이계도함수와 오목·볼록 연습문제

21.APEX · 3.4절 · 28번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = e^{-x^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = e^{-x^2}$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=\pm 1/\sqrt{2}$ ; $(- 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ 에서 위로 볼록 $(-\infty,- 1/\sqrt{2})$ 와 $( 1/\sqrt{2},\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=\pm 1/\sqrt{2}$ ; concave down on $(- 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ concave up on $(-\infty,- 1/\sqrt{2})$ and $( 1/\sqrt{2},\infty)$

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# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

22.CLP-1 · 2.14절 · 1번우리말 번역

함수 $f(x)=e^x$ 의 180계 도함수는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the 180th derivative of the function $f(x)=e^x$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$e^x$ 의 도함수는 $e^x$ 이다. 180번 미분하더라도 함수는 변하지 않는다. 따라서 $f^{(180)}=e^x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of $e^x$ is $e^x$ : taking derivatives leaves the function unchanged, even if we do it 180 times. So $f^{(180)}=e^x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 5번

# 이계도함수와 오목·볼록계산기본자동 분류

23.CLP-1 · 2.14절 · 4번우리말 번역

다음 풀이에서 잘못된 부분을 찾고, 바르게 고친 답을 구하세요.

$-14x^2+2xy+y^2=1$ 이라 하자. 점 $\left(1,3\right)$ 에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 을 구한다. 음함수 미분하면:

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{$x=1$, $y=3$ 을 대입하면:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \\ \text{미분하면:} \\ y''&=0 \end{aligned}$

영어 원문 보기

Find the mistake(s) in the following work, and provide a corrected answer.

Suppose $-14x^2+2xy+y^2=1$ . We find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ at the point $\left(1,3\right)$ . Differentiating implicitly:

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{Plugging in $x=1$, $y=3$:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \\ \text{Differentiating:} \\ y''&=0 \end{aligned}$

정답·풀이 보기

도함수 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 의 값이 $\dfrac{11}{4}$ 인 것은 점 $(1,3)$ 에서뿐이다. 즉 미분계수가 항상 $\dfrac{11}{4}$ 인 것이 아니므로, 상수 $\dfrac{11}{4}$ 을 미분하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 을 구한 것은 잘못이다. 올바른 풀이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{$x=1$, $y=3$ 을 대입하면:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \quad\text{ 점 $(1,3)$ 에서} \\ \text{식 $-28x+2y+2xy'+2yy'=0$ 을 미분하면:} \\ -28+2y'+2y'+2xy''+2y'y'+2yy''&=0\\ 4y'+2(y')^2+2xy''+2yy''&=28 \\ \text{점 $(1,3)$ 에서 $y'=\dfrac{11}{4}$ 이다. 대입하면:} \\ 4\left(\frac{11}{4}\right)+2\left(\frac{11}{4}\right)^2+2(1)y''+2(3)y''&=28\\ y''&=\frac{15}{64} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The derivative $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ is $\dfrac{11}{4}$ only at the point $(1,3)$ : it is not constantly $\dfrac{11}{4}$ , so it is wrong to differentiate the constant $\dfrac{11}{4}$ to find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ . Below is a correct solution.

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{Plugging in $x=1$, $y=3$:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \quad\text{ at the point $(1,3)$} \\ \text{Differentiating the equation $-28x+2y+2xy'+2yy'=0$:} \\ -28+2y'+2y'+2xy''+2y'y'+2yy''&=0\\ 4y'+2(y')^2+2xy''+2yy''&=28 \\ \text{At the point $(1,3)$, $y'=\dfrac{11}{4}$. Plugging in:} \\ 4\left(\frac{11}{4}\right)+2\left(\frac{11}{4}\right)^2+2(1)y''+2(3)y''&=28\\ y''&=\frac{15}{64} \end{aligned}$

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# 이계도함수와 오목·볼록계산기본자동 분류

24.CLP-1 · 2.14절 · 5번우리말 번역

$f(x)=(\log x-1)x$ 라 하자. $f''(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=(\log x-1)x$ . Evaluate $f''(x)$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} f(x)&=x\log x -x\\ f'(x)&=\log x +x\cdot\frac{1}{x}-1\\ &=\log x\\ f''(x)&=\frac{1}{x} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} f(x)&=x\log x -x\\ f'(x)&=\log x +x\cdot\frac{1}{x}-1\\ &=\log x\\ f''(x)&=\frac{1}{x} \end{aligned}$

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# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류

25.CLP-1 · 2.14절 · 6번우리말 번역

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{\arctan x\}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{\arctan x\}$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan x\}&=\frac{1}{1+x^2}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1+x^2}\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{(1+x^2)^{-1}\right\}\\ &=(-1)(1+x^2)^{-2}(2x)\\&=\frac{-2x}{(1+x^2)^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan x\}&=\frac{1}{1+x^2}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1+x^2}\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{(1+x^2)^{-1}\right\}\\ &=(-1)(1+x^2)^{-2}(2x)\\&=\frac{-2x}{(1+x^2)^2} \end{aligned}$

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# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류

26.CLP-1 · 2.14절 · 7번우리말 번역

단위원은 $x^2+y^2=1$ 을 만족하는 모든 점으로 이루어진다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 을 $y$ 에 대한 식으로 나타내세요.

