벡터와 공간 전체 연습문제

1141.CLP-4 · 1.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 매개변수 곡선의 길이를 구하세요.

$x=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt$

단, $t=0$ 에서 $t=T>0$ 까지입니다.

영어 원문 보기

Find the length of the parametric curve

$x=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt$

between $t=0$ and $t=T>0$ .

정답·풀이 보기

다음이 성립하므로

$\begin{aligned} x'(t)&=a\big[\cos^2 t-\sin^2 t\big]=a\cos 2t\\ y'(t)&=2a\sin t\cos t=a\sin 2t\\ z'(t)&=b \end{aligned}$

다음을 얻는다.

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

속력 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)$ 가 상수이므로, 곡선의 길이는 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,T=\sqrt{a^2+b^2}\,T$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

$\begin{aligned} x'(t)&=a\big[\cos^2 t-\sin^2 t\big]=a\cos 2t\\ y'(t)&=2a\sin t\cos t=a\sin 2t\\ z'(t)&=b \end{aligned}$

we have

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

As the speed $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)$ is constant, the length is just $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,T=\sqrt{a^2+b^2}\,T$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 19번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

1142.CLP-4 · 1.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

평면 $\ z=2x+3y\$ 이 원기둥 $\ x^2+y^2=9\$ 와 만나서 타원을 이룹니다.

(a) 이 타원의 매개변수 표현을 구하세요. (b) 이 타원의 둘레를 적분으로 나타내세요. 적분을 계산할 필요는 없습니다. (여기에 나오는 부정적분은 타원의 호의 길이와 관련되어 있어서 타원 적분이라고 불리는 적분들 중 하나입니다. 일반적으로 타원 적분은 초등함수로 나타낼 수 없습니다. 즐겨 쓰는 검색 엔진으로 타원 적분에 관한 설명을 쉽게 찾아볼 수 있습니다.)

영어 원문 보기

The plane $\ z=2x+3y\$ intersects the cylinder $\ x^2+y^2=9\$ in an ellipse.

(a) Find a parametrization of the ellipse. (b) Express the circumference of this ellipse as an integral. You need not evaluate the integral (The indefinite integral involved is one of a class of integrals called elliptic integrals because of their connections to arc lengths of ellipses. In general, elliptic integrals cannot be expressed in terms of elementary functions. You can easily find discussions of elliptic integrals using your favourite search engine.).

정답·풀이 보기

(a) 원 $\ x^2+y^2=9\$ 는 $x(\theta)=3\cos\theta$ , $y(\theta)=3\sin\theta$ 로 매개변수 표현할 수 있고, 이때 $\theta$ 는 $0$ 부터 $2\pi$ 까지 변한다. $z=2x+3y$ 이므로 타원은 다음과 같이 매개변수 표현할 수 있다.

$x(\theta)=3\cos\theta,\ y(\theta)=3\sin\theta,\ z(\theta)=2x(\theta)+3 y(\theta) =6\cos\theta+9\sin\theta,\ 0\le\theta\le 2\pi$

(b) 다음이 성립하므로

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2+z'(\theta)^2}\\ &=\sqrt{9\sin^2\theta+9\cos^2\theta+36\sin^2\theta +81\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\\ &=\sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta} \end{aligned}$

타원의 둘레는 다음과 같다.

$s=\int_0^{2\pi} \sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta$

원본 교재 풀이(영어)

(a) We can parametrize the circle $\ x^2+y^2=9\$ as $x(\theta)=3\cos\theta$ , $y(\theta)=3\sin\theta$ with $\theta$ running from $0$ to $2\pi$ . As $z=2x+3y$ , the ellipse can be parametrized by

$x(\theta)=3\cos\theta,\ y(\theta)=3\sin\theta,\ z(\theta)=2x(\theta)+3 y(\theta) =6\cos\theta+9\sin\theta,\ 0\le\theta\le 2\pi$

(b) As

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2+z'(\theta)^2}\\ &=\sqrt{9\sin^2\theta+9\cos^2\theta+36\sin^2\theta +81\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\\ &=\sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta} \end{aligned}$

the circumference is

$s=\int_0^{2\pi} \sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 29번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

1143.CLP-4 · 1.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

곡선

$\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}$

을 생각하세요.

(a) $t = 0$ 에서 $t = \frac{\pi}{2}$ 까지 곡선의 길이를 구하세요. (b) $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the curve

$\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) Compute the arc length of the curve from $t = 0$ to $t = \frac{\pi}{2}$ . (b) Compute the arc length of the curve from $t = 0$ to $t = \pi$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}$

이므로 $t = 0$ 에서 $t = \frac{\pi}{2}$ 까지 곡선의 길이는

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{여기서 } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}$

이다.

(b) $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이는

$\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{절댓값 기호를 잊지 말 것!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}$

이다. 피적분함수가 $t\rightarrow\pi-t$ 에 대해 변하지 않기 때문이다. 따라서 $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이는 (a)에서 구한 곡선의 길이의 두 배, 즉 $\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) As

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}$

the arclength from $t = 0$ to $t = \frac{\pi}{2}$ is

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{with } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}$

(b) The arclength from $t = 0$ to $t = \pi$ is

$\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{Don't forget the absolute value signs!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}$

since the integrand is invariant under $t\rightarrow\pi-t$ . So the arc length from $t = 0$ to $t = \pi$ is just twice the arc length from part (a), namely $\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 29번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

1144.CLP-4 · 1.1절 · 21번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)$ , $t\ge 0$ 라 하자. 시각 $t$ 까지의 곡선의 길이 $s(t$ )를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)$ , $t\ge 0$ . Compute $s(t$ ), the arclength of the curve at time $t$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}$

이므로 곡선의 길이는

$\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}$

the length of the curve is

$\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 20번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

1145.CLP-4 · 1.1절 · 22번대학 수준우리말 번역

곡선 $\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big)$ ( $0 \le a \le t \le b$ , 단 $m > 0$ ) 의 곡선의 길이를 구하세요. 결과를 $m$ , $a$ , $b$ 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve $\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big)$ for $0 \le a \le t \le b$ , and where $m > 0$ . Express your result in terms of $m$ , $a$ , and $b$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}$

이므로 곡선의 길이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{단, } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Since

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}$

the arc length is

$\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{with } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.2절 · 3번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

1146.CLP-4 · 1.1절 · 23번대학 수준우리말 번역

$C$ 를 포물기둥 $x = y^2$ 과 쌍곡포물면 $3z = 2xy$ 의 교선 중 $y\ge 0$ 인 부분이라 하자.

