매개변수 곡선의 미적분 연습문제

41.OpenStax 2권 · 7.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ 에서 $x=2\,{\sin }^{2}\theta ,y=2\,{\sin }^{2}\theta \,\tan \,\theta$ 로 유계인 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the region bounded by $x=2\,{\sin }^{2}\theta ,y=2\,{\sin }^{2}\theta \,\tan \,\theta ,$ for $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{3\pi }{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{3\pi }{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 12번

# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류

42.OpenStax 2권 · 7.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 매개변수 곡선과 주어진 매개변수의 값의 범위로 유계인 영역의 넓이를 구하세요.

$x=2\,\cot \,\theta ,y=2\,{\sin }^{2}\theta ,0\le \theta \le \pi$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area of the regions bounded by the parametric curves and the indicated values of the parameter.

$x=2\,\cot \,\theta ,y=2\,{\sin }^{2}\theta ,0\le \theta \le \pi$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.3절 · 1번

# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류

43.OpenStax 2권 · 7.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 매개변수 곡선과 주어진 매개변수 값의 범위로 유계인 영역의 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $x=a\,\sin (2t),y=b\,\sin (t),0\le t<2\pi$ (“모래시계”)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area of the regions bounded by the parametric curves and the indicated values of the parameter.

[T] $x=a\,\sin (2t),y=b\,\sin (t),0\le t<2\pi$ (the “hourglass”)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 22번

# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류

44.OpenStax 2권 · 7.2절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수 곡선과 매개변수의 주어진 값으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $x=2a\,\cos \,t-a\,\sin (2t),y=b\,\sin \,t,0\le t<2\pi$ (“물방울 모양”)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area of the regions bounded by the parametric curves and the indicated values of the parameter.

[T] $x=2a\,\cos \,t-a\,\sin (2t),y=b\,\sin \,t,0\le t<2\pi$ (the “teardrop”)

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2\pi ab$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi ab$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 24번

# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류

45.OpenStax 2권 · 7.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수의 주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

$x=4t+3,\quad y=3t-2,\quad 0\le t\le 2$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the arc length of the curve on the indicated interval of the parameter.

$x=4t+3,\quad y=3t-2,\quad 0\le t\le 2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 18번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

46.OpenStax 2권 · 7.2절 · 48번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수의 주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

$\begin{array}{ccc}x=\frac{1}{3}{t}^{3}, & y=\frac{1}{2}{t}^{2}, & 0\le t\le 1\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the arc length of the curve on the indicated interval of the parameter.

$\begin{array}{ccc}x=\frac{1}{3}{t}^{3}, & y=\frac{1}{2}{t}^{2}, & 0\le t\le 1\end{array}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 34번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

47.OpenStax 2권 · 7.2절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수의 주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

$\begin{array}{ccc}x=\cos (2t), & y=\sin (2t), & 0\le t\le \frac{\pi }{2}\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the arc length of the curve on the indicated interval of the parameter.

$\begin{array}{ccc}x=\cos (2t), & y=\sin (2t), & 0\le t\le \frac{\pi }{2}\end{array}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 12번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

48.OpenStax 2권 · 7.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수의 주어진 구간에 대해 곡선의 길이를 구하세요.

$\begin{array}{ccc}x=1+{t}^{2}, & y={(1+t)}^{3}, & 0\le t\le 1\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the arc length of the curve on the indicated interval of the parameter.

$\begin{array}{ccc}x=1+{t}^{2}, & y={(1+t)}^{3}, & 0\le t\le 1\end{array}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$7.075$

원본 교재 풀이(영어)

$7.075$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 36번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

49.OpenStax 2권 · 7.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

$\begin{array}{ccc}x={e}^{t}\cos \,t, & y={e}^{t}\sin \,t, & 0\le t\le \frac{\pi }{2}\end{array}$ (이 문제는 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 풀고, 답을 소수 셋째 자리까지 반올림하여 나타내세요.)

영어 원문 보기

$\begin{array}{ccc}x={e}^{t}\cos \,t, & y={e}^{t}\sin \,t, & 0\le t\le \frac{\pi }{2}\end{array}$ (Use a CAS for this and express the answer as a decimal rounded to three places.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 44번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

50.OpenStax 2권 · 7.2절 · 52번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 매개변수의 주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

구간 $[0,2\pi )$ 에서 $x=a\,{\cos }^{3}\theta ,y=a\,{\sin }^{3}\theta$ (하이포사이클로이드)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the arc length of the curve on the indicated interval of the parameter.

