함수의 극한과 연속 전체 연습문제

401.APEX · 1.6절 · 15번우리말 번역

연습문제 15–18에서, 다음 극한을 수치적으로 어림하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-6}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, numerically approximate the following limits:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-6}$

정답·풀이 보기

표는 다양할 수 있다.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -15.1224 \\ 2.99 & -159.12 \\ 2.999 & -1599.12\end{array}$ $\lim_{x\to3^-}f(x) =-\infty$ 인 것으로 보인다. (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & 16.8824 \\ 3.01 & 160.88 \\ 3.001 & 1600.88\end{array}$ $\lim_{x\to3^+}f(x) =\infty$ 인 것으로 보인다. (c) $\lim_{x\to3}f(x)$ 는 존재하지 않는 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Tables will vary.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -15.1224 \\ 2.99 & -159.12 \\ 2.999 & -1599.12\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^-}f(x) =-\infty$ . (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & 16.8824 \\ 3.01 & 160.88 \\ 3.001 & 1600.88\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^+}f(x) =\infty$ . (c) It seems $\lim_{x\to3}f(x)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 9번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

402.APEX · 1.6절 · 16번우리말 번역

연습문제 15–18에서, 다음 극한을 수치적으로 어림하세요:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)= \frac{x^2+5 x-36}{x^3-5 x^2+3 x+9}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, numerically approximate the following limits:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)= \frac{x^2+5 x-36}{x^3-5 x^2+3 x+9}$

정답·풀이 보기

표는 다를 수 있다.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -335.64 \\ 2.99 & -30350.6\end{array}$ $\lim_{x\to3^-}f(x) =-\infty$ 인 것으로 보인다. (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & -265.61 \\ 3.01 & -29650.6\end{array}$ $\lim_{x\to3^+}f(x) =-\infty$ 인 것으로 보인다. (c) $\lim_{x\to3}f(x) =-\infty$ 인 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Tables will vary.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -335.64 \\ 2.99 & -30350.6\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^-}f(x) =-\infty$ . (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & -265.61 \\ 3.01 & -29650.6\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^+}f(x) =-\infty$ . (c) It seems $\lim_{x\to3}f(x) =-\infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 3번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

403.APEX · 1.6절 · 17번우리말 번역

연습문제 15–18에서, 다음 극한을 수치적으로 어림하세요:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-11 x+30}{x^3-4 x^2-3 x+18}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, numerically approximate the following limits:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-11 x+30}{x^3-4 x^2-3 x+18}$

정답·풀이 보기

표는 다를 수 있다.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & 132.857 \\ 2.99 & 12124.4\end{array}$ $\lim_{x\to3^-}f(x) =\infty$ 인 것으로 보인다. (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & 108.039 \\ 3.01 & 11876.4\end{array}$ $\lim_{x\to3^+}f(x) =\infty$ 인 것으로 보인다. (c) $\lim_{x\to3}f(x) =\infty$ 인 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Tables will vary.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & 132.857 \\ 2.99 & 12124.4\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^-}f(x) =\infty$ . (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & 108.039 \\ 3.01 & 11876.4\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^+}f(x) =\infty$ . (c) It seems $\lim_{x\to3}f(x) =\infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 13번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

404.APEX · 1.6절 · 18번우리말 번역

연습문제 15–18에서, 다음 극한을 수치적으로 어림하세요:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, numerically approximate the following limits:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$

정답·풀이 보기

표는 다를 수 있다.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -0.632 \\ 2.99 & -0.6032 \\ 2.999 & -0.60032\end{array}$ $\lim_{x\to3^-}f(x) =-0.6$ 인 것으로 보인다. (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & -0.5686 \\ 3.01 & -0.5968 \\ 3.001 & -0.59968\end{array}$ $\lim_{x\to3^+}f(x) =-0.6$ 인 것으로 보인다. (c) $\lim_{x\to3}f(x) =-0.6$ 인 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Tables will vary.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -0.632 \\ 2.99 & -0.6032 \\ 2.999 & -0.60032\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^-}f(x) =-0.6$ . (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & -0.5686 \\ 3.01 & -0.5968 \\ 3.001 & -0.59968\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^+}f(x) =-0.6$ . (c) It seems $\lim_{x\to3}f(x) =-0.6$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 23번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

405.APEX · 1.6절 · 19번우리말 번역

연습문제 19–24에서, 주어진 함수의 수평 점근선과 수직 점근선이 있으면 구하세요.

