극한·미분 심화 전체 연습문제

501.CLP-1 · 3.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-x\cos x}{x-\sin x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-x\cos x}{x-\sin x}$ .

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$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{x-x\cos x}{x-\sin x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &= \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1-\cos x+x\sin x}{1-\cos x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} = \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\sin x+\sin x+x\cos x}{\sin x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos x+\cos x-x\sin x}{\cos x} ={3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{x-x\cos x}{x-\sin x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &= \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1-\cos x+x\sin x}{1-\cos x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} = \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\sin x+\sin x+x\cos x}{\sin x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos x+\cos x-x\sin x}{\cos x} ={3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 9번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

502.CLP-1 · 3.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x}$ .

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분자와 분모에 $x=0$ 을 대입하면 둘 다 0이므로 로피탈 법칙을 쓸 수 있는 후보이다. 그러나 이 극한을 구하는 더 쉬운 방법은 분자와 분모에서 $x^2$ 을 묶어 내어 약분하는 것이다.

$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x} &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^4}\sqrt{x^2+4}}{x^2\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sqrt{x^2+4}}{x^2\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+4}}{\cos x}\\ &=\frac{\sqrt{0^2+4}}{\cos(0)}=2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

If we plug in $x=0$ to the numerator and denominator, both are zero, so this is a candidate for l'Hopital's Rule. However, an easier way to evaluate the limit is to factor $x^2$ from the numerator and denominator, and cancel.

$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x} &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^4}\sqrt{x^2+4}}{x^2\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sqrt{x^2+4}}{x^2\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+4}}{\cos x}\\ &=\frac{\sqrt{0^2+4}}{\cos(0)}=2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.7절 · 5번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

503.CLP-1 · 3.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

극한 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(\log x)^2}{x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(\log x)^2}{x}$ .

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$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{(\log x)^2}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} &=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2(\log x)\frac{1}{x}}{1} =2\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{\log x}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} = 2\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}={0} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{(\log x)^2}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} &=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2(\log x)\frac{1}{x}}{1} =2\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{\log x}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} = 2\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}={0} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 17번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

504.CLP-1 · 3.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

극한 $\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x}$ .

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$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow0}\underbrace{\frac{1-\cos x}{\sin^2 x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &= \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{2\sin x\cos x} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2\cos x} ={\frac{1}{2}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow0}\underbrace{\frac{1-\cos x}{\sin^2 x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &= \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{2\sin x\cos x} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2\cos x} ={\frac{1}{2}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 10번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

505.CLP-1 · 3.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\sec x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\sec x}$ .

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$x=0$ 을 대입하면 분자는 0이고, 분모는

$\sec 0 = \dfrac{1}{\cos 0}=\dfrac{1}{1}=1$ 이다. 따라서 극한은 $\dfrac{0}{1}=0$ 이다.

주의할 점: 이 분수는 부정형이 아니므로 여기에서는 로피탈 법칙을 쓸 수 없다. 분자와 분모를 각각 미분하면, 극한이 존재하지 않는 식을 얻게 된다.

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sec x \tan x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}=DNE$ .

원본 교재 풀이(영어)

If we plug in $x=0$ , the numerator is zero, and the denominator is

$\sec 0 = \dfrac{1}{\cos 0}=\dfrac{1}{1}=1$ . So the limit is $\dfrac{0}{1}=0$ .

Be careful: you cannot use l'Hopital's Rule here, because the fraction does not give an indeterminate form. If you try to differentiate the numerator and the denominator, you get an expression whose limit does not exist:

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sec x \tan x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}=DNE$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 11번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

506.CLP-1 · 3.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

극한 $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\csc x\cdot \tan x\cdot (x^2+5)}{e^x}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\csc x\cdot \tan x\cdot (x^2+5)}{e^x}$ .

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분모에 $x=0$ 을 대입하면 1이다. 그러나 분자는 부정형이다. $\tan 0 =0$ 이지만 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\csc x=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \to 0^-}\csc x=-\infty$ 이기 때문이다. $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ 를 쓰면 주어진 식은 다음과 같이 된다.

