수열의 극한 전체 연습문제

161.APEX · 8.1절 · 28번우리말 번역

연습문제 17–28에서 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 수열의 극한을 구하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{n^2}{2^n-1}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, determine whether the sequence converges or diverges. If convergent, give the limit of the sequence.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{n^2}{2^n-1}\right\}$

정답·풀이 보기

0으로 수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges to 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 1번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

162.APEX · 8.1절 · 29번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 위의 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\sin n\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\sin n\right\}$

정답·풀이 보기

유계

원본 교재 풀이(영어)

bounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 27번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

163.APEX · 8.1절 · 30번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 위의 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\tan n\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\tan n\right\}$

정답·풀이 보기

위로도 아래로도 유계가 아니다

원본 교재 풀이(영어)

neither bounded above or below

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 28번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

164.APEX · 8.1절 · 31번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 위의 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{3n-1}{n}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{3n-1}{n}\right\}$

정답·풀이 보기

유계

원본 교재 풀이(영어)

bounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 13번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

165.APEX · 8.1절 · 32번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 위의 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{3n^2-1}{n}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{3n^2-1}{n}\right\}$

정답·풀이 보기

아래로 유계

원본 교재 풀이(영어)

bounded below

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 35번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

166.APEX · 8.1절 · 33번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 그 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{n\cos n\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{n\cos n\right\}$

정답·풀이 보기

위로도 아래로도 유계가 아니다

원본 교재 풀이(영어)

neither bounded above or below

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 9번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

167.APEX · 8.1절 · 34번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 그 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{2^n-n!\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{2^n-n!\right\}$

정답·풀이 보기

위로 유계

원본 교재 풀이(영어)

bounded above

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 53번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

168.APEX · 8.1절 · 35번우리말 번역

연습문제 35–38에서 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 $n\geq m$ 에 대해 단조가 되는 $m$ 이 있는지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n}{n+2}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an $m$ such that it is monotonic for all $n\geq m$ .

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n}{n+2}\right\}$

정답·풀이 보기

단조증가

원본 교재 풀이(영어)

monotonically increasing

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 11번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

169.APEX · 8.1절 · 36번우리말 번역

연습문제 35–38에서 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 $n\geq m$ 에 대해 단조가 되는 $m$ 이 있는지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2-6n+9}{n}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an $m$ such that it is monotonic for all $n\geq m$ .

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2-6n+9}{n}\right\}$

정답·풀이 보기

$n\geq 3$ 에서 단조증가

원본 교재 풀이(영어)

monotonically increasing for $n\geq 3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 9번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

170.APEX · 8.1절 · 37번우리말 번역

연습문제 35–38에서 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 $n\geq m$ 에 대해 단조가 되는 $m$ 이 있는지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{1}{n^3}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an $m$ such that it is monotonic for all $n\geq m$ .

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{1}{n^3}\right\}$

정답·풀이 보기

단조가 되는 경우가 없다

원본 교재 풀이(영어)

never monotonic

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.1절 · 4번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

171.APEX · 8.1절 · 38번우리말 번역

연습문제 35–38에서, 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 $n\geq m$ 에 대해 단조가 되는 $m$ 이 있는지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2}{2^n}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an $m$ such that it is monotonic for all $n\geq m$ .

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2}{2^n}\right\}$

정답·풀이 보기

$n\geq 3$ 에서 단조감소이다.

원본 교재 풀이(영어)

monotonically decreasing for $n\geq 3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

172.APEX · 8.1절 · 41번우리말 번역

연습문제 39–42는 수열의 이론을 더 깊이 탐구한다.

수열에 대한 조임 정리를 증명하세요: $\{a_n\}$ 과 $\{b_n\}$ 이 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L$ 이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = L$ 인 수열이라 하고, $\{c_n\}$ 은 모든 $n$ 에 대해 $a_n\leq c_n\leq b_n$ 인 수열이라 하자. 그러면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = L$ 이다.

영어 원문 보기

Exercises 39–42 explore further the theory of sequences.

