벡터와 공간 전체 연습문제

1.CLP-3 · 1.2절 · 16번대학 수준우리말 번역

구의 지름 하나의 양 끝점이 $(2,1,4)$ 와 $(4,3,10)$ 일 때, 이 구의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation of a sphere if one of its diameters has end points $(2,1,4)$ and $(4,3,10)$ .

정답·풀이 보기

구의 중심은 $\tfrac{1}{2}\big\{(2,1,4)+(4,3,10)\big\}=(3,2,7)$ 이다. 지름(즉 반지름의 2배)은 $|(2,1,4)-(4,3,10)|=|(-2,-2,-6)|=2|(1,1,3)|=2\sqrt{11}$ 이다. 따라서 구의 반지름은 $\sqrt{11}$ 이고 구의 방정식은 다음과 같다.

$(x-3)^2+(y-2)^2+(z-7)^2=11$

원본 교재 풀이(영어)

The center of the sphere is $\tfrac{1}{2}\big\{(2,1,4)+(4,3,10)\big\}=(3,2,7)$ . The diameter (i.e. twice the radius) is $|(2,1,4)-(4,3,10)|=|(-2,-2,-6)|=2|(1,1,3)|=2\sqrt{11}$ . So the radius of the sphere is $\sqrt{11}$ and the equation of the sphere is

$(x-3)^2+(y-2)^2+(z-7)^2=11$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 17번

# 벡터의 연산계산보통자동 분류

2.CLP-3 · 1.2절 · 24번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{u}=-2\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $\mathbf{v}=\alpha \hat{\boldsymbol{\imath}}-2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 라 하자. 다음을 만족시키는 $\alpha$ 를 구하세요.

(a) $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$ (b) $\mathbf{u} \| \mathbf{v}$ (c) $\mathbf{u}$ 와 $\mathbf{v}$ 가 이루는 각이 $60^\circ$ 이다.

영어 원문 보기

Let $\mathbf{u}=-2\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ and $\mathbf{v}=\alpha \hat{\boldsymbol{\imath}}-2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ . Find $\alpha$ so that

(a) $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$ (b) $\mathbf{u} \| \mathbf{v}$ (c) The angle between $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ is $60^\circ$ .

정답·풀이 보기

(a) $0=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10$ 이어야 하므로 $\alpha =-5$ 이다.

(b) $-2/\alpha =5/(-2)$ 이어야 하므로 $\alpha =0.8$ 이다.

(c) $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10 =|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\cos 60^\circ =\sqrt{29}\,\sqrt{\alpha ^2+4}\,\tfrac{1}{2}$ 이어야 한다. 양변을 제곱하면

$\begin{aligned} & & 4\alpha ^2+40\alpha +100&=\frac{29}{4}(\alpha ^2+4) \\ &\implies\quad & 13\alpha ^2-160\alpha -284&=0 \\ &\implies\quad & \alpha &=\frac{160\pm\sqrt{160^2+4\times13\times284}}{26} \approx 13.88\text{ 또는 }-1.574 \end{aligned}$

이 두 $\alpha$ 값 모두 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0$ 이므로 조건을 만족시키는 $\alpha$ 는 없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We want $0=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10$ or $\alpha =-5$ .

(b) We want $-2/\alpha =5/(-2)$ or $\alpha =0.8$ .

(c) We want $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10 =|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\cos 60^\circ =\sqrt{29}\,\sqrt{\alpha ^2+4}\,\tfrac{1}{2}$ . Squaring both sides gives

$\begin{aligned} & & 4\alpha ^2+40\alpha +100&=\frac{29}{4}(\alpha ^2+4) \\ &\implies\quad & 13\alpha ^2-160\alpha -284&=0 \\ &\implies\quad & \alpha &=\frac{160\pm\sqrt{160^2+4\times13\times284}}{26} \approx 13.88\text{ or }-1.574 \end{aligned}$

Both of these $\alpha$ 's give $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0$ so no $\alpha$ works.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.1절 · 17번

# 벡터의 연산계산보통자동 분류

3.CLP-3 · 1.2절 · 25번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{a}=\left< 1,2,3\right>$ , $\mathbf{b}=\left< 4,10,6\right>$ 이라 하자.

(a) $\mathbf{a}$ 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 성분을 구하세요. (b) $\mathbf{a}$ 위로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영을 구하세요. (c) $\mathbf{a}$ 에 수직인 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영을 구하세요.

영어 원문 보기

Define $\mathbf{a}=\left< 1,2,3\right>$ and $\mathbf{b}=\left< 4,10,6\right>$ .

(a) Find the component of $\mathbf{b}$ in the direction $\mathbf{a}$ . (b) Find the projection of $\mathbf{b}$ on $\mathbf{a}$ . (c) Find the projection of $\mathbf{b}$ perpendicular to $\mathbf{a}$ .

정답·풀이 보기

(a) $\mathbf{a}$ 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 성분은 $\mathbf{b}\cdot\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} =\frac{1\times 4+2\times 10+3\times 6}{\sqrt{1+4+9}} =\text{$\frac{42}{\sqrt{14}}$}$ 이다.

(b) $\mathbf{a}$ 위로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영은 길이가 $42/\sqrt{14}$ 이고 방향이 $\mathbf{a}/|\mathbf{a}|$ 인 벡터, 즉 $\frac{42}{14}\left< 1,2,3\right>=\left< 3,6,9\right>$ 이다.

(c) $\mathbf{a}$ 에 수직인 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영은 $\mathbf{b}$ 에서 $\mathbf{a}$ 위로의 정사영을 뺀 벡터, 즉 $\left< 4,10,6\right>-\left< 3,6,9\right>=\left< 1,4,-3\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The component of $\mathbf{b}$ in the direction $\mathbf{a}$ is $\mathbf{b}\cdot\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} =\frac{1\times 4+2\times 10+3\times 6}{\sqrt{1+4+9}} =\text{$\frac{42}{\sqrt{14}}$}$

(b) The projection of $\mathbf{b}$ on $\mathbf{a}$ is a vector of length $42/\sqrt{14}$ in direction $\mathbf{a}/|\mathbf{a}|$ , namely $\frac{42}{14}\left< 1,2,3\right>=\left< 3,6,9\right>$ .

(c) The projection of $\mathbf{b}$ perpendicular to $\mathbf{a}$ is $\mathbf{b}$ minus its projection on $\mathbf{a}$ , namely $\left< 4,10,6\right>-\left< 3,6,9\right>=\left< 1,4,-3\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2장 복습 · 11번

# 벡터의 연산계산보통자동 분류

4.CLP-3 · 1.2절 · 26번대학 수준우리말 번역

$\left< 1,2,3\right>\times\left< 4,5,6\right>$ 을 계산하세요.

영어 원문 보기

Compute $\left< 1,2,3\right>\times\left< 4,5,6\right>$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right>\times\left< 4,5,6\right> &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&2&3 \\ 4&5&6\end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}\,(2\times 6-3\times 5) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,(1\times 6-3\times 4) +\hat{\mathbf{k}}\,(1\times 5-2\times 4) \\ &=-3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right>\times\left< 4,5,6\right> &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&2&3 \\ 4&5&6\end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}\,(2\times 6-3\times 5) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,(1\times 6-3\times 4) +\hat{\mathbf{k}}\,(1\times 5-2\times 4) \\ &=-3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.1절 · 11번

# 벡터의 연산계산보통자동 분류

5.CLP-3 · 1.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

주어진 점을 지나고 주어진 방향을 갖는 직선의 벡터 매개변수 방정식, 스칼라 매개변수 방정식, 대칭 방정식을 구하세요.

(a) 점 $(1,2)$ , 방향 $\left< 3,2\right>$ (b) 점 $(5,4)$ , 방향 $\left< 2,-1\right>$ (c) 점 $(-1,3)$ , 방향 $\left< -1,2\right>$

영어 원문 보기

Find the vector parametric, scalar parametric and symmetric equations for the line containing the given point and with the given direction.