$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\tan x\cdot (x^2+5)}{\sin x \cdot e^x}& \\ \text{$x=0$ 을 대입하면 분자와 분모가 모두 0이 되므로 로피탈 법칙을 쓸 수 있는 후보이다. 그러나 먼저 삼각함수를 간단히 하는 것이 훨씬 쉬운 방법이다.} \\ \lim_{x\to0}\frac{\tan x\cdot (x^2+5)}{\sin x \cdot e^x}&= \lim_{x\to0}\frac{\sin x\cdot (x^2+5)}{\cos x \cdot\sin x \cdot e^x}\\&= \lim_{x\to0}\frac{x^2+5}{\cos x \cdot e^x}\\ &=\frac{0^2+5}{\cos(0)\cdot e^0}=5 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

If we plug $x=0$ into the denominator, we get 1. However, the numerator is an indeterminate form: $\tan 0 =0$ , while $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\csc x=\infty$ and $\displaystyle \lim_{x \to 0^-}\csc x=-\infty$ . If we use $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ , our expression becomes

$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\tan x\cdot (x^2+5)}{\sin x \cdot e^x}& \\ \text{Since plugging in $x=0$ makes both the numerator and the denominator equal to zero, this is a candidate for l'H\^ospital's Rule. However, a much easier way is to simplify the trig first.} \\ \lim_{x\to0}\frac{\tan x\cdot (x^2+5)}{\sin x \cdot e^x}&= \lim_{x\to0}\frac{\sin x\cdot (x^2+5)}{\cos x \cdot\sin x \cdot e^x}\\&= \lim_{x\to0}\frac{x^2+5}{\cos x \cdot e^x}\\ &=\frac{0^2+5}{\cos(0)\cdot e^0}=5 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 12번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

507.CLP-1 · 3.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}$ .

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$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}$ 은 $\infty - \infty$ 꼴의 부정형이다. 상황을 더 잘 파악하기 위해 유리화해 보자.

$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}&= \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}\right)\left( \frac{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}\right)\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2+1)-(x^2+x)}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x+1}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}} \\ \text{여기서 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 부정형이므로 로피탈의 정리를 쓸 수 있다. 그러나 여기에 적용하려 하면 식이 금방 매우 복잡해진다. 대신 이전에 이런 꼴의 극한을 어떻게 처리했는지 떠올려 보자. 분모의 최고차항인 $x$ 로 묶어 낸다.} \\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x^2(2+\frac{1}{x^2})}+\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}}\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}\\ &=\lim_{x \to \infty} \underbrace{\frac{x-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \sqrt{2}+1}}\\ &=\infty \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}$ has the indeterminate form $\infty - \infty$ . To get a better idea of what's going on, let's rationalize.

$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}&= \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}\right)\left( \frac{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}\right)\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2+1)-(x^2+x)}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x+1}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}} \\ \text{Here, we have the indeterminate form $\frac{\infty}{\infty}$, so l'H\^opital's Rule applies. However, if we try to use it here, we quickly get a huge mess. Instead, remember how we dealt with these kinds of limits in the past: factor out the highest power of the denominator, which is $x$.} \\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x^2(2+\frac{1}{x^2})}+\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}}\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}\\ &=\lim_{x \to \infty} \underbrace{\frac{x-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \sqrt{2}+1}}\\ &=\infty \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 22번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

508.CLP-1 · 3.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(x^3+3x^2)}{\sin^2x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(x^3+3x^2)}{\sin^2x}$ .

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$x=0$ 을 대입하면 분자와 분모가 모두 0이 된다. 따라서 로피탈의 법칙을 적용할 수 있는 부정형 중 하나이다.

$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{\sin(x^3+3x^2)}{\sin^2x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} &= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(3x^2+6x)\cos(x^3+3x^2)}{2\sin x\cos x} \\ \text{$x=0$ 을 대입해도 여전히 분자와 분모가 모두 0으로 간다. 로피탈의 법칙을 한 번 더 적용할 수도 있다. 그러나 도함수가 다소 복잡해지므로, 극한의 성질을 이용하여 분수를 두 분수의 곱으로 나눈다. 두 극한이 모두 존재하면:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(3x^2+6x)\cos(x^3+3x^2)}{2\sin x\cos x}&=\left(\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2+2x}{\sin x}\right)\cdot \left(\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{3\cos(x^3+3x^2)}{2\cos x}\right) \\ \text{오른쪽 극한은 $x=0$ 을 그대로 대입하여 구할 수 있다:} \\ &=\dfrac{3}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{x^2+2x}{\sin x}}_ {\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} \\ &= \dfrac{3}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2x+2}{\cos x}\\ &=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{1}\right)=3\end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

If we plug in $x=0$ , both numerator and denominator become zero. So, we have exactly one of the indeterminate forms that l'Hopital's Rule applies to.

