극한의 성질과 계산 연습문제

61.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 16번우리말 번역

다음 문제에서 조임 정리를 이용하여 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 0}{x}^{2}\cos (2\pi x)=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the squeeze theorem to prove the limit.

$\lim_{x\to 0}{x}^{2}\cos (2\pi x)=0$

정답·풀이 보기

$-1\le \cos (2\pi x)\le 1$ 이므로 $-{x}^{2}\le {x}^{2}\cos (2\pi x)\le {x}^{2}$ 이다. $\lim_{x\to 0}{x}^{2}=0=\lim_{x\to 0}-{x}^{2}$ 이므로 $\lim_{x\to 0}{x}^{2}\cos (2\pi x)=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $-1\le \cos (2\pi x)\le 1,$ then $-{x}^{2}\le {x}^{2}\cos (2\pi x)\le {x}^{2}.$ Since $\lim_{x\to 0}{x}^{2}=0=\lim_{x\to 0}-{x}^{2},$ it follows that $\lim_{x\to 0}{x}^{2}\cos (2\pi x)=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 15번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

62.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 17번우리말 번역

다음 문제에서 조임 정리를 이용하여 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 0}{x}^{3}\sin \left(\frac{\pi }{x}\right)=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the squeeze theorem to prove the limit.

$\lim_{x\to 0}{x}^{3}\sin \left(\frac{\pi }{x}\right)=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 7번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

63.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 18번우리말 번역

함수 $f(x)=\sqrt{x-2}+x{e}^{x}$ 가 정의역에서 연속이 되도록 정의역을 정하세요.

영어 원문 보기

Determine the domain such that the function $f(x)=\sqrt{x-2}+x{e}^{x}$ is continuous over its domain.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$[2,\infty ]$

원본 교재 풀이(영어)

$[2,\infty ]$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 43번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

64.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 19번우리말 번역

다음 문제에서 함수가 연속이 되도록 c 의 값을 정하세요. 결과로 얻은 함수의 그래프를 그려 연속인지 확인하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+1,x>c \\ 2x,x\le c\end{array}\right.$

영어 원문 보기

In the following exercises, determine the value of c such that the function remains continuous. Draw your resulting function to ensure it is continuous.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+1,x>c \\ 2x,x\le c\end{array}\right.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 29번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

65.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 20번우리말 번역

다음 문제에서, 함수가 연속이 되도록 하는 c 의 값을 구하세요. 구한 함수의 그래프를 그려 연속임을 확인하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+1},x>-1 \\ {x}^{2}+c,x\le -1\end{array}\right.$

영어 원문 보기

In the following exercises, determine the value of c such that the function remains continuous. Draw your resulting function to ensure it is continuous.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+1},x>-1 \\ {x}^{2}+c,x\le -1\end{array}\right.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$c=-1$

원본 교재 풀이(영어)

$c=-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 22번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

66.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 21번우리말 번역

다음 문제에서, 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 극한값을 증명하세요.

$\lim_{x\to 1}(8x+16)=24$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the limit.

$\lim_{x\to 1}(8x+16)=24$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 45번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

67.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 22번우리말 번역

다음 문제에서, 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 극한값을 증명하세요.

$\lim_{x\to 0}{x}^{3}=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the limit.

$\lim_{x\to 0}{x}^{3}=0$

정답·풀이 보기

$\delta =\sqrt[3]{\varepsilon }$

원본 교재 풀이(영어)

$\delta =\sqrt[3]{\varepsilon }$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 9번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

68.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 23번우리말 번역

공을 공중으로 던졌을 때 수직 위치가 $x(t)=-4.9{t}^{2}+25t+5$ 로 주어진다. 사잇값 정리를 이용하여 공이 던진 후 5초에서 6초 사이의 어느 시점에 땅에 떨어짐을 보이세요.