(a) point $(1,2)$ , direction $\left< 3,2\right>$ (b) point $(5,4)$ , direction $\left< 2,-1\right>$ (c) point $(-1,3)$ , direction $\left< -1,2\right>$

정답·풀이 보기

(a) 벡터 매개변수 방정식은 $\left< x,y\right>=\left< 1,2\right>+t\left< 3,2\right>$ 이다. 스칼라 매개변수 방정식은 $x=1+3t,\ y=2+2t$ 이다. 대칭 방정식은 $\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}$ 이다.

(b) 벡터 매개변수 방정식은 $\left< x,y\right>=\left< 5,4\right>+t\left< 2,-1\right>$ 이다. 스칼라 매개변수 방정식은 $x=5+2t,\ y=4-t$ 이다. 대칭 방정식은 $\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{-1}$ 이다.

(c) 벡터 매개변수 방정식은 $\left< x,y\right>=\left< -1,3\right>+t\left< -1,2\right>$ 이다. 스칼라 매개변수 방정식은 $x=-1-t,\ y=3+2t$ 이다. 대칭 방정식은 $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The vector parametric equation is $\left< x,y\right>=\left< 1,2\right>+t\left< 3,2\right>$ . The scalar parametric equations are $x=1+3t,\ y=2+2t$ . The symmetric equation is $\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}$ .

(b) The vector parametric equation is $\left< x,y\right>=\left< 5,4\right>+t\left< 2,-1\right>$ . The scalar parametric equations are $x=5+2t,\ y=4-t$ . The symmetric equation is $\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{-1}$ .

(c) The vector parametric equation is $\left< x,y\right>=\left< -1,3\right>+t\left< -1,2\right>$ . The scalar parametric equations are $x=-1-t,\ y=3+2t$ . The symmetric equation is $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 19번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

6.CLP-3 · 1.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 를 삼각형의 꼭짓점이라 하자. 정의에 따르면 삼각형의 중선은 삼각형의 한 꼭짓점과 그 마주 보는 변의 중점을 지나는 직선이다.

(a) 세 중선의 매개변수 방정식을 구하세요. (b) 세 중선은 한 점에서 만나나요? 만난다면 그 점은 어디인가요?

영어 원문 보기

Let $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ be the vertices of a triangle. By definition, a median of a triangle is a straight line that passes through a vertex of the triangle and through the midpoint of the opposite side.

(a) Find the parametric equations of the three medians. (b) Do the three medians meet at a common point? If so, which point?

정답·풀이 보기

(a) $\mathbf{a}$ 의 마주 보는 변의 중점은 $\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 이다. $\mathbf{a}$ 에서 그 중점까지 잇는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}$ 이다. $\mathbf{a}$ 와 $\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 를 지나는 직선의 벡터 매개변수 방정식은

$\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big)$

이다. 나머지 두 중선도 마찬가지로 ( $t$ 대신 $s$ 와 $u$ 를 매개변수로 사용하여) 다음과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{x}(s)&=\mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big)\\ \mathbf{x}(u)&=\mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big) \end{aligned}$

(b) 세 중선이 한 점에서 만나려면 다음을 만족하는 $s,t$ 와 $u$ 의 값이 있어야 한다.

$\begin{aligned} \mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big) &\ =\ \mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big) &&\ =\ \mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big)\\ (1-t)\mathbf{a}+\frac{t}{2}\mathbf{b}+\frac{t}{2}\mathbf{c} &\ =\ \frac{s}{2}\mathbf{a}+(1-s)\mathbf{b}+\frac{s}{2}\mathbf{c} &&\ =\ \frac{u}{2}\mathbf{a}+\frac{u}{2}\mathbf{b}+(1-u)\mathbf{c} \end{aligned}$

삼각형이 선분으로 퇴화하지 않았다고 가정하면, 이는 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 의 계수가 각각 같을 때, 그리고 그때에 한해 성립한다.

$\begin{aligned} 1-t&=\frac{s}{2}&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=1-s&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=\frac{s}{2}&&=1-u \end{aligned}$

즉

$s=t=u,\ 1-t=\frac{t}{2} \implies s=t=u=\frac{2}{3}$

이다. 세 중선은 $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 에서 만난다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The midpoint of the side opposite $\mathbf{a}$ is $\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ . The vector joining $\mathbf{a}$ to that midpoint is $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}$ . The vector parametric equation of the line through $\mathbf{a}$ and $\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ is

$\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big)$

Similarly, for the other two medians (but using $s$ and $u$ as parameters, rather than $t$ )

$\begin{aligned} \mathbf{x}(s)&=\mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big)\\ \mathbf{x}(u)&=\mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big) \end{aligned}$

(b) The three medians meet at a common point if there are values of $s,t$ and $u$ such that

$\begin{aligned} \mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big) &\ =\ \mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big) &&\ =\ \mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big)\\ (1-t)\mathbf{a}+\frac{t}{2}\mathbf{b}+\frac{t}{2}\mathbf{c} &\ =\ \frac{s}{2}\mathbf{a}+(1-s)\mathbf{b}+\frac{s}{2}\mathbf{c} &&\ =\ \frac{u}{2}\mathbf{a}+\frac{u}{2}\mathbf{b}+(1-u)\mathbf{c} \end{aligned}$

Assuming that the triangle has not degenerated to a line segment, this is the case if and only if the coefficients of $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ match

$\begin{aligned} 1-t&=\frac{s}{2}&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=1-s&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=\frac{s}{2}&&=1-u \end{aligned}$

or

$s=t=u,\ 1-t=\frac{t}{2} \implies s=t=u=\frac{2}{3}$

The medians meet at $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 16번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

7.CLP-3 · 1.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

주어진 세 점을 지나는 평면을 구하세요.

(a) $(1,0,1),\ (2,4,6),\ (1,2,-1)$ (b) $(1,-2,-3),\ (4,-4,4),\ (3,2,-3)$ (c) $(1,-2,-3),\ (5,2,1),\ (-1,-4,-5)$

영어 원문 보기

Find the plane containing the given three points.

(a) $(1,0,1),\ (2,4,6),\ (1,2,-1)$ (b) $(1,-2,-3),\ (4,-4,4),\ (3,2,-3)$ (c) $(1,-2,-3),\ (5,2,1),\ (-1,-4,-5)$

정답·풀이 보기

(a) 이 평면은 $\left< 2,4,6\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 1,4,5\right>$ 및 $\left< 1,2,-1\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 0,2,-2\right>$ 과 평행해야 한다. 따라서 법선벡터는 $\left< 1,4,5\right>$ 과 $\left< 0,2,-2\right>$ 에 모두 수직이어야 하므로 다음과 평행하다.

$\left< 1,4,5\right> \times\left< 0,2,-2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -2 \end{matrix}\right] =\left< -18,2,2\right>$

평면의 방정식은 $9(x-1)-y-(z-1)=0$ 즉 $9x-y-z=8$ 이다.

$(1,0,1),\ (2,4,6)$ , $(1,2,-1)$ 이 모두 $9x-y-z=8$ 을 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

(b) 이 평면은 $\left< 4,-4,4\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 3,-2,7\right>$ 및 $\left< 3,2,-3\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 2,4,0\right>$ 과 평행해야 한다. 따라서 법선벡터는 $\left< 3,-2,7\right>$ 과 $\left< 2,4,0\right>$ 에 모두 수직이어야 하므로 다음과 평행하다.

$\left< 3,-2,7\right> \times\left< 2,4,0\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & -2 & 7 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix}\right] =\left< -28,14,16\right>$

평면의 방정식은 $14(x-1)-7(y+2)-8(z+3)=0$ 즉 $14x-7y-8z=52$ 이다.

$(1,-2,-3),\ (4,-4,4)$ , $(3,2,-3)$ 이 모두 $14x-7y-8z=52$ 를 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

(c) 이 평면은 $\left< 5,2,1\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 4,4,4\right>$ 및 $\left< -1,-4,-5\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< -2,-2,-2\right>$ 과 평행해야 한다. 이런, 이 두 벡터는 평행하다. 따라서 세 점은 모두 한 직선 위에 있다. 이 직선을 포함하는 평면은 어느 것이든 세 점을 모두 지난다. $\left< a,b,c\right>$ 가 $\left< 1,1,1\right>$ 에 수직인 임의의 벡터(즉 $a+b+c=0$ 을 만족하는 벡터)이면, 평면 $a(x-1)+b(y+2)+c(z+3)=0$ 즉 $a(x-1)+b(y+2)-(a+b)(z+3)=0$ 즉 $ax+by-(a+b)z=4a+b$ 은 주어진 세 점을 지난다.

