OpenStax 3권 · 5.4절 · 54번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용]

a. 크기가 같은 정육면체 8개로 이루어진 분할을 이용하여, 입체 $B=\{(x,y,z)|0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1\}$ 위에서 $\iiint_{B}{e}^{-{x}^{2}}dV$ 의 근삿값을 중점 법칙으로 구하세요. 답은 반올림하여 소수 셋째 자리까지 나타내세요. b. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여, 크기가 같은 정육면체 ${n}^{3}$ 개로 이루어진 분할에서 위 적분의 근삿값을 개선하세요. 여기서 $n=3,4,\ldots ,\,10$ 입니다.

영어 원문 보기

[T]

a. Apply the midpoint rule to approximate $\iiint_{B}{e}^{-{x}^{2}}dV$ over the solid $B=\{(x,y,z)|0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1\}$ by using a partition of eight cubes of equal size. Round your answer to three decimal places. b. Use a CAS to improve the above integral approximation in the case of a partition of ${n}^{3}$ cubes of equal size, where $n=3,4,\ldots ,\,10.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 5번

# 삼중적분계산자동 분류

55.OpenStax 3권 · 5.4절 · 55번대학 수준우리말 번역

좌표평면과 $x+y+z=5$ 로 둘러싸인 입체 $E$ 의 점 $(x,y,z)$ 에서의 섭씨 온도가 $T(x,y,z)=xz+5z+10$ 이라고 하자. 이 입체에서의 평균 온도를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that the temperature in degrees Celsius at a point $(x,y,z)$ of a solid $E$ bounded by the coordinate planes and $x+y+z=5$ is $T(x,y,z)=xz+5z+10.$ Find the average temperature over the solid.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{35}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{35}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 27번

# 삼중적분활용자동 분류

56.OpenStax 3권 · 5.4절 · 56번대학 수준우리말 번역

좌표평면과 $x+y+z=5$ 로 둘러싸인 입체 $E$ 의 점 $(x,y,z)$ 에서의 화씨 온도가 $T(x,y,z)=x+y+xy$ 라고 하자. 이 입체에서의 평균 온도를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that the temperature in degrees Fahrenheit at a point $(x,y,z)$ of a solid $E$ bounded by the coordinate planes and $x+y+z=5$ is $T(x,y,z)=x+y+xy.$ Find the average temperature over the solid.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 53번

# 삼중적분활용자동 분류

57.OpenStax 3권 · 5.4절 · 57번대학 수준우리말 번역

삼중적분을 이용하여, 높이가 $h$ 이고 한 변의 길이가 $a$ 인 정사각뿔의 부피가 $v=\frac{h{a}^{2}}{3}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the volume of a right square pyramid of height $h$ and side length $a$ is $v=\frac{h{a}^{2}}{3}$ by using triple integrals.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.6절 · 1번

# 삼중적분증명·논술자동 분류

58.OpenStax 3권 · 5.4절 · 58번대학 수준우리말 번역

삼중적분을 이용하여, 모서리의 길이가 $a$ 인 정육각기둥의 부피가 $\frac{3{a}^{3}\sqrt{3}}{2}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the volume of a regular right hexagonal prism of edge length $a$ is $\frac{3{a}^{3}\sqrt{3}}{2}$ by using triple integrals.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 6번

# 삼중적분증명·논술자동 분류

59.OpenStax 3권 · 5.4절 · 59번대학 수준우리말 번역

삼중적분을 이용하여 모서리의 길이가 $a$ 인 정육각뿔의 부피가 $\frac{{a}^{3}\sqrt{3}}{2}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the volume of a regular right hexagonal pyramid of edge length $a$ is $\frac{{a}^{3}\sqrt{3}}{2}$ by using triple integrals.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 15번

# 삼중적분증명·논술자동 분류

60.OpenStax 3권 · 5.4절 · 60번대학 수준우리말 번역

입체 $E$ 의 임의의 점 $(x,y,z)$ 에서의 전하 밀도가 함수 $\rho (x,y,z)$ 로 주어지면, 그 입체 안의 전체 전하는 삼중적분 $\iiint_{E}\rho (x,y,z)dV$ 로 정의된다. 포물면 $x=5-{y}^{2}-{z}^{2}$ 과 $x={y}^{2}+{z}^{2}-5$ 로 둘러싸인 입체 $E$ 의 전하 밀도가 $E$ 의 임의의 점에서 원점까지의 거리와 같다고 하자. 입체 $E$ 안의 전체 전하를 나타내는 적분을 세우세요.

영어 원문 보기

If the charge density at an arbitrary point $(x,y,z)$ of a solid $E$ is given by the function $\rho (x,y,z),$ then the total charge inside the solid is defined as the triple integral $\iiint_{E}\rho (x,y,z)dV.$ Assume that the charge density of the solid $E$ enclosed by the paraboloids $x=5-{y}^{2}-{z}^{2}$ and $x={y}^{2}+{z}^{2}-5$ is equal to the distance from an arbitrary point of $E$ to the origin. Set up the integral that gives the total charge inside the solid $E.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 5번

# 삼중적분계산자동 분류