삼중적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

61.APEX · 13.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

삼중적분의 적분 구간을 정하는 전략은 “_____에서 _____, _____에서 _____, 그리고 _____에서 _____”이다.

영어 원문 보기

The strategy for establishing bounds for triple integrals is “_____ to _____, _____ to _____ and _____ to _____.”

정답·풀이 보기

곡면에서 곡면, 곡선에서 곡선, 그리고 점에서 점

원본 교재 풀이(영어)

surface to surface, curve to curve and point to point

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 3번

# 삼중적분개념 확인자동 분류

62.APEX · 13.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

“ $\displaystyle \iiint_D\ dV$ ”가 무엇을 뜻하는지 비형식적으로 해석해 보세요.

영어 원문 보기

Give an informal interpretation of what “ $\displaystyle \iiint_D\ dV$ ” means.

정답·풀이 보기

가능한 답 중 하나는 “ $D$ 위의 아주 작은 부피들을 모두 더한다.”이다.

원본 교재 풀이(영어)

One possible answer is “sum up lots of little volumes over $D$ .”

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.6절 · 1번

# 삼중적분개념 확인자동 분류

63.APEX · 13.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

삼중적분의 활용 두 가지를 말하세요.

영어 원문 보기

Give two uses of triple integration.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 이 절에서는 삼중적분을 이용하여 입체 영역의 부피, 입체의 질량, 입체의 질량중심을 구하였다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers can vary. From this section we used triple integration to find the volume of a solid region, the mass of a solid, and the center of mass of a solid.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 29번

# 삼중적분개념 확인자동 분류

64.APEX · 13.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

어떤 물체의 밀도가 상수 $\delta$ 이고 부피가 $V$ 일 때, 이 물체의 질량은 얼마입니까?

영어 원문 보기

If an object has a constant density $\delta$ and a volume $V$ , what is its mass?

정답·풀이 보기

$\delta V$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\delta V$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 21번

# 삼중적분개념 확인자동 분류

65.APEX · 13.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~8에서 두 곡면 $f_1(x,y)$ 와 $f_2(x,y)$ 및 $x$ , $y$ 평면 위의 영역 $R$ 이 주어져 있다. $R$ 위에서 이 두 곡면 사이의 부피를 구하는 이중적분을 세우고 그 값을 구하세요.

$f_1(x,y) = 8-x^2-y^2$ , $f_2(x,y) = 2x+y$ ;

$R$ 은 꼭짓점이 $(-1,-1)$ 과 $(1,1)$ 인 정사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, two surfaces $f_1(x,y)$ and $f_2(x,y)$ and a region $R$ in the $x$ , $y$ plane are given. Set up and evaluate the double integral that finds the volume between these surfaces over $R$ .

$f_1(x,y) = 8-x^2-y^2$ , $f_2(x,y) = 2x+y$ ;

$R$ is the square with corners $(-1,-1)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$V = \int_{-1}^1\int_{-1}^1 \big(8-x^2-y^2-(2x+y)\big)\ dx\ dy = 88/3$

원본 교재 풀이(영어)

$V = \int_{-1}^1\int_{-1}^1 \big(8-x^2-y^2-(2x+y)\big)\ dx\ dy = 88/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 6번

# 삼중적분계산자동 분류

66.APEX · 13.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 두 곡면 $f_1(x,y)$ , $f_2(x,y)$ 와 $x$ , $y$ 평면 위의 영역 $R$ 이 주어져 있다. $R$ 위에서 이 두 곡면 사이의 부피를 구하는 이중적분을 세우고 그 값을 구하세요.

$f_1(x,y) = x^2+y^2$ , $f_2(x,y) = -x^2-y^2$ ;

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ 과 $(2,3)$ 인 정사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, two surfaces $f_1(x,y)$ and $f_2(x,y)$ and a region $R$ in the $x$ , $y$ plane are given. Set up and evaluate the double integral that finds the volume between these surfaces over $R$ .

$f_1(x,y) = x^2+y^2$ , $f_2(x,y) = -x^2-y^2$ ;

$R$ is the square with corners $(0,0)$ and $(2,3)$ .