$(1,-2,-3),\ (5,2,1)$ , $(-1,-4,-5)$ 가 모든 $a$ , $b$ 에 대해 방정식 $ax+by-(a+b)z=4a+b$ 를 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The plane must be parallel to $\left< 2,4,6\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 1,4,5\right>$ and to $\left< 1,2,-1\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 0,2,-2\right>$ . So its normal vector must be perpendicular to both $\left< 1,4,5\right>$ and $\left< 0,2,-2\right>$ and hence parallel to

$\left< 1,4,5\right> \times\left< 0,2,-2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -2 \end{matrix}\right] =\left< -18,2,2\right>$

The plane is $9(x-1)-y-(z-1)=0$ or $9x-y-z=8$ .

We can check this by observing that $(1,0,1),\ (2,4,6)$ and $(1,2,-1)$ all satisfy $9x-y-z=8$ .

(b) The plane must be parallel to $\left< 4,-4,4\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 3,-2,7\right>$ and to $\left< 3,2,-3\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 2,4,0\right>$ . So its normal vector must be perpendicular to both $\left< 3,-2,7\right>$ and $\left< 2,4,0\right>$ and hence parallel to

$\left< 3,-2,7\right> \times\left< 2,4,0\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & -2 & 7 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix}\right] =\left< -28,14,16\right>$

The plane is $14(x-1)-7(y+2)-8(z+3)=0$ or $14x-7y-8z=52$ .

We can check this by observing that $(1,-2,-3),\ (4,-4,4)$ and $(3,2,-3)$ all satisfy $14x-7y-8z=52$ .

(c) The plane must be parallel to $\left< 5,2,1\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 4,4,4\right>$ and to $\left< -1,-4,-5\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< -2,-2,-2\right>$ . My, my. These two vectors are parallel. So the three points are all on the same straight line. Any plane containing the line contains all three points. If $\left< a,b,c\right>$ is any vector perpendicular to $\left< 1,1,1\right>$ (i.e. which obeys $a+b+c=0$ ) then the plane $a(x-1)+b(y+2)+c(z+3)=0$ or $a(x-1)+b(y+2)-(a+b)(z+3)=0$ or $ax+by-(a+b)z=4a+b$ contains the three given points.

We can check this by observing that $(1,-2,-3),\ (5,2,1)$ and $(-1,-4,-5)$ all satisfy the equation $ax+by-(a+b)z=4a+b$ for all $a$ and $b$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 6번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

8.CLP-3 · 1.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

주어진 점에서 주어진 평면까지의 거리를 구하세요.

(a) 점 $(-1,2,3)$ , 평면 $x+y+z=7$ (b) 점 $(1,-4,3)$ , 평면 $x-2y+z=5$

영어 원문 보기

Find the distance from the given point to the given plane.

(a) point $(-1,2,3)$ , plane $x+y+z=7$ (b) point $(1,-4,3)$ , plane $x-2y+z=5$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 평면 위의 한 점은 $(0,0,7)$ 이다. $(-1,2,3)$ 에서 $(0,0,7)$ 로 향하는 벡터는 $\left< 0,0,7\right> -\left< -1,2,3\right> =\left< 1,-2,4\right>$ 이다. 평면에 수직인 단위벡터는 $\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right>$ 이다. $(-1,2,3)$ 에서 평면까지의 거리는 $\left< 1,-2,4\right>$ 를 $\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right>$ 위로 정사영한 벡터의 길이이므로 $\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> \cdot\left< 1,-2,4\right> =\frac{3}{\sqrt{3}} =\sqrt{3} \end{aligned}$ 이다.

(b) 평면 위의 한 점은 $(0,0,5)$ 이다. $(1,-4,3)$ 에서 $(0,0,5)$ 로 향하는 벡터는 $\left< 0,0,5\right> -\left< 1,-4,3\right> =\left< -1,4,2\right>$ 이다. 평면에 수직인 단위벡터는 $\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right>$ 이다. $(1,-4,3)$ 에서 평면까지의 거리는 $\left< -1,4,2\right>$ 를 $\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right>$ 위로 정사영한 벡터의 길이이므로 다음 값의 절댓값이다.

$\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> \cdot \left< -1,4,2\right> =\frac{-7}{\sqrt{6}}$

따라서 거리는 $7/\sqrt{6}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) One point on the plane is $(0,0,7)$ . The vector from $(-1,2,3)$ to $(0,0,7)$ is $\left< 0,0,7\right> -\left< -1,2,3\right> =\left< 1,-2,4\right>$ . A unit vector perpendicular to the plane is $\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right>$ . The distance from $(-1,2,3)$ to the plane is the length of the projection of $\left< 1,-2,4\right>$ on $\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right>$ which is $\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> \cdot\left< 1,-2,4\right> =\frac{3}{\sqrt{3}} =\sqrt{3} \end{aligned}$

(b) One point on the plane is $(0,0,5)$ . The vector from $(1,-4,3)$ to $(0,0,5)$ is $\left< 0,0,5\right> -\left< 1,-4,3\right> =\left< -1,4,2\right>$ . A unit vector perpendicular to the plane is $\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right>$ . The distance from $(1,-4,3)$ to the plane is the length of the projection of $\left< -1,4,2\right>$ on $\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right>$ which is the absolute value of

$\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> \cdot \left< -1,4,2\right> =\frac{-7}{\sqrt{6}}$

or $7/\sqrt{6}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 20번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

9.CLP-3 · 1.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^3$ 에서 평면 $\Pi$ 가 세 점 $A = (1, 1, 3)$ , $B = (2, 0, 2)$ , $C = (2, 1, 0)$ 을 지난다.

(a) 평면 $\Pi$ 의 방정식을 구하세요. (b) 점 $D = (6, 1, 2)$ 와 $E$ 를 지나는 직선 $L$ 이 $\Pi$ 에 수직이 되도록 하는, 평면 $\Pi$ 위의 점 $E$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

A plane $\Pi$ passes through the points $A = (1, 1, 3)$ , $B = (2, 0, 2)$ and $C = (2, 1, 0)$ in $\mathbb{R}^3$ .

(a) Find an equation for the plane $\Pi$ . (b) Find the point $E$ in the plane $\Pi$ such that the line $L$ through $D = (6, 1, 2)$ and $E$ is perpendicular to $\Pi$ .

정답·풀이 보기

(a) $C$ 에서 $A$ 로 향하는 벡터 $\left< 1-2\,,\,1-1\,,\,3-0\right> = \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>$ 은 완전히 $\Pi$ 안에 놓여 있다. $C$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터 $\left< 2-2\,,\,0-1\,,\,2-0\right> = \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right>$ 도 완전히 $\Pi$ 안에 놓여 있다. 따라서 벡터

$\begin{aligned} \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>\times \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \end{aligned}$

는 $\Pi$ 에 수직이다. 그러면 $\Pi$ 의 방정식은

$\begin{aligned} \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \cdot \left< x-2 \,,\, y-1 \,,\, z \right> = 0 \qquad\text{또는}\qquad 3x+2y+z = 8 \end{aligned}$

이다.

(b) $E$ 를 $(x,y,z)$ 라 하자. 그러면 $D$ 에서 $E$ 로 향하는 벡터 $\left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right>$ 는 $\Pi$ 에 수직인 벡터 $\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right>$ 과 평행해야 한다. 즉, 다음을 만족하는 수 $t$ 가 있어야 한다.