(a) $x$ 를 매개변수로 하여 $C$ 의 벡터 매개변수 방정식을 쓰세요. (b) 원점과 점 $(9, 3, 18)$ 사이에 있는 $C$ 부분의 길이를 구하세요. (c) 입자가 $x$ 가 증가하는 방향으로 $C$ 를 따라 움직인다. 이 입자가 일정한 속력 9로 움직일 때, 점 $(1, 1, \frac{2}{3})$ 에 있을 때의 속도 벡터를 구하세요. (d) (c)의 입자가 점 $(1, 1, \frac{2}{3})$ 에 있을 때의 가속도 벡터를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $C$ be the part of the curve of intersection of the parabolic cylinder $x = y^2$ and the hyperbolic paraboloid $3z = 2xy$ with $y\ge 0$ .

(a) Write a vector parametric equation for $C$ using $x$ as the parameter. (b) Find the length of the part of $C$ between the origin and the point $(9, 3, 18)$ . (c) A particle moves along $C$ in the direction for which $x$ is increasing. If the particle moves with constant speed 9, find its velocity vector when it is at the point $(1, 1, \frac{2}{3})$ . (d) Find the acceleration vector of the particle of part (c) when it is at the point $(1, 1, \frac{2}{3})$ .

정답·풀이 보기

(a) $y=\sqrt{x}$ 이고 $z=\frac{2}{3}xy=\frac{2}{3}x^{3/2}$ 이므로,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sqrt{x}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^{3/2}\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이 문제의 나머지 부분을 위해 다음도 필요하다.

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\sqrt{x}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=-\frac{1}{4x^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=|\mathbf{r}'(x)| &=\sqrt{1+\frac{1}{4x}+x} =\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^2} =\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}(1)&=\frac{3}{2} \end{aligned}$

(b)

$\int_C \ ds =\int_0^9 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^9 \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)\ \mathrm{d}x =\left[\sqrt{x}+\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^9 =3+18 =21$

(c) 다음과 같이 놓는다.

$\mathbf{r}(x)$ : 입자의 첫째 좌표가 $x$ 일 때의 위치,
$\mathbf{R}(t)$ : 시각 $t$ 에서의 입자의 위치,
$x(t)$ : 시각 $t$ 에서의 입자의 $x$ –좌표,
$s(x)$ : 원점에서 $\mathbf{r}(x)$ 까지의 곡선의 길이.

모든 $t$ 에 대해 $|\mathbf{R}'(t)|=9$ 임이 주어져 있다. 따라서

$\begin{aligned} \mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)&\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \\ &\implies 9=|\mathbf{R}'(t)|=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) =\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \end{aligned}$

특히 입자가 시각 $0$ 에 $(1,1,\frac{2}{3})$ 에 있다면 $x(0)=1$ 이고

$9=\left(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\sqrt{1}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6$

이므로

$\mathbf{R}'(0)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) =\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right)6 =\ 6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}$

이다.

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해,

$\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big)\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\right)^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(t)$

(c)에서 $9=|\mathbf{R}'(t)|=\Big(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\Big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$ 임을 보았으므로

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)=9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-1}$

이다. 이를 미분하면

$\frac{d^2x}{dt^2}(t)=-9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-2} \left(-\frac{1}{4x(t)^{3/2}}+\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$

이다. 특히 $t=0$ 일 때 $x(0)=1$ 이고 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6$ 이므로

$\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(0)=-9\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{4}\right)6=-6$

이고, 따라서

$\begin{aligned} \mathbf{R}''(0)&=\mathbf{r}''(1)\ \big(6\big)^2+\mathbf{r}'(1)\big(-6\big) =36\left(-\frac{1}{4}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\right) -6\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right) \\ &=-6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $y=\sqrt{x}$ and $z=\frac{2}{3}xy=\frac{2}{3}x^{3/2}$ ,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sqrt{x}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^{3/2}\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

For the remaining parts of this problem we will also need

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\sqrt{x}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=-\frac{1}{4x^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=|\mathbf{r}'(x)| &=\sqrt{1+\frac{1}{4x}+x} =\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^2} =\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}(1)&=\frac{3}{2} \end{aligned}$

(b)

$\int_C \ ds =\int_0^9 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^9 \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)\ \mathrm{d}x =\left[\sqrt{x}+\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^9 =3+18 =21$

(c) Denote by

$\mathbf{r}(x)$ the position of the particle when its first coordinate is $x$ ,
$\mathbf{R}(t)$ the position of the particle at time $t$ ,
$x(t)$ the $x$ –coordinate of the particle at time $t$ , and
$s(x)$ the arc length of the curve from the origin to $\mathbf{r}(x)$ .

We are told that $|\mathbf{R}'(t)|=9$ for all $t$ . So

$\begin{aligned} \mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)&\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \\ &\implies 9=|\mathbf{R}'(t)|=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) =\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \end{aligned}$

In particular, if the particle is at $(1,1,\frac{2}{3})$ at time $0$ , then $x(0)=1$ and

$9=\left(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\sqrt{1}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6$

so that

$\mathbf{R}'(0)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) =\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right)6 =\ 6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}$

(d) By the product and chain rules,

$\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big)\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\right)^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(t)$

We saw in part (c) that $9=|\mathbf{R}'(t)|=\Big(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\Big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$ so that

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)=9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-1}$

Differentiating that gives

$\frac{d^2x}{dt^2}(t)=-9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-2} \left(-\frac{1}{4x(t)^{3/2}}+\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$

In particular, when $t=0$ , $x(0)=1$ and $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6$

$\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(0)=-9\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{4}\right)6=-6$

so

$\begin{aligned} \mathbf{R}''(0)&=\mathbf{r}''(1)\ \big(6\big)^2+\mathbf{r}'(1)\big(-6\big) =36\left(-\frac{1}{4}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\right) -6\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right) \\ &=-6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.2절 · 2번

# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류

1147.CLP-4 · 1.1절 · 24번대학 수준우리말 번역

질량이 상수 $m$ 인 입자가 위치 $\mathbf{r}$ 에서 속도 $\mathbf{v}$ 로 움직이고 있다면, 이 입자의 각운동량은 $\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v})$ 입니다.

질량이 $m=1$ 이고 위치 함수가 $\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t)$ 인 입자에 대해 $\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right|$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

If a particle has constant mass $m$ , position $\mathbf{r}$ , and is moving with velocity $\mathbf{v}$ , then its angular momentum is $\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v})$ .

