급수 심화 전체 연습문제

701.APEX · 8.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 테일러 다항식으로 함수의 값을 어림하고 오차의 대략적인 범위를 구하세요.

$x=1$ 에서의 3차 테일러 다항식으로 $\ln1.5$ 를 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, approximate the function value with the indicated Taylor polynomial and give approximate bounds on the error.

Approximate $\ln1.5$ with the Taylor polynomial of degree 3 centered at $x=1$ .

정답·풀이 보기

$p_3(x) =-1+x-\frac{1}{2} (-1+x)^2+\frac{1}{3} (-1+x)^3$ ; $p_3(1.5) = 0.41667$ . 함수 $f(x) =\ln x$ 의 4계 도함수는 $(.9,2)$ 에서 $10$ 으로 유계이다. 오차는 $\pm \frac{10}{4!}\cdot.5^4 = \pm 0.026$ 이내이다.

원본 교재 풀이(영어)

$p_3(x) =-1+x-\frac{1}{2} (-1+x)^2+\frac{1}{3} (-1+x)^3$ ; $p_3(1.5) = 0.41667$ . The fourth derivative of $f(x) =\ln x$ is bounded on $(.9,2)$ by $10$ . Error is bounded by $\pm \frac{10}{4!}\cdot.5^4 = \pm 0.026.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

702.APEX · 8.7절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28은 $p_n(x)$ 가 $f(x)$ 를 일정한 정확도 범위 안에서 근사하도록 하는 $n$ 을 구하라는 문제이다.

$f(x)= e^x$ 의 $n$ 차 매클로린 다항식이 $e$ 의 실제 값과 $0.0001$ 이내로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 25–28 ask for an $n$ to be found such that $p_n(x)$ approximates $f(x)$ within a certain bound of accuracy.

Find $n$ such that the Maclaurin polynomial of degree $n$ of $f(x)= e^x$ approximates $e$ within $0.0001$ of the actual value.

정답·풀이 보기

$f(x)=e^x$ 의 $n^\text{th}$ 도함수는 $0$ 과 1을 포함하는 구간에서 $3$ 으로 유계이다. 따라서 $|R_n(1)|\leq \frac{3}{(n+1)!}1^{(n+1)}$ 이다. $n=7$ 일 때, 이 값은 $0.0001$ 보다 작다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ derivative of $f(x)=e^x$ is bounded by $3$ on intervals containing $0$ and 1. Thus $|R_n(1)|\leq \frac{3}{(n+1)!}1^{(n+1)}$ . When $n=7$ , this is less than $0.0001$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

703.APEX · 8.7절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28은 $p_n(x)$ 가 $f(x)$ 를 일정한 정확도 범위 이내로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하는 문제입니다.

$x=4$ 를 중심으로 하는 $f(x)= \sqrt x$ 의 $n$ 차 테일러 다항식이 $\sqrt 3$ 을 실제 값과 $0.0001$ 이내의 오차로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 25–28 ask for an $n$ to be found such that $p_n(x)$ approximates $f(x)$ within a certain bound of accuracy.

Find $n$ such that the Taylor polynomial of degree $n$ of $f(x)= \sqrt x$ , centered at $x=4$ , approximates $\sqrt 3$ within $0.0001$ of the actual value.

정답·풀이 보기

$f(x)=\sqrt x$ 의 $n^\text{th}$ 도함수는 $3$ 과 $4$ 를 포함하는 구간에서 $0.1$ 로 유계이다. 따라서 $|R_n(\pi)|\leq \frac{0.1}{(n+1)!}(1)^{(n+1)}$ 이다. $n=4$ 일 때 이 값은 $0.0001$ 보다 작다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ derivative of $f(x)=\sqrt x$ is bounded by $0.1$ on intervals containing $3$ and $4$ . Thus $|R_n(\pi)|\leq \frac{0.1}{(n+1)!}(1)^{(n+1)}$ . When $n=4$ , this is less than $0.0001$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 9번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

704.APEX · 8.7절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28은 $p_n(x)$ 가 $f(x)$ 를 어느 정확도 범위 안에서 근사하도록 하는 $n$ 을 구하는 문제이다.

$f(x)= \cos x$ 의 $n$ 차 매클로린 다항식이 $\cos \pi/3$ 의 실제 값과 $0.0001$ 이내로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 25–28 ask for an $n$ to be found such that $p_n(x)$ approximates $f(x)$ within a certain bound of accuracy.

Find $n$ such that the Maclaurin polynomial of degree $n$ of $f(x)= \cos x$ approximates $\cos \pi/3$ within $0.0001$ of the actual value.

