문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

정의를 써서 도함수를 구하고, f의 그래프와 f'의 그래프를 연결한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

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25문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 도함수 $f'(x)$ 의 그래프를 그려 보세요.

함수 f(x)는 (−1.5, 20) 근처에서 시작해 감소하여 (0, 10)을 지나는데 이곳에서 기울기가 0인 것처럼 보인다. 이어서 계속 감소하여 (1.7, 0)을 지나 (3, −17)에서 최솟값을 갖고, 그 뒤 빠르게 증가하여 (3.8, 0)을 지나 (4, 20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−1.5, 20) and decreases to pass through (0, 10), where it appears to have a derivative of 0. Then it further decreases, passing through (1.7, 0) and achieving a minimum at (3, −17), at which point it increases rapidly through (3.8, 0) to (4, 20).

풀이 보기

$f$ 의 그래프에서 각 점의 접선의 기울기가 곧 $f'(x)$ 의 값이에요. 기울기를 읽어 점으로 찍으면 도함수 그래프가 돼요.

1
기울기가 0인 곳을 먼저 찾아요. 도함수의 값은 접선의 기울기예요. 그래프를 보면 $x=0$ 근처(높이 10)에서 평평하게 눌려 있고, $x=3$ 에서 가장 낮아요(극솟점). 따라서 $f'(0)=0$ , $f'(3)=0$ 이에요. 즉 $f'$ 의 그래프는 $x=0$ 과 $x=3$ 에서 $x$ 축과 만나요.
2
부호를 구간별로 살펴요. $x<3$ 에서는 (평평한 $x=0$ 을 제외하고) $f$ 가 계속 내려가므로 기울기가 음수, 즉 $f'(x)<0$ 이에요. $x=0$ 에서는 0이 되지만 앞뒤 모두 음수라서 $x$ 축에 닿기만 하고 통과하지 않아요. $x>3$ 에서는 $f$ 가 올라가므로 $f'(x)>0$ 이에요.
3
크기를 어림해요. 왼쪽 끝 $x=-1.5$ 근처에서는 내려가는 정도가 아주 가팔라서 $f'$ 는 큰 음수예요. 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 기울기가 완만해져 $x=0$ 에서 0이 돼요. 그 뒤 다시 가팔라져서 $x=2$ 근처에서 가장 가파르게 내려가므로 $f'$ 는 여기서 가장 작은 값(약 $-16$ )을 가져요. 이후 기울기가 완만해져 $x=3$ 에서 0이 되고, 그 뒤로는 양수로 빠르게 커져요.
4
그래프를 이어요. 위 점들을 매끄럽게 이으면 $f'$ 의 그래프는 '왼쪽 위에서 음수로 내려오다가 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고, $x=2$ 근처에서 최저가 되었다가 $x=3$ 에서 $x$ 축을 통과해 위로 올라가는' 삼차함수 모양이에요.

답

$f'$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고(접하고), $x=2$ 근처에서 최솟값 약 $-16$ , $x=3$ 에서 $x$ 축을 지나 위로 올라가는 곡선

자주 하는 실수

$f$ 의 값이 큰 곳에서 $f'$ 도 크다고 생각하는 실수가 많아요. $f'$ 는 높이가 아니라 기울기예요.

원본 교재 풀이(영어)

The function starts in the third quadrant and increases to touch the origin, then decreases to a minimum at (2, −16), before increasing through the x axis at x = 3, after which it continues increasing.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 8번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석보통

2.OpenStax 1권 · 3.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. 도함수 $f'(x)$ 를 구한 뒤 계산기로 $f'(x)$ 의 그래프도 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=x^3+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph $f(x).$ Determine the function ${f}^{'}(x),$ then use a calculator to graph ${f}^{'}(x).$

[T] $f(x)={x}^{3}+1$

풀이 보기

$x^n$ 의 도함수는 $nx^{n-1}$ 이고, 상수의 도함수는 0이에요.