$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{\sin(x^3+3x^2)}{\sin^2x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} &= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(3x^2+6x)\cos(x^3+3x^2)}{2\sin x\cos x} \\ \text{If we plug in $x=0$, still we find that both the numerator and the denominator go to zero. We could jump in with another iteration of l'H\^opital's Rule. However, the derivatives would be a little messy, so we use limit laws and break up the fraction into the product of two fractions. If both limits exist:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(3x^2+6x)\cos(x^3+3x^2)}{2\sin x\cos x}&=\left(\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2+2x}{\sin x}\right)\cdot \left(\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{3\cos(x^3+3x^2)}{2\cos x}\right) \\ \text{We can evaluate the right-hand limit by simply plugging in $x=0$:} \\ &=\dfrac{3}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{x^2+2x}{\sin x}}_ {\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} \\ &= \dfrac{3}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2x+2}{\cos x}\\ &=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{1}\right)=3\end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 14번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

509.CLP-1 · 3.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\log(x^3)}{x^2-1}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\log(x^3)}{x^2-1}$ .

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$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\log(x^3)}{x^2-1} =\lim_{x\rightarrow1}\underbrace{\frac{3\log(x)}{x^2-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} =\lim_{x\rightarrow1}\frac{3/x}{2x} =\frac{3}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\log(x^3)}{x^2-1} =\lim_{x\rightarrow1}\underbrace{\frac{3\log(x)}{x^2-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} =\lim_{x\rightarrow1}\frac{3/x}{2x} =\frac{3}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 24번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

510.CLP-1 · 3.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^4}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^4}$ .

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정답·풀이 보기

풀이 1. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{1}{x^4}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^5}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{2}{x^2}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^3}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{e^{1/x^2}} ={0}$ 이는 $x\rightarrow 0$ 일 때 지수 $\frac{1}{x^2}\rightarrow\infty$ 이므로 $e^{1/x^2}\rightarrow\infty$ 이고 $e^{-1/x^2}\rightarrow 0$ 이기 때문이다.
풀이 2. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{t=\frac{1}{x^2}\rightarrow \infty}\frac{e^{-t}}{t^{-2}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{t^2}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{2t}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{2}{e^{t}} ={0}$

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{1}{x^4}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^5}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{2}{x^2}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^3}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{e^{1/x^2}} ={0}$ since, as $x\rightarrow 0$ , the exponent $\frac{1}{x^2}\rightarrow\infty$ so that $e^{1/x^2}\rightarrow\infty$ and $e^{-1/x^2}\rightarrow 0$ .
Solution 2. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{t=\frac{1}{x^2}\rightarrow \infty}\frac{e^{-t}}{t^{-2}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{t^2}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{2t}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{2}{e^{t}} ={0}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 16번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

511.CLP-1 · 3.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{xe^x}{\tan (3x)}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{xe^x}{\tan (3x)}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{xe^x}{\tan (3x)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x+xe^x}{3\sec^2 (3x)} =\frac{1}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{xe^x}{\tan (3x)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x+xe^x}{3\sec^2 (3x)} =\frac{1}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.2절 · 14번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

512.CLP-1 · 3.7절 · 19번대학 수준우리말 번역

$\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\sin^2 x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\sin^2 x}$ .

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$\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin^2 x = 0$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ 이므로 $0^\infty$ 꼴이다. ( $\sin^2 x$ 는 양수이므로 거듭제곱근이 정의된다.) 이는 부정형이 아니다: $\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\sin^2 x}=0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin^2 x = 0$ , and $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ , so we have the form $0^\infty$ . (Note that $\sin^2 x$ is positive, so our root is defined.) This is not an indeterminate form: $\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\sin^2 x}=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 21번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

513.CLP-1 · 3.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

$\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\cos x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\cos x}$ .

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정답·풀이 보기

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \cos x =1$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x \to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ 은 $1^\infty$ 꼴의 부정형이다. 로피탈 정리를 쓰고 싶지만, 그러려면 함수를 분수 꼴의 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 사용한다.

$\begin{aligned} y:&=(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\\ \log y &= \log \left((\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\right)=\frac{1}{x^2}\log(\cos x)=\frac{\log \cos x}{x^2}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\log \cos x}{x^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{2x}= \lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-\tan x}{2x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} = \lim_{x \to 0}\frac{-\sec^2x}{2}\\ &=\lim_{x \to 0}\frac{-1}{2\cos^2 x}=-\frac{1}{2}\\ \text{따라서, } \lim_{x \to 0} y &=\lim_{x \to 0}e^{\log y}=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \cos x =1$ and $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ , so $\displaystyle \lim_{x \to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ has the indeterminate form $1^\infty$ . We want to use l'Hopital, but we need to get our function into a fractional indeterminate form. So, we'll use a logarithm.

