정적분의 뜻과 성질 연습문제

61.OpenStax 1권 · 5.2절 · 61번우리말 번역

다음 연습문제에서, 왼쪽 리만 합 L_N ( $N=1,10,100$ )을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도는 주어진 정확한 값과 어떻게 비교되는지 설명하세요.

[계산기 사용] 구간 $[0,2]$ 에서 $y={x}^{2}-4$ 이고, 정확한 해는 $-\frac{8}{3}$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

[T] $y={x}^{2}-4$ over the interval $[0,2];$ the exact solution is $-\frac{8}{3}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 25번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

62.OpenStax 1권 · 5.2절 · 62번우리말 번역

다음 연습문제에서, $N=1,10,100$ 에 대해 왼쪽 리만 합 L_N 을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도를 주어진 정확한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] 구간 $[0,2]$ 에서 $y=x{e}^{{x}^{2}}$ 이고, 정확한 값은 $\frac{1}{4}({e}^{4}-1)$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

[T] $y=x{e}^{{x}^{2}}$ over the interval $[0,2];$ the exact solution is $\frac{1}{4}({e}^{4}-1).$

정답·풀이 보기

${L}_{1}=0,{L}_{10}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=8.743493,{L}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=12.861728$ . 정확한 값은 $\approx 26.799$ 이므로 L₁₀₀ 은 정확하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{1}=0,{L}_{10}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=8.743493,{L}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=12.861728.$ The exact answer $\approx 26.799,$ so L₁₀₀ is not accurate.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 74번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

63.OpenStax 1권 · 5.2절 · 63번우리말 번역

다음 연습문제에서, $N=1,10,100$ 에 대해 왼쪽 리만 합 L_N 을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도를 주어진 정확한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] 구간 $[0,4]$ 에서 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x}$ 이고, 정확한 값은 $\frac{15}{64\ln (2)}$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

[T] $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x}$ over the interval $[0,4];$ the exact solution is $\frac{15}{64\ln (2)}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 20번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

64.OpenStax 1권 · 5.2절 · 64번우리말 번역

다음 연습문제에서, $N=1,10,100$ 에 대해 왼쪽 리만 합 L_N 을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도를 주어진 정확한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-\pi ,0]$ 에서 $y=x\sin ({x}^{2})$ 이고, 정확한 값은 $\frac{\cos ({\pi }^{2})-1}{2\pi }$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

[T] $y=x\sin ({x}^{2})$ over the interval $[-\pi ,0];$ the exact solution is $\frac{\cos ({\pi }^{2})-1}{2\pi }.$

정답·풀이 보기

${L}_{1}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=1.352,{L}_{10}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=-0.1837,{L}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=-0.2956$ . 정확한 값은 $\approx -0.303$ 이므로 L₁₀₀ 은 소수 첫째 자리까지도 정확하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{1}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=1.352,{L}_{10}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=-0.1837,{L}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=-0.2956.$ The exact answer $\approx -0.303,$ so L₁₀₀ is not accurate to first decimal.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 14번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

65.OpenStax 1권 · 5.2절 · 65번우리말 번역

다음 연습문제에서, $N=1,10,100$ 에 대해 왼쪽 리만 합 L_N 을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도를 주어진 정확한 값과 비교하세요.

$A={\int }_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}tdt$ 이고 $B={\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}tdt$ 라고 하자. $A+B=2\pi$ 이고 $A=B$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

Suppose that $A={\int }_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}tdt$ and $B={\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}tdt.$ Show that $A+B=2\pi$ and $A=B.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

66.OpenStax 1권 · 5.2절 · 66번우리말 번역

다음 연습문제에서, $N=1,10,100$ 에 대해 왼쪽 리만 합 L_N 을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도를 주어진 정확한 값과 비교하세요.

$A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\sec }^{2}tdt=\pi$ 이고 $B={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\tan }^{2}tdt$ 라고 하자. $A-B=\frac{\pi }{2}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

Suppose that $A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\sec }^{2}tdt=\pi$ and $B={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\tan }^{2}tdt.$ Show that $A-B=\frac{\pi }{2}.$

정답·풀이 보기

${\tan }^{2}\theta +1={\sec }^{2}\theta$ 를 이용한다. 그러면 $B-A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}1dx=\frac{\pi }{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Use ${\tan }^{2}\theta +1={\sec }^{2}\theta .$ Then, $B-A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}1dx=\frac{\pi }{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 19번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