$\begin{aligned} & \left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right> = t \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \\ &\text{또는 }x=6+3t,\ y=1+2t,\ z=2+t \end{aligned}$

$(x,y,z)$ 는 $\Pi$ 위에 있어야 하므로,

$\begin{aligned} 8 = 3x+2y+z = 3(6+3t) + 2(1+2t) +(2+t) = 22 +14 t \implies t=-1 \end{aligned}$

이다. 따라서 $(x,y,z) = \big(6+3(-1)\,,\,1+2(-1)\,,\,2+(-1)\big) = \big(3\,,\,-1\,,\,1\big)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The vector from $C$ to $A$ , namely $\left< 1-2\,,\,1-1\,,\,3-0\right> = \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>$ lies entirely inside $\Pi$ . The vector from $C$ to $B$ , namely $\left< 2-2\,,\,0-1\,,\,2-0\right> = \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right>$ also lies entirely inside $\Pi$ . Consequently, the vector

$\begin{aligned} \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>\times \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \end{aligned}$

is perpendicular to $\Pi$ . The equation of $\Pi$ is then

$\begin{aligned} \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \cdot \left< x-2 \,,\, y-1 \,,\, z \right> = 0 \qquad\text{or}\qquad 3x+2y+z = 8 \end{aligned}$

(b) Let $E$ be $(x,y,z)$ . Then the vector from $D$ to $E$ , namely $\left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right>$ has to be parallel to the vector $\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right>$ , which is perpendicular to $\Pi$ . That is, there must be a number $t$ such that

$\begin{aligned} & \left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right> = t \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \\ &\text{or }x=6+3t,\ y=1+2t,\ z=2+t \end{aligned}$

As $(x,y,z)$ must be in $\Pi$ ,

$\begin{aligned} 8 = 3x+2y+z = 3(6+3t) + 2(1+2t) +(2+t) = 22 +14 t \implies t=-1 \end{aligned}$

So $(x,y,z) = \big(6+3(-1)\,,\,1+2(-1)\,,\,2+(-1)\big) = \big(3\,,\,-1\,,\,1\big)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 8번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

10.CLP-3 · 1.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

$A = (2, 3, 4)$ 라 하고, $L$ 을 방정식 $x + y = 1$ 과 $x + 2y + z = 3$ 으로 주어진 직선이라 하자.

(a) 점 $A$ 를 지나고 $L$ 에 수직인 평면의 방정식을 쓰세요. (b) 점 $A$ 와 직선 $L$ 을 포함하는 평면의 방정식을 쓰세요.

영어 원문 보기

Let $A = (2, 3, 4)$ and let $L$ be the line given by the equations $x + y = 1$ and $x + 2y + z = 3$ .

(a) Write an equation for the plane containing $A$ and perpendicular to $L$ . (b) Write an equation for the plane containing $A$ and $L$ .

정답·풀이 보기

(a), (b) 두 경우 모두 $L$ 의 방향 벡터가 필요하다. 그래서 먼저 하나를 구한다.

벡터 $\left< 1,1,0\right>$ 은 $x + y = 1$ 에 수직이므로 $L$ 에도 수직이다.
벡터 $\left< 1,2,1\right>$ 은 $x + 2y + z = 3$ 에 수직이므로 $L$ 에도 수직이다.

따라서 벡터

$\begin{aligned} \left< 1,1,0\right> \times \left< 1,2,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -1 \,,\, 1 \right> \end{aligned}$

은 $L$ 의 방향 벡터이다.

(a) 이 평면은 점 $(2,3,4)$ 를 지나고 $\left<-1,1,-1 \right>$ 을 법선 벡터로 가져야 한다. 그러므로

$\begin{aligned} \left<-1,1,-1 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{또는}\qquad x-y+z=3 \end{aligned}$

이 조건을 만족한다.

(b) 이 평면은 점 $A=(2,3,4)$ 와 $(1,0,2)$ ( $L$ 위의 점)를 지나야 하므로 벡터 $\left< 2-1,3-0,4-2 \right> =\left< 1,3,2 \right>$ 은 평면에 평행해야 한다. $L$ 의 방향 벡터 $\left< -1 , 1 , -1 \right>$ 도 평면에 평행해야 한다. 따라서 벡터

$\begin{aligned} \left< 1,3,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -5 \,,\, -1 \,,\, 4 \right> \end{aligned}$

는 평면의 법선 벡터이어야 한다. 그러므로

$\begin{aligned} \left<-5,-1,4 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{또는}\qquad 5x+y-4z=-3 \end{aligned}$

이 조건을 만족한다.

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need a direction vector for $L$ in both parts (a) and (b). So we find one first.

The vector $\left< 1,1,0\right>$ is perpendicular to $x + y = 1$ and hence to $L$ .
The vector $\left< 1,2,1\right>$ is perpendicular to $x + 2y + z = 3$ and hence to $L$ .

So the vector

$\begin{aligned} \left< 1,1,0\right> \times \left< 1,2,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -1 \,,\, 1 \right> \end{aligned}$

is a direction vector for $L$ .

(a) The plane is to contain the point $(2,3,4)$ and is to have $\left<-1,1,-1 \right>$ as a normal vector. So

$\begin{aligned} \left<-1,1,-1 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{or}\qquad x-y+z=3 \end{aligned}$

does the job.

(b) The plane is to contain the points $A=(2,3,4)$ and $(1,0,2)$ (which is on $L$ ) so that the vector $\left< 2-1,3-0,4-2 \right> =\left< 1,3,2 \right>$ is to be parallel to the plane. The direction vector of $L$ , namely $\left< -1 , 1 , -1 \right>$ , is also to be parallel to the plane. So the vector

$\begin{aligned} \left< 1,3,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -5 \,,\, -1 \,,\, 4 \right> \end{aligned}$

is to be normal to the plane. So

$\begin{aligned} \left<-5,-1,4 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{or}\qquad 5x+y-4z=-3 \end{aligned}$

does the job.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 11번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

11.CLP-3 · 1.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

평면 $4x + 2y - 4z = 3$ 을 생각하세요. 위 평면과의 거리가 $2$ 인 평행한 평면을 모두 구하세요. 답은 다음 꼴로 나타내세요: $4x + 2y - 4z = C$ .

영어 원문 보기

Consider the plane $4x + 2y - 4z = 3$ . Find all parallel planes that are distance $2$ from the above plane. Your answers should be in the following form: $4x + 2y - 4z = C$ .

정답·풀이 보기

평면 $4x + 2y - 4z = 3$ 에 평행한 평면은 모두 $\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right>$ 를 법선벡터로 가지므로, 어떤 상수 $C$ 에 대해 $4x + 2y - 4z = C$ 꼴의 방정식을 가진다. 평면 $4x + 2y - 4z = 3$ 과 평면 $4x + 2y - 4z = C$ 사이의 거리가 $2$ 가 되는 $C$ 의 값을 구해야 한다. 평면 $4x + 2y - 4z = 3$ 위의 한 점은 $\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ 이다. 다음을 만족하는 두 점 $(x',y',z')$ 은

$\begin{aligned} \overbrace{\left< x'-0\,,\,y'-\frac{3}{2}\,,\,z'-0\right>}^{\text{$\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ 에서 $(x',y',z')$ 로 가는 벡터}} =\pm 2\ \overbrace{\frac{\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right>}{\sqrt{16+4+16}}}^{\text{단위벡터}} =\pm \frac{2}{6} \left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> =\pm\left< \frac{4}{3}\,,\,\frac{2}{3}\,,\,-\frac{4}{3}\right> \end{aligned}$

법선 방향으로 $\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ 에서 거리가 $2$ 만큼 떨어진 두 점이다. 이 두 점 $(x',y',z')$ 은

$\begin{aligned} \left(0+\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}+\frac{2}{3}\,,\,0-\frac{4}{3}\right) &=\left(\frac{4}{3}\,,\, \frac{13}{6}\,,\,-\frac{4}{3}\right) \\\text{ 그리고 } \left(0-\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}-\frac{2}{3}\,,\,0+\frac{4}{3}\right) &=\left(-\frac{4}{3}\,,\, \frac{5}{6}\,,\,\frac{4}{3}\right) \end{aligned}$

이다. 이 두 점은 구하려는 평면 위에 있으므로, 구하려는 두 평면은

$\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times 4}{3} +\frac{2\times 13}{6}-\frac{-4\times 4}{3} =\frac{32+26+32}{6} =15 \end{aligned}$