For a particle with mass $m=1$ and position function $\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t)$ , find $\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right|$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

입자의 위치가 주어졌으므로 속도를 구할 수 있다: $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1)$ 주어진 공식을 적용하면 $\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).$

풀이 1: 먼저 외적을 계산한 다음 미분할 수 있다:

$\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}$

풀이 2: 곱의 미분법을 이용한다:

$\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Given the position of the particle, we can find its velocity: $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1)$ Applying the given formula, $\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).$

Solution 1: We can first compute the cross product, then differentiate:

$\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}$

Solution 2: Using the product rule:

$\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.2절 · 1번

# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류

1148.CLP-4 · 1.1절 · 25번대학 수준우리말 번역

한 입자가 곡면 $z^2=12y$ 와 $18x=yz$ 의 교선인 곡선 $\mathcal{C}$ 를 따라 위쪽 방향으로 움직인다. 입자가 $(1,3,6)$ 에 있을 때 속도 $\mathbf{v}$ 와 가속도 $\mathbf{a}$ 는 다음과 같다. $\mathbf{v} =6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \mathbf{a} = 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) $u=\frac{z}{6}$ 를 매개변수로 사용하여 $\mathcal{C}$ 의 벡터 매개변수 방정식을 쓰세요. (b) $(0,0,0)$ 에서 $(1,3,6)$ 까지 $\mathcal{C}$ 의 길이를 구하세요. (c) $u=u(t)$ 가 시각 $t$ 에서 입자의 위치에 해당하는 매개변수 값일 때, 입자가 $(1,3,6)$ 에 있을 때의 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ 를 구하세요. (d) 입자가 $(1,3,6)$ 에 있을 때의 $\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moves along the curve $\mathcal{C}$ of intersection of the surfaces $z^2=12y$ and $18x=yz$ in the upward direction. When the particle is at $(1,3,6)$ its velocity $\mathbf{v}$ and acceleration $\mathbf{a}$ are given by $\mathbf{v} =6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \mathbf{a} = 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) Write a vector parametric equation for $\mathcal{C}$ using $u=\frac{z}{6}$ as a parameter. (b) Find the length of $\mathcal{C}$ from $(0,0,0)$ to $(1,3,6)$ . (c) If $u=u(t)$ is the parameter value for the particle's position at time $t$ , find $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ when the particle is at $(1,3,6)$ . (d) Find $\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ when the particle is at $(1,3,6)$ .

정답·풀이 보기

(a) $z=6u$ 이므로 $y=\frac{z^2}{12}=3u^2$ 이고 $x=\frac{yz}{18}=u^3$ 이다.

$\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b)

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}$

$\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7$

(c) 시각 $t$ 에서 입자의 위치를 $\mathbf{R}(t)$ 라 하자. 그러면 $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ 특히, 입자가 시각 $t_1$ 에 $(1,3,6)$ 에 있다면 $u(t_1)=1$ 이고 $6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)$ 이므로 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2$ 이다.

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해 $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ 특히,

$\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}$

간단히 하면 $3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $z=6u$ , $y=\frac{z^2}{12}=3u^2$ and $x=\frac{yz}{18}=u^3$ ,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b)

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}$

$\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7$

(c) Denote by $\mathbf{R}(t)$ the position of the particle at time $t$ . Then $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ In particular, if the particle is at $(1,3,6)$ at time $t_1$ , then $u(t_1)=1$ and $6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)$ which implies that $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2$ .

(d) By the product and chain rules, $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ In particular,

$\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}$

Simplifying $3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 24번

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류

1149.CLP-4 · 1.1절 · 26번대학 수준우리말 번역

질량이 $m = 1$ 인 입자가 시각 $0$ 에서 위치 $\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ 이고 속도 $\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다. 이 입자는 다음 힘을 받아 움직인다.

$\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.$

(a) 입자의 위치 $\mathbf{r}(t)$ 를 $t$ 에 대한 식으로 구하세요. (b) 시각 $t = 0$ 이후 입자가 평면 $x = 0$ 을 처음으로 지나는 시각은 언제인지 구하세요. (c) (b)에서 입자가 평면 $x = 0$ 을 지날 때의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle of mass $m = 1$ has position $\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ and velocity $\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ at time $0$ . It moves under a force

$\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.$

(a) Determine the position $\mathbf{r}(t)$ of the particle depending on $t$ . (b) At what time after time $t = 0$ does the particle cross the plane $x = 0$ for the first time? (c) What is the velocity of the particle when it crosses the plane $x = 0$ in part (b)?

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 법칙에 따라

$m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{이므로}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}$

한 번 적분하면

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건 $\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 에서 $\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}$ 이므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다.

한 번 더 적분하면

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 (앞의 것과는 다른) 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건 $\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ 에서 $\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 이므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다.

(b) 입자가 평면 $x=0$ 위에 있는 것은

$\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}$

일 때이다. 따라서 구하는 시각은 $t=\pi$ 이다.

(c) 시각 $t=\pi$ 에서의 속도는

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) According to Newton,

$m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{so that}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}$

Integrating once gives

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}$

for some constant vector $\mathbf{c}$ . We are told that $\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ . This forces $\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}$ so that

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

Integrating a second time gives

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}$

for some (other) constant vector $\mathbf{c}$ . We are told that $\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ . This forces $\mathbf{c}=\mathbf{0}$ so that

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) The particle is in the plane $x=0$ when

$\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}$

So the desired time is $t=\pi$ .

(c) At time $t=\pi$ , the velocity is

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 31번

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류

1150.CLP-4 · 1.1절 · 27번대학 수준우리말 번역

$C$ 를 곡면 $y=x^2$ 과 $z=\frac{2}{3}x^3$ 의 교선이 만드는 곡선이라 하자. 한 입자가 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0$ 이고 일정한 속력으로 $C$ 를 따라 움직인다. 이 입자는 시각 $t=0$ 에 $(0,0,0)$ 에 있고, 시각 $t=\frac{7}{2}$ 에 $(3,9,18)$ 에 있다.

(a) $C$ 에서 $(0,0,0)$ 과 $(3,9,18)$ 사이 부분의 길이를 구하세요. (b) 입자의 일정한 속력을 구하세요. (c) 입자가 $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ 에 있을 때 입자의 속도를 구하세요. (d) 입자가 $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ 에 있을 때 입자의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $C$ be the curve of intersection of the surfaces $y=x^2$ and $z=\frac{2}{3}x^3$ . A particle moves along $C$ with constant speed such that $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0$ . The particle is at $(0,0,0)$ at time $t=0$ and is at $(3,9,18)$ at time $t=\frac{7}{2}$ .

(a) Find the length of the part of $C$ between $(0,0,0)$ and $(3,9,18)$ . (b) Find the constant speed of the particle. (c) Find the velocity of the particle when it is at $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ . (d) Find the acceleration of the particle when it is at $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ .

정답·풀이 보기

(a) $C$ 를 $x$ 로 매개화한다. $y=x^2$ 이고 $z=\frac{2}{3}x^3$ 이므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2 \end{aligned}$

이고 $\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21$

(b) 입자는 $\frac{7}{2}$ 시간 단위 동안 21 단위의 거리를 이동했다. 따라서 속력은 $\frac{21}{7/2}=6$ 이다.