$\displaystyle f(x)=\frac{2 x^2-2 x-4}{x^2+x-20}$

영어 원문 보기

In Exercises 19–24, identify the horizontal and vertical asymptotes, if any, of the given function.

$\displaystyle f(x)=\frac{2 x^2-2 x-4}{x^2+x-20}$

정답·풀이 보기

수평 점근선은 $y=2$ ; 수직 점근선은 $x=-5,4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal asymptote at $y=2$ ; vertical asymptotes at $x=-5,4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 14번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

406.APEX · 1.6절 · 20번우리말 번역

연습문제 19–24에서, 주어진 함수의 수평 점근선과 수직 점근선이 있으면 구하세요.

$\displaystyle f(x)=\frac{-3 x^2-9 x-6}{5 x^2-10 x-15}$

영어 원문 보기

In Exercises 19–24, identify the horizontal and vertical asymptotes, if any, of the given function.

$\displaystyle f(x)=\frac{-3 x^2-9 x-6}{5 x^2-10 x-15}$

정답·풀이 보기

수평 점근선은 $y=-3/5$ ; 수직 점근선은 $x=3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal asymptote at $y=-3/5$ ; vertical asymptote at $x=3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 1번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

407.APEX · 1.6절 · 21번우리말 번역

연습문제 19–24에서 주어진 함수의 수평 점근선과 수직 점근선이 있으면 찾으세요.

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x-12}{7 x^3-14 x^2-21 x}$

영어 원문 보기

In Exercises 19–24, identify the horizontal and vertical asymptotes, if any, of the given function.

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x-12}{7 x^3-14 x^2-21 x}$

정답·풀이 보기

수평 점근선은 $y=0$ 이고, 수직 점근선은 $x=-1,0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal asymptote at $y=0$ ; vertical asymptotes at $x=-1,0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 45번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

408.APEX · 1.6절 · 22번우리말 번역

연습문제 19–24에서 주어진 함수의 수평 점근선과 수직 점근선이 있으면 찾으세요.

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9}{9 x-9}$

영어 원문 보기

In Exercises 19–24, identify the horizontal and vertical asymptotes, if any, of the given function.

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9}{9 x-9}$

정답·풀이 보기

수평 점근선은 없고, 수직 점근선은 $x=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

No horizontal asymptote; vertical asymptote at $x=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 27번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

409.APEX · 1.6절 · 23번우리말 번역

연습문제 19–24에서 주어진 함수의 수평 점근선과 수직 점근선이 있으면 찾으세요.

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9}{9 x+27}$

영어 원문 보기

In Exercises 19–24, identify the horizontal and vertical asymptotes, if any, of the given function.

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9}{9 x+27}$

정답·풀이 보기

수평 점근선도 수직 점근선도 없다.

원본 교재 풀이(영어)

No horizontal or vertical asymptotes.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 9번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

410.APEX · 1.6절 · 24번우리말 번역

연습문제 19–24에서 주어진 함수의 수평 점근선과 수직 점근선이 있으면 찾으세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{x^2-1}{-x^2-1}$

영어 원문 보기

In Exercises 19–24, identify the horizontal and vertical asymptotes, if any, of the given function.

$\displaystyle f(x) = \frac{x^2-1}{-x^2-1}$

정답·풀이 보기

수평 점근선은 $y=-1$ 이고, 수직 점근선은 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal asymptote at $y=-1$ ; no vertical asymptotes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 11번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

411.APEX · 1.6절 · 25번우리말 번역

연습문제 25–28에서 주어진 극한의 값을 구하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^3+2x^2+1}{x-5}$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, evaluate the given limit.