$x=a\,{\cos }^{3}\theta ,y=a\,{\sin }^{3}\theta$ on the interval $[0,2\pi )$ (the hypocycloid)

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정답·풀이 보기

$6a$

원본 교재 풀이(영어)

$6a$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 48번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

51.OpenStax 2권 · 7.2절 · 53번대학 수준우리말 번역

사이클로이드 $x=4(t-\sin \,t),y=4(1-\cos \,t)$ 의 한 아치의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the length of one arch of the cycloid $x=4(t-\sin \,t),y=4(1-\cos \,t).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 42번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

52.OpenStax 2권 · 7.2절 · 54번대학 수준우리말 번역

주어진 시간 구간에서 t 가 변할 때, 위치가 $(x,y)$ 인 입자가 이동한 거리를 구하세요: $\begin{array}{ccc}x={\sin }^{2}t, & y={\cos }^{2}t, & 0\le t\le 3\pi \end{array}.$

영어 원문 보기

Find the distance traveled by a particle with position $(x,y)$ as t varies in the given time interval: $\begin{array}{ccc}x={\sin }^{2}t, & y={\cos }^{2}t, & 0\le t\le 3\pi \end{array}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$6\sqrt{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$6\sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 46번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

53.OpenStax 2권 · 7.2절 · 55번대학 수준우리말 번역

사이클로이드 $x=\theta -\sin \,\theta ,y=1-\cos \,\theta$ 의 한 아치의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the length of one arch of the cycloid $x=\theta -\sin \,\theta ,y=1-\cos \,\theta .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 20번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

54.OpenStax 2권 · 7.2절 · 56번대학 수준우리말 번역

타원 $x=4\,\sin \,\theta ,y=3\,\cos \,\theta$ 의 전체 길이가 $L=16{\int }_{0}^{\pi /2}\sqrt{1-{e}^{2}{\sin }^{2}\theta }\,d\theta$ 임을 보이세요. 여기서 $e=\frac{c}{a}$ 이고 $c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$ 이다.

영어 원문 보기

Show that the total length of the ellipse $x=4\,\sin \,\theta ,y=3\,\cos \,\theta$ is $L=16{\int }_{0}^{\pi /2}\sqrt{1-{e}^{2}{\sin }^{2}\theta }\,d\theta ,$ where $e=\frac{c}{a}$ and $c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 38번

# 매개변수 곡선의 미적분증명·논술자동 분류

55.OpenStax 2권 · 7.2절 · 57번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 매개변수 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

곡선 $x={e}^{t}-t,y=4{e}^{t/2},-8\le t\le 3$ 의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the arc length of the curve on the indicated interval of the parameter.

Find the length of the curve $x={e}^{t}-t,y=4{e}^{t/2},-8\le t\le 3.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 24번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

56.OpenStax 2권 · 7.2절 · 58번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 곡선을 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면의 넓이를 구하세요.

$\begin{array}{ccc}x={t}^{3}, & y={t}^{2}, & 0\le t\le 1\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area of the surface obtained by rotating the given curve about the x-axis.

$\begin{array}{ccc}x={t}^{3}, & y={t}^{2}, & 0\le t\le 1\end{array}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{2\pi \left(247\sqrt{13}+64\right)}{1215}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{2\pi \left(247\sqrt{13}+64\right)}{1215}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 8번

# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류

57.OpenStax 2권 · 7.2절 · 59번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 곡선을 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면의 넓이를 구하세요.

$\begin{array}{ccc}x=a\,{\cos }^{3}\theta , & y=a\,{\sin }^{3}\theta , & 0\le \theta \le \end{array}\frac{\pi }{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area of the surface obtained by rotating the given curve about the x-axis.

$\begin{array}{ccc}x=a\,{\cos }^{3}\theta , & y=a\,{\sin }^{3}\theta , & 0\le \theta \le \end{array}\frac{\pi }{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 20번

# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류

58.OpenStax 2권 · 7.2절 · 60번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 $x=t+{t}^{3},y=t-\frac{1}{{t}^{2}},1\le t\le 2$ 를 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 생기는 곡면의 넓이를 구하세요. (답은 소수 셋째 자리까지 나타내세요.)

영어 원문 보기

[T] Use a CAS to find the area of the surface generated by rotating $x=t+{t}^{3},y=t-\frac{1}{{t}^{2}},1\le t\le 2$ about the x-axis. (Answer to three decimal places.)