수열의 극한 전체 연습문제

121.OpenStax 2권 · 5.2절 · 56번우리말 번역

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 처음 나오기 전까지 던지는 횟수가 3의 배수일 확률을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find the probability that a fair coin is flipped a multiple of three times before coming up heads.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 47번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

122.OpenStax 2권 · 5.2절 · 58번우리말 번역

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 3의 배수 번째 던지기에서 일어날 확률을 나타내는 급수를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find a series that expresses the probability that a fair coin will come up heads for the second time on a multiple of three flips.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 급수의 수렴과 발산활용자동 분류

123.OpenStax 2권 · 5.2절 · 59번우리말 번역

[계산기 사용] 공정한 동전이 앞면이 나오는 횟수의 기댓값은, $n=1,2,\ldots$ 에 대해 $n$ 에 동전이 연속으로 정확히 $n$ 번 앞면이 나올 확률, 즉 $n/{2}^{n+1}$ 을 곱한 값들의 합으로 정의됩니다. 공정한 동전이 연속으로 앞면이 나오는 횟수의 기댓값을 계산하세요.

영어 원문 보기

[T] The expected number of times that a fair coin will come up heads is defined as the sum over $n=1,2,\ldots$ of $n$ times the probability that the coin will come up heads exactly $n$ times in a row, or $n/{2}^{n+1}.$ Compute the expected number of consecutive times that a fair coin will come up heads.

정답·풀이 보기

$E=\sum_{n=1}^{\infty }n/{2}^{n+1}=1$ 이며, 이는 부분합산법을 이용하여 보일 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

$E=\sum_{n=1}^{\infty }n/{2}^{n+1}=1,$ as can be shown using summation by parts

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# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

124.OpenStax 2권 · 5.2절 · 62번우리말 번역

[계산기 사용] 어떤 약물은 평균적인 환자의 몸속에 체중 1 kg당 적어도 $1$ mg이 있어야만 효과가 있고, 평균적인 환자의 몸속에 체중 1 kg당 많아야 $2$ mg이 있어야만 안전하다. 투약 후 환자의 몸속에 있는 약물의 양이 매시간 $0.9$ 의 일정한 비율로 곱해져 줄어든다고 하자. 이 약물을 장기적으로 안전하고 효과적으로 사용할 수 있도록 하는, 투약 간격의 최대 시간 $N$ 과, 이 $N$ 에 대응하는 투약량의 범위 $d$ (단위: mg/kg)를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A certain drug is effective for an average patient only if there is at least $1$ mg per kg in the patient’s system, while it is safe only if there is at most $2$ mg per kg in an average patient’s system. Suppose that the amount in a patient’s system diminishes by a multiplicative factor of $0.9$ each hour after a dose is administered. Find the maximum interval $N$ of hours between doses, and corresponding dose range $d$ (in mg/kg) for this $N$ that will enable use of the drug to be both safe and effective in the long term.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 급수의 수렴과 발산활용자동 분류

125.OpenStax 2권 · 5.2절 · 63번우리말 번역

${a}_{n}\ge 0$ 이 수의 수열이라고 하자. 수열 ${a}_{n}$ 의 부분합으로 이루어진 수열이 증가하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}\ge 0$ is a sequence of numbers. Explain why the sequence of partial sums of ${a}_{n}$ is increasing.

정답·풀이 보기

${S}_{N+1}={a}_{N+1}+{S}_{N}\ge {S}_{N}$

원본 교재 풀이(영어)

${S}_{N+1}={a}_{N+1}+{S}_{N}\ge {S}_{N}$

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# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

126.OpenStax 2권 · 5.2절 · 64번우리말 번역

[계산기 사용] ${a}_{n}$ 이 양수로 이루어진 수열이고, ${a}_{n}$ 의 부분합으로 이루어진 수열 ${S}_{n}$ 이 위로 유계라고 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는 이유를 설명하세요. 가정 ${a}_{n}\ge 0$ 을 없애도 결론은 여전히 참인가요?