$\begin{aligned} y:&=(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\\ \log y &= \log \left((\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\right)=\frac{1}{x^2}\log(\cos x)=\frac{\log \cos x}{x^2}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\log \cos x}{x^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{2x}= \lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-\tan x}{2x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} = \lim_{x \to 0}\frac{-\sec^2x}{2}\\ &=\lim_{x \to 0}\frac{-1}{2\cos^2 x}=-\frac{1}{2}\\ \text{Therefore, } \lim_{x \to 0} y &=\lim_{x \to 0}e^{\log y}=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 19번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

514.CLP-1 · 3.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{x \log x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{x \log x}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

풀이 1

$\begin{aligned} y:&= e^{x \log x} = (e^x)^{\log x} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} (e^x)^{\log x} \\ \text{이는 $1^{-\infty} = \frac{1}{1^\infty}$ 꼴이고, $1^{\infty}$ 은 부정형이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.} \\ \lim_{x \to 0^+} \log y &=\lim_{x \to 0 ^+} \log\left((e^x)^{\log x} \right) =\lim_{x \to 0 ^+} \log x \log\left(e^x \right)=\lim_{x \to 0 ^+} (\log x)\cdot x \\ \text{이는 부정형 $0 \cdot \infty$ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.} \\ &=\lim_{x \to 0 ^+} \underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num} \to -\infty}{\mathrm{den} \to \infty}} =\lim_{x \to 0 ^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0 ^+}-x=0 \\ \text{이제 처음 함수 $y$ 가 어떻게 되는지 알 수 있다:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}$

풀이 2

$\begin{aligned} y:&=e^{x\log x}=\left(e^{\log x}\right)^x=x^x\\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}x^x \\ \text{부정형 $0^0$ 꼴이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.} \\ \lim_{x \to 0^+}\log y &=\lim_{x \to 0^+}\log(x^x)=\lim_{x \to 0^+}x\log x \\ \text{이제 부정형 $0 \cdot \infty$ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}\underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den} \to -\infty}} =\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0^+}-x=0 \\ \text{이제 처음 함수 $y$ 가 어떻게 되는지 알 수 있다:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1

$\begin{aligned} y:&= e^{x \log x} = (e^x)^{\log x} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} (e^x)^{\log x} \\ \text{This has the form $1^{-\infty} = \frac{1}{1^\infty}$, and $1^{\infty}$ is an indeterminate form. We want to use l'H\^opital, but we need to get a different indeterminate form. So, we'll use logarithms.} \\ \lim_{x \to 0^+} \log y &=\lim_{x \to 0 ^+} \log\left((e^x)^{\log x} \right) =\lim_{x \to 0 ^+} \log x \log\left(e^x \right)=\lim_{x \to 0 ^+} (\log x)\cdot x \\ \text{This has the indeterminate form $0 \cdot \infty$, so we need one last adjustment before we can use l'H\^opital's Rule.} \\ &=\lim_{x \to 0 ^+} \underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num} \to -\infty}{\mathrm{den} \to \infty}} =\lim_{x \to 0 ^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0 ^+}-x=0 \\ \text{Now, we can figure out what happens to our original function, $y$:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}$

Solution 2

$\begin{aligned} y:&=e^{x\log x}=\left(e^{\log x}\right)^x=x^x\\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}x^x \\ \text{We have the indeterminate form $0^0$. We want to use l'H\^opital, but we need a different indeterminate form. So, we'll use logarithms.} \\ \lim_{x \to 0^+}\log y &=\lim_{x \to 0^+}\log(x^x)=\lim_{x \to 0^+}x\log x \\ \text{Now we have the indeterminate form $0 \cdot \infty$, so we need one last adjustment before we can use l'H\^opital's Rule.} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}\underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den} \to -\infty}} =\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0^+}-x=0 \\ \text{Now, we can figure out what happens to our original function, $y$:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 18번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

515.CLP-1 · 3.7절 · 22번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left[-\log(x^2)\right]^x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left[-\log(x^2)\right]^x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 0 근처에서 이 함수가 존재함을 확인한다. $x^2$ 은 양수이므로 $\log(x^2)$ 이 존재한다. 0 근처에서 $\log x^2$ 은 음수이므로 $-\log(x^2)$ 은 양수이고, 따라서 $x$ 가 음수일 때에도 $\left[-\log(x^2)\right]^x$ 이 존재한다.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} -\log(x^2)=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}x=0$ 이므로 $\infty^0$ 꼴의 부정형이다. 로피탈 정리를 써야 하는데, 그러려면 함수를 알맞은 꼴로 바꿔야 한다. 로그를 이용하여 이렇게 바꾼다.