Prove the Squeeze Theorem for sequences: Let $\{a_n\}$ and $\{b_n\}$ be such that $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L$ and $\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = L$ , and let $\{c_n\}$ be such that $a_n\leq c_n\leq b_n$ for all $n$ . Then $\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = L$

정답·풀이 보기

증명 방법 하나의 개요:

임의의 $\epsilon>0$ 이 주어졌다고 하자. $\{a_n\}$ 과 $\{b_n\}$ 이 수렴하므로, 모든 $n\geq N$ 에 대해 $a_n$ 과 $b_n$ 이 모두 $L$ 로부터 $\epsilon/2$ 이내에 있게 하는 $N>0$ 이 존재한다. 따라서 두 값은 서로 많아야 $\epsilon$ 만큼 떨어져 있다고 결론지을 수 있다. $a_n\leq c_n \leq b_n$ 이므로 $c_n$ 이 $L$ 로부터 $\epsilon$ 이내에 있음을 보일 수 있고, 이로써 $\{c_n\}$ 도 $L$ 로 수렴함을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

A sketch of one proof method:

Let any $\epsilon>0$ be given. Since $\{a_n\}$ and $\{b_n\}$ converge, there exists an $N>0$ such that for all $n\geq N$ , both $a_n$ and $b_n$ are within $\epsilon/2$ of $L$ ; we can conclude that they are at most $\epsilon$ apart from each other. Since $a_n\leq c_n \leq b_n$ , one can show that $c_n$ is within $\epsilon$ of $L$ , showing that $\{c_n\}$ also converges to $L$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 4번

# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류

173.APEX · 8.2절 · 1번우리말 번역

수열과 급수가 어떤 관계인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to describe how sequences and series are related.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 33번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

174.APEX · 8.2절 · 2번우리말 번역

부분합을 자신의 말로 정의하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to define a partial sum.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 4번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

175.APEX · 8.2절 · 3번우리말 번역

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어질 때, 이 급수와 관련된 중요한 두 수열을 설명하세요.

영어 원문 보기

Given a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ , describe the two sequences related to the series that are important.

정답·풀이 보기

하나는 항들의 수열 $\{a_n\}$ 이다. 다른 하나는 $n^\text{th}$ 부분합의 수열 $\{S_n\} = \{\sum_{i=1}^n a_i\}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

One sequence is the sequence of terms $\{a_n\}$ . The other is the sequence of $n^\text{th}$ partial sums, $\{S_n\} = \{\sum_{i=1}^n a_i\}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 6번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

176.APEX · 8.2절 · 4번우리말 번역

등비급수가 무엇인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to explain what a geometric series is.

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

177.APEX · 8.2절 · 5번우리말 번역

참/거짓: $\{a_n\}$ 이 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 도 수렴한다.

영어 원문 보기

T/F: If $\{a_n\}$ is convergent, then $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is also convergent.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 2번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

178.APEX · 8.2절 · 6번우리말 번역

참/거짓: $\{a_n\}$ 이 0으로 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.

영어 원문 보기

T/F: If $\{a_n\}$ converges to 0, then $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ converges.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 5번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

179.APEX · 8.2절 · 7번우리말 번역

연습문제 7–14에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어져 있습니다.

(a) 이 급수의 처음 5개의 부분합을 구하세요. (b) 처음 5개의 항 $a_n$ 과 $S_n$ 의 그래프를 같은 좌표축 위에 그리세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is given.

(a) Give the first 5 partial sums of the series. (b) Give a graph of the first 5 terms of $a_n$ and $S_n$ on the same axes.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

정답·풀이 보기

(a) $-1,-\frac{1}{2},-\frac{5}{6},-\frac{7}{12},-\frac{47}{60}$ (b) 그래프 생략

원본 교재 풀이(영어)

(a) $-1,-\frac{1}{2},-\frac{5}{6},-\frac{7}{12},-\frac{47}{60}$ (b) Plot omitted

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 49번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

180.APEX · 8.2절 · 8번우리말 번역

연습문제 7–14에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어져 있습니다.

(a) 이 급수의 처음 5개의 부분합을 구하세요. (b) 처음 5개의 항 $a_n$ 과 $S_n$ 의 그래프를 같은 좌표축 위에 그리세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is given.

(a) Give the first 5 partial sums of the series. (b) Give a graph of the first 5 terms of $a_n$ and $S_n$ on the same axes.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

정답·풀이 보기

(a) $1,\frac{5}{4},\frac{49}{36},\frac{205}{144},\frac{526 9}{3600}$ (b) 그래프 생략

원본 교재 풀이(영어)

(a) $1,\frac{5}{4},\frac{49}{36},\frac{205}{144},\frac{526 9}{3600}$ (b) Plot omitted

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 41번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

수열의 극한 전체 문제