영어 원문 보기

The unit circle consists of all point $x^2+y^2=1$ . Give an expression for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ in terms of $y$ .

정답·풀이 보기

음함수 미분을 두 번 사용한다.

$\begin{aligned} 2x+2yy'&=0\\ 2+(2y)y''+(2y')y'&=0\\ y''&=-\frac{(y')^2+1}{y} \\ \text{따라서 $y'$ 에 대한 식이 필요하다. 식 $2x+2yy'=0$ 으로부터 $y'=-\dfrac{x}{y}$ 임을 알 수 있다:} \\ y''&=-\frac{\left(-\frac{x}{y}\right)^2+1}{y}\\ &=-\frac{\frac{x^2}{y^2}+1}{y}\\ &=-\frac{x^2+y^2}{y^3}\\ &=-\frac{1}{y^3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use implicit differentiation, twice.

$\begin{aligned} 2x+2yy'&=0\\ 2+(2y)y''+(2y')y'&=0\\ y''&=-\frac{(y')^2+1}{y} \\ \text{So, we need an expression for $y'$. We use the equation $2x+2yy'=0$ to conclude $y'=-\dfrac{x}{y}$:} \\ y''&=-\frac{\left(-\frac{x}{y}\right)^2+1}{y}\\ &=-\frac{\frac{x^2}{y^2}+1}{y}\\ &=-\frac{x^2+y^2}{y^3}\\ &=-\frac{1}{y^3} \end{aligned}$

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# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류

27.CLP-1 · 2.14절 · 8번우리말 번역

시각 $t$ 에서 입자의 위치가 $s(t) = \dfrac{e^t}{t^2+1}$ 로 주어진다고 하자. 시각 $t=1$ 에서 입자의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the position of a particle at time $t$ is given by $s(t) = \dfrac{e^t}{t^2+1}$ . Find the acceleration of the particle at time $t=1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

문제는 $s''(1)$ 을 구하는 것이다. 몫의 미분법을 사용하여 미분을 시작한다.

$\begin{aligned} s'(t)&=\frac{e^t(t^2+1)-e^t(2t)}{(t^2+1)^2}\\ &=\frac{e^t(t^2-2t+1)}{(t^2+1)^2} \\ \text{몫의 미분법을 다시 사용하면,} \\ s''(t)&=\frac{(t^2+1)^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{e^t(t^2-2t+1)\}-e^t(t^2-2t+1) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{(t^2+1)^2\}}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{(t^2+1)^2\cdot\left[ e^t(2t-2)+e^t(t^2-2t+1)\right]- e^t(t^2-2t+1) \cdot 2(t^2+1)(2t)}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{e^t(t^2+1)^2(t^2-1)-4te^t(t-1)^2(t^2+1)}{(t^2+1)^4}\\ s''(1)&=0 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The question asks for $s''(1)$ . We start our differentiation using the quotient rule:

$\begin{aligned} s'(t)&=\frac{e^t(t^2+1)-e^t(2t)}{(t^2+1)^2}\\ &=\frac{e^t(t^2-2t+1)}{(t^2+1)^2} \\ \text{Using the quotient rule again,} \\ s''(t)&=\frac{(t^2+1)^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{e^t(t^2-2t+1)\}-e^t(t^2-2t+1) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{(t^2+1)^2\}}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{(t^2+1)^2\cdot\left[ e^t(2t-2)+e^t(t^2-2t+1)\right]- e^t(t^2-2t+1) \cdot 2(t^2+1)(2t)}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{e^t(t^2+1)^2(t^2-1)-4te^t(t-1)^2(t^2+1)}{(t^2+1)^4}\\ s''(1)&=0 \end{aligned}$

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# 이계도함수와 오목·볼록활용보통자동 분류

28.CLP-1 · 2.14절 · 9번우리말 번역

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{\log(5x^2-12)\}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{\log(5x^2-12)\}$ .