영어 원문 보기

[T] Suppose that ${a}_{n}$ is a sequence of positive numbers and the sequence ${S}_{n}$ of partial sums of ${a}_{n}$ is bounded above. Explain why $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges. Does the conclusion remain true if we remove the hypothesis ${a}_{n}\ge 0?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

127.OpenStax 2권 · 5.2절 · 65번우리말 번역

[계산기 사용] ${a}_{1}={S}_{1}=1$ 이고, 주어진 수 $S>1$ 과 $0<k<1$ 에 대해 ${a}_{n+1}=k(S-{S}_{n})$ , ${S}_{n+1}={a}_{n+1}+{S}_{n}$ 으로 정의한다고 하자. ${S}_{n}$ 은 수렴하나요? 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는지 구하세요. (힌트: 먼저 모든 $n$ 에 대해 ${S}_{n}<S$ 이고 ${S}_{n}$ 이 증가함을 논증하세요.)

영어 원문 보기

[T] Suppose that ${a}_{1}={S}_{1}=1$ and that, for given numbers $S>1$ and $0<k<1,$ one defines ${a}_{n+1}=k(S-{S}_{n})$ and ${S}_{n+1}={a}_{n+1}+{S}_{n}.$ Does ${S}_{n}$ converge? If so, to what? (Hint: First argue that ${S}_{n}<S$ for all $n$ and ${S}_{n}$ is increasing.)

정답·풀이 보기

$S>1$ 이므로 ${a}_{2}>0$ 이고, $k<1$ 이므로 ${S}_{2}=1+{a}_{2}<1+(S-1)=S$ 이다. 어떤 n 에 대해 ${S}_{n}>S$ 이면 가장 작은 n 이 존재한다. 이 n 에 대해 $S>{S}_{n-1}$ 이므로 ${S}_{n}={S}_{n-1}+k(S-{S}_{n-1})$ $=kS+(1-k){S}_{n-1}<S$ 가 되어 모순이다. 따라서 모든 n 에 대해 ${S}_{n}<S$ 이고 ${a}_{n+1}>0$ 이므로, ${S}_{n}$ 은 증가하고 $S$ 로 위로 유계이다. ${S}_{*}=\lim \,{S}_{n}$ 이라 하자. ${S}_{*}<S$ 이면 $\delta =k(S-{S}_{*})>0$ 이지만, ${S}_{*}-{S}_{n}<\delta /2$ 인 n 을 찾을 수 있고, 이로부터 ${S}_{n+1}={S}_{n}+k(S-{S}_{n})$ $>{S}_{*}+\delta /2$ 가 되어 ${S}_{n}$ 이 ${S}_{*}$ 로 증가한다는 사실에 모순이다. 따라서 ${S}_{n}\to S$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $S>1,$ ${a}_{2}>0,$ and since $k<1,$ ${S}_{2}=1+{a}_{2}<1+(S-1)=S.$ If ${S}_{n}>S$ for some n, then there is a smallest n. For this n, $S>{S}_{n-1},$ so ${S}_{n}={S}_{n-1}+k(S-{S}_{n-1})$ $=kS+(1-k){S}_{n-1}<S,$ a contradiction. Thus ${S}_{n}<S$ and ${a}_{n+1}>0$ for all n, so ${S}_{n}$ is increasing and bounded by $S.$ Let ${S}_{*}=\lim \,{S}_{n}.$ If ${S}_{*}<S,$ then $\delta =k(S-{S}_{*})>0,$ but we can find n such that ${S}_{*}-{S}_{n}<\delta /2,$ which implies that ${S}_{n+1}={S}_{n}+k(S-{S}_{n})$ $>{S}_{*}+\delta /2,$ contradicting that ${S}_{n}$ is increasing to ${S}_{*}.$ Thus ${S}_{n}\to S.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 15번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