영어 원문 보기

A ball is thrown into the air and the vertical position is given by $x(t)=-4.9{t}^{2}+25t+5.$ Use the Intermediate Value Theorem to show that the ball must land on the ground sometime between 5 sec and 6 sec after the throw.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 37번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

69.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 24번우리말 번역

직선을 따라 움직이는 입자의 변위가 함수 $x(t)={t}^{2}-2t+4$ 로 주어진다. 여기서 x 는 미터 단위로, t 는 초 단위로 측정한다. 시간 구간 $t=[0,2]$ 에서의 평균 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moving along a line has a displacement according to the function $x(t)={t}^{2}-2t+4,$ where x is measured in meters and t is measured in seconds. Find the average velocity over the time period $t=[0,2].$

정답·풀이 보기

$0\,\text{m}/\sec$

원본 교재 풀이(영어)

$0\,\text{m}/\sec$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 20번

# 극한의 성질과 계산활용자동 분류

70.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 25번우리말 번역

앞의 연습문제를 바탕으로, $t=0.01\,\sec$ 이내의 평균 속도를 확인하여 $t=2$ 에서의 순간 속도를 어림하세요.

영어 원문 보기

From the previous exercises, estimate the instantaneous velocity at $t=2$ by checking the average velocity within $t=0.01\,\sec .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 43번

# 극한의 성질과 계산활용자동 분류

71.APEX · 1.3절 · 1번우리말 번역

$\epsilon$ - $\delta$ 의 형식적인 방법을 쓰지 않고, 왜 $\displaystyle \lim_{x\to c} b = b$ 인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain in your own words, without using $\epsilon$ - $\delta$ formality, why $\displaystyle \lim_{x\to c} b = b$ .

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 46번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

72.APEX · 1.3절 · 2번우리말 번역

$\epsilon$ - $\delta$ 의 형식적인 방법을 쓰지 않고, 왜 $\displaystyle \lim_{x\to c} x = c$ 인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain in your own words, without using $\epsilon$ - $\delta$ formality, why $\displaystyle \lim_{x\to c} x = c$ .

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 33번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

73.APEX · 1.3절 · 3번우리말 번역

교재에서 어떤 함수들의 “거동이 극한의 관점에서 `좋다'”고 할 때, 그 말은 무슨 뜻인가요? 특히 무엇이 “좋다”는 것인가요?

영어 원문 보기

What does the text mean when it says that certain functions' “behavior is `nice' in terms of limits”? What, in particular, is “nice”?

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.3절 · 4번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

74.APEX · 1.3절 · 4번우리말 번역

조임 정리를 시각적으로 보여 주는 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch a graph that visually demonstrates the Squeeze Theorem.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.3절 · 5번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

75.APEX · 1.3절 · 5번우리말 번역

다음 정보가 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 0$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1} g(x) = 0$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)/g(x) = 2$

$x$ 가 1에 가까워질 때 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 상대적인 크기에 대해 무엇을 말할 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

You are given the following information:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 0$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1} g(x) = 0$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)/g(x) = 2$

What can be said about the relative sizes of $f(x)$ and $g(x)$ as $x$ approaches 1?

정답·풀이 보기

$x$ 가 1에 가까우면 $f$ 와 $g$ 는 모두 0에 가깝지만, $f$ 는 $g$ 의 약 2배의 크기이다. (즉, $f(x) \approx 2g(x)$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

As $x$ is near 1, both $f$ and $g$ are near 0, but $f$ is approximately twice the size of $g$ . (I.e., $f(x) \approx 2g(x)$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 8번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

76.APEX · 1.3절 · 7번우리말 번역

연습문제 7–14

에서 다음 정보를 이용하여 주어진 극한의 값을 구할 수 있으면 구하세요. 극한을 구할 수 없으면 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to9}f(x) = 6$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} f(x) = 9$ , $f(9)=6$
$\displaystyle \lim_{x\to9}g(x) = 3$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} g(x) = 3$ , $g(6)=9$

$\displaystyle \lim_{x\to9}(f(x)+g(x))$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14

, use the following information to evaluate the given limit, when possible. If it is not possible to determine the limit, state why not.