정답·풀이 보기

합성함수의 미분법을 사용하여 미분한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{10x}{5x^2-12} \\ \text{몫의 미분법을 사용하면:} \\ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{10x}{5x^2-12}\right\}\\ &=\frac{(5x^2-12)(10)-10x(10x)}{(5x^2-12)^2}\\ &=\frac{-10(5x^2+12)}{(5x^2-12)^2} \\ \text{몫의 미분법을 마지막으로 한 번 더 사용하면:} \\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{-10(5x^2+12)}{(5x^2-12)^2} \right\}\\ &=\frac{(5x^2-12)^2(-10)(10x)+10(5x^2+12)(2)(5x^2-12)(10x)}{(5x^2-12)^4}\\ &=\frac{(5x^2-12)(-100x)+(200x)(5x^2+12)}{(5x^2-12)^3}\\ &=\frac{100x(-5x^2+12+10x^2+24)}{(5x^2-12)^3}\\ &=\frac{100x(5x^2+36)}{(5x^2-12)^3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We differentiate using the chain rule.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{10x}{5x^2-12} \\ \text{Using the quotient rule:} \\ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{10x}{5x^2-12}\right\}\\ &=\frac{(5x^2-12)(10)-10x(10x)}{(5x^2-12)^2}\\ &=\frac{-10(5x^2+12)}{(5x^2-12)^2} \\ \text{Using the quotient rule one last time:} \\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{-10(5x^2+12)}{(5x^2-12)^2} \right\}\\ &=\frac{(5x^2-12)^2(-10)(10x)+10(5x^2+12)(2)(5x^2-12)(10x)}{(5x^2-12)^4}\\ &=\frac{(5x^2-12)(-100x)+(200x)(5x^2+12)}{(5x^2-12)^3}\\ &=\frac{100x(-5x^2+12+10x^2+24)}{(5x^2-12)^3}\\ &=\frac{100x(5x^2+36)}{(5x^2-12)^3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 12번

# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류

29.CLP-1 · 2.14절 · 10번우리말 번역

시각 $t$ 초에서 입자의 높이가 $h(t)=-\cos t$ 로 주어진다. $t=1$ 에서 입자는 빨라지고 있는지 느려지고 있는지 판단하세요.

영어 원문 보기

The height of a particle at time $t$ seconds is given by $h(t)=-\cos t$ . Is the particle speeding up or slowing down at $t=1$ ?

정답·풀이 보기

입자의 속도는 $h'(t)=\sin t$ 로 주어진다. $0<1<\pi$ 이므로 $h'(1)>0$ 이다. 즉, 입자는 올라가고 있다(양의 방향, 여기서는 “위쪽"으로 움직이고 있다). 입자의 가속도는 $h''(t)=\cos t$ 이다. $0<1<\frac{\pi}{2}$ 이므로 $h''(t)>0$ 이고, 따라서 $h'(t)$ 는 증가한다. 즉, 입자는 위쪽으로 움직이고 있고, 그 속도가 점점 커지고 있다. 따라서 입자는 빨라지고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The velocity of the particle is given by $h'(t)=\sin t$ . Note $0<1<\pi$ , so $h'(1)>0$ –the particle is rising (moving in the positive direction, in this case “up"). The acceleration of the particle is $h''(t)=\cos t$ . Since $0<1<\frac{\pi}{2}$ , $h''(t)>0$ , so $h'(t)$ is increasing: the particle is moving up, and it's doing so at an increasing rate. So, the particle is speeding up.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 11번

# 이계도함수와 오목·볼록활용보통자동 분류

30.CLP-1 · 2.14절 · 11번우리말 번역

시각 $t$ 초에서 입자의 높이가 $h(t)=t^3-t^2-5t+10$ 으로 주어진다. $t=1$ 에서 입자의 운동은 빨라지고 있는지 느려지고 있는지 판단하세요.

영어 원문 보기

The height of a particle at time $t$ seconds is given by $h(t)=t^3-t^2-5t+10$ . Is the particle's motion getting faster or slower at $t=1$ ?

정답·풀이 보기

이 문제에서는 속도에는 방향을 나타내는 부호가 있지만 속력에는 없다는 점을 기억해야 한다.

입자의 속도는 $h'(t)=3t^2-2t-5$ 이다. $t=1$ 에서 입자의 속도는 $-4$ 이므로, 입자는 초당 4 단위의 속력으로 아래쪽으로 움직이고 있다. 입자의 가속도는 $h''(t)=6t-2$ 이므로 $t=1$ 일 때 가속도는 (양수인) 초당 $4$ 단위의 변화율(초당 속도 변화량)이다. 이는 속도(현재 초당 $-4$ 단위)가 더 큰 수가 되어 가고 있다는 뜻이다. 속도가 음수이므로 더 큰 수는 0에 더 가까운 수이고, 따라서 입자의 속력은 작아지고 있다. (예를 들어 속도 $-3$ 은 속도 $-4$ 보다 느린 운동을 나타낸다.) 그러므로 입자는 $t=1$ 에서 느려지고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

For this problem, remember that velocity has a sign indicating direction, while speed does not.

The velocity of the particle is given by $h'(t)=3t^2-2t-5$ . At $t=1$ , the velocity of the particle is $-4$ , so the particle is moving downwards with a speed of 4 units per second. The acceleration of the particle is $h''(t)=6t-2$ , so when $t=1$ , the acceleration is (positive) $4$ units per second per second. That means the velocity (currently $-4$ units per second) is becoming a bigger number–since the velocity is negative, a bigger number is closer to zero, so the speed of the particle is getting smaller. (For instance, a velocity of $-3$ represents a slower motion than a velocity of $-4$ .) So, the particle is slowing down at $t=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 1번