128.OpenStax 2권 · 5.2절 · 66번우리말 번역

[계산기 사용] 동질적인 종의 개체에서 $n+1$ 년째의 연간 증가량이 ${a}_{n+1}=k(S-{S}_{n})$ 을 만족할 때, 폰 베르탈란피 성장 모형의 한 형태를 이용하여 길이로부터 개체의 나이를 추정할 수 있다. 여기서 ${S}_{n}$ 은 $n$ 년째의 길이, $S$ 는 한계 길이, $k$ 는 상대 성장 상수이다. ${S}_{1}=3,$ $S=9,$ $k=1/2$ 일 때, ${S}_{n}\ge 8$ 을 만족하는 가장 작은 $n$ 의 값을 수치적으로 어림하세요. ${S}_{n+1}={S}_{n}+{a}_{n+1}$ 임에 유의하세요. $k=1/4$ 일 때 해당하는 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A version of von Bertalanffy growth can be used to estimate the age of an individual in a homogeneous species from its length if the annual increase in year $n+1$ satisfies ${a}_{n+1}=k(S-{S}_{n}),$ with ${S}_{n}$ as the length at year $n,$ $S$ as a limiting length, and $k$ as a relative growth constant. If ${S}_{1}=3,$ $S=9,$ and $k=1/2,$ numerically estimate the smallest value of $n$ such that ${S}_{n}\ge 8.$ Note that ${S}_{n+1}={S}_{n}+{a}_{n+1}.$ Find the corresponding $n$ when $k=1/4.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 53번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

129.OpenStax 2권 · 5.2절 · 67번우리말 번역

[계산기 사용] $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 양의 항으로 이루어진 수렴하는 급수라고 하자. $\lim_{N\to \infty }\sum_{n=N+1}^{\infty }{a}_{n}=0$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ is a convergent series of positive terms. Explain why $\lim_{N\to \infty }\sum_{n=N+1}^{\infty }{a}_{n}=0.$

정답·풀이 보기

${S}_{k}=\sum_{n=1}^{k}{a}_{n}$ 이고 ${S}_{k}\to L$ 이라 하자. 그러면 ${S}_{k}$ 는 결국 $L$ 에 한없이 가까워지며, 이는 $L-{S}_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 $N\to \infty$ 일 때 한없이 작아진다는 뜻이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let ${S}_{k}=\sum_{n=1}^{k}{a}_{n}$ and ${S}_{k}\to L.$ Then ${S}_{k}$ eventually becomes arbitrarily close to $L,$ which means that $L-{S}_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty }{a}_{n}$ becomes arbitrarily small as $N\to \infty .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 17번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

130.OpenStax 2권 · 5.2절 · 68번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그림에서 점선 지그재그 경로의 길이를 구하세요.

제1사분면에 꼭짓점이 (1, 1), (0, 0), (1, 0)인 삼각형이 그려져 있다. 지그재그 선은 (1, 0)에서 시작하여 빗변의 중점 (0.5, 0.5)로 가고, 점 (1, 0.5)를 지나 점 (0.75, 0.75)로 올라간 다음, 점 (1, 0.75)로 가로질러 가는 식으로 위쪽 꼭짓점에 수렴할 때까지 계속된다.

영어 원문 보기

[T] Find the length of the dashed zig-zag path in the following figure.

This is a triangle drawn in quadrant 1 with vertices at (1, 1), (0, 0), and (1, 0). The zigzag line is drawn starting at (1, 0) and goes to the middle of the hypotenuse at (0.5, 0.5), point (1, 0.5), up to point (0.75, 0.75), across to point (1, 0.75), and so on until it converges on the top vertex.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

131.OpenStax 2권 · 5.2절 · 69번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그림에서 점선 경로의 전체 길이를 구하세요.

제1사분면에 꼭짓점이 (1, 1), (0, 0), (1, 0)인 삼각형이 그려져 있다. 지그재그 선은 (0.5, 0)에서 시작하여 빗변의 중점으로 가고, 그 점과 세로 변 사이의 중점으로 간 다음, 빗변의 위쪽 절반의 중점으로 가고, 다시 그 점과 수직인 변 사이의 중점으로 가는 식으로 위쪽 꼭짓점에 수렴할 때까지 계속된다.

영어 원문 보기

[T] Find the total length of the dashed path in the following figure.

This is a triangle drawn in quadrant 1 with vertices at (1, 1), (0, 0), and (1, 0). The zigzag line is drawn starting at (0.5, 0) and goes to the middle of the hypotenuse, the midpoint between that point and the vertical leg, the midpoint of the upper half of the hypotenuse, the midpoint between that point and the vertical leg, and so on until it converges on the top vertex.

