호의 길이와 곡률 연습문제

41.OpenStax 3권 · 3.3절 · 49번대학 수준우리말 번역

$t=0,1,2$ 에서 평면 곡선의 곡률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature of the plane curve at $t=0,1,2.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

42.OpenStax 3권 · 3.3절 · 50번대학 수준우리말 번역

입자가 $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}$ 로 나타내어지는 평면 곡선 C를 따라 움직인다. 다음 문제를 푸세요.

$t=0$ 에서 $t=2$ 까지 t 가 증가함에 따라 곡률이 어떻게 변하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

A particle moves along the plane curve C described by $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}.$ Solve the following problems.

Describe the curvature as t increases from $t=0$ to $t=2.$

정답·풀이 보기

이 구간에서 곡률은 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

The curvature is decreasing over this interval.

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# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

43.OpenStax 3권 · 3.3절 · 52번대학 수준우리말 번역

생성 곡선의 곡률 $\kappa$ 를 x 의 함수로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the curvature $\kappa$ of the generating curve as a function of x.

정답·풀이 보기

$\kappa =\frac{6}{{x}^{2/5}(25+4{x}^{6/5})}$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa =\frac{6}{{x}^{2/5}(25+4{x}^{6/5})}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 50번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

44.APEX · 11.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서는 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어지며, $t=0$ 은 처음 위치에 해당한다. 곡선의 길이 매개변수 $s$ 를 구하고, $\vec r(t)$ 를 $s$ 에 대한 식으로 다시 나타내세요. 즉, $\vec r(s)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 2t, t, -2t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10 , a position function $\vec r(t)$ is given, where $t=0$ corresponds to the initial position. Find the arc length parameter $s$ , and rewrite $\vec r(t)$ in terms of $s$ ; that is, find $\vec r(s)$ .

$\vec r(t) = \left\langle 2t, t, -2t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$s = 3t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 2s/3, s/3, -2s/3\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$s = 3t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 2s/3, s/3, -2s/3\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 42번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

45.APEX · 11.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서는 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어지며, $t=0$ 은 처음 위치에 해당한다. 곡선의 길이 매개변수 $s$ 를 구하고, $\vec r(t)$ 를 $s$ 에 대한 식으로 다시 나타내세요. 즉, $\vec r(s)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 7\cos t,7\sin t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10 , a position function $\vec r(t)$ is given, where $t=0$ corresponds to the initial position. Find the arc length parameter $s$ , and rewrite $\vec r(t)$ in terms of $s$ ; that is, find $\vec r(s)$ .

$\vec r(t) = \left\langle 7\cos t,7\sin t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$s = 7t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 7\cos (s/7), 7\sin (s/7)\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$s = 7t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 7\cos (s/7), 7\sin (s/7)\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 3번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

46.APEX · 11.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서는 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어지며, $t=0$ 은 처음 위치에 해당한다. 곡선의 길이 매개변수 $s$ 를 구하고, $\vec r(t)$ 를 $s$ 에 대한 식으로 다시 나타내세요. 즉, $\vec r(s)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t, 2t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10 , a position function $\vec r(t)$ is given, where $t=0$ corresponds to the initial position. Find the arc length parameter $s$ , and rewrite $\vec r(t)$ in terms of $s$ ; that is, find $\vec r(s)$ .

$\vec r(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t, 2t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$s = \sqrt{13}t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 3\cos (s/\sqrt{13}), 3\sin (s/\sqrt{13}), 2s/\sqrt{13}\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$s = \sqrt{13}t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 3\cos (s/\sqrt{13}), 3\sin (s/\sqrt{13}), 2s/\sqrt{13}\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 44번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

47.APEX · 11.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서는 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어지며, $t=0$ 은 처음 위치에 해당한다. 곡선의 길이 매개변수 $s$ 를 구하고, $\vec r(t)$ 를 $s$ 에 대한 식으로 다시 나타내세요. 즉, $\vec r(s)$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,13\sin t, 12\cos t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10 , a position function $\vec r(t)$ is given, where $t=0$ corresponds to the initial position. Find the arc length parameter $s$ , and rewrite $\vec r(t)$ in terms of $s$ ; that is, find $\vec r(s)$ .