# 이계도함수와 오목·볼록활용보통자동 분류

31.CLP-1 · 2.14절 · 12번우리말 번역

곡선이 다음과 같이 음함수로 정의되어 있다고 하자. $x^2+x+y=\sin(xy)$ 점 $(0,0)$ 에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose a curve is defined implicitly by $x^2+x+y=\sin(xy)$ What is $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ at the point $(0,0)$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} x^2+x+y&=\sin(xy) \\ \text{음함수 미분을 한다. 표기를 간단히 하기 위해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 $y'$ 으로 쓴다.} \\ 2x+1+y'&=\cos(xy)(y+xy') \\ \text{우리가 구하려는 것은 $y''$ 이므로 한 번 더 음함수 미분을 한다.} \\ 2+y''&=-\sin(xy)(y+xy')^2+\cos(xy)(2y'+xy'') \\ \text{$x=y=0$ 일 때 $y''$ 의 값을 구하려고 한다. 이를 대입하면 다음과 같다.} \\ 2+y''&=2y' \\ \text{따라서 $x=y=0$ 일 때 $y'$ 의 값을 알아야 한다. 이는 등식 $2x+1+y'=\cos(xy)(y+xy')$ 에서 구할 수 있는데, $x=y=0$ 일 때 $1+y'=0$ 이 된다. 그러므로 원점에서 $y'=-1$ 이고,} \\ 2+y''&=2(-1)\\ y''&=-4 \end{aligned}$

참고: 흔히 하는 실수는 등식 $2x+1+y'=\cos(xy)(y+xy')$ 에서 멈추고, $x=y=0$ 을 대입하여 $y'=-1$ 을 구한 다음, $y''=\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{-1\}=0$ 이라고 결론 내리는 것이다. 이는 일반적으로 쓰는 표기가 약간 엄밀하지 못하기 때문에 생기는 일이다. $y'=1$ 이라고 썼을 때 우리가 뜻한 것은 점 $(0,0)$ 에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$ 이라는 것이다. 더 엄밀하게 쓰면 $\left.\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0,~y=0}=-1$ 이다. 이것은 $y'=1$ 이 모든 곳에서 성립한다는 말과 다르다(그런 경우라면 실제로 $y''$ 은 모든 곳에서 0일 것이다).

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} x^2+x+y&=\sin(xy) \\ \text{We differentiate implicitly. For ease of notation, we write $y'$ for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$.} \\ 2x+1+y'&=\cos(xy)(y+xy') \\ \text{We're interested in $y''$, so we implicitly differentiate again.} \\ 2+y''&=-\sin(xy)(y+xy')^2+\cos(xy)(2y'+xy'') \\ \text{We want to know what $y''$ is when $x=y=0$. Plugging these in yields the following:} \\ 2+y''&=2y' \\ \text{So, we need to know what $y'$ is when $x=y=0$. We can get this from the equation $2x+1+y'=\cos(xy)(y+xy')$, which becomes $1+y'=0$ when $x=y=0$. So, at the origin, $y'=-1$, and} \\ 2+y''&=2(-1)\\ y''&=-4 \end{aligned}$

Remark: a common mistake is to stop at the equation $2x+1+y'=\cos(xy)(y+xy')$ , plug in $x=y=0$ , find $y'=-1$ , and decide $y''=\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{-1\}=0$ . This is due to a slight sloppiness in the usual notation. When we wrote $y'=1$ , what we meant is that at the point $(0,0)$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$ . More properly written: $\left.\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0,~y=0}=-1$ . This is not the same as saying $y'=1$ everywhere (in which case, indeed, $y''$ would be 0 everywhere).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 8번

# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류

32.CLP-1 · 2.14절 · 13번우리말 번역

아래 문장 중 참인 것과 거짓인 것을 각각 구분하세요.

(a) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \sin x = \sin x$ (b) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \cos x = \cos x$ (c) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \tan x = \tan x$

영어 원문 보기

Which statements below are true, and which false?

(a) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \sin x = \sin x$ (b) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \cos x = \cos x$ (c) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \tan x = \tan x$

정답·풀이 보기

(a)와 (b)에 대해 다음을 살펴보자.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x &= \cos x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x &= -\sin x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \{-\sin x\} &= -\cos x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \{-\cos x\} &= \sin x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x &= \cos x \\ \text{$\sin x$ 의 4계도함수는 $\sin x$ 이고, $\cos x$ 의 4계도함수는 $\cos x$ 이므로 (a)와 (b)는 참이다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x &=\sec^2 x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec^2 x &=2\sec x (\sec x \tan x)=2\sec^2x\tan x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\sec^2x\tan x\}&=(4\sec x \cdot \sec x \tan x)\tan x+2\sec^2x\sec^2x\\ &=4\sec^2x\tan^2x+2\sec^4x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{4\sec^2x\tan^2x+2\sec^4x\}&=(8\sec x \cdot \sec x \tan x)\tan^2x+4\sec^2x(2\tan x \cdot\sec^2x)\\&\quad+8\sec^3x\cdot\sec x \tan x\\ &=8\sec^2x\tan^3x+16\sec^4x\tan x \end{aligned}$