과

$\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times(-4)}{3} +\frac{2\times 5}{6}-\frac{4\times 4}{3} =\frac{-32+10-32}{6} =-9 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

All planes that are parallel to the plane $4x + 2y - 4z = 3$ must have $\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right>$ as a normal vector and hence must have an equation of the form $4x + 2y - 4z = C$ for some constant $C$ . We must find the $C$ 's for which the distance from $4x + 2y - 4z = 3$ to $4x + 2y - 4z = C$ is $2$ . One point on $4x + 2y - 4z = 3$ is $\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ . The two points $(x',y',z')$ with

$\begin{aligned} \overbrace{\left< x'-0\,,\,y'-\frac{3}{2}\,,\,z'-0\right>}^{\text{vector from $\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ to $(x',y',z')$}} =\pm 2\ \overbrace{\frac{\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right>}{\sqrt{16+4+16}}}^{\text{unit vector}} =\pm \frac{2}{6} \left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> =\pm\left< \frac{4}{3}\,,\,\frac{2}{3}\,,\,-\frac{4}{3}\right> \end{aligned}$

are the two points that are a distance $2$ from $\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ in the direction of the normal.The two points $(x',y',z')$ are

$\begin{aligned} \left(0+\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}+\frac{2}{3}\,,\,0-\frac{4}{3}\right) &=\left(\frac{4}{3}\,,\, \frac{13}{6}\,,\,-\frac{4}{3}\right) \\\text{ and } \left(0-\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}-\frac{2}{3}\,,\,0+\frac{4}{3}\right) &=\left(-\frac{4}{3}\,,\, \frac{5}{6}\,,\,\frac{4}{3}\right) \end{aligned}$

These two points lie on the desired planes, so the two desired planes are

$\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times 4}{3} +\frac{2\times 13}{6}-\frac{-4\times 4}{3} =\frac{32+26+32}{6} =15 \end{aligned}$

and

$\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times(-4)}{3} +\frac{2\times 5}{6}-\frac{4\times 4}{3} =\frac{-32+10-32}{6} =-9 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 12번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

12.CLP-3 · 1.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

점 $(1,2,3)$ 에서 세 점 $(0,1,1)$ , $(1,-1,3)$ , $(2,0,-1)$ 을 지나는 평면까지의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the distance from the point $(1,2,3)$ to the plane that passes through the points $(0,1,1)$ , $(1,-1,3)$ and $(2,0,-1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

두 벡터

$\begin{aligned} \mathbf{a}&=\left< 1,-1,3\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 1,-2, 2\right> \\ \mathbf{b}&=\left< 2,0,-1\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 2,-1,-2\right> \end{aligned}$

는 모두 평면 안에 완전히 놓여 있다. 따라서 벡터

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{matrix}\right] =\left< 6,6,3\right>$

은 평면에 수직이다. 벡터 $\mathbf{c}=\frac{1}{3}\left< 6,6,3\right> =\left< 2,2,1\right>$ 도 평면에 수직이다. 벡터

$\mathbf{d}=\left< 1,2,3\right>-\left< 0,1,1\right>=\left< 1,1,2\right>$

는 평면 위의 점과 주어진 점을 잇는다. 따라서 $\theta$ 가 $\mathbf{d}$ 와 $\mathbf{c}$ 사이의 각이면, 거리는

$|\mathbf{d}|\cos\theta=\frac{\mathbf{c}\cdot\mathbf{d}}{|\mathbf{c}|}=\frac{6}{\sqrt{9}}=2$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The two vectors

$\begin{aligned} \mathbf{a}&=\left< 1,-1,3\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 1,-2, 2\right> \\ \mathbf{b}&=\left< 2,0,-1\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 2,-1,-2\right> \end{aligned}$

both lie entirely inside the plane. So the vector

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{matrix}\right] =\left< 6,6,3\right>$

is perpendicular to the plane. The vector $\mathbf{c}=\frac{1}{3}\left< 6,6,3\right> =\left< 2,2,1\right>$ is also perpendicular to the plane. The vector

$\mathbf{d}=\left< 1,2,3\right>-\left< 0,1,1\right>=\left< 1,1,2\right>$

joins the point to the plane. So, if $\theta$ is the angle between $\mathbf{d}$ and $\mathbf{c}$ , the distance is

$|\mathbf{d}|\cos\theta=\frac{\mathbf{c}\cdot\mathbf{d}}{|\mathbf{c}|}=\frac{6}{\sqrt{9}}=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.3절 · 1번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

13.CLP-3 · 1.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

각각의 경우에 대해, 주어진 두 직선이 만나는지 판단하세요. 또한 두 직선을 모두 포함하는 평면을 모두 구하세요.

(a) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ 과 $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (b) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ 과 $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (c) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -2,-2,2\right>$ 과 $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (d) $\left< x,y,z\right> = \left< 3,2,-2\right>+t\left< -2,-2,2\right>$ 과 $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

영어 원문 보기

In each case, determine whether or not the given pair of lines intersect. Also find all planes containing the pair of lines.

(a) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ and $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (b) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ and $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (c) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -2,-2,2\right>$ and $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (d) $\left< x,y,z\right> = \left< 3,2,-2\right>+t\left< -2,-2,2\right>$ and $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

정답·풀이 보기

(a) 방정식 $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ 의 매개변수 $t$ 의 값이 방정식 $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ 의 매개변수 $t$ 의 값과 같을 필요는 없다. 따라서 첫 번째 방정식의 매개변수 이름을 $t$ 에서 $s$ 로 바꾸는 것이 훨씬 안전하다. 점 $(x,y,z)$ 가 두 직선 위에 모두 놓이려면

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

이어야 한다. 이는 세 성분별 등식을 쓰고 $s$ 와 $t$ 를 포함한 항은 모두 좌변으로, 상수는 우변으로 옮긴 다음과 같은 식과 같다.

$\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -2 \end{aligned}$

마지막 두 식을 더하면 $3s=-3$ 이므로 $s=-1$ 이다. 이를 마지막 식에 대입하면 $t=-1$ 이다. $s=t=-1$ 은 세 식을 모두 만족하므로 $\left< x,y,z\right>=\left< -3,2,4\right>-\left< -4,2,1\right>=\left< 1,0,3\right>$ 은 두 직선 위에 모두 놓인다. 두 직선을 모두 포함하는 평면은 두 방향 벡터 $\left< -4,2,1\right>$ 과 $\left< 1,1,-1\right>$ 에 모두 평행해야 한다. 따라서 이 평면의 법선 벡터는 두 방향 벡터에 수직이어야 하고, 즉 $\left< -4,2,1\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< -3,-3,-6\right>=-3\left< 1,1,2\right>$ 에 평행해야 한다. 이 평면은 $(1,0,3)$ 을 지나고 $\left< 1,1,2\right>$ 에 수직이다. 평면의 방정식은 $\left< 1,1,2\right>\cdot\left< x-1,y,z-3\right>=0$ , 즉 $x+y+2z=7$ 이다. 이는 $\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right>$ 과 $\left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ 이 각각 모든 $s$ 와 $t$ 에 대해 $x+y+2z=7$ 을 만족함을 확인하여 검증할 수 있다.

(b) 점 $(x,y,z)$ 가 두 직선 위에 모두 놓이려면

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

이어야 한다. 이는 세 성분별 등식을 쓰고 $s$ 와 $t$ 를 포함한 항은 모두 좌변으로, 상수는 우변으로 옮긴 다음과 같은 식과 같다.

$\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -5 \end{aligned}$

마지막 두 식을 더하면 $3s=-6$ 이므로 $s=-2$ 이다. 이를 마지막 식에 대입하면 $t=-3$ 이다. 그런데 $s=-2,\ t=-3$ 을 첫 번째 식에 대입하면 $11=5$ 가 되어 불가능하다. 두 직선은 만나지 않는다. 두 직선이 한 평면에 놓이면서 만나지 않으려면 평행해야 한다. 따라서 이 경우에는 두 직선을 모두 포함하는 평면은 없다.