(c) 시각 $t$ 에서 입자의 위치를 $\mathbf{R}(t)$ 라 하자. 그러면 $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ (a), (b)와 합성함수의 미분법에 의해 $6=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2}$ 특히, 입자가 $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ 에 있는 때는 $x=1$ 일 때이다. 이때 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2$ 이고 $\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

(d) 곱의 미분법과 합성함수의 미분법에 의해 $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ $6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 를 적용하면 $0=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ 특히, $x=1$ 이고 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2$ 일 때, $0=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ 에서 $\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3}$ 이고 $\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Parametrize $C$ by $x$ . Since $y=x^2$ and $z=\frac{2}{3}x^3$ ,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2 \end{aligned}$

and $\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21$

(b) The particle travelled a distance of 21 units in $\frac{7}{2}$ time units. This corresponds to a speed of $\frac{21}{7/2}=6$ .

(c) Denote by $\mathbf{R}(t)$ the position of the particle at time $t$ . Then $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ By parts (a) and (b) and the chain rule $6=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2}$ In particular, the particle is at $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ at $x=1$ . At this time $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2$ and $\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

(d) By the product and chain rules, $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ Applying $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ to $6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$ gives $0=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ In particular, when $x=1$ and $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2$ , $0=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ gives $\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3}$ and $\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 30번

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류

1151.CLP-4 · 1.1절 · 28번대학 수준우리말 번역

기둥에 설치된 카메라는 한 바퀴 전체를 돌 수 있다. 이 카메라가 한 물체를 추적하고 있는데, 시각 $t$ 초에서 그 물체의 위치는 기둥으로부터 동쪽으로 $x(t)$ 미터, 북쪽으로 $y(t)$ 미터이다.

카메라가 항상 물체를 똑바로 향하려면, 시각 $t$ 에서 카메라가 얼마나 빠르게 회전하도록 프로그램해야 하는지 구하세요. (답은 $x(t)$ , $y(t)$ 및 이들의 도함수를 이용하여 rad/sec 단위로 나타내세요.)

영어 원문 보기

A camera mounted to a pole can swivel around in a full circle. It is tracking an object whose position at time $t$ seconds is $x(t)$ metres east of the pole, and $y(t)$ metres north of the pole.

In order to always be pointing directly at the object, how fast should the camera be programmed to rotate at time $t$ ? (Give your answer in terms of $x(t)$ and $y(t)$ and their derivatives, in the units rad/sec.)

정답·풀이 보기

이 문제는 이미 카메라를 원점으로 하는 $xy$ 평면으로 설정되어 있으므로, 카메라가 향하는 방향의 벡터는 $(x(t),y(t))$ 이다. $\theta$ 를 카메라가 양의 $x$ 축(정동쪽)과 이루는 각이라 하자. 카메라, 물체, 정동쪽 방향(양의 $x$ 축)은 직각삼각형을 이룬다.

$\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{$t$에 대해 음함수 미분하면:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The question is already set up as an $xy$ -plane, with the camera at the origin, so the vector in the direction the camera is pointing is $(x(t),y(t))$ . Let $\theta$ be the angle the camera makes with the positive $x$ -axis (due east). The camera, the object, and the due-east direction (positive $x$ -axis) make a right triangle.

$\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{Differentiating implicitly with respect to $t$:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 27번

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류

1152.CLP-4 · 1.1절 · 29번대학 수준우리말 번역

반지름이 3인 관이 곡선 $\mathbf{r}(t)=(\frac{2\sqrt2}{3}t^{3/2}~,~\frac12t^2~,~t+2)$ ( $0 \le t \le 10$ )의 경로를 따라 놓여 있다.

이 관의 내부 부피를 구하세요. 또 이 관의 겉넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

A pipe of radius 3 follows the path of the curve $\mathbf{r}(t)=(\frac{2\sqrt2}{3}t^{3/2}~,~\frac12t^2~,~t+2)$ , for $0 \le t \le 10$ .

What is the volume inside the pipe? What is the surface area of the pipe?

정답·풀이 보기

파푸스의 정리를 이용하면, 이 관과 길이와 반지름이 같은 관의 겉넓이와 부피를 계산할 수 있다. 따라서 관의 길이 $L$ 을 구해야 한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}&=(\sqrt{2t},t,1)\\ \left| \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right|&=\sqrt{2t+t^2+1}=|t+1|\\ L&=\int_0^{10}(t+1)\mathrm{d}t=60 \end{aligned}$

반지름이 3이고 길이가 60인 관의 겉넓이는 $60(2\pi\cdot 3)=360\pi$ 이고, 부피는 $60(\pi \cdot3^2)=540\pi$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the Theorem of Pappus, we can calculate the surface area and volume of a pipe with the same length and radius as this pipe. So, we need to find the length of the pipe, $L$ .

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}&=(\sqrt{2t},t,1)\\ \left| \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right|&=\sqrt{2t+t^2+1}=|t+1|\\ L&=\int_0^{10}(t+1)\mathrm{d}t=60 \end{aligned}$

A pipe with radius 3 and length 60 has surface area $60(2\pi\cdot 3)=360\pi$ and volume $60(\pi \cdot3^2)=540\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 28번

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류

1153.CLP-4 · 1.1절 · 30번대학 수준우리말 번역

전체 길이가 1000cm인 철사를 원형 나선 모양의 유연한 코일로 만들었습니다. 높이 1 cm마다 10번씩 감겨 있고 나선의 반지름이 3 cm일 때, 코일의 높이는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A wire of total length 1000cm is formed into a flexible coil that is a circular helix. If there are 10 turns to each centimetre of height and the radius of the helix is 3 cm, how tall is the coil?

정답·풀이 보기

일반적으로 나선은 다음과 같이 매개변수로 나타낼 수 있다.

$\mathbf{r}(\theta)=a\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b\theta\,\hat{\mathbf{k}}$

먼저 $a$ 와 $b$ 를 구해야 한다. 나선의 반지름이 $3$ cm이므로 $a=3$ cm이다. 10번 감긴 후(즉 $\theta=20\pi$ ) 높이 $b\theta$ 는 1 cm이다. 따라서 $b(20\pi)=1$ 이고 $b=\frac{1}{20\pi}$ cm/rad이다. 그러므로 $\mathbf{r}(\theta)=3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\theta\hat{\mathbf{k}}$ 이다.

나선이 한 바퀴 감길 때마다(즉 $\theta$ 가 $2\pi$ 만큼 증가할 때마다) 나선의 높이는 $2\pi b=\frac{1}{10}\textrm{cm}$ 만큼 증가한다. 따라서 나선 한 바퀴에 들어가는 철사의 길이를 구하면, 나선이 모두 몇 바퀴 감기는지 쉽게 구할 수 있고, 이로부터 나선의 전체 높이를 구할 수 있다.