$\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,13\sin t, 12\cos t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$s = 13t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 5\cos (s/13), 13\sin (s/13), 12\cos (s/13)\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$s = 13t$ , so $\vec r(s) = \left\langle 5\cos (s/13), 13\sin (s/13), 12\cos (s/13)\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 46번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

48.APEX · 11.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 곡률이 최대가 되는 $x$ 또는 $t$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle y=\frac16x^3$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26 , find the value of $x$ or $t$ where curvature is maximized.

$\displaystyle y=\frac16x^3$

정답·풀이 보기

$x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{5}}$ 에서 최대이다

원본 교재 풀이(영어)

maximized at $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{5}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 36번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

49.APEX · 11.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 곡률이 최대가 되는 $x$ 또는 $t$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle y=\sin x$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26 , find the value of $x$ or $t$ where curvature is maximized.

$\displaystyle y=\sin x$

정답·풀이 보기

$x=\ldots -3\pi/2, -\pi/2, \pi/2, \ldots$ 에서 최대이다

원본 교재 풀이(영어)

maximized at $x=\ldots -3\pi/2, -\pi/2, \pi/2, \ldots$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 18번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

50.APEX · 11.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 곡률이 최대가 되는 $x$ 또는 $t$ 의 값을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle t^2+2t,3t-t^2\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26 , find the value of $x$ or $t$ where curvature is maximized.

$\vec r(t) = \left\langle t^2+2t,3t-t^2\right\rangle$

정답·풀이 보기

$t=1/4$ 에서 최대이다

원본 교재 풀이(영어)

maximized at $t=1/4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 6번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

51.APEX · 11.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 곡률이 최대가 되는 $x$ 또는 $t$ 의 값을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle t, 4/t, 3/t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26 , find the value of $x$ or $t$ where curvature is maximized.

$\vec r(t) = \left\langle t, 4/t, 3/t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$t= \pm \sqrt{5}$ 에서 최대이다

원본 교재 풀이(영어)

maximized at $t= \pm \sqrt{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 34번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

52.APEX · 11.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 값에서의 곡률반지름을 구하세요.

$y=\tan x$ , $x=\pi/4$ 일 때

영어 원문 보기

In Exercises 27–30 , find the radius of curvature at the indicated value.

$y=\tan x$ , at $x=\pi/4$

정답·풀이 보기

곡률반지름은 $5\sqrt{5}/4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

radius of curvature is $5\sqrt{5}/4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 2번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

53.APEX · 11.5절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 값에서의 곡률반지름을 구하세요.

$y=x^2+x-3$ , $x=\pi/4$ 일 때

영어 원문 보기

In Exercises 27–30 , find the radius of curvature at the indicated value.

$y=x^2+x-3$ , at $x=\pi/4$

정답·풀이 보기

곡률반지름은 $5\sqrt{10}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

radius of curvature is $5\sqrt{10}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 8번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

54.APEX · 11.5절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 값에서의 곡률반지름을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle \cos t, \sin (3t)\right\rangle$ , $t=0$ 일 때

영어 원문 보기

In Exercises 27–30 , find the radius of curvature at the indicated value.

$\vec r(t) = \left\langle \cos t, \sin (3t)\right\rangle$ , at $t=0$

정답·풀이 보기

곡률반지름은 $9$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

radius of curvature is $9$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 12번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

55.APEX · 11.5절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 값에서의 곡률반지름을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 5\cos (3 t), t\right\rangle$ , $t=0$ 일 때

영어 원문 보기

In Exercises 27–30 , find the radius of curvature at the indicated value.

$\vec r(t) = \left\langle 5\cos (3 t), t\right\rangle$ , at $t=0$

정답·풀이 보기

곡률반지름은 $1/45$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

radius of curvature is $1/45$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 50번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

56.APEX · 11.5절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 $t$ 의 값에서 곡선의 접촉원의 방정식을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle$ , $t=0$ 일 때

영어 원문 보기

In Exercises 31–34 , find the equation of the osculating circle to the curve at the indicated $t$ -value.