따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \tan x =8\sec^2x\tan^3x+16\sec^4x\tan x$ 이다. 이것은 분명히 $\tan x$ 와 같지 않아 보이지만, 삼각함수의 항등식이 때로는 착각을 일으킬 수 있음을 기억해야 한다. 예를 들어 $\tan^2x+1=\sec^2x$ 등이 있다. 따라서 두 함수가 같지 않음을 확실히 하려면, 한쪽의 값이 다른 쪽의 값과 달라지는 $x$ 의 값을 찾아야 한다. $x=\frac{\pi}{4}$ 일 때: $8\sec^2x\tan^3x+16\sec^4x\tan x = 8\left({\sqrt{2}}\right)^2(1)^3+16\left({\sqrt{2}}\right)^4(1)=80\neq 1=\tan x.$ 그러므로 (c)는 거짓이다.

원본 교재 풀이(영어)

For (a) and (b), notice the following:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x &= \cos x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x &= -\sin x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \{-\sin x\} &= -\cos x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \{-\cos x\} &= \sin x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x &= \cos x \\ \text{The fourth derivative is $\sin x$ is $\sin x$, and the fourth derivative of $\cos x$ is $\cos x$, so (a) and (b) are true.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x &=\sec^2 x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec^2 x &=2\sec x (\sec x \tan x)=2\sec^2x\tan x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\sec^2x\tan x\}&=(4\sec x \cdot \sec x \tan x)\tan x+2\sec^2x\sec^2x\\ &=4\sec^2x\tan^2x+2\sec^4x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{4\sec^2x\tan^2x+2\sec^4x\}&=(8\sec x \cdot \sec x \tan x)\tan^2x+4\sec^2x(2\tan x \cdot\sec^2x)\\&\quad+8\sec^3x\cdot\sec x \tan x\\ &=8\sec^2x\tan^3x+16\sec^4x\tan x \end{aligned}$

So, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \tan x =8\sec^2x\tan^3x+16\sec^4x\tan x$ . It certainly seems like this is not the same as $\tan x$ , but remember that sometimes trig identities can fool you: $\tan^2x+1=\sec^2x$ , and so on. So, to be absolutely sure that these are not equal, we need to find a value of $x$ so that the output of one is not the same as the output of the other. When $x=\frac{\pi}{4}$ : $8\sec^2x\tan^3x+16\sec^4x\tan x = 8\left({\sqrt{2}}\right)^2(1)^3+16\left({\sqrt{2}}\right)^4(1)=80\neq 1=\tan x.$ So, (c) is false.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 10번

# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류

33.CLP-1 · 2.14절 · 14번우리말 번역

함수 $f(x)$ 가 $(a,b)$ 에서 $f'(x)<0$ 이고 $f''(x)>0$ 을 만족한다. 아래 곡선 중 $y=f(x)$ 를 나타낼 수 있는 것은 어느 것인가요?

영어 원문 보기

A function $f(x)$ satisfies $f'(x)<0$ and $f''(x)>0$ over $(a,b)$ . Which of the following curves below might represent $y=f(x)$ ?

정답·풀이 보기

$f'(x)<0$ 이므로 감소하는 함수여야 한다. 이는 (ii), (iii), (v)에만 해당한다. $f''(x)>0$ 이므로 $f'(x)$ 가 증가한다. 즉 함수의 기울기가 증가해야 한다. (v)에서는 기울기가 상수이므로 $f''(x)=0$ 이다. 따라서 (v)는 아니다. (iii)에서는 기울기가 감소한다. $a$ 근처에서는 곡선이 상당히 평평하지만( $f'(x)$ 가 0에 가깝다) $b$ 근처에서는 곡선이 매우 가파르게 감소하기( $f'(x)$ 가 절댓값이 큰 음수이다) 때문이다. 따라서 (iii)은 이계도함수가 음수이다. 반면 (ii)에서는 곡선이 가파르게 감소하며( $f'(x)$ 가 절댓값이 큰 음수이다) 시작하여 점점 더 평평해지므로( $f'(x)$ 가 0에 가까워진다) $f'(x)$ 는 증가한다. 다시 말해 $f''(x)>0$ 이다. 따라서 $f'(x)<0$ 이고 $f''(x)>0$ 인 곡선은 (ii)뿐이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f'(x)<0$ , we need a decreasing function. This only applies to (ii), (iii), and (v). Since $f''(x)>0$ , that means $f'(x)$ is increasing, so the slope of the function must be increasing. In (v), the slope is constant, so $f''(x)=0$ –therefore, it's not (v). In (iii), the slope is decreasing, because near $a$ the curve is quite flat ( $f'(x)$ near zero) but near $b$ the curve is very steeply decreasing ( $f'(x)$ is a large negative number), so (iii) has a negative second derivative. By contrast, in (ii), the line starts out as steeply decreasing ( $f'(x)$ is a strongly negative number) and becomes flatter and flatter ( $f'(x)$ nears 0), so $f'(x)$ is increasing–in other words, $f''(x)>0$ . So, (ii) is the only curve that has $f'(x)<0$ and $f''(x)>0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 15번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석도전자동 분류

34.CLP-1 · 2.14절 · 15번우리말 번역

$f(x)=2^{x}$ 이라 하자. $n$ 이 0 이상의 정수일 때, $f^{(n)}(x)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=2^{x}$ . What is $f^{(n)}(x)$ , if $n$ is a whole number?