$\begin{aligned} y:&=\left[-\log(x^2)\right]^x\\ \log y &= \log \left( \left[-\log(x^2)\right]^x\right)= \underbrace{x}_{\to 0}\cdot\underbrace{\log\left(\underbrace{-\log(x^2)}_{\to\infty} \right)}_{\to\infty}=\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \pm\infty}} =\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\frac{2}{x}}{-\log(x^2)}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-2x}{\log(x^2)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to-\infty}}=0 \\ \text{이제 처음의 극한을 구할 수 있다.} \\ \lim_{x\to 0} y &= \lim_{x \to 0} e^{\log y}=e^0=1 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

First, note that the function exists near 0: $x^2$ is positive, so $\log(x^2)$ exists; near 0, $\log x^2$ is negative, so $-\log(x^2)$ is positive, so $\left[-\log(x^2)\right]^x$ exists even when $x$ is negative.

Since $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} -\log(x^2)=\infty$ and $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}x=0$ , we have the indeterminate form $\infty^0$ . We need l'Hopital, but we need to manipulate our function into an appropriate form. We do this using logarithms.

$\begin{aligned} y:&=\left[-\log(x^2)\right]^x\\ \log y &= \log \left( \left[-\log(x^2)\right]^x\right)= \underbrace{x}_{\to 0}\cdot\underbrace{\log\left(\underbrace{-\log(x^2)}_{\to\infty} \right)}_{\to\infty}=\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \pm\infty}} =\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\frac{2}{x}}{-\log(x^2)}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-2x}{\log(x^2)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to-\infty}}=0 \\ \text{Now, we're ready to figure out our original limit.} \\ \lim_{x\to 0} y &= \lim_{x \to 0} e^{\log y}=e^0=1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 23번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

516.CLP-1 · 3.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}$ 이 존재하도록 하는 $c$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find $c$ so that $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}$ exists.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

분자와 분모는 모두 $x\rightarrow 0$ 일 때 $0$ 으로 수렴한다. 따라서 로피탈 정리에 의해 $\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{c+\sin x}{ 2xe^{x^2}}$ 새로운 분모는 여전히 $x\rightarrow 0$ 일 때 $0$ 으로 수렴한다. 극한이 존재하려면 새로운 분자도 마찬가지여야 한다. 따라서 $c \neq 0$ 이면 극한이 존재하지 않는다. $c=0$ 일 때 극한이 존재하는지 확인해야 한다. 로피탈 정리를 이용하면 $\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\sin x}{2xe^{x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{e^{x^2}(4x^2+2)}=\frac{1}{1(0+2)}=\frac{1}{2}.$ 따라서 $c=0$ 일 때 극한이 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Both the numerator and denominator converge to $0$ as $x\rightarrow 0$ . So, by l'Hopital, $\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{c+\sin x}{ 2xe^{x^2}}$ The new denominator still converges to $0$ as $x\rightarrow 0$ . For the limit to exist, the same must be true for the new numerator. This tells us that if $c \neq 0$ , the limit does not exist. We should check whether the limit exists when $c=0$ . Using l'Hopital: $\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\sin x}{2xe^{x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{e^{x^2}(4x^2+2)}=\frac{1}{1(0+2)}=\frac{1}{2}.$ So, the limit exists when $c=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 20번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

517.CLP-1 · 3.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

$k$ 가 상수일 때, $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{k\sin(x^2)}-(1+2x^2)}{x^4}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{k\sin(x^2)}-(1+2x^2)}{x^4}$ , where $k$ is a constant.

정답·풀이 보기

가장 먼저 눈에 띄는 것은, $k$ 의 값에 관계없이 $x=0$ 을 대입하면 분자와 분모가 모두 0이 된다는 점이다. 이 사실을 이용하여 로피탈의 정리를 적용하자.

$\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{e^{k\sin(x^2)}-(1+2x^2)}{x^4}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2kx\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4x}{4x^3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2} \\ \text{$x=0$ 을 대입하면 분모는 0이 되고 분자는 $2k-4$ 가 된다. 극한의 거동이 $k$ 에 따라 달라지므로 경우를 나누어야 한다.} \\ \\ \text{$k=2$ 일 때:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{4\cos(x^2)e^{2\sin(x^2)}-4}{4x^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-8x\sin(x^2)e^{2\sin(x^2)} +16x\cos^2(x^2)e^{2\sin(x^2)}}{8x}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\big[-\sin(x^2)e^{2\sin(x^2)} +2\cos^2(x^2)e^{2\sin(x^2)}\big]\\ &=2 \\ \text{$k>2$ 일 때, 분자는 양의 상수인 $2k-4$ 에 가까워지고 분모는 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지므로:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= \infty \\ \text{$k<2$ 일 때, 분자는 음의 상수인 $2k-4$ 에 가까워지고 분모는 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지므로:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= -\infty \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The first thing we notice is, regardless of $k$ , when we plug in $x=0$ both numerator and denominator become zero. Let's use this fact, and apply l'Hopital's Rule.