$\mathbf{r}'(\theta)=-3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\hat{\mathbf{k}}$ 이므로 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\big|\mathbf{r}'(\theta)\big|=\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}$ 이다. 따라서 나선 한 바퀴의 길이는

$\begin{aligned} \int_0^{2\pi}\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}\ \mathrm{d}\theta &=2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}} \end{aligned}$

이고, 1000cm의 철사로는

$\frac{1000}{2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} =\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}$

바퀴를 만들 수 있다. 한 바퀴마다 높이가 $\frac{1}{10}\textrm{cm}$ 씩 늘어나므로 전체 높이는

$\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}\cdot \frac{1}{10} =\frac{50}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} \approx 5.3\textrm{ cm}$

이다.

참고. 각 바퀴가 늘리는 높이는 (반지름에 비해) 매우 작다는 점을 이용하면 이 답이 타당한지 확인할 수 있다. 따라서 한 바퀴의 길이는 반지름이 같은 원의 둘레, 즉 $6\pi$ 와 거의 같을 것으로 예상된다. 철사로 실제 원을 만든다면 $\frac{1000}{6\pi}$ 개를 만들 수 있다. 1 cm당 10개씩 쌓으면 높이는 $\frac{1000}{6\pi\cdot 10}$ cm가 된다. 이 값도 약 $5.3$ cm이므로 우리가 구한 결과가 타당하다고 할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

In general a helix can be parametrized by

$\mathbf{r}(\theta)=a\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b\theta\,\hat{\mathbf{k}}$

Our first task is to determine $a$ and $b$ . The radius of the helix is $3$ cm, so $a=3$ cm. After 10 turns (i.e. $\theta=20\pi$ ) the height, $b\theta$ , is 1 cm. So $b(20\pi)=1$ and $b=\frac{1}{20\pi}$ cm/rad. Thus $\mathbf{r}(\theta)=3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\theta\hat{\mathbf{k}}$ .

With each full turn of the helix (i.e. each increase of $\theta$ by $2\pi$ ) the height of the helix increases by $2\pi b=\frac{1}{10}\textrm{cm}$ . So if we can determine the length of wire in one full turn of the helix, we can easily determine how many turns the helix goes through in total, and from that we can determine the total height of the helix.

As $\mathbf{r}'(\theta)=-3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\hat{\mathbf{k}}$ we have $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\big|\mathbf{r}'(\theta)\big|=\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}$ . So the length of one full turn of the helix is

$\begin{aligned} \int_0^{2\pi}\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}\ \mathrm{d}\theta &=2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}} \end{aligned}$

and 1000cm of wire generates

$\frac{1000}{2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} =\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}$

turns. Each turn adds $\frac{1}{10}\textrm{cm}$ to the height, so the total height is

$\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}\cdot \frac{1}{10} =\frac{50}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} \approx 5.3\textrm{ cm}$

Remark. We can check that this answer is reasonable by taking advantage of the fact that each coil adds only a very small height (relative to the radius). So we expect the length of one coil to be about the same as the circumference of a circle of the same radius, namely $6\pi$ . If we were making actual circles of the wire, there would be $\frac{1000}{6\pi}$ of them. Stacking up at 10 per centimetre, this would make a pile of height $\frac{1000}{6\pi\cdot 10}$ cm. Since this number is also approximately $5.3$ cm, we feel our result is reasonable.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 26번

# 벡터함수의 미분과 적분계산도전자동 분류

1154.CLP-4 · 1.1절 · 31번대학 수준우리말 번역

중력의 영향을 받아 떨어지면서 속력에 비례하는 공기 저항으로 느려지는 발사체의 위치는 다음을 만족한다.

$\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$

여기서 $\alpha$ 는 양의 상수이다. 시각 $t=0$ 에서 $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0$ 이고 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_0$ 일 때, $\mathbf{r}(t)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

A projectile falling under the influence of gravity and slowed by air resistance proportional to its speed has position satisfying

$\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$

where $\alpha$ is a positive constant. If $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0$ and $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_0$ at time $t=0$ , find $\mathbf{r}(t)$ .

정답·풀이 보기

$\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)$ 로 정의하자. 그러면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이 등식의 양변을 $t=0$ 에서 $t=T$ 까지 적분하면

$\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}$

이므로

$\mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}$

이다. $\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T)$ 를 대입하고 양변에 $e^{-\alpha T}$ 를 곱하면

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}$

이다. 이 등식의 양변을 $T=0$ 에서 $T=t$ 까지 적분하면

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Define $\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)$ . Then

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

Integrating both sides of this equation from $t=0$ to $t=T$ gives

$\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}$

so that

$\mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}$

Substituting in $\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T)$ and multiplying through by $e^{-\alpha T}$ gives

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}$

Integrating both sides of this equation from $T=0$ to $T=t$ gives

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

so that

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 25번

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류

1155.CLP-4 · 1.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

함수 $\mathbf{r}(s)=\sin\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\cos\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{\sqrt3}{2}(s+1)\hat{\mathbf{k}}$ 는 점 $P$ 에서 시작하여 호의 길이로 매개화되어 있다. $P$ 는 어디인지 구하세요.

영어 원문 보기

The function $\mathbf{r}(s)=\sin\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\cos\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{\sqrt3}{2}(s+1)\hat{\mathbf{k}}$ is parametrized in terms of arclength, starting from the point $P$ . What is $P$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$P$ 에서 $P$ 까지의 호의 길이는 0이므로, $P$ 는 $s=0$ 인 점이다. 즉, $\mathbf{r}(0)$ , 곧 $\left( \sin(1/2),\cos(1/2),\sqrt{3}/2\right)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The arclength from $P$ to $P$ will be 0, so $P$ is the point where $s=0$ . That is, $\mathbf{r}(0)$ , or $\left( \sin(1/2),\cos(1/2),\sqrt{3}/2\right)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 40번

# 호의 길이와 곡률계산기본자동 분류

1156.CLP-4 · 1.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

곡선 $\mathbf{R}=\mathbf{a}(t)$ 를 호의 길이로 다시 매개변수화하여 $\mathbf{R}=\mathbf{b}(s)=\mathbf{a}(t(s))$ 로 나타냈습니다. $t(s_0)=t_0$ 일 때, 다음 보기 중 벡터 $\mathbf{a}'(t_0)$ 와 $\mathbf{b}'(s_0)$ 사이의 관계를 가장 잘 설명하는 것은 무엇인지 고르세요.

모든 $t,s\ge0$ 에 대해 $\mathbf{a}'(t)$ 와 $\mathbf{b}'(s)$ 가 존재하고 영벡터가 아니라고 가정해도 됩니다.