1
도함수를 구해요. $x^3$ 은 $3x^2$ 으로 미분되고, 상수 $1$ 은 미분하면 $0$ 이에요. 따라서 $f'(x)=3x^2+0=3x^2$
2
$f$ 의 그래프를 생각해요. $y=x^3+1$ 은 $y=x^3$ 의 그래프를 위로 1만큼 평행이동한 곡선이에요. 위로 옮겨도 기울기는 변하지 않으므로 $f'$ 가 $x^3$ 의 도함수와 같은 것과 맞아요.
3
$f'$ 의 그래프를 생각해요. $y=3x^2$ 은 꼭짓점이 원점인 아래로 볼록한 포물선이에요. $y=x^2$ 보다 3배 가파르게 올라가요. 또 $f'(0)=0$ 이어서 $f$ 는 $x=0$ 에서 접선이 수평이고(그림에서 평평하게 눌린 부분), $f'\ge 0$ 이므로 $f$ 는 늘 증가해요. 주어진 그림에서도 점선(포물선)이 $f'$ 이고 실선이 $f$ 예요.

답

$f'(x)=3x^2$ (그래프: 원점을 꼭짓점으로 하는 아래로 볼록한 포물선)

자주 하는 실수

상수항 $1$ 이 미분 후에도 남는다고 착각하는 실수가 있어요. 상수의 도함수는 0이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=3{x}^{2}$

The function f(x) starts is the graph of the cubic function shifted up by 1. The function f’(x) is the graph of a parabola that is slightly steeper than the normal squared function.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석기본

3.OpenStax 1권 · 3.2절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용하여 그 도함수 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

함수 f(x)는 (−2, 20)에서 시작하여 감소하면서 원점을 지나고, 대략 (0.5, −1)에서 극솟값을 갖는다. 그 후 증가하여 (1, 0)을 지나고 (2.25, 2)에서 극댓값을 갖는다. 이어서 다시 감소하여 (3, 0)을 지나 (4, −20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−2, 20) and decreases to pass through the origin and achieve a local minimum at roughly (0.5, −1). Then, it increases and passes through (1, 0) and achieves a local maximum at (2.25, 2) before decreasing again through (3, 0) to (4, −20).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 30번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 3.2절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용하여 그 도함수 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

함수 f(x)는 (−2.25, −20)에서 시작하여 빠르게 증가하면서 (−2, 0)을 지나고, (−1.4, 8)에서 극댓값을 갖는다. 그 후 함수는 감소하여 원점에 이른다. 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로, 원점에서 증가하여 (1.4, 8)에 이르고, 다시 감소하면서 (2, 0)을 지나 계속 내려가 (2.25, −20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−2.25, −20) and increases rapidly to pass through (−2, 0) before achieving a local maximum at (−1.4, 8). Then the function decreases to the origin. The graph is symmetric about the y-axis, so the graph increases to (1.4, 8) before decreasing through (2, 0) and heading on down to (2.25, −20).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 11번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 3.2절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용하여 그 도함수 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

함수 f(x)는 (−3, −1)에서 시작하여 증가하면서 (−1.5, 0)을 지나고, (1, 0)에서 극솟값을 갖는다. 그 후 감소하면서 (1.5, 0)을 지나 계속 감소하여 (3, −1)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−3, −1) and increases to pass through (−1.5, 0) and achieve a local minimum at (1, 0). Then, it decreases and passes through (1.5, 0) and continues decreasing to (3, −1).

정답·풀이 보기

함수는 (−3, 0)에서 시작하여 증가하다가 (−1.5, 1)에서 최댓값을 갖고, 감소하면서 원점을 지나 (1.5, −1)에서 최솟값을 가진 다음, 다시 증가하여 x = 3에서 x축에 이른다.