정답·풀이 보기

규칙을 찾기 위해 몇 번 미분한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2^x\}&=2^x\log 2\\ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{2^x\}&=2^x\log2 \cdot \log 2 = 2^x(\log2)^2\\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{2^x\}&=2^x(\log2)^2 \cdot \log 2 = 2^x(\log2)^3 \\ \text{미분할 때마다 원래 함수에 $\log 2$가 한 번씩 더 곱해진다. 따라서 $n$계 도함수는 다음과 같다:} \\ \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\{2^x\}&=2^x(\log2)^n \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We differentiate a few time to find the pattern.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2^x\}&=2^x\log 2\\ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{2^x\}&=2^x\log2 \cdot \log 2 = 2^x(\log2)^2\\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{2^x\}&=2^x(\log2)^2 \cdot \log 2 = 2^x(\log2)^3 \\ \text{Every time we differentiate, we multiply the original function by another factor of $\log 2$. So, the $n$th derivative is given by:} \\ \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\{2^x\}&=2^x(\log2)^n \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 9번

# 이계도함수와 오목·볼록계산도전자동 분류

35.CLP-1 · 2.14절 · 16번우리말 번역

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 라 하자. 여기서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 0이 아닌 상수이다. 모든 $x$ 에 대해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}{x}^n}=0$ 이 되도록 하는 가장 작은 정수 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , where $a$ , $b$ , $c$ , and $d$ are nonzero constants. What is the smallest integer $n$ so that $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}{x}^n}=0$ for all $x$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거듭제곱 법칙을 이용하여 미분한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}&=3ax^2+2bx+c\\ \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}{x}^2}&=6ax+2b\\ \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}{x}^3}&=6a\\ \frac{\mathrm{d}^4f}{\mathrm{d}{x}^4}&=0 \end{aligned}$

위 계산에서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 모두 상수임에 유의한다. 이들은 0이 아닌 상수이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}{x}^3} =6a\neq 0$ 이다. 따라서 4계 도함수가 처음으로 항등적으로 0이 되는 도함수이다: $n=4$ .

원본 교재 풀이(영어)

We differentiate using the power rule.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}&=3ax^2+2bx+c\\ \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}{x}^2}&=6ax+2b\\ \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}{x}^3}&=6a\\ \frac{\mathrm{d}^4f}{\mathrm{d}{x}^4}&=0 \end{aligned}$

In the above work, remember that $a$ , $b$ , $c$ , and $d$ are all constants. Since they are nonzero constants, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}{x}^3} =6a\neq 0$ . So, the fourth derivative is the first derivative to be identically zero: $n=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 14번

# 이계도함수와 오목·볼록계산도전자동 분류

36.CLP-1 · 2.14절 · 20번우리말 번역

$f(x)$ 가 처음 $n$ 계 도함수까지 모든 실수에서 존재하는 함수이고, $f^{(n)}(x)$ 가 근을 정확히 $m$ 개 갖는다고 하자. 이때 $f(x)$ 가 가질 수 있는 근의 최대 개수를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function whose first $n$ derivatives exist over all real numbers, and $f^{(n)}(x)$ has precisely $m$ roots. What is the maximum number of roots that $f(x)$ may have?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 모든 실수에서 미분가능하므로 모든 실수에서 연속이기도 하다. 마찬가지로 $f'(x)$ 도 모든 실수에서 미분가능하므로 모든 실수에서 연속이고, $f(x)$ 의 처음 $n$ 계 도함수까지 같은 방식으로 계속된다.

롤의 정리에 따르면, $a$ 와 $b$ 가 함수 $g$ 의 서로 다른 근이면 $(a,b)$ 의 어떤 $c$ 에 대해 $g'(x)=0$ 이다. 즉 $g'$ 은 $a$ 와 $b$ 사이에 근을 갖는다. 이 생각을 확장하면, $g$ 가 서로 다른 근을 $m+1$ 개 가질 때 $g'$ 은 서로 다른 근을 적어도 $m$ 개 가져야 한다. 아래의 그래프가 그 예이다.

따라서 $f^{(n)}(x)$ 의 근이 $m$ 개뿐이면 $f^{(n-1)}(x)$ 의 근은 많아야 $m+1$ 개이다. 마찬가지로 $f^{(n-1)}(x)$ 의 근이 많아야 $m+1$ 개이므로 $f^{(n-2)}(x)$ 의 근은 많아야 $m+2$ 개이다. 이와 같이 계속하면 $f(x)=f^{(n-n)}(x)$ 는 서로 다른 근을 많아야 $m+n$ 개 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is differentiable over all real numbers, it is also continuous over all real numbers. Similarly, $f'(x)$ is differentiable over all real numbers, so it is also continuous over all real numbers, and so on for the first $n$ derivatives of $f(x)$ .