A. 두 벡터는 평행하고 같은 방향을 향한다 B. 두 벡터는 평행하고 반대 방향을 향한다 C. 두 벡터는 수직이다 D. 두 벡터는 크기가 같다 E. 두 벡터는 서로 같다

영어 원문 보기

A curve $\mathbf{R}=\mathbf{a}(t)$ is reparametrized in terms of arclength as $\mathbf{R}=\mathbf{b}(s)=\mathbf{a}(t(s))$ . Of the following options, which best describes the relationship between the vectors $\mathbf{a}'(t_0)$ and $\mathbf{b}'(s_0)$ , where $t(s_0)=t_0$ ?

You may assume $\mathbf{a}'(t)$ and $\mathbf{b}'(s)$ exist and are nonzero for all $t,s\ge0$ .

A. they are parallel and point in the same direction B. they are parallel and point in opposite directions C. they are perpendicular D. they have the same magnitude E. they are equal

정답·풀이 보기

풀이 1: 상황을 기하학적으로 살펴보자. $\mathbf{R}$ 을 (해당 차원의) 공간에 그리면, 매개변수화 방법에 관계없이 한 점에서의 미분계수는 $\mathbf{R}$ 에 접하는 벡터를 주며, 이 벡터는 매개변수가 증가할 때 곡선이 움직이는 방향을 향한다. $\mathbf{a}(t_0)$ 와 $\mathbf{b}(s_0)$ 는 곡선 위의 같은 점을 나타내므로 $\mathbf{a}'(t_0)$ 와 $\mathbf{b}'(s_0)$ 는 평행하다. (미분계수가 영벡터가 아니라고 정했으므로, 영벡터와 평행한지를 따지는 번거로움은 없다.) 두 벡터는 모두 곡선의 같은 부분에 접한다. 또한 $t$ 가 증가하면 $s$ 도 증가하므로, $t$ 가 증가하는 방향은 $s$ 가 증가하는 방향과 같다. 따라서 A가 성립한다.

이제 E를 제외하기 위해 두 벡터의 크기를 살펴보자. $|\mathbf{a}'(t)|$ 는 $t$ 에 대해 곡선이 변하는 속력이며, 이는 (음이 아닌) 어떤 수도 될 수 있다. 마찬가지로 $|\mathbf{b}'(s)|=1$ 이다. 따라서 $\mathbf{b}'(s_0)$ 는 단위벡터이지만 $\mathbf{a}'(t_0)$ 는 단위벡터일 수도, 아닐 수도 있다. 그러므로 두 벡터가 반드시 같은 것은 아니다. (같을 수는 있다.)

따라서 가장 알맞은 답은 A이다.

풀이 2: 합성함수의 미분법으로 $\mathbf{b}'(s)$ 와 $\mathbf{a}'(t)$ 사이의 관계를 얻는다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[\mathbf{a}(t(s))]=\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}\,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s} \end{aligned}$

따라서 벡터 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s}$ 와 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}$ 는 스칼라 함수 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ 만큼만 차이가 난다. 그러므로 곡선 위의 어느 점에서든 이 두 벡터는 평행하다.

또한 $t$ 와 $s$ 는 양의 상관관계에 있다. $t$ 가 증가하면 호의 길이가 더 늘어나므로 $s$ 도 증가한다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ 는 음이 아니다. 게다가 미분계수가 영벡터가 아니므로 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ 는 0이 아니다. 그러므로 $\mathbf{b}'(s_0)$ 와 $\mathbf{a}'(t_0)$ 는 서로 양의 스칼라 배수이다. 즉, 두 벡터는 평행하고 같은 방향을 향한다. 그러나 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=1$ (즉, 어떤 상수 $C$ 에 대해 $t(s)=s+C$ ) 이 아닌 한 두 벡터의 크기는 같지 않으며, 따라서 서로 같지 않다.

따라서 가장 알맞은 답은 A이다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: We consider the situation geometrically. If we plot $\mathbf{R}$ in space (of the relevant dimension), regardless of its parametrization, the derivative at a point will give a vector tangent to $\mathbf{R}$ , in the direction the curve moves when the parameter is increasing. Since $\mathbf{a}(t_0)$ and $\mathbf{b}(s_0)$ describe the same spot on the curve, $\mathbf{a}'(t_0)$ and $\mathbf{b}'(s_0)$ will be parallel (Since we specified the derivatives are nonzero, there's no messiness about vectors being parallel to a zero vector.) — they're both tangent to the same piece of curve. Furthermore, as $t$ increases, so does $s$ , so the direction of increasing $t$ is the same as the direction of increasing $s$ . Therefore, A. holds.

Now we consider the magnitudes of the vectors, to rule out E. Recall $|\mathbf{a}'(t)|$ is the speed at which the curve changes relative to $t$ ; this could be any (nonnegative) number. By the same token, $|\mathbf{b}'(s)|=1$ . So, $\mathbf{b}'(s_0)$ is a unit vector, while $\mathbf{a}'(t_0)$ may or may not be. Then the two vectors are not necessarily equal (although they could be).

So, the best answer is A.

Solution 2: The chain rule gives us a relationship between $\mathbf{b}'(s)$ and $\mathbf{a}'(t)$ .

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[\mathbf{a}(t(s))]=\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}\,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s} \end{aligned}$

So, the vectors $\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s}$ and $\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}$ differ only by the scalar function $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ . So, at any point along the curve, these vectors are parallel.

Furthermore, we know that $t$ and $s$ are positively correlated: as $t$ increases, so does $s$ , because we're covering more arclength. So, $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ is nonnegative. Furthermore, since the derivatives are nonzero, $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ is nonzero. So, $\mathbf{b}'(s_0)$ and $\mathbf{a}'(t_0)$ are positive scalar multiples of each other. That is, they are parallel, and pointing in the same direction. However, unless $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=1$ (that is, $t(s)=s+C$ for some constant $C$ ), the vectors do not have the same magnitude, and hence are not equal.

So, A is the best solution.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 42번

# 호의 길이와 곡률계산기본자동 분류

1157.CLP-4 · 1.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 정의하세요. $\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)$ 단, $0 \le t$ 입니다. $z=\arctan t$ 를 사용하여 이 함수를 다시 매개화하고, 그것이 나타내는 곡선을 설명하세요. 새로운 매개변수 $z$ 의 기하학적 의미는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Define $\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)$ for $0 \le t$ . Reparametrize the function using $z=\arctan t$ , and describe the curve it defines. What is the geometric interpretation of the new parameter $z$ ?

정답·풀이 보기

$\arctan t = z$ 이므로 $t=\tan z$ 이다.