정답·풀이 보기

$f(x)=\cos x$ 의 $n^\text{th}$ 도함수는 0과 $\pi/3$ 을 포함하는 구간에서 1로 유계이다. 따라서 $|R_n(\pi/3)|\leq \frac{1}{(n+1)!}(\pi/3)^{(n+1)}$ 이다. $n=7$ 일 때 이 값은 $0.0001$ 보다 작다. $\cos x$ 의 매클로린 다항식은 짝수 차수의 항만 사용하므로, 실제로는 $n=6$ 을 사용해도 된다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ derivative of $f(x)=\cos x$ is bounded by $1$ on intervals containing $0$ and $\pi/3$ . Thus $|R_n(\pi/3)|\leq \frac{1}{(n+1)!}(\pi/3)^{(n+1)}$ . When $n=7$ , this is less than $0.0001$ . Since the Maclaurin polynomial of $\cos x$ only uses even powers, we can actually just use $n=6$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

705.APEX · 8.7절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28은 $p_n(x)$ 이 $f(x)$ 를 어떤 정확도 한계 이내로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하라는 문제이다.

$f(x)= \sin x$ 의 $n$ 차 매클로린 다항식이 $\cos \pi$ 의 실제 값과 $0.0001$ 이내로 근사하도록 하는 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 25–28 ask for an $n$ to be found such that $p_n(x)$ approximates $f(x)$ within a certain bound of accuracy.

Find $n$ such that the Maclaurin polynomial of degree $n$ of $f(x)= \sin x$ approximates $\cos \pi$ within $0.0001$ of the actual value.

정답·풀이 보기

$f(x)=\sin x$ 의 $n^\text{th}$ 도함수는 $0$ 과 $\pi$ 를 포함하는 구간에서 $1$ 로 유계이다. 따라서 $|R_n(\pi)|\leq \frac{1}{(n+1)!}(\pi)^{(n+1)}$ 이다. $n=12$ 일 때 이 값은 $0.0001$ 보다 작다. $\sin x$ 의 매클로린 다항식은 홀수 차수의 거듭제곱만 사용하므로, 실제로는 $n=11$ 을 써도 된다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ derivative of $f(x)=\sin x$ is bounded by $1$ on intervals containing $0$ and $\pi$ . Thus $|R_n(\pi)|\leq \frac{1}{(n+1)!}(\pi)^{(n+1)}$ . When $n=12$ , this is less than $0.0001$ . Since the Maclaurin polynomial of $\sin x$ only uses odd powers, we can actually just use $n=11$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 2번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

706.APEX · 8.7절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$f(x)=e^x$ 의 매클로린 다항식의 $n^\text{th}$ 항에 대한 식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Maclaurin polynomial for $f(x)=e^x$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 $\frac{1}{n!}x^n$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is $\frac{1}{n!}x^n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

707.APEX · 8.7절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$f(x)=\cos x$ 에 대한 매클로린 다항식의 $n^\text{th}$ 항의 공식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Maclaurin polynomial for $f(x)=\cos x$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 다음과 같다: $n$ 이 짝수일 때 $\frac{(-1)^{n/2}}{n!}x^n$ 이고, $n$ 이 홀수일 때 $0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is: when $n$ is even, $\frac{(-1)^{n/2}}{n!}x^n$ ; when $n$ is odd, $0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 10번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

708.APEX · 8.7절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서, 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$f(x)=\sin x$ 의 매클로린 다항식의 $n^\text{th}$ 항에 대한 공식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Maclaurin polynomial for $f(x)=\sin x$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 다음과 같다: $n$ 이 짝수일 때 0, $n$ 이 홀수일 때 $\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!}x^n$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is: when $n$ even, 0; when $n$ is odd, $\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!}x^n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

709.APEX · 8.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}$ 의 매클로린 다항식에서 $n^\text{th}$ 항에 대한 공식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Maclaurin polynomial for $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 $x^n$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is $x^n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 6번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

710.APEX · 8.7절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}$ 의 매클로린 다항식의 $n^\text{th}$ 항에 대한 공식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Maclaurin polynomial for $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 $(-1)^nx^n$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is $(-1)^nx^n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

711.APEX · 8.7절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서, 주어진 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항을 구하세요.

$x=1$ 에서의 $\displaystyle f(x)=\ln x$ 의 테일러 다항식의 $n^\text{th}$ 항에 대한 식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, find the $n^\text{th}$ term of the indicated Taylor polynomial.

Find a formula for the $n^\text{th}$ term of the Taylor polynomial for $\displaystyle f(x)=\ln x$ centered at $x=1$ .

정답·풀이 보기

$n^\text{th}$ 항은 $(-1)^n\frac{(x-1)^n}{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $n^\text{th}$ term is $(-1)^n\frac{(x-1)^n}{n}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 5번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

712.APEX · 8.7절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–37에서 주어진 미분방정식의 해를 4차 매클로린 다항식으로 어림하세요.

$y'=y$ , $y(0) = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 35–37, approximate the solution to the given differential equation with a degree 4 Maclaurin polynomial.