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^3+2x^2+1}{x-5}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\infty$

원본 교재 풀이(영어)

$\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 3번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

412.APEX · 1.6절 · 26번우리말 번역

연습문제 25–28에서 주어진 극한의 값을 구하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^3+2x^2+1}{5-x}$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, evaluate the given limit.

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^3+2x^2+1}{5-x}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-\infty$

원본 교재 풀이(영어)

$-\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 41번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

413.APEX · 1.6절 · 27번우리말 번역

연습문제 25–28에서 주어진 극한의 값을 구하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{x^3+2x^2+1}{x^2-5}$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, evaluate the given limit.

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{x^3+2x^2+1}{x^2-5}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-\infty$

원본 교재 풀이(영어)

$-\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

414.APEX · 1.6절 · 28번우리말 번역

연습문제 25–28에서 주어진 극한의 값을 구하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{x^3+2x^2+1}{5-x^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, evaluate the given limit.

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{x^3+2x^2+1}{5-x^2}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\infty$

원본 교재 풀이(영어)

$\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 15번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

415.CLP-1 · 1.1절 · 2번우리말 번역

곡선 $y=f(x)$ 가 $x=2$ 인 점에서 접선 $y=2x+3$ 을 갖는다고 하자.

(a) 참 또는 거짓: $f(2)=7$ (b) 참 또는 거짓: $f(3)=9$

영어 원문 보기

Suppose a curve $y=f(x)$ has tangent line $y=2x+3$ at the point $x=2$ .

(a) True or False: $f(2)=7$ (b) True or False: $f(3)=9$

정답·풀이 보기

(a) 참: $y=2x+3$ 은 $y=f(x)$ 의 $x=2$ 인 점에서의 접선이므로, 함수와 접선은 $x=2$ 에서 같은 값을 갖는다. 따라서 $f(2)=2(2)+3=7$ 이다. (b) 일반적으로 거짓이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 그 접선 $y=2x+3$ 이 $x=2$ 에서 일치한다는 것만 보장된다. $x\ne 2$ 일 때 함수 $f(x)$ 와 $2x+3$ 은 같은 값을 가질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 예를 들어 $f(x)=2x+3$ 이면 당연히 $f(x)$ 와 $2x+3$ 은 $x$ 의 모든 값에서 일치한다. 그러나 $f(x) = 2x+3 +(x-2)^2$ 이면 $f(x)$ 와 $2x+3$ 은 $x=2$ 에서만 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) True: since $y=2x+3$ is the tangent line to $y=f(x)$ at the point $x=2$ , this means the function and the tangent line have the same value at $x=2$ . So $f(2)=2(2)+3=7$ . (b) In general, this is false. We are only guaranteed that the curve $y=f(x)$ and its tangent line $y=2x+3$ agree at $x=2$ . The functions $f(x)$ and $2x+3$ may or may not take the same values when $x\ne 2$ . For example, if $f(x)=2x+3$ , then of course $f(x)$ and $2x+3$ agree for all values of $x$ . But if $f(x) = 2x+3 +(x-2)^2$ , then $f(x)$ and $2x+3$ agree only for $x=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.1절 · 3번

# 함수의 극한의 뜻개념 확인기본자동 분류

416.CLP-1 · 1.1절 · 3번우리말 번역

$L$ 을 곡선 $y=f(x)$ 의 어떤 점 $P$ 에서의 접선이라고 하자. $L$ 은 곡선 $y=f(x)$ 와 몇 번 만나는지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $L$ be the tangent line to a curve $y=f(x)$ at some point $P$ . How many times will $L$ intersect the curve $y=f(x)$ ?

