정적분의 뜻과 성질 연습문제

81.OpenStax 1권 · 5.2절 · 83번우리말 번역

f 가 주기가 1인 함수 $(f(t+1)=f(t))$ 이고, 홀함수이며, $[0,1]$ 에서 적분가능하면, 항상 ${\int }_{0}^{1}f(t)dt=0$ 이 성립하나요?

영어 원문 보기

If f is 1-periodic $(f(t+1)=f(t)),$ odd, and integrable over $[0,1],$ is it always true that ${\int }_{0}^{1}f(t)dt=0?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 26번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

82.OpenStax 1권 · 5.2절 · 84번우리말 번역

f 가 주기가 1인 함수이고 ${\int }_{0}^{1}f(t)dt=A$ 이면, 모든 A 에 대해 ${\int }_{a}^{1+a}f(t)dt=A$ 가 반드시 성립하나요?

영어 원문 보기

If f is 1-periodic and ${\int }_{0}^{1}f(t)dt=A,$ is it necessarily true that ${\int }_{a}^{1+a}f(t)dt=A$ for all A?

정답·풀이 보기

예. 길이가 1인 임의의 구간에서의 적분값은 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes, the integral over any interval of length 1 is the same.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 62번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

83.OpenStax 1권 · 5.4절 · 1번우리말 번역

기본 적분 공식을 사용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

$\int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

$\int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$

정답·풀이 보기

$\int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\int {x}^{1/2}dx-\int {x}^{-1/2}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+{C}_{1}-2{x}^{1/2}+{C}_{2}=\frac{2}{3}{x}^{3/2}-2{x}^{1/2}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\int {x}^{1/2}dx-\int {x}^{-1/2}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+{C}_{1}-2{x}^{1/2}+{C}_{2}=\frac{2}{3}{x}^{3/2}-2{x}^{1/2}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 5번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

84.OpenStax 1권 · 5.4절 · 2번우리말 번역

기본 적분 공식을 사용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

$\int \left({e}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x/2}\right)dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

$\int \left({e}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x/2}\right)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 24번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

85.OpenStax 1권 · 5.4절 · 4번우리말 번역

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

$\int \frac{x-1}{{x}^{2}}dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

$\int \frac{x-1}{{x}^{2}}dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 56번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

86.OpenStax 1권 · 5.4절 · 5번우리말 번역

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

${\int }_{0}^{\pi }(\sin x-\cos x)dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

${\int }_{0}^{\pi }(\sin x-\cos x)dx$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{\pi }\sin xdx-{\int }_{0}^{\pi }\cos xdx=-\cos x{|}_{0}^{\pi }-(\sin x){|}_{0}^{\pi }=(-(-1)+1)-(0-0)=2$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{\pi }\sin xdx-{\int }_{0}^{\pi }\cos xdx=-\cos x{|}_{0}^{\pi }-(\sin x){|}_{0}^{\pi }=(-(-1)+1)-(0-0)=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 7번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

87.OpenStax 1권 · 5.4절 · 6번우리말 번역

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

${\int }_{0}^{\pi /2}(x-\sin x)dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

${\int }_{0}^{\pi /2}(x-\sin x)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 2번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

88.OpenStax 1권 · 5.4절 · 7번우리말 번역

정사각형의 한 변의 길이 s 가 2 단위에서 4 단위로 늘어날 때, 정사각형의 둘레 $P(s)$ 의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that expresses the increase in the perimeter $P(s)$ of a square when its side length s increases from 2 units to 4 units and evaluate the integral.