원본 교재 풀이(영어)

The function starts at (−3, 0), increases to a maximum at (−1.5, 1), decreases through the origin and to a minimum at (1.5, −1), and then increases to the x axis at x = 3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 22번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 3.2절 · 25번우리말 번역

다음 그래프에 대해,

a. $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하지만 $f$ 가 $x=a$ 에서 연속이 아닌 $x=a$ 의 값을 모두 구하세요. b. 함수가 $x=a$ 에서 연속이지만 미분가능하지 않은 $x=a$ 의 값을 모두 구하세요.

함수는 (−6, 2)에서 시작하여 증가해 (−5.3, 4)에서 최댓값을 가진 뒤, (−4, 3)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (−4, −2)에서 다시 시작하여 (−2.25, 0)을 지나며 천천히 증가하고, (−1, 4)를 지나 (−0.1, 5.3)에서 극댓값을 가진 뒤 감소하여 (2, −1)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (2, 5)에서 다시 시작하여 (2.6, 6)까지 증가한 뒤 (4.5, −3)까지 감소하며, (4, 2)에서 불연속이 있다.

영어 원문 보기

For the following graphs,

a. determine for which values of $x=a$ the $\lim_{x\to a}f(x)$ exists but $f$ is not continuous at $x=a,$ and b. determine for which values of $x=a$ the function is continuous but not differentiable at $x=a.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 2번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 3.2절 · 26번우리말 번역

다음 그래프에 대해,

a. $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하지만 $f$ 가 $x=a$ 에서 연속이 아닌 $x=a$ 의 값을 모두 구하세요. b. 함수가 $x=a$ 에서 연속이지만 미분가능하지 않은 $x=a$ 의 값을 모두 구하세요.

함수는 (−3, −1)에서 시작하여 증가해 극댓값을 가지는 (−1, 3)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (−1, 1)에서 다시 시작하여 빠르게 증가해 극댓값을 가지는 (0, 4)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (0, 3)에서 다시 시작하여 (1, 1)까지 직선으로 감소하는데, 이 점에서 불연속이 있고 x = 1 에서 이 함수의 값은 2이다. 함수는 (1, 1)에서 이어져 (2, 3.5)까지 직선으로 증가한 뒤 (3, 2)까지 직선으로 감소한다.

영어 원문 보기

For the following graphs,

a. determine for which values of $x=a$ the $\lim_{x\to a}f(x)$ exists but $f$ is not continuous at $x=a,$ and b. determine for which values of $x=a$ the function is continuous but not differentiable at $x=a.$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

a. $x=1,$ b. $x=2$

원본 교재 풀이(영어)

a. $x=1,$ b. $x=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 16번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 3.2절 · 27번우리말 번역

주어진 $f(x)$ 의 그래프를 이용하여 a. ${f}^{'}(-0.5),$ b. ${f}^{'}(0),$ c. ${f}^{'}(1),$ d. ${f}^{'}(2),$ e. ${f}^{'}(3)$ 이 존재하면 그 값을 구하세요.

함수는 (−3, 0)에서 시작하여 (0, 3)에서 극댓값을 가질 때까지 직선으로 증가한다. 그다음 (2, 1)까지 직선으로 감소하고, 이 점에서부터 (4, 5)까지 직선으로 증가한다.

영어 원문 보기

Use the graph of $f(x)$ shown to evaluate a. ${f}^{'}(-0.5),$ b. ${f}^{'}(0),$ c. ${f}^{'}(1),$ d. ${f}^{'}(2),$ and e. ${f}^{'}(3),$ if it exists.