정답·풀이 보기

$V = \int_{0}^2\int_{0}^3 \big(x^2+y^2-(-x^2-y^2)\big)\ dy\ dx = 52$

원본 교재 풀이(영어)

$V = \int_{0}^2\int_{0}^3 \big(x^2+y^2-(-x^2-y^2)\big)\ dy\ dx = 52$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 55번

# 삼중적분계산자동 분류

67.APEX · 13.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 두 곡면 $f_1(x,y)$ , $f_2(x,y)$ 와 $x$ , $y$ 평면 위의 영역 $R$ 이 주어져 있다. $R$ 위에서 이 두 곡면 사이의 부피를 구하는 이중적분을 세우고 그 값을 구하세요.

$f_1(x,y) = \sin x\cos y$ , $f_2(x,y) = \cos x\sin y+2$ ;

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(\pi,0)$ , $(\pi,\pi)$ 인 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, two surfaces $f_1(x,y)$ and $f_2(x,y)$ and a region $R$ in the $x$ , $y$ plane are given. Set up and evaluate the double integral that finds the volume between these surfaces over $R$ .

$f_1(x,y) = \sin x\cos y$ , $f_2(x,y) = \cos x\sin y+2$ ;

$R$ is the triangle with corners $(0,0)$ , $(\pi,0)$ and $(\pi,\pi)$ .

정답·풀이 보기

$V = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^x \big(\cos x\sin y+2-\sin x\cos y\big)\ dy\ dx = \pi^2-\pi\approx 6.728$

원본 교재 풀이(영어)

$V = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^x \big(\cos x\sin y+2-\sin x\cos y\big)\ dy\ dx = \pi^2-\pi\approx 6.728$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 43번

# 삼중적분계산자동 분류

68.APEX · 13.6절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 두 곡면 $f_1(x,y)$ , $f_2(x,y)$ 와 $x$ , $y$ 평면 위의 영역 $R$ 이 주어져 있다. $R$ 위에서 이 두 곡면 사이의 부피를 구하는 이중적분을 세우고 그 값을 구하세요.

$f_1(x,y) = 2x^2+2y^2+3$ , $f_2(x,y) = 6-x^2-y^2$ ;

$R$ 은 $x^2+y^2=1$ 로 둘러싸인 원판이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, two surfaces $f_1(x,y)$ and $f_2(x,y)$ and a region $R$ in the $x$ , $y$ plane are given. Set up and evaluate the double integral that finds the volume between these surfaces over $R$ .

$f_1(x,y) = 2x^2+2y^2+3$ , $f_2(x,y) = 6-x^2-y^2$ ;

$R$ is the disk bounded by $x^2+y^2=1$ .

정답·풀이 보기

$V = \int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \big(6-x^2-y^2-(2x^2+2y^2+3))\ dy\ dx$ . 극좌표로 적분하는 것이 더 쉬우며, $V = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \big(3-3r^2\big)r\ dr\ d\theta = 3\pi/2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$V = \int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \big(6-x^2-y^2-(2x^2+2y^2+3))\ dy\ dx$ . Integrating in polar is easier, giving $V = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \big(3-3r^2\big)r\ dr\ d\theta = 3\pi/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 51번

# 삼중적분계산자동 분류

69.APEX · 13.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 영역 $D$ 가 그것을 둘러싸는 곡면들과 그래프로 주어져 있다. 6가지 적분 순서 모두에 대하여 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지정된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 좌표평면과

$z=2-2x/3-2y$

로 둘러싸여 있다.

적분 순서 $dz\ dy\ dx$ 로 삼중적분을 계산하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the coordinate planes and

$z=2-2x/3-2y$ .

Evaluate the triple integral with order $dz\ dy\ dx$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{1-x/3}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{3-3y}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{2-2x/3}\int_0^{1-x/3-z/2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{3-3z/2}\int_0^{1-x/3-z/2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{2-2y}\int_0^{3-3y-3z/2}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{1-z/2}\int_0^{3-3y-3z/2}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^3\int_0^{1-x/3}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dy\ dx =1.$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{1-x/3}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{3-3y}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{2-2x/3}\int_0^{1-x/3-z/2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{3-3z/2}\int_0^{1-x/3-z/2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{2-2y}\int_0^{3-3y-3z/2}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{1-z/2}\int_0^{3-3y-3z/2}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^3\int_0^{1-x/3}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dy\ dx =1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.6절 · 3번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

70.APEX · 13.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 영역 $D$ 가 그것을 둘러싸는 곡면들과 그래프로 주어져 있다. 6가지 적분 순서 모두에 대하여 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지정된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 평면 $y=0$ , $y=2$ , $x=1$ , $z=0$ 과

$z=(3-x)/2$

로 둘러싸여 있다.