(c) 점 $(x,y,z)$ 가 두 직선 위에 모두 놓이려면

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -2,-2,2\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

이어야 한다. 이는 세 성분별 등식을 쓰고 $s$ 와 $t$ 를 포함한 항은 모두 좌변으로, 상수는 우변으로 옮긴 다음과 같은 식과 같다.

$\begin{aligned} -2s -t &= 5\\ -2s -t &= -1\\ 2s +t &= -5 \end{aligned}$

첫 번째 식과 두 번째 식은 분명히 모순이다. 두 직선은 만나지 않는다. 두 직선을 모두 포함하는 평면은 $\left< 1,1,-1\right>$ 에 평행해야 하고(따라서 $\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right>$ 에도 자동으로 평행하다), 또한 첫 번째 직선 위의 점 $(-3,2,4)$ 에서 두 번째 직선 위의 점 $(2,1,-1)$ 로 향하는 벡터에도 평행해야 한다. 이 벡터는 $\left< 5,-1,-5\right>$ 이다. 따라서 평면의 법선 벡터는 $\left< 5,-1,-5\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< 6,0,6\right>=6\left< 1,0,1\right>$ 이다. $(2,1,-1)$ 을 지나고 $\left< 1,0,1\right>$ 에 수직인 평면은 $\left< 1,0,1\right>\cdot\left< x-2,y-1,z+1\right>=0$ , 즉 $x+z=1$ 이다.

(d) 이번에도 $\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right>$ 이므로 두 직선은 평행하다. 게다가 점 $\left< 3,2,-2\right>=\left< 3,2,-2\right>+0\left< -2,-2,2\right> =\left< 2,1,-1\right>+1\left< 1,1,-1\right>$ 은 두 직선 위에 모두 놓인다. 따라서 두 직선은 만날 뿐만 아니라 일치한다. 점 $(3,2,-2)$ 를 지나고 $\left< 1,1,-1\right>$ 에 평행한 평면은 모두 두 직선을 포함한다. 일반적으로 평면 $ax+by+cz=d$ 가 $(3,2,-2)$ 를 지날 필요충분조건은 $d=3a+2b-2c$ 이고, $\left< 1,1,-1\right>$ 에 평행할 필요충분조건은 $\left< a,b,c\right>\cdot\left< 1,1,-1\right>=a+b-c=0$ 이다. 따라서 (둘 다 0은 아닌) 임의의 $a$ , $b$ 에 대해 $ax+by+(a+b)z=a$ 가 조건을 만족한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Note that the value of the parameter $t$ in the equation $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ need not have the same value as the parameter $t$ in the equation $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ . So it is much safer to change the name of the parameter in the first equation from $t$ to $s$ . In order for a point $(x,y,z)$ to lie on both lines we need

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

or equivalently, writing out the three component equations and moving all $s$ 's and $t$ 's to the left and constants to the right,

$\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -2 \end{aligned}$

Adding the last two equations together gives $3s=-3$ or $s=-1$ . Substituting this into the last equation gives $t=-1$ . Note that $s=t=-1$ does indeed satisfy all three equations so that $\left< x,y,z\right>=\left< -3,2,4\right>-\left< -4,2,1\right>=\left< 1,0,3\right>$ lies on both lines. Any plane that contains the two lines must be parallel to both direction vectors $\left< -4,2,1\right>$ and $\left< 1,1,-1\right>$ . So its normal vector must be perpendicular to them, i.e. must be parallel to $\left< -4,2,1\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< -3,-3,-6\right>=-3\left< 1,1,2\right>$ . The plane must contain $(1,0,3)$ and be perpendicular to $\left< 1,1,2\right>$ . Its equation is $\left< 1,1,2\right>\cdot\left< x-1,y,z-3\right>=0$ or $x+y+2z=7$ . This can be checked by verifying that $\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right>$ and $\left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ obey $x+y+2z=7$ for all $s$ and $t$ respectively.

(b) In order for a point $(x,y,z)$ to lie on both lines we need

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

or equivalently, writing out the three component equations and moving all $s$ 's and $t$ 's to the left and constants to the right,

$\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -5 \end{aligned}$

Adding the last two equations together gives $3s=-6$ or $s=-2$ . Substituting this into the last equation gives $t=-3$ . However, substituting $s=-2,\ t=-3$ into the first equation gives $11=5$ , which is impossible. The two lines do not intersect. In order for two lines to lie in a common plane and not intersect, they must be parallel. So, in this case no plane contains the two lines.

(c) In order for a point $(x,y,z)$ to lie on both lines we need

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -2,-2,2\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

or equivalently, writing out the three component equations and moving all $s$ 's and $t$ 's to the left and constants to the right,

$\begin{aligned} -2s -t &= 5\\ -2s -t &= -1\\ 2s +t &= -5 \end{aligned}$

The first two equations are obviously contradictory. The two lines do not intersect. Any plane containing the two lines must be parallel to $\left< 1,1,-1\right>$ (and hence automatically parallel to $\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right>$ ) and must also be parallel to the vector from the point $(-3,2,4)$ , which lies on the first line, to the point $(2,1,-1)$ , which lies on the second. The vector is $\left< 5,-1,-5\right>$ . Hence the normal to the plane is $\left< 5,-1,-5\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< 6,0,6\right>=6\left< 1,0,1\right>$ . The plane perpendicular to $\left< 1,0,1\right>$ containing $(2,1,-1)$ is $\left< 1,0,1\right>\cdot\left< x-2,y-1,z+1\right>=0$ or $x+z=1$ .

(d) Again the two lines are parallel, since $\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right>$ . Furthermore the point $\left< 3,2,-2\right>=\left< 3,2,-2\right>+0\left< -2,-2,2\right> =\left< 2,1,-1\right>+1\left< 1,1,-1\right>$ lies on both lines. So the two lines not only intersect but are identical. Any plane that contains the point $(3,2,-2)$ and is parallel to $\left< 1,1,-1\right>$ contains both lines. In general, the plane $ax+by+cz=d$ contains $(3,2,-2)$ if and only if $d=3a+2b-2c$ and is parallel to $\left< 1,1,-1\right>$ if and only if $\left< a,b,c\right>\cdot\left< 1,1,-1\right>=a+b-c=0$ . So, for arbitrary $a$ and $b$ (not both zero) $ax+by+(a+b)z=a$ works.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.6절 · 31번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

14.CLP-3 · 1.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

점 $(2,-1,-1)$ 을 지나고 두 평면 $x+y=0$ 과 $x-y+2z=0$ 에 각각 평행한 직선의 방정식을 구하세요. 이 직선의 방정식을 벡터 매개변수 형태, 스칼라 매개변수 형태, 대칭형으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the equation(s) of the line through $(2,-1,-1)$ and parallel to each of the two planes $x+y=0$ and $x-y+2z=0$ . Express the equation(s) of the line in vector and scalar parametric forms and in symmetric form.

정답·풀이 보기

먼저 다음을 관찰하자.

$\left< 1,1,0\right>$ 은 $x+y=0$ 에 수직이므로 직선에도 수직이다.
$\left< 1,-1,2\right>$ 은 $x-y+2z=0$ 에 수직이므로 직선에도 수직이다.

따라서

$\begin{aligned} \left< 1\,,\,1\,,\,0\right> \times \left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right> \end{aligned}$

은 $\left< 1,1,0\right>$ 과 $\left< 1,-1,2\right>$ 모두에 수직이다. 그러므로 $\frac{1}{2}\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right>=\left< 1,-1,-1\right>\>$ 도 $\left< 1,1,0\right>$ 과 $\left< 1,-1,2\right>$ 모두에 수직이고, 따라서 직선에 평행하다. 점 $(2,-1,-1)$ 이 직선 위에 있으므로 직선의 벡터 방정식은 다음과 같다.

$\left< x-2,y+1,z+1\right>= t\left< 1,-1,-1\right>$

직선의 스칼라 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} x-2=t,\ y+1=-t,\ z+1=-t \text{또는} x=2+t,\ y=-1-t,\ z=-1-t \end{aligned}$

직선의 대칭 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} (t=)\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{-1} \text{또는} x-2=-y-1=-z-1 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

First observe that

$\left< 1,1,0\right>$ is perpendicular to $x+y=0$ and hence to the line, and
$\left< 1,-1,2\right>$ is perpendicular to $x-y+2z=0$ and hence to the line.