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)\\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2z}},~ \frac{z}{\sqrt{1+\cot^{2}z}},~z\right)\\ &=\left(\frac{1}{|\sec z|},~ \frac{z}{|\csc z|},~z\right)\\ &=\left(|\cos z|,~ z|\sin z|,~z\right) \\ \text{$0 \le t $ 이고 $\arctan t < \pi/2$ 이므로 $0 \le z < \pi/2$ 이고, 따라서 $\cos z$ 와 $\sin z$ 는 모두 음이 아니다.} \\ &=\left(\cos z,~ z\sin z,~z\right) \end{aligned}$

정의역을 제한하지 않았다면 이 곡선은 위로 올라가는 나선이 된다. $z$ 는 나선의 높이이면서 동시에 라디안 값이다. 나선의 $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 성분은 $-1$ 과 $1$ 사이에 머무르고, $\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 성분은 증가한다. 따라서 이 나선은 "두께"는 그대로이면서 점점 더 "넓어진다".

정의역이 제한되어 있으므로 실제 곡선은 이 나선의 4분의 1 "바퀴"뿐이며, 위 그림에서 빨간색으로 표시되어 있다.

매개변수 $z$ 는 높이를 나타내는 값이며, 나선이 돌아가는 동안의 라디안 값이기도 하다.

원본 교재 풀이(영어)

Using $\arctan t = z$ , and so $t=\tan z$ :

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)\\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2z}},~ \frac{z}{\sqrt{1+\cot^{2}z}},~z\right)\\ &=\left(\frac{1}{|\sec z|},~ \frac{z}{|\csc z|},~z\right)\\ &=\left(|\cos z|,~ z|\sin z|,~z\right) \\ \text{Since $0 \le t $, and $\arctan t < \pi/2$ we have $0 \le z < \pi/2$, so $\cos z$ and $\sin z$ are both nonnegative.} \\ &=\left(\cos z,~ z\sin z,~z\right) \end{aligned}$

If we didn't have the restricted domain, this would make a spiral going up: $z$ is both the height of the spiral and a radian measure. The $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ -component of the spiral stays between $-1$ and $1$ , while the $\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ -component increases. So, our spiral gets increasingly “wide," while staying the same “thickness."

Due to the restricted domain, our actual curve is only one-quarter of a “turn" of this spiral, indicated in red above.

The parameter $z$ is a measure of height, and it is also a radian measure as the spiral turns.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.2절 · 7번

# 호의 길이와 곡률계산도전자동 분류

1158.CLP-4 · 1.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

함수 $\mathbf{r}(t)=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)$ 을 $t=-1$ 에서부터 잰 호의 길이에 대해 재매개화하세요.

영어 원문 보기

Reparametrize the function $\mathbf{r}(t)=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)$ in terms of arclength from $t=-1$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)\\ \mathbf{r}'(t)&=(t,t^2)\\ |\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^2+t^4}=|t|\sqrt{1+t^2}\\ s(t)&=\int_{-1}^t|x|\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=\begin{cases} \int_{-1}^t -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & t \le 0 \text{ 일 때}\\ \int_{-1}^0 -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x +\int_{0}^t x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\ \text{$u=1+x^2$, $\frac12\mathrm{d}u=x\mathrm{d}x$ 로 놓는다.} \\ &=\begin{cases} -\int_{2}^{1+t^2} \frac{1}{2}\sqrt{u}\mathrm{d}u & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\int_{2}^1 \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u+ \int_{1}^{1+t^2} \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1+t^2} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1}+ \frac13u^{3/2}|_{1}^{1+t^2} & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} \frac{2^{3/2}}{3}-\frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\frac23+\frac{2^{3/2}}{3}+\frac13(1+t^2)^{3/2} & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\ \text{$s$ 에 대해 $t$ 를 풀면:} \\ 1+t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3} & t>0 \text{ 일 때}\end{cases}\\ t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1 & t \le 0 \text{ 일 때}\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1 & t>0 \text{ 일 때} \end{cases} \\ \text{$\sqrt{t^2}=|t|$ 임에 유의하면:} \\ t&=\begin{cases}-\sqrt{(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ \sqrt{(3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1} & t>0 \text{ 일 때} \end{cases} \\ \text{$s=\tfrac{1}{3}(2\sqrt2-1)$ 일 때 $t=0$ 임에 유의하면, $(\tfrac12t^2,\tfrac13t^3)$ 의 재매개화는 다음과 같다.} \\ \mathbf{R}(s)&=\begin{cases} \Big(\frac12\left[ (2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right],-\frac13\left[(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)& s\le \frac13(2\sqrt2-1) \text{ 일 때}\\ \Big(\frac12\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1 \right],\frac13\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)& s>\frac13(2\sqrt2-1) \text{ 일 때} \end{cases} \end{aligned}$

참고: 이처럼 계산이 길고 자세한 경우에는 몇 개의 점을 확인하여 답이 타당한지 검증해 보는 것이 좋다. 예를 들어 $s=0$ 일 때 $t$ 는 $-1$ 이어야 하고, 그 역도 성립한다. 또한 $t=0$ 이 $s=\frac13(2\sqrt2-1)$ 에 대응함을 구하였다. 따라서 $\mathbf{r}(0)=\mathbf{R}\left(\frac13(2\sqrt2-1)\right)$ 과 $\mathbf{r}(-1)=\mathbf{R}(0)$ 을 확인할 수 있어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)\\ \mathbf{r}'(t)&=(t,t^2)\\ |\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^2+t^4}=|t|\sqrt{1+t^2}\\ s(t)&=\int_{-1}^t|x|\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=\begin{cases} \int_{-1}^t -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & \text{when } t \le 0\\ \int_{-1}^0 -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x +\int_{0}^t x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\ \text{Let $u=1+x^2$, $\frac12\mathrm{d}u=x\mathrm{d}x$} \\ &=\begin{cases} -\int_{2}^{1+t^2} \frac{1}{2}\sqrt{u}\mathrm{d}u & \text{when } t \le 0\\ -\int_{2}^1 \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u+ \int_{1}^{1+t^2} \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1+t^2} & \text{when } t \le 0\\ -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1}+ \frac13u^{3/2}|_{1}^{1+t^2} & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} \frac{2^{3/2}}{3}-\frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2} & \text{when } t \le 0\\ -\frac23+\frac{2^{3/2}}{3}+\frac13(1+t^2)^{3/2} & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\ \text{Solving for $t$ in terms of $s$:} \\ 1+t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3} &\text{when } t \le 0\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3} &\text{when }t>0\end{cases}\\ t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1 &\text{when } t \le 0\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1 &\text{when }t>0 \end{cases} \\ \text{Remembering that $\sqrt{t^2}=|t|$:} \\ t&=\begin{cases}-\sqrt{(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1} &\text{when } t \le 0\\ \sqrt{(3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1} &\text{when }t>0 \end{cases} \\ \text{Noting that $t=0$ when $s=\tfrac{1}{3}(2\sqrt2-1)$, we find our reparametrization of $(\tfrac12t^2,\tfrac13t^3)$.} \\ \mathbf{R}(s)&=\begin{cases} \Big(\frac12\left[ (2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right],-\frac13\left[(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)&\text{ when }s\le \frac13(2\sqrt2-1)\\ \Big(\frac12\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1 \right],\frac13\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)&\text{ when }s>\frac13(2\sqrt2-1) \end{cases} \end{aligned}$