적분 순서 $dx\ dy\ dz$ 로 삼중적분을 계산하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the planes $y=0$ , $y=2$ , $x=1$ , $z=0$ and

$z=(3-x)/2$ .

Evaluate the triple integral with order $dx\ dy\ dz$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_1^3\int_0^{2}\int_0^{(3-x)/2}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_0^2\int_1^{3}\int_0^{(3-x)/2}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_1^3\int_0^{(3-x)/2}\int_0^{2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_1^{3-2z}\int_0^{2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{1}\int_1^{3-2z}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{2}\int_1^{3-2z}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^1\int_0^{2}\int_1^{3-2z}\ dx\ dy\ dz =2.$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_1^3\int_0^{2}\int_0^{(3-x)/2}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_0^2\int_1^{3}\int_0^{(3-x)/2}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_1^3\int_0^{(3-x)/2}\int_0^{2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_1^{3-2z}\int_0^{2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{1}\int_1^{3-2z}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{2}\int_1^{3-2z}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^1\int_0^{2}\int_1^{3-2z}\ dx\ dy\ dz =2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 25번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

71.APEX · 13.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서는 영역 $D$ 가 그것을 둘러싼 곡면들과 그래프로 주어진다. 6가지 적분 순서 모두에 대하여 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지시된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 평면 $x=0$ , $x=2$ , $z=-y$ 와

$z=y^2/2$ 로 둘러싸여 있다.

적분 순서 $dy\ dz\ dx$ 인 삼중적분을 계산하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the planes $x=0$ , $x=2$ , $z=-y$ and by

$z=y^2/2$ .

Evaluate the triple integral with the order $dy\ dz\ dx$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{-2}^{0}\int_{y^2/2}^{-y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{-2}^0\int_0^{2}\int_{y^2/2}^{-y}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{-2}^0\int_{y^2/2}^{-y}\int_0^{2}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\int_0^{2}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dz\ dx =4/3.$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{-2}^{0}\int_{y^2/2}^{-y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{-2}^0\int_0^{2}\int_{y^2/2}^{-y}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{-2}^0\int_{y^2/2}^{-y}\int_0^{2}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\int_0^{2}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dz\ dx =4/3.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 21번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

72.APEX · 13.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서는 영역 $D$ 가 그것을 둘러싼 곡면들과 그래프로 주어진다. 6가지 적분 순서 모두에 대하여 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지시된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 평면 $z=0$ , $y=9$ , $x=0$ 과

$z=\sqrt{y^2-9x^2}$ 로 둘러싸여 있다.

어떤 삼중적분도 계산하지 마세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the planes $z=0$ , $y=9$ , $x=0$ and by

$z=\sqrt{y^2-9x^2}$ .

Do not evaluate any triple integral.

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_{3x}^{9}\int_{0}^{\sqrt{y^2-9x^2}}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^9\int_0^{y/3}\int_{0}^{\sqrt{y^2-9x^2}}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{\sqrt{81-9x^2}}\int_{\sqrt{z^2+9x^2}}^{9}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^9\int_0^{\sqrt{9-z^2/9}}\int_{\sqrt{z^2+9x^2}}^{9}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^9\int_{0}^{y}\int_0^{\frac13\sqrt{y^2-z^2}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^9\int_{z}^{9}\int_0^{\frac13\sqrt{y^2-z^2}}\ dx\ dy\ dz$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_{3x}^{9}\int_{0}^{\sqrt{y^2-9x^2}}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^9\int_0^{y/3}\int_{0}^{\sqrt{y^2-9x^2}}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{\sqrt{81-9x^2}}\int_{\sqrt{z^2+9x^2}}^{9}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^9\int_0^{\sqrt{9-z^2/9}}\int_{\sqrt{z^2+9x^2}}^{9}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^9\int_{0}^{y}\int_0^{\frac13\sqrt{y^2-z^2}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^9\int_{z}^{9}\int_0^{\frac13\sqrt{y^2-z^2}}\ dx\ dy\ dz$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 27번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