정답·풀이 보기

$L=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{n}=\frac{3}{2}.$

원본 교재 풀이(영어)

$L=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{n}=\frac{3}{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 19번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

132.OpenStax 2권 · 5.2절 · 70번우리말 번역

[계산기 사용] 시에르핀스키 삼각형은 삼각형에서 첫 번째 단계에서 가운데 4분의 1을 지우고, 두 번째 단계에서 남은 합동인 세 삼각형 각각의 가운데 4분의 1을 지우고, 일반적으로 각 단계마다 남은 삼각형들의 가운데 4분의 1을 지우는 방식으로 얻는다. 처음 삼각형이 그림과 같다고 할 때, $N$ 단계 후 처음 삼각형에서 남은 부분의 넓이를 구하고, $N$ 단계 후 모든 경계 삼각형의 둘레의 총길이를 구하세요.

좌표평면 위의 직각삼각형 안에 시에르핀스키 삼각형과 비슷한 기하학적 프랙탈 무늬가 나타나 있다. 색칠된 영역이 정교한 자기유사 도형을 강조하고 있다.

영어 원문 보기

[T] The Sierpinski triangle is obtained from a triangle by deleting the middle fourth as indicated in the first step, by deleting the middle fourths of the remaining three congruent triangles in the second step, and in general deleting the middle fourths of the remaining triangles in each successive step. Assuming that the original triangle is shown in the figure, find the areas of the remaining parts of the original triangle after $N$ steps and find the total length of all of the boundary triangles after $N$ steps.

$A geometric fractal pattern, resembling a Sierpinski triangle, is shown within a right-angled triangle on an x-y coordinate plane. Shaded regions highlight the intricate self-similar design.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

133.OpenStax 2권 · 5.2절 · 71번우리말 번역

[계산기 사용] 시에르핀스키 개스킷은 단위정사각형을 합동인 9개의 작은 정사각형으로 나누어 가운데 정사각형을 제거하고, 남은 작은 정사각형 각각에 대해 각 단계마다 같은 과정을 반복하여 얻는다. 그림은 4번 반복한 뒤 남은 집합을 나타낸다. $N$ 단계 후 제거된 전체 넓이를 구하고, $N$ 단계 후 남은 집합의 전체 둘레의 길이를 구하세요.

검은 정사각형에서 여러 개의 더 작은 정사각형이 제거되어, 정사각형 무늬의 빈 공간이 남아 있는 그림이다. 제거 과정은 4번 반복되었다. 첫 번째 단계에서는 가운데 있는 넓이 1/9 인 정사각형이 제거된다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 바로 앞 단계의 더 큰 정사각형의 한 변의 길이의 1/3 이다. 다음 단계에서는 이 정사각형 둘레에서 더 작은 정사각형 8개가 제거된다. 그다음에는 그 8개의 정사각형 각각의 둘레에서 더 작은 정사각형 8개씩, 모두 64개가 제거된다. 그다음에는 그 64개 각각의 둘레에서 훨씬 더 작은 정사각형 8개씩이 제거된다.

영어 원문 보기

[T] The Sierpinski gasket is obtained by dividing the unit square into nine equal sub-squares, removing the middle square, then doing the same at each stage to the remaining sub-squares. The figure shows the remaining set after four iterations. Compute the total area removed after $N$ stages, and compute the length the total perimeter of the remaining set after $N$ stages.

정답·풀이 보기

1단계에서는 넓이가 $1/9$ 인 정사각형이 제거되고, 2단계에서는 넓이가 $1/{9}^{2}$ 인 정사각형 $8$ 개가 제거되며, 3단계에서는 넓이가 $1/{9}^{3}$ 인 정사각형 ${8}^{2}$ 개가 제거되고, 이와 같이 계속된다. $N$ 단계 후 제거된 전체 넓이는 $\sum_{n=0}^{N-1}{8}^{N}/{9}^{N+1}=\frac{1}{8}(1-{(8/9)}^{N})/(1-8/9)\to 1$

이다( $N\to \infty$ 일 때). 전체 둘레는 $4+4\sum_{n=0}{8}^{N}/{3}^{N+1}\to \infty$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

At stage one a square of area $1/9$ is removed, at stage $2$ one removes $8$ squares of area $1/{9}^{2},$ at stage three one removes ${8}^{2}$ squares of area $1/{9}^{3},$ and so on. The total removed area after $N$ stages is $\sum_{n=0}^{N-1}{8}^{N}/{9}^{N+1}=\frac{1}{8}(1-{(8/9)}^{N})/(1-8/9)\to 1$