정답·풀이 보기

$P(s)=4s$ 이므로 $\frac{dP}{ds}=4$ 이고 ${\int }_{2}^{4}4ds=8$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$P(s)=4s,$ so $\frac{dP}{ds}=4$ and ${\int }_{2}^{4}4ds=8.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 2번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

89.OpenStax 1권 · 5.4절 · 8번우리말 번역

정사각형의 한 변의 길이가 S 단위에서 2S 단위로 두 배가 될 때, 정사각형의 넓이 $A(s)={s}^{2}$ 의 변화량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the change in the area $A(s)={s}^{2}$ of a square when the side length doubles from S units to 2S units and evaluate the integral.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 54번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

90.OpenStax 1권 · 5.4절 · 9번우리말 번역

정N각형(변의 길이가 모두 s로 같은 N개의 변으로 이루어진 다각형으로, 예를 들어 정오각형이나 정육각형)의 둘레는 Ns입니다. 정N각형에서 각 변의 길이가 1 단위에서 2 단위로 늘어날 때 둘레의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고, 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A regular N-gon (an N-sided polygon with sides that have equal length s, such as a pentagon or hexagon) has perimeter Ns. Write an integral that expresses the increase in perimeter of a regular N-gon when the length of each side increases from 1 unit to 2 units and evaluate the integral.

정답·풀이 보기

${\int }_{1}^{2}Nds=N$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{1}^{2}Nds=N$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 1번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

91.OpenStax 1권 · 5.4절 · 10번우리말 번역

한 변의 길이가 $a>0$ 인 정오각형의 넓이는 pa² 이고, 여기서 $p=\frac{1}{4}\sqrt{5\left( 5+2\sqrt{5} \right)}$ 입니다. 미국 워싱턴 DC에 있는 펜타곤은 안쪽 변의 길이가 360 ft 이고 바깥쪽 변의 길이가 920 ft 입니다. 이 치수에 따라 펜타곤 지붕의 넓이를 나타내는 적분을 쓰고, 이 넓이의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

The area of a regular pentagon with side length $a>0$ is pa² with $p=\frac{1}{4}\sqrt{5\left( 5+2\sqrt{5} \right)}.$ The Pentagon in Washington, DC, has inner sides of length 360 ft and outer sides of length 920 ft. Write an integral to express the area of the roof of the Pentagon according to these dimensions and evaluate this area.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 21번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

92.OpenStax 1권 · 5.4절 · 11번우리말 번역

정십이면체는 넓이가 모두 같은 12개의 오각형으로 이루어진 겉면을 가진 플라톤 입체입니다. 각 오각형의 한 변의 길이가 1 단위에서 2 단위로 두 배가 될 때, 정십이면체의 겉넓이는 얼마나 증가하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A dodecahedron is a Platonic solid with a surface that consists of 12 pentagons, each of equal area. By how much does the surface area of a dodecahedron increase as the side length of each pentagon doubles from 1 unit to 2 units?

정답·풀이 보기

p 를 이전 연습문제에서와 같이 두면, 12개의 오각형 각각의 넓이는 2p 에서 4p 단위로 증가하므로 정십이면체의 넓이의 순증가량은 36p 단위이다.

원본 교재 풀이(영어)

With p as in the previous exercise, each of the 12 pentagons increases in area from 2p to 4p units so the net increase in the area of the dodecahedron is 36p units.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 17번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

93.OpenStax 1권 · 5.4절 · 12번우리말 번역

정이십면체는 20개의 정삼각형으로 이루어진 겉면을 가진 플라톤 입체입니다. 각 삼각형의 한 변의 길이가 a 단위에서 2a 단위로 두 배가 될 때, 정이십면체의 겉넓이는 얼마나 증가하는지 구하세요.

영어 원문 보기

An icosahedron is a Platonic solid with a surface that consists of 20 equilateral triangles. By how much does the surface area of an icosahedron increase as the side length of each triangle doubles from a unit to 2a units?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 60번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

94.OpenStax 1권 · 5.4절 · 14번우리말 번역

정육면체의 한 모서리의 길이가 s 단위에서 2s 단위로 두 배가 될 때, 정육면체의 부피의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the increase in the volume of a cube when the side length doubles from s unit to 2s units and evaluate the integral.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 30번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

95.OpenStax 1권 · 5.4절 · 15번우리말 번역

구의 반지름이 R 단위에서 2R 단위로 두 배가 될 때, 구의 겉넓이의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the increase in the surface area of a sphere as its radius doubles from R unit to 2R units and evaluate the integral.