Remark: after a computation with this much detail, it's nice to find a few points to check, to verify that our answer is reasonable. For instance, when $s=0$ , $t$ should be $-1$ , and vice-versa. Also, we found that $t=0$ corresponds to $s=\frac13(2\sqrt2-1)$ . So, we should be able to verify that $\mathbf{r}(0)=\mathbf{R}\left(\frac13(2\sqrt2-1)\right)$ and $\mathbf{r}(-1)=\mathbf{R}(0)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.2절 · 2번

# 호의 길이와 곡률계산도전자동 분류

1159.CLP-4 · 1.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{r}(t)=(\cos t+\sin t , \sin t - \cos t)$ 의 곡률 $\kappa (t)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature $\kappa (t)$ of $\mathbf{r}(t)=(\cos t+\sin t , \sin t - \cos t)$ .

정답·풀이 보기

풀이 1: 모든 $t$ 에 대해 $(\cos t+\sin t )^2+(\sin t - \cos t)^2=2$ 임에 주목한다. 따라서 이 곡선의 점 $(x,y)$ 는 $x^2+y^2=2$ 위에 있으며, 이는 반지름이 $\sqrt{2}$ 인 원이다. 실제로

$\begin{aligned} x(t)&= \cos t+\sin t =\sqrt{2}\big[\cos t \cos\tfrac{\pi}{4} +\sin t \sin\tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\cos\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \\ y(t)&= \sin t-\cos t =\sqrt{2}\big[\sin t \cos\tfrac{\pi}{4}-\cos t\sin \tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\sin\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \end{aligned}$

따라서 $\mathbf{r}(t)$ 는 반지름이 $\sqrt{2}$ 인 원을 따라 돌므로, 곡률은 $\kappa =\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이다.

풀이 2: 공식 $\kappa = \dfrac{|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)|}{\left| \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3\right|}$ 을 사용한다. 이때 $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)$ , $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)$ , $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\left| \mathbf{r}'(t)\right|$ 임을 기억한다.

$\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t +\cos t, \cos t + \sin t)\\ \mathbf{a}(t)&=\mathbf{r}''(t)=(-\cos t -\sin t, -\sin t + \cos t)\\ \mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)&=\big[(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t)^2\big]\hat{\mathbf{k}}=2\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}&=\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} \right|=\sqrt{(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t )^2}=\sqrt2\\ \kappa &=\left|\frac{\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3}\right|=\left|\frac{2\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{2}^3}\right|=\frac{1}{\sqrt 2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: Note that $(\cos t+\sin t )^2+(\sin t - \cos t)^2=2$ for all $t$ . So, the points $(x,y)$ of our curve lie on $x^2+y^2=2$ , which is a circle of radius $\sqrt{2}$ . Indeed

$\begin{aligned} x(t)&= \cos t+\sin t =\sqrt{2}\big[\cos t \cos\tfrac{\pi}{4} +\sin t \sin\tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\cos\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \\ y(t)&= \sin t-\cos t =\sqrt{2}\big[\sin t \cos\tfrac{\pi}{4}-\cos t\sin \tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\sin\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \end{aligned}$

So, $\mathbf{r}(t)$ circumnavigates a circle of radius $\sqrt{2}$ and consequently has curvature $\kappa =\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Solution 2: We use the formula $\kappa = \dfrac{|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)|}{\left| \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3\right|}$ , remembering that $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)$ , $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)$ , and $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\left| \mathbf{r}'(t)\right|$ .

$\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t +\cos t, \cos t + \sin t)\\ \mathbf{a}(t)&=\mathbf{r}''(t)=(-\cos t -\sin t, -\sin t + \cos t)\\ \mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)&=\big[(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t)^2\big]\hat{\mathbf{k}}=2\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}&=\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} \right|=\sqrt{(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t )^2}=\sqrt2\\ \kappa &=\left|\frac{\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3}\right|=\left|\frac{2\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{2}^3}\right|=\frac{1}{\sqrt 2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 6번

# 호의 길이와 곡률계산보통자동 분류

1160.CLP-4 · 1.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

타원 $x(t)= a \cos t$ , $y(t)=b\sin t$ 의 곡률의 최솟값과 최댓값을 구하세요. 여기서 $a>b>0$ 입니다.

영어 원문 보기

Find the minimum and maximum values for the curvature of the ellipse $x(t)= a \cos t$ , $y(t)=b\sin t$ . Here $a>b>0$ .

정답·풀이 보기

주어진 타원에 대해

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)&= -a\sin t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\cos t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ |\mathbf{v}(t)|& = \sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t}\\ \mathbf{a}(t)&= -a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} -b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin t & b\cos t & 0 \\ -a\cos t & -b\sin t & 0 \end{matrix}\right] = ab\,\hat{\mathbf{k}}\\ \kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)|}{|\mathbf{v}(t)|^3} =\frac{ab}{{[a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t]}^{3/2}} \end{aligned}$

따라서 곡률의 최댓값(최솟값)은 분모가 최소(최대)일 때 얻어지며, 이는 $\sin t =0$ ( $\cos t=0$ )일 때이다. 그러므로 $\kappa _{\rm max}=\frac{a}{b^2}$ 이고 $\kappa _{\rm min}=\frac{b}{a^2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

For the given ellipse

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)&= -a\sin t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\cos t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ |\mathbf{v}(t)|& = \sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t}\\ \mathbf{a}(t)&= -a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} -b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin t & b\cos t & 0 \\ -a\cos t & -b\sin t & 0 \end{matrix}\right] = ab\,\hat{\mathbf{k}}\\ \kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)|}{|\mathbf{v}(t)|^3} =\frac{ab}{{[a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t]}^{3/2}} \end{aligned}$

Hence the maximum (minimum) curvature is achieved when the denominator is a minimum (maximum) which is the case when $\sin t =0$ ( $\cos t=0$ ). So $\kappa _{\rm max}=\frac{a}{b^2}$ and $\kappa _{\rm min}=\frac{b}{a^2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 8번

# 호의 길이와 곡률계산보통자동 분류

벡터와 공간 전체 문제