67.OpenStax 1권 · 5.2절 · 67번우리말 번역

${\sin }^{2}t$ 의 $[0,2\pi ]$ 에서의 평균값이 1/2 임을 보이세요. 추가 계산 없이, ${\sin }^{2}t$ 의 $[0,\pi ]$ 에서의 평균값도 1/2 인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of ${\sin }^{2}t$ over $[0,2\pi ]$ is equal to 1/2 Without further calculation, determine whether the average value of ${\sin }^{2}t$ over $[0,\pi ]$ is also equal to 1/2.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 16번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

68.OpenStax 1권 · 5.2절 · 68번우리말 번역

${\cos }^{2}t$ 의 $[0,2\pi ]$ 에서의 평균값이 $1/2$ . 임을 보이세요. 추가 계산 없이, ${\cos }^{2}(t)$ 의 $[0,\pi ]$ 에서의 평균값도 $1/2$ . 인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of ${\cos }^{2}t$ over $[0,2\pi ]$ is equal to $1/2.$ Without further calculation, determine whether the average value of ${\cos }^{2}(t)$ over $[0,\pi ]$ is also equal to $1/2.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$ 이므로 구간의 길이 2π 로 나눈다. ${\cos }^{2}t$ 의 주기는 π 이므로 예, 참이다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi ,$ so divide by the length 2π of the interval. ${\cos }^{2}t$ has period π, so yes, it is true.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 10번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

69.OpenStax 1권 · 5.2절 · 69번우리말 번역

이차함수(포물선) $p(x)$ 와 일차함수 $\ell (x)$ 의 그래프가 많아야 두 점에서 만나는 이유를 설명하세요. $p(a)=\ell (a)$ 이고 $p(b)=\ell (b)$ 이며 ${\int }_{a}^{b}p(t)dt>{\int }_{a}^{b}\ell (t)dt$ 라고 하겠습니다. $a\le c<d\le b$ 일 때마다 ${\int }_{c}^{d}p(t)>{\int }_{c}^{d}\ell (t)dt$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain why the graphs of a quadratic function (parabola) $p(x)$ and a linear function $\ell (x)$ can intersect in at most two points. Suppose that $p(a)=\ell (a)$ and $p(b)=\ell (b),$ and that ${\int }_{a}^{b}p(t)dt>{\int }_{a}^{b}\ell (t)dt.$ Explain why ${\int }_{c}^{d}p(t)>{\int }_{c}^{d}\ell (t)dt$ whenever $a\le c<d\le b.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 36번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

70.OpenStax 1권 · 5.2절 · 70번우리말 번역

포물선 $p(x)=a{x}^{2}+bx+c$ 가 위로 볼록하며 $(a<0)$ 꼭짓점이 $y=\frac{-b}{2a}>0$ 이라고 하겠습니다. 어떤 구간 $[A,B]$ 에서 ${\int }_{A}^{B}(a{x}^{2}+bx+c)dx$ 의 값이 가장 클까요?

영어 원문 보기

Suppose that parabola $p(x)=a{x}^{2}+bx+c$ opens downward $(a<0)$ and has a vertex of $y=\frac{-b}{2a}>0.$ For which interval $[A,B]$ is ${\int }_{A}^{B}(a{x}^{2}+bx+c)dx$ as large as possible?

정답·풀이 보기

$p$ 가 음이 아닌 가장 큰 구간을 사용할 때 적분값이 최대가 된다. 따라서 $A=\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$ 이고 $B=\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The integral is maximized when one uses the largest interval on which p is nonnegative. Thus, $A=\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$ and $B=\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 11번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

71.OpenStax 1권 · 5.2절 · 71번우리말 번역

구간 $[a,b]$ 를 부분구간으로 나누어 $a={a}_{0}<{a}_{1}<{a}_{2}<\cdots <{a}_{N}=b$ 가 되게 할 수 있고, $[{a}_{i-1},{a}_{i}]$ 에서 $f\ge 0$ 이거나 $[{a}_{i-1},{a}_{i}]$ 에서 $f\le 0$ 이라고 하자. ${A}_{i}={\int }_{{a}_{i-1}}^{{a}_{i}}f(t)dt$ 라고 놓는다.

a. ${\int }_{a}^{b}f(t)dt={A}_{1}+{A}_{2}+\cdots +{A}_{N}$ 인 이유를 설명하세요. b. 그런 다음, $|{\int }_{a}^{b}f(t)dt|\le {\int }_{a}^{b}|f(t)|dt$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose $[a,b]$ can be subdivided into subintervals $a={a}_{0}<{a}_{1}<{a}_{2}<\cdots <{a}_{N}=b$ such that either $f\ge 0$ over $[{a}_{i-1},{a}_{i}]$ or $f\le 0$ over $[{a}_{i-1},{a}_{i}].$ Set ${A}_{i}={\int }_{{a}_{i-1}}^{{a}_{i}}f(t)dt.$

a. Explain why ${\int }_{a}^{b}f(t)dt={A}_{1}+{A}_{2}+\cdots +{A}_{N}.$ b. Then, explain why $|{\int }_{a}^{b}f(t)dt|\le {\int }_{a}^{b}|f(t)|dt.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