The function starts at (−3, 0) and increases linearly to a local maximum at (0, 3). Then it decreases linearly to (2, 1), at which point it increases linearly to (4, 5).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.4절 · 11번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 3.2절 · 31번우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. 함수 ${f}^{'}(x)$ 를 구한 다음, 계산기를 이용하여 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=-\frac{5}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph $f(x).$ Determine the function ${f}^{'}(x),$ then use a calculator to graph ${f}^{'}(x).$

[T] $f(x)=-\frac{5}{x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 22번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 1권 · 3.2절 · 32번우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. 함수 ${f}^{'}(x)$ 를 구한 다음, 계산기를 이용하여 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=3{x}^{2}+2x+4.$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph $f(x).$ Determine the function ${f}^{'}(x),$ then use a calculator to graph ${f}^{'}(x).$

[T] $f(x)=3{x}^{2}+2x+4.$

정답·풀이 보기

${f}^{'}(x)=6x+2$

함수 f(x)의 그래프는 y절편이 4이고 아래로 볼록한 포물선이다. 함수 f’(x)의 그래프는 y절편이 2이고 기울기가 6인 직선이다.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=6x+2$

The function f(x) is graphed as an upward facing parabola with y intercept 4. The function f’(x) is graphed as a straight line with y intercept 2 and slope 6.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 44번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 1권 · 3.2절 · 33번우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. 함수 ${f}^{'}(x)$ 를 구한 다음, 계산기를 이용하여 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=\sqrt{x}+3x$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph $f(x).$ Determine the function ${f}^{'}(x),$ then use a calculator to graph ${f}^{'}(x).$

[T] $f(x)=\sqrt{x}+3x$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 50번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 1권 · 3.2절 · 34번우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. 함수 ${f}^{'}(x)$ 를 구한 다음, 계산기를 이용하여 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph $f(x).$ Determine the function ${f}^{'}(x),$ then use a calculator to graph ${f}^{'}(x).$

[T] $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}$

정답·풀이 보기

${f}^{'}(x)=-\frac{1}{{(2x)}^{3/2}}$

함수 f(x)의 그래프는 제1사분면에 있으며 x = 0 과 y = 0 을 점근선으로 갖는다. 함수 f’(x)의 그래프는 제4사분면에 있으며 x = 0 과 y = 0 을 점근선으로 갖는다.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=-\frac{1}{{(2x)}^{3/2}}$

The function f(x) is in the first quadrant and has asymptotes at x = 0 and y = 0. The function f’(x) is in the fourth quadrant and has asymptotes at x = 0 and y = 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 46번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 1권 · 3.2절 · 35번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산기를 사용하여 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. 함수 ${f}^{'}(x)$ 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=1+x+\frac{1}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph $f(x).$ Determine the function ${f}^{'}(x),$ then use a calculator to graph ${f}^{'}(x).$

[T] $f(x)=1+x+\frac{1}{x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 17번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

14.OpenStax 1권 · 3.2절 · 43번우리말 번역

다음 성질을 모두 만족시키는 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

a. $-2\le x<1$ 에 대해 ${f}^{'}(x)>0$ b. ${f}^{'}(2)=0$ c. $x>2$ 에 대해 ${f}^{'}(x)>0$ d. $f(2)=2$ 이고 $f(0)=1$ e. $\lim_{x\to -\infty }f(x)=0$ 이고 $\lim_{x\to \infty }f(x)=\infty$ f. ${f}^{'}(1)$ 은 존재하지 않는다.

영어 원문 보기

Sketch the graph of a function $y=f(x)$ with all of the following properties:

a. ${f}^{'}(x)>0$ for $-2\le x<1$ b. ${f}^{'}(2)=0$ c. ${f}^{'}(x)>0$ for $x>2$ d. $f(2)=2$ and $f(0)=1$ e. $\lim_{x\to -\infty }f(x)=0$ and $\lim_{x\to \infty }f(x)=\infty$ f. ${f}^{'}(1)$ does not exist.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 4번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

15.OpenStax 1권 · 3.2절 · 46번우리말 번역

다음 그림의 그래프는 인구가 $50,000$ 명인 한 도시에서 독감이 처음 발생한 지 $t$ 주 후에 독감에 걸린 사람의 수 $N(t)$ 를 나타낸 것이다.

a. ${N}^{'}(t)$ 가 무엇을 나타내는지, 그리고 $t$ 가 증가할 때 어떻게 변하는지 설명하세요. b. 도함수는 이 도시가 독감 유행으로 어떤 영향을 받는지에 대해 무엇을 알려 주는지 설명하세요.