73.APEX · 13.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서, 정의역 $D$ 가 경계가 되는 곡면과 그래프로 주어집니다. 6가지 적분 순서 모두에 대해 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지정된 삼중적분의 값을 구하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 평면 $x=2$ , $y=1$ , $z=0$ 및

$z=2x+4y-4$ 로 유계입니다.

적분 순서가 $dx\ dy\ dz$ 인 삼중적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the planes $x=2$ , $y=1$ , $z=0$ and

$z=2x+4y-4$ .

Evaluate the triple integral with the order $dx\ dy\ dz$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{1-x/2}^{1}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{2-2y}^{2}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2x}\int_{z/4-x/2+1}^{1}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^4\int_{z/2}^{2}\int_{z/4-x/2+1}^{1}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{4y}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^4\int_{z/4}^{1}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^4\int_{z/4}^{1}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dy\ dz = 4/3.$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{1-x/2}^{1}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{2-2y}^{2}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2x}\int_{z/4-x/2+1}^{1}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^4\int_{z/2}^{2}\int_{z/4-x/2+1}^{1}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{4y}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^4\int_{z/4}^{1}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^4\int_{z/4}^{1}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dy\ dz = 4/3.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 29번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

74.APEX · 13.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 정의역 $D$ 가 그것을 둘러싸는 곡면들과 그래프로 주어진다. 6가지 적분 순서 모두에 대해 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지시된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 평면 $z=2y$ 와 $y=4-x^2$ 으로 유계이다.

적분 순서 $dz\ dy\ dx$ 로 삼중적분을 계산하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the plane $z=2y$ and by $y=4-x^2$ .

Evaluate the triple integral with the order $dz\ dy\ dx$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{-2}^2\int_{0}^{4-x^2}\int_{0}^{2y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^4\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{-2}^2\int_0^{8-2x^2}\int_{z/2}^{4-x^2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^8\int_{-\sqrt{4-z/2}}^{\sqrt{4-z/2}}\int_{z/2}^{4-x^2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^4\int_{0}^{2y}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^8\int_{z/2}^{4}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_{-2}^2\int_{0}^{4-x^2}\int_{0}^{2y}\ dz\ dy\ dx = 512/15.$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{-2}^2\int_{0}^{4-x^2}\int_{0}^{2y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^4\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{-2}^2\int_0^{8-2x^2}\int_{z/2}^{4-x^2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^8\int_{-\sqrt{4-z/2}}^{\sqrt{4-z/2}}\int_{z/2}^{4-x^2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^4\int_{0}^{2y}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^8\int_{z/2}^{4}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_{-2}^2\int_{0}^{4-x^2}\int_{0}^{2y}\ dz\ dy\ dx = 512/15.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 21번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

75.APEX · 13.6절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 9~16에서 정의역 $D$ 는 경계가 되는 곡면과 그래프로 주어진다. 6가지 적분 순서 모두에 대해 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지정된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 좌표평면과

$y=1-x^2$ 및 $y=1-z^2$ 으로 유계이다.

삼중적분을 계산하지 마세요. $dz\ dy\ dx$ 와 $dy\ dz\ dx$ 중 어느 순서가 계산하기 더 쉬운지 쓰고, 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the coordinate planes and by

$y=1-x^2$ and $y=1-z^2$ .

Do not evaluate any triple integral. Which order is easier to evaluate: $dz\ dy\ dx$ or $dy\ dz\ dx$ ? Explain why.