72.OpenStax 1권 · 5.2절 · 73번우리말 번역

$[a,b]$ 에서 f 의 평균값이 1이고 $[b,c]$ 에서 f 의 평균값이 1이며 $a<c<b$ 라고 하자. $[a,c]$ 에서 f 의 평균값도 1임을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose the average value of f over $[a,b]$ is 1 and the average value of f over $[b,c]$ is 1 where $a<c<b.$ Show that the average value of f over $[a,c]$ is also 1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 34번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

73.OpenStax 1권 · 5.2절 · 74번우리말 번역

$[a,b]$ 를 분할할 수 있어서, $a={a}_{0}<{a}_{1}<\cdots <{a}_{N}=b$ 로 잡을 때 각 $i=1,\ldots ,\,N$ 에 대해 각 부분구간 $[{a}_{i-1},{a}_{i}]=1$ 에서 f 의 평균값이 1과 같다고 하자. $[a,b]$ 에서 f 의 평균값도 1과 같은 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $[a,b]$ can be partitioned. taking $a={a}_{0}<{a}_{1}<\cdots <{a}_{N}=b$ such that the average value of f over each subinterval $[{a}_{i-1},{a}_{i}]=1$ is equal to 1 for each $i=1,\ldots ,\,N.$ Explain why the average value of f over $[a,b]$ is also equal to 1.

정답·풀이 보기

어떤 구간에서 f 의 적분은 그 구간에서 f 의 평균값의 적분과 같다. 따라서 $\begin{array}{c}{\int }_{a}^{b}f(t)dt={\int }_{{a}_{0}}^{{a}_{1}}f(t)dt+{\int }_{{a}_{1}}^{{a}_{2}}f(t)dt+\cdots +{\int }_{{a}_{N+1}}^{{a}_{N}}f(t)dt={\int }_{{a}_{0}}^{{a}_{1}}1dt+{\int }_{{a}_{1}}^{{a}_{2}}1dt+\cdots +{\int }_{{a}_{N+1}}^{{a}_{N}}1dt \\ =({a}_{1}-{a}_{0})+({a}_{2}-{a}_{1})+\cdots +({a}_{N}-{a}_{N-1})={a}_{N}-{a}_{0}=b-a.\end{array}$ 양변을 $b-a$ 로 나누면 구하는 등식을 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

The integral of f over an interval is the same as the integral of the average of f over that interval. Thus, $\begin{array}{c}{\int }_{a}^{b}f(t)dt={\int }_{{a}_{0}}^{{a}_{1}}f(t)dt+{\int }_{{a}_{1}}^{{a}_{2}}f(t)dt+\cdots +{\int }_{{a}_{N+1}}^{{a}_{N}}f(t)dt={\int }_{{a}_{0}}^{{a}_{1}}1dt+{\int }_{{a}_{1}}^{{a}_{2}}1dt+\cdots +{\int }_{{a}_{N+1}}^{{a}_{N}}1dt \\ =({a}_{1}-{a}_{0})+({a}_{2}-{a}_{1})+\cdots +({a}_{N}-{a}_{N-1})={a}_{N}-{a}_{0}=b-a.\end{array}$ Dividing through by $b-a$ gives the desired identity.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 82번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

74.OpenStax 1권 · 5.2절 · 75번우리말 번역

$1\le i\le N$ 인 각 i 에 대해 ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=i$ 라고 하자. ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)}{2}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that for each i such that $1\le i\le N$ one has ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=i.$ Show that ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)}{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 32번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

75.OpenStax 1권 · 5.2절 · 76번우리말 번역

$1\le i\le N$ 인 각 i 에 대해 ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt={i}^{2}$ 라고 하자. ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that for each i such that $1\le i\le N$ one has ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt={i}^{2}.$ Show that ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{i}^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{i}^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 84번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

76.OpenStax 1권 · 5.2절 · 77번우리말 번역

[계산기 사용] $[0,1]$ 에서 $f(t)={t}^{2}$ 에 대하여 왼쪽 리만 합 L₁₀ 과 오른쪽 리만 합 R₁₀, 그리고 그 평균 $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ 을 계산하세요. ${\int }_{0}^{1}{t}^{2}dt=0.\overset{-}{33}$ 임이 주어졌을 때, $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ 은 소수 몇째 자리까지 정확한지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Compute the left and right Riemann sums L₁₀ and R₁₀ and their average $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ for $f(t)={t}^{2}$ over $[0,1].$ Given that ${\int }_{0}^{1}{t}^{2}dt=0.\overset{-}{33},$ to how many decimal places is $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ accurate?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 3번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

77.OpenStax 1권 · 5.2절 · 79번우리말 번역

다음 연습문제에서 왼쪽 리만 합 L_N 을 사용하여 $N=1,10,100$ 일 때 평균값을 계산하세요. 정확도는 주어진 정확한 값과 어떻게 비교됩니까?