정답·풀이 보기

$12\pi {R}^{2}=8\pi {\int }_{R}^{2R}rdr$

원본 교재 풀이(영어)

$12\pi {R}^{2}=8\pi {\int }_{R}^{2R}rdr$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 25번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

96.OpenStax 1권 · 5.4절 · 16번우리말 번역

구의 반지름이 R 단위에서 2R 단위로 두 배가 될 때, 구의 부피의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the increase in the volume of a sphere as its radius doubles from R unit to 2R units and evaluate the integral.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 19번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

97.OpenStax 1권 · 5.4절 · 17번우리말 번역

입자가 속도 $v(t)=4-2t$ 로 직선을 따라 움직인다고 하자. 여기서 $0\le t\le 2$ 이고 단위는 미터/초이다. 시각 t 에서의 변위와 $t=2$ 까지 이동한 총 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that a particle moves along a straight line with velocity $v(t)=4-2t,$ where $0\le t\le 2$ (in meters per second). Find the displacement at time t and the total distance traveled up to $t=2.$

정답·풀이 보기

$d(t)={\int }_{0}^{t}v(s)ds=4t-{t}^{2}$ 이다. 총 이동 거리는 $d(2)=4\,\text{m}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$d(t)={\int }_{0}^{t}v(s)ds=4t-{t}^{2}.$ The total distance is $d(2)=4\,\text{m}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 27번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

98.OpenStax 1권 · 5.4절 · 18번우리말 번역

입자가 속도 $v(t)={t}^{2}-3t-18$ 로 직선을 따라 움직인다고 하자. 여기서 $0\le t\le 6$ 이고 단위는 미터/초이다. 시각 t 에서의 변위와 $t=6$ 까지 이동한 총 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that a particle moves along a straight line with velocity defined by $v(t)={t}^{2}-3t-18,$ where $0\le t\le 6$ (in meters per second). Find the displacement at time t and the total distance traveled up to $t=6.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

99.OpenStax 1권 · 5.4절 · 19번우리말 번역

입자가 직선 위를 움직이고, 속도가 $v(t)=|2t-6|,$ ( $0\le t\le 6$ , 단위는 미터/초)로 정의된다고 하자. 시각 t 에서의 변위와 $t=6$ 까지 이동한 총 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that a particle moves along a straight line with velocity defined by $v(t)=|2t-6|,$ where $0\le t\le 6$ (in meters per second). Find the displacement at time t and the total distance traveled up to $t=6.$

정답·풀이 보기

$d(t)={\int }_{0}^{t}v(s)ds$ . 다음 구간에서 $t<3,d(t)={\int }_{0}^{t}(6-2t)dt=6t-{t}^{2}$ . 또 다음 구간에서 $t>3,d(t)=d(3)+{\int }_{3}^{t}(2t-6)dt=9+({t}^{2}-6t){|}_{3}^{6}$ .

총 거리는 $d(6)=18\,\text{m}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$d(t)={\int }_{0}^{t}v(s)ds.$ For $t<3,d(t)={\int }_{0}^{t}(6-2t)dt=6t-{t}^{2}.$ For $t>3,d(t)=d(3)+{\int }_{3}^{t}(2t-6)dt=9+({t}^{2}-6t){|}_{3}^{6}.$

The total distance is $d(6)=18\,\text{m}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 16번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

100.OpenStax 1권 · 5.4절 · 20번우리말 번역

입자가 직선을 따라 움직이는데, 가속도가 $a(t)=t-3$ 로 정의되고 $0\le t\le 6$ (단위는 미터/초)이라고 하자. $v(0)=3$ 이고 $d(0)=0$ 일 때, 시각 t 에서의 속도와 변위, 그리고 $t=6$ 까지 움직인 총 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that a particle moves along a straight line with acceleration defined by $a(t)=t-3,$ where $0\le t\le 6$ (in meters per second). Find the velocity and displacement at time t and the total distance traveled up to $t=6$ if $v(0)=3$ and $d(0)=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 66번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류