$\vec r(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle$ , at $t=0$

정답·풀이 보기

$x^2+(y-1/2)^2 = 1/4$ , or $\vec c(t) = \left\langle 1/2\cos t, 1/2\sin t+ 1/2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$x^2+(y-1/2)^2 = 1/4$ , or $\vec c(t) = \left\langle 1/2\cos t, 1/2\sin t+ 1/2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 24번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

57.APEX · 11.5절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 $t$ 의 값에 대해 곡선의 접촉원의 방정식을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 3\cos t, \sin t\right\rangle$ , $t=0$ 일 때

영어 원문 보기

In Exercises 31–34 , find the equation of the osculating circle to the curve at the indicated $t$ -value.

$\vec r(t) = \left\langle 3\cos t, \sin t\right\rangle$ , at $t=0$

정답·풀이 보기

$(x-8/3)^2+y^2 = 1/9$ , or $\vec c(t) = \left\langle \frac13\cos t+\frac83, \frac13\sin t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$(x-8/3)^2+y^2 = 1/9$ , or $\vec c(t) = \left\langle \frac13\cos t+\frac83, \frac13\sin t\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 6번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

58.APEX · 11.5절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 $t$ 의 값에 대해 곡선의 접촉원의 방정식을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 3\cos t, \sin t\right\rangle$ , $t=\pi/2$ 일 때

영어 원문 보기

In Exercises 31–34 , find the equation of the osculating circle to the curve at the indicated $t$ -value.

$\vec r(t) = \left\langle 3\cos t, \sin t\right\rangle$ , at $t=\pi/2$

정답·풀이 보기

$x^2+(y+8)^2 = 81$ , or $\vec c(t) = \left\langle 9\cos t, 9\sin t-8\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$x^2+(y+8)^2 = 81$ , or $\vec c(t) = \left\langle 9\cos t, 9\sin t-8\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 20번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

59.APEX · 11.5절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 $t$ 의 값에 대해 곡선의 접촉원의 방정식을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle t^2-t,t^2+t\right\rangle$ , $t=0$ 일 때

영어 원문 보기

In Exercises 31–34 , find the equation of the osculating circle to the curve at the indicated $t$ -value.

$\vec r(t) = \left\langle t^2-t,t^2+t\right\rangle$ , at $t=0$

정답·풀이 보기

$(x-1/2)^2+(y-1/2)^2 = 1/2$ , or $\vec c(t) = \left\langle \frac{\sqrt{2}}{2}\cos t+\frac12, \frac{\sqrt{2}}{2}\sin t+\frac12\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$(x-1/2)^2+(y-1/2)^2 = 1/2$ , or $\vec c(t) = \left\langle \frac{\sqrt{2}}{2}\cos t+\frac12, \frac{\sqrt{2}}{2}\sin t+\frac12\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 10번

# 호의 길이와 곡률계산자동 분류

60.CLP-4 · 1.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

함수 $\mathbf{r}(s)=\sin\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\cos\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{\sqrt3}{2}(s+1)\hat{\mathbf{k}}$ 는 점 $P$ 에서 시작하여 호의 길이로 매개화되어 있다. $P$ 는 어디인지 구하세요.

영어 원문 보기

The function $\mathbf{r}(s)=\sin\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\cos\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{\sqrt3}{2}(s+1)\hat{\mathbf{k}}$ is parametrized in terms of arclength, starting from the point $P$ . What is $P$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$P$ 에서 $P$ 까지의 호의 길이는 0이므로, $P$ 는 $s=0$ 인 점이다. 즉, $\mathbf{r}(0)$ , 곧 $\left( \sin(1/2),\cos(1/2),\sqrt{3}/2\right)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The arclength from $P$ to $P$ will be 0, so $P$ is the point where $s=0$ . That is, $\mathbf{r}(0)$ , or $\left( \sin(1/2),\cos(1/2),\sqrt{3}/2\right)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 40번

# 호의 길이와 곡률계산기본자동 분류