${\int }_{1}^{5}\sqrt{1+{t}^{4}}dt=41.7133$ 일 때, ${\int }_{1}^{5}\sqrt{1+{u}^{4}}du$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

If ${\int }_{1}^{5}\sqrt{1+{t}^{4}}dt=41.7133...,$ what is ${\int }_{1}^{5}\sqrt{1+{u}^{4}}du?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 80번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

78.OpenStax 1권 · 5.2절 · 80번우리말 번역

각각 직사각형 하나를 사용한 왼쪽 끝점 합과 오른쪽 끝점 합을 이용하여 ${\int }_{0}^{1}tdt$ 를 어림하세요. 이 왼쪽 끝점 합과 오른쪽 끝점 합의 평균은 실제 값 ${\int }_{0}^{1}tdt$ 와 비교하면 어떠한지 설명하세요.

영어 원문 보기

Estimate ${\int }_{0}^{1}tdt$ using the left and right endpoint sums, each with a single rectangle. How does the average of these left and right endpoint sums compare with the actual value ${\int }_{0}^{1}tdt?$

정답·풀이 보기

평균은 $1/2$ 이고, 이 경우 적분값과 같다.

원본 교재 풀이(영어)

The average is $1/2,$ which is equal to the integral in this case.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 70번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

79.OpenStax 1권 · 5.2절 · 81번우리말 번역

높이가 중점 $t=\frac{1}{2}$ 에서의 t 의 값과 같은 직사각형 하나의 넓이와 비교하여 ${\int }_{0}^{1}tdt$ 를 어림하세요. 이 중점을 이용한 어림값은 실제 값 ${\int }_{0}^{1}tdt$ 와 비교하면 어떠한지 설명하세요.

영어 원문 보기

Estimate ${\int }_{0}^{1}tdt$ by comparison with the area of a single rectangle with height equal to the value of t at the midpoint $t=\frac{1}{2}.$ How does this midpoint estimate compare with the actual value ${\int }_{0}^{1}tdt?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 37번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

80.OpenStax 1권 · 5.2절 · 82번우리말 번역

주어진 $\sin (2\pi x)$ 의 그래프를 보고 다음을 설명하세요.

a. ${\int }_{0}^{1}\sin (2\pi t)dt=0$ 인 이유를 설명하세요. b. 일반적으로 임의의 a 의 값에 대해 ${\int }_{a}^{a+1}\sin (2\pi t)dt=0$ 인 이유를 설명하세요. (0, 2) 에서 함수 f(x) = sin(2pi*x) 의 그래프이다. 구간 (.7, 1) 에서는 곡선 위쪽과 x축 아래쪽 사이가, 구간 (1,1.5) 에서는 곡선 아래쪽과 x축 위쪽 사이가, 구간 (1.5, 1.7) 에서는 곡선 위쪽과 x축 아래쪽 사이가 색칠되어 있다. 이 그래프는 (0,1) 에서 t = ½ 에 대해 반대칭이다.

영어 원문 보기

From the graph of $\sin (2\pi x)$ shown:

a. Explain why ${\int }_{0}^{1}\sin (2\pi t)dt=0.$ b. Explain why, in general, ${\int }_{a}^{a+1}\sin (2\pi t)dt=0$ for any value of a. A graph of the function f(x) = sin(2pi*x) over (0, 2). The function is shaded over (.7, 1) above the curve and below to x axis, over (1,1.5) under the curve and above the x axis, and over (1.5, 1.7) above the curve and under the x axis. The graph is antisymmetric with respect o t = ½ over (0,1).

정답·풀이 보기

a. 그래프는 $[0,1]$ 에서 $t=\frac{1}{2}$ 에 대해 반대칭이므로 평균값이 0이다. b. a 의 값이 무엇이든 $[a,a+1]$ 에서의 그래프는 $[0,1]$ 에서의 그래프를 평행이동한 것이므로, 축 위쪽과 아래쪽의 순넓이가 변하지 않아 평균값은 여전히 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. The graph is antisymmetric with respect to $t=\frac{1}{2}$ over $[0,1],$ so the average value is zero. b. For any value of a, the graph between $[a,a+1]$ is a shift of the graph over $[0,1],$ so the net areas above and below the axis do not change and the average remains zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 80번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류