$\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{e^{k\sin(x^2)}-(1+2x^2)}{x^4}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2kx\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4x}{4x^3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2} \\ \text{When we plug in $x=0$, the denominator becomes 0, and the numerator becomes $2k-4$. So, we'll need some cases, because the behaviour of the limit depends on $k$.} \\ \\ \text{For $k=2$:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{4\cos(x^2)e^{2\sin(x^2)}-4}{4x^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-8x\sin(x^2)e^{2\sin(x^2)} +16x\cos^2(x^2)e^{2\sin(x^2)}}{8x}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\big[-\sin(x^2)e^{2\sin(x^2)} +2\cos^2(x^2)e^{2\sin(x^2)}\big]\\ &=2 \\ \text{For $k>2$, the numerator goes to $2k-4$, which is a positive constant, while the denominator goes to $0$ from the right, so:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= \infty \\ \text{For $k<2$, the numerator goes to $2k-4$, which is a negative constant, while the denominator goes to $0$ from the right, so:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= -\infty \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 15번

# 로피탈 정리계산보통자동 분류

518.Active Calculus · 1.8절 · 7번대학 수준우리말 번역

어떤 함수 $y=p(x)$ 의 $a = 3$ 에서의 국소 선형화가 $L(x) = -2x + 5$ 로 주어져 있다.

(a) $p(3)$ 과 $p'(3)$ 의 값은 각각 얼마입니까? 그 이유는 무엇입니까? (b) $p(2.79)$ 의 값을 어림하세요. (c) $p''(3) = 0$ 이고 $x < 3$ 에서 $p''(x) < 0$ 이라고 가정합니다. (b)에서 구한 어림값은 너무 큽니까, 너무 작습니까? (d) $x > 3$ 에서 $p''(x) > 0$ 이라고 가정합니다. 이 사실과 위의 추가 정보를 이용하여 $x = 3$ 근처에서 $y = p(x)$ 의 정확한 그래프를 그리세요. 그래프에 $y = L(x)$ 의 그래프도 함께 그리세요.

영어 원문 보기

A certain function $y=p(x)$ has its local linearization at $a = 3$ given by $L(x) = -2x + 5$ .

(a) What are the values of $p(3)$ and $p'(3)$ ? Why? (b) Estimate the value of $p(2.79)$ . (c) Suppose that $p''(3) = 0$ and you know that $p''(x) < 0$ for $x < 3$ . Is your estimate in (b) too large or too small? (d) Suppose that $p''(x) > 0$ for $x > 3$ . Use this fact and the additional information above to sketch an accurate graph of $y = p(x)$ near $x = 3$ . Include a sketch of $y = L(x)$ in your work.

정답·풀이 보기

(a) 접점에서 접선의 값과 기울기는 함수의 값과 기울기와 같으므로 $p(3) = L(3) = -1$ 이고 $p'(3) = L'(3) = -2$ 이다. (b) 국소 선형화를 이용하면 $p(2.79) \approx L(2.79) = -2(2.79) + 5 = -0.58$ 이다. (c) $x < 3$ 에서 $p''(x) < 0$ 이므로 $x < 3$ 에서 $p$ 는 위로 볼록이다. 따라서 접점 $x = 3$ 의 왼쪽에서는 접선이 곡선보다 위에 놓이므로 (b)의 어림값은 너무 크다. (d) 다음 그림은 점 $(3,-1)$ 에서 접선의 값과 기울기가 일치하고, $x=3$ 의 왼쪽에서는 위로 볼록, 오른쪽에서는 아래로 볼록인 함수 $p$ 의 한 가지 예이다. 이 함수는 x 가 3보다 작을 때 위로 볼록이고 x 가 3보다 클 때 아래로 볼록인 삼차 다항식처럼 보인다. 그래프는 점 (3,-1)을 지나고, 대응하는 접선도 그 점을 지나며, 함께…