Rolle's Theorem tells us that if $a$ and $b$ are distinct roots of a function $g$ , then $g'(x)=0$ for some $c$ in $(a,b)$ . That is, $g'$ has a root strictly between $a$ and $b$ . Expanding this idea, if $g$ has $m+1$ distinct roots, then $g'$ must have at least $m$ distinct roots, as in the sketch below.

So, if $f^{(n)}(x)$ has only $m$ roots, then $f^{(n-1)}(x)$ has at most $m+1$ roots. Similarly, since $f^{(n-1)}(x)$ has at most $m+1$ roots, $f^{(n-2)}(x)$ has at most $m+2$ roots. Continuing in this way, we see $f(x)=f^{(n-n)}(x)$ has at most $m+n$ distinct roots.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 16번

# 이계도함수와 오목·볼록계산도전자동 분류

37.CLP-1 · 3.6절 · 1번우리말 번역

아래 그래프에서 $f''(x)>0$ 인 구간(즉, $f(x)$ 가 아래로 볼록한 구간)과 $f''(x)<0$ 인 구간(즉, $f(x)$ 가 위로 볼록한 구간)을 표시하세요.

영어 원문 보기

On the graph below, mark the intervals where $f''(x)>0$ (i.e. $f(x)$ is concave up) and where $f''(x)<0$ (i.e. $f(x)$ is concave down).

정답·풀이 보기

위 그래프에서 아래로 볼록한 부분은 빨간색으로 표시되어 있다. 이 부분은 그래프의 도함수가 증가하는 곳이고, 같은 말로 그래프가 접선들보다 위쪽에 놓이는 곳이며, 더 쉽게 말하면 웃는 얼굴처럼 휘어 있는 곳이다.

위로 볼록한 부분은 파란색으로 표시되어 있다. 이 부분은 그래프의 도함수가 감소하는 곳이고, 같은 말로 그래프가 접선들보다 아래쪽에 놓이는 곳이며, 더 쉽게 말하면 찡그린 얼굴처럼 휘어 있는 곳이다.

원본 교재 풀이(영어)

In the graph above, the concave-up sections are marked in red. These are where the graph has an increasing derivative; equivalently, where the graph lies above its tangent lines; more descriptively, where it curves like a smiley face.

Concave-down sections are marked in blue. These are where the graph has a decreasing derivative; equivalently, where the graph lies below its tangent lines; more descriptively, where it curves like a frowney face.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 2번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석기본자동 분류

38.CLP-1 · 3.6절 · 2번우리말 번역

다음 조건을 만족하는 곡선을 그리세요.

$|x|>5$ 일 때 아래로 볼록,
$|x|<5$ 일 때 위로 볼록,
$x<0$ 일 때 증가,
$x>0$ 일 때 감소.

영어 원문 보기

Sketch a curve that is:

concave up when $|x|>5$ ,
concave down when $|x|<5$ ,
increasing when $x<0$ , and
decreasing when $x>0$ .

정답·풀이 보기

그래프의 가장 기본적인 모양은 마지막 두 조건으로 정해진다.

곡선은 구간 $(-5,5)$ 에서 위로 볼록하므로, 그 구간에서는 찡그린 얼굴(∩) 모양으로 휘게 그린다.

마지막으로 $x>5$ 또는 $x<-5$ 일 때 곡선은 아래로 볼록해야 하므로, 기본적인 증가/감소 모양은 바꾸지 않은 채 그 구간에서는 웃는 얼굴(∪) 모양으로 휘게 그린다.

이로써 그래프가 완성된다.

원본 교재 풀이(영어)

The most basic shape of the graph is given by the last two bullet points:

The curve is concave down over the interval $(-5,5)$ , so let's give it a frowney-face curvature there.

Finally, when $x>5$ or $x<-5$ , our curve should be concave up, so let's give it smiley-face curvature there, without changing its basic increasing/decreasing shape.

This finishes our sketch.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 18번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석기본자동 분류

39.CLP-1 · 3.6절 · 4번우리말 번역

함수 $f(x)=3x^5-5x^4+13x$ 의 그래프에서 모든 변곡점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find all inflection points for the graph of $f(x)=3x^5-5x^4+13x$ .

정답·풀이 보기

변곡점은 $f''(x)$ 의 부호가 바뀌는 곳에서 생긴다. $f(x)$ 는 다항식이므로 1계도함수와 2계도함수가 모든 곳에서 존재하고, 이들도 다항식이다. 구체적으로,

$\begin{aligned}f(x)&=3x^5-5x^4+13x\\ f'(x)&=15x^4-20x^3+13\\ f''(x)&=60x^3-60x^2=60x^2(x-1) \end{aligned}$

2계도함수는 $x<1$ 에서 음수이고 $x>1$ 에서 양수이다. 따라서 $x=1,\ y=11$ 에서 볼록한 방향이 위로 볼록과 아래로 볼록 사이에서 바뀐다.

