선형근사와 미분소 연습문제

61.APEX · 4.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–30에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$y=x^2+3x-5$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$y=x^2+3x-5$

정답·풀이 보기

$dy = (2x+3)dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = (2x+3)dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

62.APEX · 4.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–30에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$y=x^7-x^5$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$y=x^7-x^5$

정답·풀이 보기

$dy = (7x^6-5x^4)dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = (7x^6-5x^4)dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.4절 · 3번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

63.APEX · 4.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17~30번에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=\frac{1}{4x^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=\frac{1}{4x^2}$

정답·풀이 보기

$dy = \frac{-2}{4x^3}dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = \frac{-2}{4x^3}dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.4절 · 4번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

64.APEX · 4.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17~30번에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=(2x+\sin x)^2$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=(2x+\sin x)^2$

정답·풀이 보기

$dy = 2(2x+\sin x)(2+\cos x)dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = 2(2x+\sin x)(2+\cos x)dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 2번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

65.APEX · 4.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 17~30번에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=x^2e^{3x}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=x^2e^{3x}$

정답·풀이 보기

$dy = \big(2xe^{3x}+3x^2e^{3x}\big)dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = \big(2xe^{3x}+3x^2e^{3x}\big)dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

66.APEX · 4.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 17~30번에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=\frac{4}{x^4}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=\frac{4}{x^4}$

정답·풀이 보기

$dy = \frac{-16}{x^5}dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = \frac{-16}{x^5}dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 8번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

67.APEX · 4.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 17~30번에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=\frac{2x}{\tan x + 1}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=\frac{2x}{\tan x + 1}$

정답·풀이 보기

$dy = \frac{2(\tan x+ 1)-2x\sec^2x}{(\tan x+1)^2}dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = \frac{2(\tan x+ 1)-2x\sec^2x}{(\tan x+1)^2}dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

68.APEX · 4.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–30에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=\ln (5x)$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=\ln (5x)$

정답·풀이 보기

$dy = \frac{1}{x}dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = \frac{1}{x}dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 7번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

69.APEX · 4.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–30에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=e^x\sin x$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=e^x\sin x$

정답·풀이 보기

$dy = (e^x\sin x+ e^x\cos x)dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = (e^x\sin x+ e^x\cos x)dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 9번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

70.APEX · 4.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–30에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=\cos (\sin x)$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=\cos (\sin x)$

정답·풀이 보기

$dy = (-\sin(\sin x)\cos x)dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = (-\sin(\sin x)\cos x)dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

71.APEX · 4.4절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–30에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=\frac{x+1}{x+2}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=\frac{x+1}{x+2}$

정답·풀이 보기

$dy = \frac{1}{(x+2)^2}dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = \frac{1}{(x+2)^2}dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 10번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

72.APEX · 4.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–30에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=3^x\ln x$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=3^x\ln x$

정답·풀이 보기

$dy = ((\ln 3)3^x\ln x + \frac{3^x}{x})dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = ((\ln 3)3^x\ln x + \frac{3^x}{x})dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 18번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

73.APEX · 4.4절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–30에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$\displaystyle y=x\ln x-x$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$\displaystyle y=x\ln x-x$

정답·풀이 보기

$dy = (\ln x)dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = (\ln x)dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

74.APEX · 4.4절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–30에서 미분 $dy$ 를 구하세요.

$y = \ln\big(\sec x\big)$

영어 원문 보기

In Exercises 17–30, compute the differential $dy$ .

$y = \ln\big(\sec x\big)$

정답·풀이 보기

$dy = \big(\tan x\big)dx$

원본 교재 풀이(영어)

$dy = \big(\tan x\big)dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 5번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

75.APEX · 4.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34는 미분을 이용하여 전파 오차를 어림하는 문제입니다.

지름이 1cm인 플라스틱 구를 여러 개 만들려고 합니다. 제조 공정의 정확도가 1mm일 때, 구의 부피에서 전파 오차는 얼마인가요?

영어 원문 보기

Exercises 31–34 use differentials to approximate propagated error.

A set of plastic spheres are to be made with a diameter of 1cm. If the manufacturing process is accurate to 1mm, what is the propagated error in volume of the spheres?

정답·풀이 보기

$dV = \pm 0.157$

원본 교재 풀이(영어)

$dV = \pm 0.157$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 14번

# 선형근사와 미분소활용자동 분류

76.APEX · 4.4절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34는 미분을 이용하여 전파 오차를 어림하는 문제입니다.

돌이 $t$ 초 동안 떨어지는 거리(피트)는 $d(t) = 16t^2$ 으로 주어집니다. 돌을 떨어뜨려 바닥에 닿는 소리를 듣는 방법으로 구멍의 깊이를 어림하려고 합니다. 시간 측정의 정확도가 $2/10^{\text{ths}}$ 초이고 측정한 시간이 다음과 같을 때, 전파 오차는 얼마인가요?

(a) 2초 (b) 5초

영어 원문 보기

Exercises 31–34 use differentials to approximate propagated error.

The distance, in feet, a stone drops in $t$ seconds is given by $d(t) = 16t^2$ . The depth of a hole is to be approximated by dropping a rock and listening for it to hit the bottom. What is the propagated error if the time measurement is accurate to $2/10^{\text{ths}}$ of a second and the measured time is:

(a) 2 seconds? (b) 5 seconds?