$y'=y$ , $y(0) = 1$

정답·풀이 보기

$\displaystyle 1+x+\frac12x^2+\frac16x^3+\frac1{24}x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle 1+x+\frac12x^2+\frac16x^3+\frac1{24}x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

713.APEX · 8.7절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–37에서 주어진 미분방정식의 해를 4차 매클로린 다항식으로 어림하세요.

$y'=5y$ , $y(0) = 3$

영어 원문 보기

In Exercises 35–37, approximate the solution to the given differential equation with a degree 4 Maclaurin polynomial.

$y'=5y$ , $y(0) = 3$

정답·풀이 보기

$\displaystyle 3+15x+\frac{75}{2}x^2+\frac{375}{6}x^3+\frac{1875}{24}x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle 3+15x+\frac{75}{2}x^2+\frac{375}{6}x^3+\frac{1875}{24}x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 11번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

714.APEX · 8.7절 · 37번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–37에서 주어진 미분방정식의 해를 4차 매클로린 다항식으로 어림하세요.

$\displaystyle y'=\frac2y$ , $y(0) = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 35–37, approximate the solution to the given differential equation with a degree 4 Maclaurin polynomial.

$\displaystyle y'=\frac2y$ , $y(0) = 1$

정답·풀이 보기

$\displaystyle 1+2x-2x^2+4x^3-10x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle 1+2x-2x^2+4x^3-10x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 5번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

715.APEX · 8.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

테일러 다항식과 테일러 급수의 차이는 무엇입니까?

영어 원문 보기

What is the difference between a Taylor polynomial and a Taylor series?

정답·풀이 보기

테일러 다항식은 유한한 개수의 항을 포함하는 다항식이다. 테일러 급수는 무한히 많은 항의 합인 급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

A Taylor polynomial is a polynomial, containing a finite number of terms. A Taylor series is a series, the summation of an infinite number of terms.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 47번

# 테일러·매클로린 급수개념 확인자동 분류

716.APEX · 8.8절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 $k$ 값에 대한 이항 급수의 처음 5개 항을 쓰세요.

$k=1/2$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, write out the first 5 terms of the Binomial series with the given $k$ -value.

$k=1/2$

정답·풀이 보기

$\displaystyle 1+\frac x2-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle 1+\frac x2-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 52번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

717.APEX · 8.8절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 $k$ 값에 대한 이항 급수의 처음 5개 항을 쓰세요.

$k=-1/2$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, write out the first 5 terms of the Binomial series with the given $k$ -value.

$k=-1/2$

정답·풀이 보기

$\displaystyle 1-\frac x2+\frac{3x^2}{8}-\frac{5x^3}{16}+\frac{35x^4}{128}$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle 1-\frac x2+\frac{3x^2}{8}-\frac{5x^3}{16}+\frac{35x^4}{128}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 39번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

718.APEX · 8.8절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 $k$ 값에 대한 이항 급수의 처음 5개 항을 쓰세요.

$k=1/3$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, write out the first 5 terms of the Binomial series with the given $k$ -value.

$k=1/3$

정답·풀이 보기

$\displaystyle 1+\frac x3-\frac{x^2}{9}+\frac{5x^3}{81}-\frac{10x^4}{243}$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle 1+\frac x3-\frac{x^2}{9}+\frac{5x^3}{81}-\frac{10x^4}{243}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 26번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

719.APEX · 8.8절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 $k$ 값에 대한 이항 급수의 처음 5개 항을 쓰세요.

$k=4$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, write out the first 5 terms of the Binomial series with the given $k$ -value.

$k=4$

정답·풀이 보기

$\displaystyle 1+4x+6x^2+4x^3+x^4$ (이 급수는 유한하며, 공식은 여전히 적용됨에 주의한다)

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle 1+4x+6x^2+4x^3+x^4$ (note the series is finite, and the formula still applies)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 36번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

720.APEX · 8.8절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–32에서, 피적분함수의 테일러 급수에서 0이 아닌 처음 4개의 항을 사용하여 주어진 정적분의 값을 어림하세요.

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi}} \sin \big(x^2\big)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 31–32, approximate the value of the given definite integral by using the first 4 nonzero terms of the integrand's Taylor series.

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi}} \sin \big(x^2\big)\ dx$

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi}} \sin \big(x^2\big)\ dx \approx \int_0^{\sqrt{\pi}} \left(x^2-\frac{x^6}6+\frac{x^{10}}{120}-\frac{x^{14}}{5040}\right) dx = 0.8877$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi}} \sin \big(x^2\big)\ dx \approx \int_0^{\sqrt{\pi}} \left(x^2-\frac{x^6}6+\frac{x^{10}}{120}-\frac{x^{14}}{5040}\right) dx = 0.8877$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

급수 심화 전체 문제