함수는 (0, 3000) 에서 시작하여 빠르게 증가하며 y = 50000 을 점근선으로 가진다.

영어 원문 보기

The graph in the following figure models the number of people $N(t)$ who have come down with the flu $t$ weeks after its initial outbreak in a town with a population of $50,000$ citizens.

a. Describe what ${N}^{'}(t)$ represents and how it behaves as $t$ increases. b. What does the derivative tell us about how this town is affected by the flu outbreak?

The function starts at (0, 3000) and increases quickly to an asymptote at y = 50000.

정답·풀이 보기

a. 독감이 처음 발생한 지 $t$ 주 후에 독감에 걸린 사람의 수가 변하는 비율이다. b. 그 비율은 3주째까지 급격히 증가하다가, 그 시점에서 증가세가 둔해진 뒤 일정해진다.

원본 교재 풀이(영어)

a. The rate at which the number of people who have come down with the flu is changing $t$ weeks after the initial outbreak. b. The rate is increasing sharply up to the third week, at which point it slows down and then becomes constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 40번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

16.OpenStax 1권 · 3.2절 · 48번우리말 번역

[계산기 사용] ${h}^{'}(t)$ 의 값의 표를 만들고, $h(t)$ 와 ${h}^{'}(t)$ 의 그래프를 같은 좌표평면에 그리세요. (힌트: 내부의 점에서는 왼쪽 극한과 오른쪽 극한을 모두 어림하여 그 평균을 구한다. 구간 I 의 내부의 점이란 I 의 원소 중 I 의 끝점이 아닌 것이다.)

영어 원문 보기

[T] Construct a table of values for ${h}^{'}(t)$ and graph both $h(t)$ and ${h}^{'}(t)$ on the same graph. (Hint: for interior points, estimate both the left limit and right limit and average them. An interior point of an interval I is an element of I which is not an endpoint of I.)

정답·풀이 보기

시간(초)	${h}^{'}(t)\,\text{(m/s)}$
$0$	$2$
$1$	$2$
$2$	$5.5$
$3$	$10.5$
$4$	$9.5$
$5$	$7$

원본 교재 풀이(영어)

Time (seconds)	${h}^{'}(t)\,\text{(m/s)}$
$0$	$2$
$1$	$2$
$2$	$5.5$
$3$	$10.5$
$4$	$9.5$
$5$	$7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 30번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

17.OpenStax 1권 · 3.2절 · 49번우리말 번역

[계산기 사용] 자료에 가장 잘 맞는 일차함수는 $H(t)=7.229t-4.905$ 로 주어진다. 여기서 $H$ 는 로켓의 높이(단위: 미터)이고 $t$ 는 발사 후 경과한 시간이다. 이 식으로부터 ${H}^{'}(t)$ 를 구하세요. 주어진 자료와 함께 $H(t)$ 의 그래프를 그리고, 별도의 좌표평면에 ${H}^{'}(t)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] The best linear fit to the data is given by $H(t)=7.229t-4.905,$ where $H$ is the height of the rocket (in meters) and $t$ is the time elapsed since takeoff. From this equation, determine ${H}^{'}(t).$ Graph $H(t)$ with the given data and, on a separate coordinate plane, graph ${H}^{'}(t).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 8번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