Consequently

$\begin{aligned} \left< 1\,,\,1\,,\,0\right> \times \left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right> \end{aligned}$

is perpendicular to both $\left< 1,1,0\right>$ and $\left< 1,-1,2\right>$ . So $\frac{1}{2}\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right>=\left< 1,-1,-1\right>\>$ is also perpendicular to both $\left< 1,1,0\right>$ and $\left< 1,-1,2\right>$ and hence is parallel to the line. As the point $(2,-1,-1)$ is on the line, the vector equation of the line is

$\left< x-2,y+1,z+1\right>= t\left< 1,-1,-1\right>$

The scalar parametric equations for the line are

$\begin{aligned} x-2=t,\ y+1=-t,\ z+1=-t \text{or} x=2+t,\ y=-1-t,\ z=-1-t \end{aligned}$

The symmetric equations for the line are

$\begin{aligned} (t=)\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{-1} \text{or} x-2=-y-1=-z-1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 5번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

15.CLP-3 · 1.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

직선 $L$ 은 평면 $2x + y - z = 5$ 에 평행하고 직선 $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ , $z = 3t$ 에 수직이다.

(a) 직선 $L$ 에 평행한 벡터를 구하세요. (b) 직선 $L$ 이 점 $Q(a, b, c)$ 를 지난다고 할 때, 직선 $L$ 의 매개변수 방정식을 구하세요. 여기서 $a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ 이고, $Q$ 에서 $xy$ –평면, $xz$ –평면, $yz$ –평면까지의 거리는 각각 $2$ , $3$ , $4$ 이다.

영어 원문 보기

Let $L$ be a line which is parallel to the plane $2x + y - z = 5$ and perpendicular to the line $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ and $z = 3t$ .

(a) Find a vector parallel to the line $L$ . (b) Find parametric equations for the line $L$ if $L$ passes through a point $Q(a, b, c)$ where $a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , and the distances from $Q$ to the $xy$ –plane, the $xz$ –plane and the $yz$ –plane are $2$ , $3$ and $4$ respectively.

정답·풀이 보기

(a) 직선 $L$ 은 평면 $2x + y - z = 5$ 의 법선 벡터인 $\left< 2\,,\,1\,,\,-1\right>$ 과, 직선 $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ , $z = 3t$ 의 방향 벡터인 $\left< -1\,,\,-2\,,\,3\right>$ 모두에 수직이어야 한다. 이러한 벡터는 모두 다음 벡터에 0이 아닌 상수를 곱한 것이다.

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,1\,,\,-1\right> \times \left< -1\,,\,-2\,,\,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -5 \,,\, -3 \right> \end{aligned}$

(b) 점 $Q(a, b, c)$ 에 대하여

$xy$ –평면까지의 거리가 $2$ 이려면 $|c|=2$ 이어야 하고,
$xz$ –평면까지의 거리가 $3$ 이려면 $|b|=3$ 이어야 하고,
$yz$ –평면까지의 거리가 $4$ 이려면 $|a|=4$ 이어야 한다.

$a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ 이므로 점 $Q$ 는 $(-4, 3, 2)$ 이고 직선 $L$ 은

$x = -4 + t \qquad y = 3 - 5t \qquad z = 2 - 3t$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The line $L$ must be perpendicular both to $\left< 2\,,\,1\,,\,-1\right>$ , which is a normal vector for the plane $2x + y - z = 5$ , and to $\left< -1\,,\,-2\,,\,3\right>$ , which is a direction vector for the line $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ and $z = 3t$ . Any such vector must be a nonzero constant times

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,1\,,\,-1\right> \times \left< -1\,,\,-2\,,\,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -5 \,,\, -3 \right> \end{aligned}$

(b) For the point $Q(a, b, c)$

to be a distance $2$ from the $xy$ –plane, it is necessary that $|c|=2$ , and
to be a distance $3$ from the $xz$ –plane, it is necessary that $|b|=3$ , and
to be a distance $4$ from the $yz$ –plane, it is necessary that $|a|=4$ .

As $a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , the point $Q$ is $(-4, 3, 2)$ and the line $L$ is

$x = -4 + t \qquad y = 3 - 5t \qquad z = 2 - 3t$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 11번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

16.CLP-3 · 1.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

$L$ 을 평면 $x + y + z = 6$ 과 $x - y + 2z = 0$ 의 교선이라 하자.

(a) 직선 $L$ 이 좌표평면과 만나는 점을 구하세요. (b) 점 $(10, 11, 13)$ 을 지나고 직선 $L$ 에 수직이며 평면 $y = z$ 에 평행한 직선의 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $L$ be the line of intersection of the planes $x + y + z = 6$ and $x - y + 2z = 0$ .

(a) Find the points in which the line $L$ intersects the coordinate planes. (b) Find parametric equations for the line through the point $(10, 11, 13)$ that is perpendicular to the line $L$ and parallel to the plane $y = z$ .

정답·풀이 보기

(a) 직선 $L$ 이 $xy$ 평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , 그리고 $z=0$ 을 만족한다. $z=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $x + y = 6$ , $x - y = 0$ 으로 간단해진다. 따라서 교점은 $(3,3,0)$ 이다.

직선 $L$ 이 $xz$ 평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , 그리고 $y=0$ 을 만족한다. $y=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $x + z = 6$ , $x +2z = 0$ 으로 간단해진다. $x=-2z$ 를 $x+z=6$ 에 대입하면 $-z=6$ 이다. 따라서 교점은 $(12,0,-6)$ 이다.

직선 $L$ 이 $yz$ 평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , 그리고 $x=0$ 을 만족한다. $x=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $y + z = 6$ , $-y +2z = 0$ 으로 간단해진다. $y=2z$ 를 $y+z=6$ 에 대입하면 $3z=6$ 이다. 따라서 교점은 $(0,4,2)$ 이다.

(b) 핵심은 이 직선의 방향벡터 $\mathbf{d}$ 를 구하는 것이다.

직선이 $y=z$ 에 평행해야 하므로, $\mathbf{d}$ 는 $y=z$ 의 법선벡터 $\left< 0,1,-1\right>$ 에 수직이어야 한다.
또한 $\mathbf{d}$ 는 $L$ 에도 수직이어야 한다. 점 $(x,y,z)$ 가 $L$ 위에 있으려면 $x+y = 6-z$ 와 $x-y =-2z$ 를 만족해야 한다. 이 두 식을 더하면 $2x=6-3z$ 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 $2y= 6+z$ 이다. 따라서 점 $(x,y,z)$ 가 $L$ 위에 있으려면 $x=3-\frac{3z}{2}$ , $y=3+\frac{z}{2}$ 를 만족해야 한다. $L$ 위의 점 중 $z=0$ 인 점은 $(3,3,0)$ 이고 $z=2$ 인 점은 $(0,4,2)$ 이다. 따라서 $\left< 0-3,4-3,2-0 \right>=\left< -3,1,2 \right>$ 는 $L$ 의 방향벡터이다.

그러므로 $\mathbf{d}$ 는 $\left< 0,1,-1\right>$ 과 $\left< -3,1,2 \right>$ 모두에 수직이어야 하고, 따라서 다음 벡터의 0이 아닌 상수배이다.

$\begin{aligned} \left< 0,1,-1\right> \times \left< -3,1,2 \right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right> \end{aligned}$

$\mathbf{d}=\frac{1}{3}\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right>=\left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$ 로 택한다. 따라서

$\left< x,y,z\right> = \left< 10,11,13\right> + t \left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$

는 이 직선의 벡터 매개변수 방정식이다. 이를 $x=10+t$ , $y=11+t$ , $z=13+t$ 로 쓸 수도 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The line $L$ intersects the $xy$ –plane when $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , and $z=0$ . When $z=0$ the equations of $L$ reduce to $x + y = 6$ , $x - y = 0$ . So the intersection point is $(3,3,0)$ .