정답·풀이 보기

(a) $\pm$ 12.8 피트 (b) $\pm$ 32 피트

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\pm$ 12.8 feet (b) $\pm$ 32 feet

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 24번

# 선형근사와 미분소활용자동 분류

77.APEX · 4.4절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34는 미분을 이용하여 전파 오차를 어림하는 문제입니다.

원형 통나무의 지름을 $15''$ 로 측정했고 정확도가 $1/4''$ 일 때, 통나무의 단면의 넓이를 측정할 때 생기는 전파 오차는 얼마인가요?

영어 원문 보기

Exercises 31–34 use differentials to approximate propagated error.

What is the propagated error in the measurement of the cross sectional area of a circular log if the diameter is measured at $15''$ , accurate to $1/4''$ ?

정답·풀이 보기

$\pm15\pi/8 \approx \pm5.89$ in $^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\pm15\pi/8 \approx \pm5.89$ in $^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 38번

# 선형근사와 미분소활용자동 분류

78.APEX · 4.4절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34는 미분을 사용하여 전파 오차를 어림합니다.

높이가 $8'$ 이고 길이가 $10',\ 7''$ 로 측정된 벽을 칠하려고 합니다. 측정값이 $1/2''$ 까지 정확할 때, 벽의 겉넓이를 측정할 때의 전파 오차를 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 31–34 use differentials to approximate propagated error.

A wall is to be painted that is $8'$ high and is measured to be $10',\ 7''$ long. Find the propagated error in the measurement of the wall's surface area if the measurement is accurate to $1/2''$ .

정답·풀이 보기

$\pm$ 48in $^2$ , or 1/3ft $^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\pm$ 48in $^2$ , or 1/3ft $^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 26번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

79.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래 그래프에는 세 곡선이 있습니다. 검은 곡선은 $y=f(x)$ , 빨간 곡선은 $y=g(x)=1+2\sin(1+x)$ , 파란 곡선은 $y=h(x)=0.7$ 입니다. $f(0)$ 을 어림하려 할 때, 어떤 경우에 $g(0)$ 을 쓰게 될까요? 또 어떤 경우에 $h(0)$ 을 쓰게 될까요?

영어 원문 보기

The graph below shows three curves. The black curve is $y=f(x)$ , the red curve is $y=g(x)=1+2\sin(1+x)$ , and the blue curve is $y=h(x)=0.7$ . If you want to estimate $f(0)$ , what might cause you to use $g(0)$ ? What might cause you to use $h(0)$ ?

정답·풀이 보기

$f(0)$ 은 $h(0)$ 보다 $g(0)$ 에 더 가까우므로, $\sin(1)$ 의 값을 효율적으로 알아낼 수단이 있고 정확도가 중요하다면 $f(0) \approx g(0)=1+2\sin (1)$ 로 어림하는 것이 좋을 것이다. 계산기가 있다면 이 어림을 쓸 수 있다. 또한 이 단원의 뒷부분에서 계산기 없이 $\sin (1)$ 을 근사하는 방법을 배우지만, 그 방법에는 시간이 필요하다.

계산기가 없거나 시간이 많지 않다면 $f(0)\approx h(0)=0.7$ 을 쓰는 것이 가장 적절할 것이다. 이는 $f(0) \approx g(0)$ 만큼 정확하지는 않지만, $\sin(1)$ 의 값을 알아내려고 고민하지 않고도 매우 빠르게 어림값을 얻을 수 있다.

참고: 실생활에서 어떤 값을 어림할 때는 분명한 '정답' 방법이 없는 경우가 많다. 보통 정확도와 편리함 사이에서 균형을 잡아야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(0)$ is closer to $g(0)$ than it is to $h(0)$ , you would probably want to estimate $f(0) \approx g(0)=1+2\sin (1)$ if you had the means to efficiently figure out what $\sin(1)$ is, and if you were concerned with accuracy. If you had a calculator, you could use this estimation. Also, later in this chapter we will learn methods of approximating $\sin (1)$ that do not require a calculator, but they do require time.

Without a calculator, or without a lot of time, using $f(0)\approx h(0)=0.7$ probably makes the most sense. It isn't as accurate as $f(0) \approx g(0)$ , but you get an estimate very quickly, without worrying about figuring out what $\sin(1)$ is.

Remark: when you're approximating something in real life, there probably won't be an obvious “correct" way to do it. There's usually a trade-off between accuracy and ease.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 18번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석기본자동 분류

80.CLP-1 · 3.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

상수 근사를 이용하여 $10.1^3$ 의 값을 어림하세요. 어림한 값은 암산으로 계산할 수 있는 것이어야 합니다.

영어 원문 보기

Use a constant approximation to estimate the value of $10.1^3$ . Your estimation should be something you can calculate in your head.

정답·풀이 보기

$10.1$ 은 $10$ 에 꽤 가까우므로 $10.1^3 \approx 10^3=1000$ 으로 어림한다.

참고: 이러한 어림은 계산을 할 때 매우 유용하다. 계산 과정에서 실수하기 쉬운데, $10.1^3$ 이 대략 천 정도여야 한다는 것을 염두에 두면 구한 답이 타당한지 확인하는 좋은 방법이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $10.1$ is pretty close to $10$ , we estimate $10.1^3 \approx 10^3=1000$ .

Remark: these kinds of approximations are very useful when you are doing computations. It's easy to make a mistake in your work, and having in mind that $10.1^3$ should be about a thousand is a good way to check that whatever answer you have makes sense.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 28번

# 선형근사와 미분소계산도전자동 분류