$\displaystyle \lim_{x\to9}f(x) = 6$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} f(x) = 9$ , $f(9)=6$
$\displaystyle \lim_{x\to9}g(x) = 3$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} g(x) = 3$ , $g(6)=9$

$\displaystyle \lim_{x\to9}(f(x)+g(x))$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

9

원본 교재 풀이(영어)

9

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 39번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

77.APEX · 1.3절 · 8번우리말 번역

연습문제 7–14

에서 다음 정보를 이용하여 주어진 극한의 값을 구할 수 있으면 구하세요. 극한을 구할 수 없으면 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to9}f(x) = 6$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} f(x) = 9$ , $f(9)=6$
$\displaystyle \lim_{x\to9}g(x) = 3$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} g(x) = 3$ , $g(6)=9$

$\displaystyle \lim_{x\to9}(3f(x)/g(x))$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14

, use the following information to evaluate the given limit, when possible. If it is not possible to determine the limit, state why not.

$\displaystyle \lim_{x\to9}f(x) = 6$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} f(x) = 9$ , $f(9)=6$
$\displaystyle \lim_{x\to9}g(x) = 3$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} g(x) = 3$ , $g(6)=9$

$\displaystyle \lim_{x\to9}(3f(x)/g(x))$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

6

원본 교재 풀이(영어)

6

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

78.APEX · 1.3절 · 9번우리말 번역

연습문제 7–14

에서 다음 정보를 이용하여 주어진 극한의 값을 구할 수 있으면 구하세요. 극한을 구할 수 없으면 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to9}f(x) = 6$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} f(x) = 9$ , $f(9)=6$
$\displaystyle \lim_{x\to9}g(x) = 3$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} g(x) = 3$ , $g(6)=9$

$\displaystyle \lim_{x\to9}\left(\frac{f(x)-2g(x)}{g(x)}\right)$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14

, use the following information to evaluate the given limit, when possible. If it is not possible to determine the limit, state why not.

$\displaystyle \lim_{x\to9}f(x) = 6$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} f(x) = 9$ , $f(9)=6$
$\displaystyle \lim_{x\to9}g(x) = 3$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} g(x) = 3$ , $g(6)=9$

$\displaystyle \lim_{x\to9}\left(\frac{f(x)-2g(x)}{g(x)}\right)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

0

원본 교재 풀이(영어)

0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 43번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

79.APEX · 1.3절 · 10번우리말 번역

연습문제 7–14

에서 다음 정보를 이용하여 주어진 극한의 값을 구할 수 있으면 구하세요. 극한을 구할 수 없으면 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to9}f(x) = 6$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} f(x) = 9$ , $f(9)=6$
$\displaystyle \lim_{x\to9}g(x) = 3$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} g(x) = 3$ , $g(6)=9$

$\displaystyle \lim_{x\to6}\left(\frac{f(x)}{3-g(x)}\right)$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14

, use the following information to evaluate the given limit, when possible. If it is not possible to determine the limit, state why not.

$\displaystyle \lim_{x\to9}f(x) = 6$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} f(x) = 9$ , $f(9)=6$
$\displaystyle \lim_{x\to9}g(x) = 3$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} g(x) = 3$ , $g(6)=9$

$\displaystyle \lim_{x\to6}\left(\frac{f(x)}{3-g(x)}\right)$

정답·풀이 보기

극한이 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 2번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

80.APEX · 1.3절 · 11번우리말 번역

연습문제 7–14

에서 다음 정보를 이용하여 주어진 극한의 값을 구할 수 있으면 구하세요. 극한을 구할 수 없으면 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to9}f(x) = 6$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} f(x) = 9$ , $f(9)=6$
$\displaystyle \lim_{x\to9}g(x) = 3$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} g(x) = 3$ , $g(6)=9$

$\displaystyle \lim_{x\to9}g\big(f(x)\big)$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14

, use the following information to evaluate the given limit, when possible. If it is not possible to determine the limit, state why not.

$\displaystyle \lim_{x\to9}f(x) = 6$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} f(x) = 9$ , $f(9)=6$
$\displaystyle \lim_{x\to9}g(x) = 3$ , $\displaystyle \lim_{x\to6} g(x) = 3$ , $g(6)=9$

$\displaystyle \lim_{x\to9}g\big(f(x)\big)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

3

원본 교재 풀이(영어)

3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 45번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류