The line $L$ intersects the $xz$ –plane when $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , and $y=0$ . When $y=0$ the equations of $L$ reduce to $x + z = 6$ , $x +2z = 0$ . Substituting $x=-2z$ into $x+z=6$ gives $-z=6$ . So the intersection point is $(12,0,-6)$ .

The line $L$ intersects the $yz$ –plane when $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , and $x=0$ . When $x=0$ the equations of $L$ reduce to $y + z = 6$ , $-y +2z = 0$ . Substituting $y=2z$ into $y+z=6$ gives $3z=6$ . So the intersection point is $(0,4,2)$ .

(b) Our main job is to find a direction vector $\mathbf{d}$ for the line.

Since the line is to be parallel to $y=z$ , $\mathbf{d}$ must be perpendicular to the normal vector for $y=z$ , which is $\left< 0,1,-1\right>$ .
$\mathbf{d}$ must also be perpendicular to $L$ . For a point $(x,y,z)$ to be on $L$ it must obey $x+y = 6-z$ and $x-y =-2z$ . Adding these two equations gives $2x=6-3z$ and subtracting the second equation from the first gives $2y= 6+z$ . So for a point $(x,y,z)$ to be on $L$ it must obey $x=3-\frac{3z}{2}$ , $y=3+\frac{z}{2}$ . The point on $L$ with $z=0$ is $(3,3,0)$ and the point on $L$ with $z=2$ is $(0,4,2)$ . So $\left< 0-3,4-3,2-0 \right>=\left< -3,1,2 \right>$ is a direction vector for $L$ .

So $\mathbf{d}$ must be perpendicular to both $\left< 0,1,-1\right>$ and $\left< -3,1,2 \right>$ and so must be a nonzero constant times

$\begin{aligned} \left< 0,1,-1\right> \times \left< -3,1,2 \right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right> \end{aligned}$

We choose $\mathbf{d}=\frac{1}{3}\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right>=\left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$ . So

$\left< x,y,z\right> = \left< 10,11,13\right> + t \left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$

is a vector parametric equation for the line. We can also write this as $x=10+t$ , $y=11+t$ , $z=13+t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 10번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

17.CLP-3 · 1.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 두 평면

$x + y + z = 11\qquad \text{그리고}\qquad x - y - z = 13.$

의 교선에 대한 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the parametric equation for the line of intersection of the planes

$x + y + z = 11\qquad \text{and}\qquad x - y - z = 13.$

정답·풀이 보기

$z$ 를 매개변수로 쓰고 $t$ 라 하자. 그러면 $z=t$ 이고

$\begin{aligned} x+y&=11-t \\ x-y&=13+t \end{aligned}$

이다. 두 방정식을 더하면 $2x=24$ 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 $2y=-2-2t$ 이다. 따라서

$(x,y,z) = \big(12\,,\,-1-t\,,\,t\big)$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's use $z$ as the parameter and call it $t$ . Then $z=t$ and

$\begin{aligned} x+y&=11-t \\ x-y&=13+t \end{aligned}$

Adding the two equations gives $2x=24$ and subtracting the second equation from the first gives $2y=-2-2t$ . So

$(x,y,z) = \big(12\,,\,-1-t\,,\,t\big)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 7번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

18.CLP-3 · 1.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

(a) $(2, 5, -3)$ 과 $(-3, 6, 1)$ 에서 같은 거리에 있는 $y$ 축 위의 점을 구하세요. (b) 점 $(1, 3, 1)$ 과 직선 $\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (t + 2)\,\hat{\mathbf{k}}$ 를 포함하는 평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find a point on the y-axis equidistant from $(2, 5, -3)$ and $(-3, 6, 1)$ . (b) Find the equation of the plane containing the point $(1, 3, 1)$ and the line $\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (t + 2)\,\hat{\mathbf{k}}$ .

정답·풀이 보기

(a) $y$ 축 위의 점 $(0,y,0)$ 이 $(2, 5, -3)$ 과 $(-3, 6, 1)$ 에서 같은 거리에 있을 필요충분조건은

$\begin{aligned} &\big|\left< 2, 5, -3\right>-\left< 0,y,0\right>\big| =\big|\left< -3, 6, 1\right>-\left< 0,y,0\right>\big| \\ &\iff 2^2+(5-y)^2+(-3)^2=(-3)^2+(6-y)^2+1^2 \\ &\iff 2y=8 \\ &\iff y=4 \end{aligned}$

이다.

(b) 두 점 $(1,3,1)$ 과 $\mathbf{r}(0)=(0,0,2)$ 는 모두 평면 위에 있다. 따라서 두 점을 잇는 벡터 $\left< 1,3,1\right>-\left< 0,0,2\right>=\left< 1,3,-1\right>$ 과 직선의 방향벡터 $\left< 1,1,1\right>$ 은 모두 평면과 평행하다. 그러므로

$\left< 1,3,-1\right>\times \left< 1,1,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&3&-1 \\ 1&1&1 \end{matrix}\right] = \left< 4,-2,-2\right>$

은 평면에 수직이다. 점 $(0,0,2)$ 가 평면 위에 있고 벡터 $\left< 4,-2,-2\right>$ 가 평면에 수직이므로, 평면의 방정식은

$4(x-0)-2(y-0)-2(z-2)=0\text{ 또는 } 2x-y-z=-2$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The point $(0,y,0)$ , on the $y$ –axis, is equidistant from $(2, 5, -3)$ and $(-3, 6, 1)$ if and only if

$\begin{aligned} &\big|\left< 2, 5, -3\right>-\left< 0,y,0\right>\big| =\big|\left< -3, 6, 1\right>-\left< 0,y,0\right>\big| \\ &\iff 2^2+(5-y)^2+(-3)^2=(-3)^2+(6-y)^2+1^2 \\ &\iff 2y=8 \\ &\iff y=4 \end{aligned}$

(b) The points $(1,3,1)$ and $\mathbf{r}(0)=(0,0,2)$ are both on the plane. Hence the vector $\left< 1,3,1\right>-\left< 0,0,2\right>=\left< 1,3,-1\right>$ joining them, and the direction vector of the line, namely $\left< 1,1,1\right>$ are both parallel to the plane. So

$\left< 1,3,-1\right>\times \left< 1,1,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&3&-1 \\ 1&1&1 \end{matrix}\right] = \left< 4,-2,-2\right>$

is perpendicular to the plane. As the point $(0,0,2)$ is on the plane and the vector $\left< 4,-2,-2\right>$ is perpendicular to the plane, the equation of the plane is

$4(x-0)-2(y-0)-2(z-2)=0\text{ or } 2x-y-z=-2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 16번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

19.CLP-3 · 1.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 곡선을 생각하세요.

$\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) $t = 0$ 에서 $t = \frac{\pi}{2}$ 까지 곡선의 길이를 구하세요. (b) $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the curve

$\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) Compute the arc length of the curve from $t = 0$ to $t = \frac{\pi}{2}$ . (b) Compute the arc length of the curve from $t = 0$ to $t = \pi$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}$

이므로 $t = 0$ 에서 $t = \frac{\pi}{2}$ 까지 곡선의 길이는

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{여기서 } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}$

이다.

(b) $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이는

$\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{절댓값 기호를 잊지 마세요!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}$

이다. 피적분함수가 $t\rightarrow\pi-t$ 에 대해 변하지 않기 때문이다. 따라서 $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이는 (a)에서 구한 곡선의 길이의 2배, 즉 $\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) As

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}$

the arclength from $t = 0$ to $t = \frac{\pi}{2}$ is

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{with } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}$

(b) The arclength from $t = 0$ to $t = \pi$ is

$\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{Don't forget the absolute value signs!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}$

since the integrand is invariant under $t\rightarrow\pi-t$ . So the arc length from $t = 0$ to $t = \pi$ is just twice the arc length from part (a), namely $\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 26번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

20.CLP-3 · 1.6절 · 18번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)$ , $t\ge 0$ 이라 하자. 시각 $t$ 에서 곡선의 길이 $s(t$ ) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)$ , $t\ge 0$ . Compute $s(t$ ), the arclength of the curve at time $t$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}$

이므로 곡선의 길이는

$\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}$

the length of the curve is

$\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 19번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

벡터와 공간 전체 문제