18.OpenStax 1권 · 3.2절 · 50번우리말 번역

[계산기 사용] 자료에 가장 잘 맞는 이차함수는 $G(t)=1.429{t}^{2}+0.0857t-0.1429$ 로 주어진다. 여기서 $G$ 는 로켓의 높이(단위: m)이고 $t$ 는 이륙 후 경과한 시간이다. 이 식으로부터 ${G}^{'}(t)$ 를 구하세요. 주어진 자료와 함께 $G(t)$ 의 그래프를 그리고, 별도의 좌표평면에 ${G}^{'}(t)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] The best quadratic fit to the data is given by $G(t)=1.429{t}^{2}+0.0857t-0.1429,$ where $G$ is the height of the rocket (in meters) and $t$ is the time elapsed since takeoff. From this equation, determine ${G}^{'}(t).$ Graph $G(t)$ with the given data and, on a separate coordinate plane, graph ${G}^{'}(t).$

정답·풀이 보기

${G}^{'}(t)=2.858t+0.0857$

이 그래프에는 점 (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 13), (4, 25), (5, 32)가 있다. 이 점들에 맞춘 이차함수 곡선이 있으며, y절편은 0 근처이다.

이 그래프에는 y절편이 0 근처이고 기울기가 3보다 약간 작은 직선이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

${G}^{'}(t)=2.858t+0.0857$

This graph has the points (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 13), (4, 25), and (5, 32). There is a quadratic line fit to the points with y intercept near 0.

This graph has a straight line with y intercept near 0 and slope slightly less than 3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 8번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

19.OpenStax 1권 · 3.2절 · 51번우리말 번역

[계산기 사용] 자료에 가장 잘 맞는 삼차함수는 $F(t)=0.2037{t}^{3}+2.956{t}^{2}-2.705t+0.4683$ 로 주어진다. 여기서 $F$ 는 로켓의 높이(단위: m)이고 $t$ 는 이륙 후 경과한 시간이다. 이 식으로부터 ${F}^{'}(t)$ 를 구하세요. 주어진 자료와 함께 $F(t)$ 의 그래프를 그리고, 별도의 좌표평면에 ${F}^{'}(t)$ 의 그래프를 그리세요. 일차함수, 이차함수, 삼차함수 중 어느 것이 자료에 가장 잘 맞는지 판단하세요.

영어 원문 보기

[T] The best cubic fit to the data is given by $F(t)=0.2037{t}^{3}+2.956{t}^{2}-2.705t+0.4683,$ where $F$ is the height of the rocket (in m) and $t$ is the time elapsed since take off. From this equation, determine ${F}^{'}(t).$ Graph $F(t)$ with the given data and, on a separate coordinate plane, graph ${F}^{'}(t).$ Does the linear, quadratic, or cubic function fit the data best?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 3번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

20.CLP-1 · 2.2절 · 1번우리말 번역

함수 $f(x)$ 가 그림과 같이 주어져 있습니다. 아래 보기 중 도함수 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ 를 설명하는 것을 모두 고르세요.

(a) 상수 (b) 증가 (c) 감소

(d) 항상 양수 (e) 항상 음수

영어 원문 보기

The function $f(x)$ is shown. Select all options below that describe its derivative, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ :

(a) constant (b) increasing (c) decreasing

(d) always positive (e) always negative

정답·풀이 보기

주어진 함수는 직선이므로 기울기가 상수이다–(a). 함수가 항상 증가하므로 $f'$ 은 항상 양수이고, 따라서 (d)도 성립한다. 참고: 함수 자체가 때때로 음수인 것은 상관없다. 함수가 항상 증가하므로 기울기는 항상 양수이다. 또한 기울기가 상수이므로 $f'$ 은 증가하지도 감소하지도 않는다. 증가하는 것은 도함수가 아니라 함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function shown is a line, so it has a constant slope–(a) . Since the function is always increasing, $f'$ is always positive, so also (d) holds. Remark: it does not matter that the function itself is sometimes negative; the slope is always positive because the function is always increasing. Also, since the slope is constant, $f'$ is neither increasing nor decreasing: it is the function that is increasing, not its derivative.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 14번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석기본자동 분류