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since the value and slope of the tangent line match the value and slope of the function at the point of tangency, we know $p(3) = L(3) = -1$ and $p'(3) = L'(3) = -2$ . (b) Using the local linearization, $p(2.79) \approx L(2.79) = -2(2.79) + 5 = -0.58$ . (c) Since $p''(x) < 0$ for $x < 3$ , we know that $p$ is concave down for $x < 3$ . This means to the left of the point of tangency at $x = 3$ , the tangent line lies above the curve, and thus the estimate in (b) is too large. (d) In the following figure, we see a possible function $p$ that matches the value and slope of the tangent line at the point $(3,-1)$ and that is concave down to the left of $x=3$ and concave up to the right. This function appears to be a cubic polynomial that is concave down for x lt 3 and concave up for x gt 3; its graph passes through the point (3,-1) and the corresponding tangent line does as well, wit

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 10번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석자동 분류

519.Active Calculus · 1.8절 · 8번대학 수준우리말 번역

감자를 오븐에 넣고, 여러 시점에서 감자의 온도 $F$ (화씨 도)를 측정하여 다음 표에 기록하였다. 시간 $t$ 는 분 단위로 측정한다.

감자의 온도 자료.

$t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$F(t)$	$65$	$94.7$	$141.7$	$167.6$	$182.4$	$197.9$	$209.3$

(a) 중심차분을 이용하여 $F'(30)$ 을 어림하세요. 이후의 문제에서는 필요한 경우 이 어림값을 사용하세요. (b) $a = 30$ 인 점에서 함수 $y = F(t)$ 의 국소선형근사 $y = L(t)$ 를 구하세요. (c) 국소선형근사를 이용하여 $F(33)$ 의 어림값을 구하세요. (d) (c)에서 구한 어림값이 실제보다 너무 크다고 생각하나요, 아니면 너무 작다고 생각하나요? 그 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

A potato is placed in an oven, and the potato's temperature $F$ (in degrees Fahrenheit) at various points in time is taken and recorded in the following table. Time $t$ is measured in minutes.

Temperature data for the potato.

$t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$F(t)$	$65$	$94.7$	$141.7$	$167.6$	$182.4$	$197.9$	$209.3$

(a) Use a central difference to estimate $F'(30)$ . Use this estimate as needed in subsequent questions. (b) Find the local linearization $y = L(t)$ to the function $y = F(t)$ at the point where $a = 30$ . (c) Determine an estimate for $F(33)$ by employing the local linearization. (d) Do you think your estimate in (c) is too large or too small? Why?

정답·풀이 보기

(a) $h=10$ 으로 중심차분 근사를 하면 $F'(30) \approx \frac{F(40)-F(20)}{20} = \frac{182.4-141.1}{20} = 2.065$ 이므로 분당 화씨 2.065도이다. (b) $a=30$ 에서의 국소선형근사는 $L(t) = F'(30)(t-30)+F(30) = L(t) \approx 2.065(t-30) + 167.6$ 이다. (c) (b)에서 구한 선형근사를 이용하면 $F(33) \approx L(33) \approx 2.065(3) + 167.6 = 173.795$ 화씨 도이다. (d) 표에 주어진 $F(t)$ 의 값은 $t = 30$ 근처에서 증가하되 증가하는 비율이 점점 줄어드는 것으로 보이므로, $F$ 의 그래프는 $t = 30$ 근처에서 위로 볼록하다. 따라서 $L(t)$ 의 그래프( $F$ 의 $t = 30)$ 에서의 접선)는 $F$ 의 그래프보다 위쪽에 놓인다. 그러므로 (c)에서 구한 어림값은 아마도 실제보다 크게 어림한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The central difference approximation with $h=10$ gives $F'(30) \approx \frac{F(40)-F(20)}{20} = \frac{182.4-141.1}{20} = 2.065$ degrees per minute. (b) The local linearization at $a=30$ is $L(t) = F'(30)(t-30)+F(30) = L(t) \approx 2.065(t-30) + 167.6$ . (c) Using the linearization from (b), $F(33) \approx L(33) \approx 2.065(3) + 167.6 = 173.795$ degrees F. (d) Since the values of $F(t)$ given in the table appear to be increasing at a decreasing rate near $t = 30$ , it follows that the graph of $F$ is concave down near $t = 30$ . This implies that the graph of $L(t)$ (the tangent line to $F$ at $t = 30)$ lies above the graph of $F$ . Therefore, the approximation given in part (c) is probably an overestimate.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 9번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석자동 분류

520.Active Calculus · 1.8절 · 9번대학 수준우리말 번역

직선 경로를 따라 움직이는 물체의 위치 함수 $y = s(t)$ 는 미분가능하고, $s(t)$ 는 시각 $t$ 에서 원점에 대한 물체의 위치를 나타낸다. 시각 $t = 9$ 초일 때 물체의 위치는 $s(9) = 4$ 피트(즉, 원점의 오른쪽 4피트)라고 알려져 있다. 또한 $t = 9$ 에서 물체의 순간 속도는 초당 $-1.2$ 피트이고, 같은 순간의 가속도는 초당 $0.08$ 피트씩 변하는 속도, 즉 $0.08$ 피트/초²이다.