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{1-x^2}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_0^{x}\int_{0}^{1-x^2}\ dy\ dz\ dx + \int_{0}^1\int_x^{1}\int_{0}^{1-z^2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{z}\int_{0}^{1-z^2}\ dy\ dx\ dz+\int_0^1\int_{z}^{1}\int_{0}^{1-x^2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{1-z^2}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dx\ dy\ dz$

답은 다양할 수 있다. 어느 순서도 특별히 “어렵다”고 할 수는 없다. $dz\ dy\ dx$ 순서는 제곱근을 적분해야 하므로 거듭제곱 계산이 복잡해질 수 있다. $dy\ dz\ dx$ 순서는 삼중적분이 두 개 필요하지만, 각각 다항식만 사용한다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{1-x^2}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_0^{x}\int_{0}^{1-x^2}\ dy\ dz\ dx + \int_{0}^1\int_x^{1}\int_{0}^{1-z^2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{z}\int_{0}^{1-z^2}\ dy\ dx\ dz+\int_0^1\int_{z}^{1}\int_{0}^{1-x^2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{1-z^2}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dx\ dy\ dz$

Answers will vary. Neither order is particularly “hard.” The order $dz\ dy\ dx$ requires integrating a square root, so powers can be messy; the order $dy\ dz\ dx$ requires two triple integrals, but each uses only polynomials.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 25번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

76.APEX · 13.6절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 9~16에서 정의역 $D$ 는 경계가 되는 곡면과 그래프로 주어진다. 6가지 적분 순서 모두에 대해 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지정된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 좌표평면과

$z=1-y/3$ 및 $z=1-x$ 로 유계이다.

적분 순서가 $dx\ dy\ dz$ 인 삼중적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the coordinate planes and by

$z=1-y/3$ and $z=1-x$ .

Evaluate the triple integral with order $dx\ dy\ dz$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{3x}\int_{0}^{1-x}\ dz\ dy\ dx+\int_{0}^1\int_{3x}^{3}\int_{0}^{1-y/3}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^3\int_{0}^{y/3}\int_{0}^{1-y/3}\ dz\ dy\ dx+\int_{0}^3\int_{y/3}^{1}\int_{0}^{1-x}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_0^{1-x}\int_{0}^{3-3z}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{1-z}\int_{0}^{3-3z}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^3\int_{0}^{1-y/3}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{3-3z}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^1\int_{0}^{3-3z}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dy\ dz = 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{3x}\int_{0}^{1-x}\ dz\ dy\ dx+\int_{0}^1\int_{3x}^{3}\int_{0}^{1-y/3}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^3\int_{0}^{y/3}\int_{0}^{1-y/3}\ dz\ dy\ dx+\int_{0}^3\int_{y/3}^{1}\int_{0}^{1-x}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_0^{1-x}\int_{0}^{3-3z}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{1-z}\int_{0}^{3-3z}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^3\int_{0}^{1-y/3}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{3-3z}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^1\int_{0}^{3-3z}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dy\ dz = 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 5번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

77.APEX · 13.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17~20에서 삼중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^\pi\int_0^\pi\big(\cos x\sin y\sin z\big)\ dz\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, evaluate the triple integral.

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^\pi\int_0^\pi\big(\cos x\sin y\sin z\big)\ dz\ dy\ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

8

원본 교재 풀이(영어)

8

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 18번

# 삼중적분계산자동 분류

78.APEX · 13.6절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17~20에서 삼중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_0^x\int_0^{x+y}\big(x+y+z\big)\ dz\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, evaluate the triple integral.

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_0^x\int_0^{x+y}\big(x+y+z\big)\ dz\ dy\ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$7/8$

원본 교재 풀이(영어)

$7/8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 17번

# 삼중적분계산자동 분류

79.APEX · 13.6절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17~20에서 삼중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\big(\sin(yz)\big)\ dx\ dy\ dz$

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, evaluate the triple integral.

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\big(\sin(yz)\big)\ dx\ dy\ dz$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 20번

# 삼중적분계산자동 분류

80.APEX · 13.6절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 삼중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{\pi}^{\pi^2}\int_{x}^{x^3}\int_{-y^2}^{y^2}\left(z\frac{x^2y+y^2x}{e^{x^2+y^2}}\right)\ dz\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, evaluate the triple integral.

$\displaystyle \int_{\pi}^{\pi^2}\int_{x}^{x^3}\int_{-y^2}^{y^2}\left(z\frac{x^2y+y^2x}{e^{x^2+y^2}}\right)\ dz\ dy\ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 19번

# 삼중적분계산자동 분류