변곡점은 이것뿐이다. $f''(0)=0$ 이지만, $x$ 가 0보다 조금 큰 값이든 조금 작은 값이든 $f''(x)<0$ 이므로 $x=0$ 에서는 볼록한 방향이 바뀌지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Inflection points occur where $f''(x)$ changes sign. Since $f(x)$ is a polynomial, its first and second derivatives exist everywhere, and are themselves polynomials. In particular,

$\begin{aligned}f(x)&=3x^5-5x^4+13x\\ f'(x)&=15x^4-20x^3+13\\ f''(x)&=60x^3-60x^2=60x^2(x-1) \end{aligned}$

The second derivative is negative for $x<1$ and positive for $x>1$ . Thus the concavity changes between concave up and concave down at $x=1,\ y=11$ .

This is the only inflection point. It is true that $f''(0)=0$ , but for values of $x$ both a little larger than and a little smaller than 0, $f''(x)<0$ , so the concavity does not change at $x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 1번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석보통자동 분류

40.Active Calculus · 1.6절 · 10번우리말 번역

$y = f(x)$ 가 두 번 미분가능한 함수이고 $f''$ 이 연속이며, 다음 정보가 알려져 있다고 합시다: $f(2) = -3$ , $f'(2) = 1.5$ , $f''(2) = -0.25$ .

(a) $x = 2$ 근처에서 $f$ 는 증가하나요, 감소하나요? $x = 2$ 근처에서 $f$ 는 아래로 볼록인가요, 위로 볼록인가요? (b) $f(2.1)$ 은 $-3$ 보다 크다고, $-3$ 과 같다고, 아니면 $-3$ 보다 작다고 예상하나요? 그 이유는 무엇인가요? (c) $f'(2.1)$ 은 $1.5$ 보다 크다고, $1.5$ 와 같다고, 아니면 $1.5$ 보다 작다고 예상하나요? 그 이유는 무엇인가요? (d) $(2,f(2))$ 근처에서 $y = f(x)$ 의 그래프를 그리고, 접선의 그래프도 함께 그리세요.

영어 원문 보기

Suppose that $y = f(x)$ is a twice-differentiable function such that $f''$ is continuous for which the following information is known: $f(2) = -3$ , $f'(2) = 1.5$ , $f''(2) = -0.25$ .

(a) Is $f$ increasing or decreasing near $x = 2$ ? Is $f$ concave up or concave down near $x = 2$ ? (b) Do you expect $f(2.1)$ to be greater than $-3$ , equal to $-3$ , or less than $-3$ ? Why? (c) Do you expect $f'(2.1)$ to be greater than $1.5$ , equal to $1.5$ , or less than $1.5$ ? Why? (d) Sketch a graph of $y = f(x)$ near $(2,f(2))$ and include a graph of the tangent line.

정답·풀이 보기

(a) $f'(2)$ 가 양수이므로 $f$ 는 $x=2$ 근처에서 증가하고, $f''(2)$ 가 음수이므로 $f$ 는 $x=2$ 근처에서 위로 볼록이다. (b) $f(2) = -3$ 이 주어져 있다. $f$ 가 $x=2$ 에서 증가하므로 $f(2.1)$ 은 $f(2) = -3$ 보다 클 것으로 예상된다. (c) $f''(2)$ 가 음수이므로 $f'$ 은 2 근처에서 감소한다. 따라서 $f'(2.1)$ 은 $f'(2) = 1.5$ 보다 작을 것으로 예상된다. (d) 다음 그림은 점 $(2,-3)$ 을 순간변화율 $f'(2) = 1.5$ 로 지나고, $x = 2$ 에서의 이계도함수가 음수가 되는 함수 $f$ 의 그래프로 가능한 한 예이다. f(2) = -3, f'(2) = 1.5, f''(2) = -0.25 인 성질을 갖는 함수 f 의 그래프이다. 곡선 위의 점 (2,-3)에서의 접선의 그래프도 함께 나타나 있다. 이 특정한 예시 함수 f 의 그래프는

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $f'(2)$ is positive, $f$ is increasing near $x=2$ , and since $f''(2)$ is negative, $f$ is concave down near $x=2$ . (b) We are given that $f(2) = -3$ . Since $f$ is increasing at $x=2$ , we expect $f(2.1)$ to be greater than $f(2) = -3$ . (c) Since $f''(2)$ is negative, we also know that $f'$ is decreasing near $2$ . Thus, we expect that $f'(2.1)$ will be less than $f'(2) = 1.5$ . (d) In the following figure, we see a possible graph of a function $f$ that passes through the point $(2,-3)$ at an instantaneous rate of $f'(2) = 1.5$ and in such a way that its second derivative at $x = 2$ is negative. A plot of a function f with the properties that f(2) = -3, f'(2) = 1.5, f''(2) = -0.25; a plot of the tangent line to the curve at (2,-3) is also shown. The graph of this particular example function f

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.6절 · 13번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석자동 분류