정답·풀이 보기

곡선의 점 $P$ 에서의 접선은 점 $P$ 를 지나므로, 곡선과 접선은 점 $P$ 에서 접한다. 따라서 둘은 적어도 한 번은 만난다. 여러 가지 예를 그려 보면, 곡선에 따라 접선과 정확히 한 번, 정확히 두 번, 정확히 세 번 등으로 접할 수 있음을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Since the tangent line to the curve at point $P$ passes through point $P$ , the curve and the tangent line touch at point $P$ . So, they must intersect at least once. By drawing various examples, we can see that different curves may touch their tangent lines exactly once, exactly twice, exactly three times, etc.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 10번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

417.CLP-1 · 1.2절 · 1번우리말 번역

이 절에서 쓰는 의미로, 속력과 속도의 차이는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

As they are used in this section, what is the difference between speed and velocity?

정답·풀이 보기

속력은 음이 아니다. 속도는 방향을 나타내는 부호(양 또는 음)를 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

Speed is nonnegative; velocity has a sign (positive or negative) that indicates direction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 20번

# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류

418.CLP-1 · 1.2절 · 2번우리말 번역

속력은 결코 음이 될 수 없다. 그렇다면 0이 될 수는 있습니까?.

영어 원문 보기

Speed can never be negative; can it be zero?

정답·풀이 보기

예. 움직이지 않는 물체의 속력은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes–an object that is not moving has speed 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류

419.CLP-1 · 1.2절 · 3번우리말 번역

아침에 방에서 일어나 학교까지 2킬로미터를 걷고, 점심을 먹으러 다시 2킬로미터를 걷고, 공부하러 커피숍까지 4킬로미터를 걸은 다음, 다음 날 아침까지 방으로 돌아와 있다고 가정하세요. 아침부터 다음 날 아침까지 24시간 동안의 평균 속도는 얼마인지 구하세요. (씨엘피-1에서는 일변수 함수를 다루므로, 이 단계에서는 우리가 사는 세계 전체가 $x$ 축 위에 있다고 생각하세요.)

영어 원문 보기

Suppose you wake up in the morning in your room, then you walk two kilometres to school, walk another two kilometres to lunch, walk four kilometres to a coffee shop to study, then return to your room until the next morning. In the 24 hours from morning to morning, what was your average velocity? (In CLP-1, we are considering functions of one variable. So, at this stage, think of our whole world as being contained in the $x$ -axis.)

답 쓰고 채점

km/h

정답·풀이 보기

출발한 곳과 도착한 곳이 같으므로 위치의 변화량은 0이고, 시간의 변화량은 24시간이다. 따라서 평균 속도는 $\dfrac{0}{24}=0$ 이므로 시속 0 km이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since you started and ended in the same place, your difference in position was 0, and your difference in time was 24 hours. So, your average velocity was $\dfrac{0}{24}=0$ kph.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류

420.CLP-1 · 1.2절 · 5번우리말 번역

시각 $t$ 에서 물체의 위치가 $s(t)$ 로 주어져 있다. 이때 시각 $t=a$ 부터 $t=b$ 까지의 시간 구간에서 평균 속도는 $\dfrac{s(b)-s(a)}{b-a}$ 로 주어진다. 이 분수가 곡선 $y=s(t)$ 위의 점 $t=a$ 에서 점 $t=b$ 까지의 할선의 기울기도 나타내는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

The position of an object at time $t$ is given by $s(t)$ . Then its average velocity over the time interval $t=a$ to $t=b$ is given by $\dfrac{s(b)-s(a)}{b-a}$ . Explain why this fraction also gives the slope of the secant line of the curve $y=s(t)$ from the point $t=a$ to the point $t=b$ .

정답·풀이 보기

곡선의 기울기는 $\dfrac{\text{change in vertical component}}{\text{change in horizontal component}}$ 로 주어진다. 세로 성분의 변화량은 정확히 $s(b)-s(a)$ 이고, 가로 성분의 변화량은 정확히 $b-a$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of a curve is given by $\dfrac{\text{change in vertical component}}{\text{change in horizontal component}}$ . The change in the vertical component is exactly $s(b)-s(a)$ , and the change in the horizontal component is exactly $b-a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 3번

# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류

함수의 극한과 연속 전체 문제