호의 길이와 곡률 연습문제

21.OpenStax 3권 · 3.3절 · 27번대학 수준우리말 번역

나선 $\text{r}(t)=\cos t\text{i}+\sin t\text{j}+t\text{k}$ 를 $t=0$ 에서부터 호의 길이 매개변수 s 를 사용하여 매개변수화하세요.

영어 원문 보기

Parameterize the helix $\text{r}(t)=\cos t\text{i}+\sin t\text{j}+t\text{k}$ using the arc-length parameter s, from $t=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 42번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

22.OpenStax 3권 · 3.3절 · 28번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)={e}^{t}\sin t\text{i}+{e}^{t}\cos t\text{j}$ 에서 $t=0$ 인 점을 기준으로 호의 길이 매개변수 s 를 사용하여 곡선을 매개변수화하세요.

영어 원문 보기

Parameterize the curve using the arc-length parameter s, at the point at which $t=0$ for $\text{r}(t)={e}^{t}\sin t\text{i}+{e}^{t}\cos t\text{j}.$

정답·풀이 보기

$\text{r}(s)=\left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\sin \left(\ln \left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\right)\text{i}+\left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\cos \left[\ln \left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\right]\text{j}$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{r}(s)=\left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\sin \left(\ln \left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\right)\text{i}+\left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\cos \left[\ln \left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\right]\text{j}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 9번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

23.OpenStax 3권 · 3.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=1/x$ 의 곡률이 최댓값이 되는 점의 x좌표를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the x-coordinate at which the curvature of the curve $y=1/x$ is a maximum value.

정답·풀이 보기

곡률의 최댓값은 $x=1$ 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The maximum value of the curvature occurs at $x=1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 26번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

24.OpenStax 3권 · 3.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

곡선 $\text{r}(t)=5\cos t\text{i}+5\sin t\text{j}$ 의 곡률을 구하세요. 곡률은 매개변수 t 에 따라 달라지나요?

영어 원문 보기

Find the curvature of the curve $\text{r}(t)=5\cos t\text{i}+5\sin t\text{j}.$ Does the curvature depend upon the parameter t?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 1번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

25.OpenStax 3권 · 3.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=x-\frac{1}{4}{x}^{2}$ 의 $x=2$ 인 점에서의 곡률 $\kappa$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature $\kappa$ for the curve $y=x-\frac{1}{4}{x}^{2}$ at the point $x=2.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 24번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

26.OpenStax 3권 · 3.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=\frac{1}{3}{x}^{3}$ 의 $x=1$ 인 점에서의 곡률 $\kappa$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature $\kappa$ for the curve $y=\frac{1}{3}{x}^{3}$ at the point $x=1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 3번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

27.OpenStax 3권 · 3.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

$\text{r}(t)=\langle 2\sin t,5t,2\cos t\rangle$ 의 곡률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

Find the curvature of $\text{r}(t)=\langle 2\sin t,5t,2\cos t\rangle .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 16번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

28.OpenStax 3권 · 3.3절 · 36번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

점 $P(0,1,1)$ 에서 $\text{r}(t)=\sqrt{2}t\text{i}+{e}^{t}\text{j}+{e}^{-t}\text{k}$ 의 곡률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

Find the curvature of $\text{r}(t)=\sqrt{2}t\text{i}+{e}^{t}\text{j}+{e}^{-t}\text{k}$ at point $P(0,1,1).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2\sqrt{2}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2\sqrt{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 46번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

29.OpenStax 3권 · 3.3절 · 37번대학 수준우리말 번역

곡선 $y={e}^{x}$ 은 어떤 점에서 곡률이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

At what point does the curve $y={e}^{x}$ have maximum curvature?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 12번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

30.OpenStax 3권 · 3.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

곡선 $y={e}^{x}$ 에서 $x\to \infty$ 일 때 곡률은 어떻게 되는지 설명하세요.

영어 원문 보기

What happens to the curvature as $x\to \infty$ for the curve $y={e}^{x}?$

정답·풀이 보기

곡률은 0에 가까워진다.