(a) 국소선형성을 이용하여 $t = 9.34$ 에서 물체의 위치를 어림하세요. (b) 어림한 값이 실제보다 클 가능성이 높은가요, 작을 가능성이 높은가요? 그 이유는 무엇인가요? (c) $t = 9$ 에서 움직이는 물체의 운동 양상을 일상 언어로 설명하세요. 물체는 원점을 향해 움직이고 있나요, 원점에서 멀어지고 있나요? 속도는 증가하고 있나요, 감소하고 있나요?

영어 원문 보기

An object moving along a straight line path has a differentiable position function $y = s(t)$ ; $s(t)$ measures the object's position relative to the origin at time $t$ . It is known that at time $t = 9$ seconds, the object's position is $s(9) = 4$ feet (i.e., 4 feet to the right of the origin). Furthermore, the object's instantaneous velocity at $t = 9$ is $-1.2$ feet per second, and its acceleration at the same instant is $0.08$ feet per second per second.

(a) Use local linearity to estimate the position of the object at $t = 9.34$ . (b) Is your estimate likely too large or too small? Why? (c) In everyday language, describe the behavior of the moving object at $t = 9$ . Is it moving toward the origin or away from it? Is its velocity increasing or decreasing?

정답·풀이 보기

(a) $t=a$ 에서 $s$ 의 선형근사 $L$ 은 $L(t) = s(a) + s'(a)(t-a)$ 이다. 주어진 정보인 $s(9) = 4$ 와 $s'(9) = -1.2$ 를 이용하면 $t=9$ 에서 $s$ 의 선형근사를 구할 수 있다. 따라서 $t=9$ 에서 $s$ 의 선형근사는 $L(t) = 4 - 1.2(t-9)$ 이다. 선형근사의 한 가지 쓰임은, $t$ 가 $9$ 에 가까울 때 $L(t)$ 가 $s(t)$ 의 좋은 근삿값이 된다는 것이다. 그러므로 $s(9.34) \approx L(9.34) = 4-1.2(0.34) = 3.592\,.$ (b) $s''(4) = 0.08$ 이 양수이므로 $s$ 의 그래프는 $t=4$ 에서 아래로 볼록임을 알 수 있다. 이는 $t=4$ 에서 $s$ 의 선형근사가 $s$ 의 그래프보다 아래쪽에 놓인다는 뜻이고, 따라서 $L(9.34)$ 는 $s(9.34)$ 보다 작게 어림한 값이다. (c) $s'(4)$ 가 음수이므로 물체는 원래 위치를 향해 되돌아가고 있다. $s''(4)$ 가 양수라는 것은 $t=4$ 에서 물체의 속도가 증가하고 있다는 뜻이다. 이는 물체가 $t=4$ 에서 출발 위치를 향해 움직이면서 실제로는 느려지고 있음을 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The linearization $L$ of $s$ at $t=a$ is $L(t) = s(a) + s'(a)(t-a)$ . With the information we have we can find the linearization of $s$ at $t=9$ , using the facts that $s(9) = 4$ and $s'(9) = -1.2$ . Thus, the linearization of $s$ at $t=9$ is $L(t) = 4 - 1.2(t-9)$ . One use of the linearization is that for $t$ close to $9$ , $L(t)$ can provide a good approximation to $s(t)$ . So $s(9.34) \approx L(9.34) = 4-1.2(0.34) = 3.592\,.$ (b) Since $s''(4) = 0.08$ is positive, we know that the graph of $s$ is concave up at $t=4$ . This means that the linearization of $s$ at $t=4$ lies below the graph of $s$ and so $L(9.34)$ is an underestimate to $s(9.34)$ . (c) Given that $s'(4)$ is negative, the object is moving back toward its original position. The fact that $s''(4)$ is positive means that the velocity of the object is increasing at $t=4$ . This means that the object is actually slowing down as it moves toward toward its starting position at $t=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 7번

# 선형근사와 미분소활용자동 분류

극한·미분 심화 전체 문제