원본 교재 풀이(영어)

The curvature approaches zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 13번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

31.OpenStax 3권 · 3.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=\ln x$ 에서 곡률이 최대인 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point of maximum curvature on the curve $y=\ln x.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 28번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

32.OpenStax 3권 · 3.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

점 $(0,\pi ,-2)$ 에서 곡선 $\text{r}(t)=\langle 2\sin (3t),t,2\cos (3t)\rangle$ 의 법평면과 접촉평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equations of the normal plane and the osculating plane of the curve $\text{r}(t)=\langle 2\sin (3t),t,2\cos (3t)\rangle$ at point $(0,\pi ,-2).$

정답·풀이 보기

$y=6x+\pi$ 와 $x+6y=6\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$y=6x+\pi$ and $x+6y=6\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.2절 · 3번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

33.OpenStax 3권 · 3.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

타원 $4{y}^{2}+9{x}^{2}=36$ 위의 점 $(2,0)$ 과 $(0,3)$ 에서 접촉원의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find equations of the osculating circles of the ellipse $4{y}^{2}+9{x}^{2}=36$ at the points $(2,0)$ and $(0,3).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 9번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

34.OpenStax 3권 · 3.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

곡선 $\text{r}(t)=\cos (2t)\text{i}+\sin (2t)\text{j}+t\text{k}$ 위의 점 $t=\pi /4$ 에서 접촉평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation for the osculating plane at point $t=\pi /4$ on the curve $\text{r}(t)=\cos (2t)\text{i}+\sin (2t)\text{j}+t\text{k}.$

정답·풀이 보기

$x+2z=\frac{\pi }{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$x+2z=\frac{\pi }{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 34번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

35.OpenStax 3권 · 3.3절 · 43번대학 수준우리말 번역

점 $\left(2,\frac{4}{3}\right)$ 에서 $6y={x}^{3}$ 의 곡률반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the radius of curvature of $6y={x}^{3}$ at the point $\left(2,\frac{4}{3}\right).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 13번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

36.OpenStax 3권 · 3.3절 · 44번대학 수준우리말 번역

쌍곡선 $\text{r}(t)=\langle a\cosh (t),b\sinh (t)\rangle$ 위의 각 점 $(x,y)$ 에서 곡률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature at each point $(x,y)$ on the hyperbola $\text{r}(t)=\langle a\cosh (t),b\sinh (t)\rangle .$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{{a}^{4}{b}^{4}}{{({b}^{4}{x}^{2}+{a}^{4}{y}^{2})}^{3/2}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{a}^{4}{b}^{4}}{{({b}^{4}{x}^{2}+{a}^{4}{y}^{2})}^{3/2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 36번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

37.OpenStax 3권 · 3.3절 · 45번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

원형 나선 $\text{r}(t)=r\sin (t)\text{i}+r\cos (t)\text{j}+t\text{k}$ 의 곡률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

Calculate the curvature of the circular helix $\text{r}(t)=r\sin (t)\text{i}+r\cos (t)\text{j}+t\text{k}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 12번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

38.OpenStax 3권 · 3.3절 · 46번대학 수준우리말 번역

점 $(2,\ln 3)$ 에서 $y=\ln (x+1)$ 의 곡률반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the radius of curvature of $y=\ln (x+1)$ at point $(2,\ln 3).$

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정답·풀이 보기

$\frac{10\sqrt{10}}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{10\sqrt{10}}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 30번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

39.OpenStax 3권 · 3.3절 · 47번대학 수준우리말 번역

점 $(1,1)$ 에서 쌍곡선 $xy=1$ 의 곡률반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the radius of curvature of the hyperbola $xy=1$ at point $(1,1).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 22번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

40.OpenStax 3권 · 3.3절 · 48번대학 수준우리말 번역

구간 $[0,2]$ 에서 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the length of the curve over the interval $[0,2].$

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정답·풀이 보기

$\frac{1}{4}\ln \left( \sqrt{17}+4 \right)+\sqrt{17}\approx 4.647$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{4}\ln \left( \sqrt{17}+4 \right)+\sqrt{17}\approx 4.647$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 32번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류