다중적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

581.APEX · 13.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 구면좌표계로 나타낸 삼중적분이 주어져 있다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/4}\int_0^{2} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, a triple integral in spherical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/4}\int_0^{2} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

정답·풀이 보기

$z=\sqrt{x^2+y^2}$ 로 아래로 유계이고 구 $x^2+y^2+z^2=4$ 로 위로 유계인 공간의 영역이며, 원뿔 $z=\sqrt3\sqrt{x^2+y^2}$ 의 위쪽 부분은 제외된다. 즉, 옆면이 양의 $z$ 축과 $\pi/4$ 의 각을 이루는 원뿔 위에, 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 공의 일부가 얹힌 모양이며, 각이 $\pi/6$ 인 안쪽 원뿔을 제거하고 반지름 2인 공에서 그에 대응하는 부분도 함께 제거한 영역이다.

원본 교재 풀이(영어)

It is the region is space bounded below by $z=\sqrt{x^2+y^2}$ and above by the sphere $x^2+y^2+z^2=4$ , with the portion above the cone $z=\sqrt3\sqrt{x^2+y^2}$ removed: it describes a cone, where the side makes an angle of $\pi/4$ with the positive $z$ -axis, topped by the portion of the ball of radius 2, centered at the origin, with the inner cone with angle $\pi/6$ removed, along with corresponding portion of the ball of radius 2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 28번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

582.APEX · 13.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 구면좌표계로 나타낸 삼중적분이 주어져 있다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_0^{\sec \varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, a triple integral in spherical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_0^{\sec \varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

정답·풀이 보기

이 공간의 영역은 원뿔 $z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$ 로 아래로 유계이고 평면 $z=1$ 로 위로 유계이다. 꼭짓점이 원점에 있고 양의 $z$ 축을 중심축으로 하며, 높이가 1이고 밑면의 반지름이 $\tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$ 인 원뿔을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

The region in space is bounded below by the cone $z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$ and above by the plane $z=1$ : it describes a cone, with point at the origin, centered along the positive $z$ -axis, with height of 1 and base radius of $\tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 4번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

583.APEX · 13.7절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 구면좌표계로 나타낸 삼중적분이 주어져 있다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_0^{a\sec \varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, a triple integral in spherical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_0^{a\sec \varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

정답·풀이 보기

이 공간의 영역은 원뿔 $z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$ 로 아래로 유계이고 평면 $z=a$ 로 위로 유계이다. 꼭짓점이 원점에 있고 양의 $z$ 축을 중심축으로 하며, 높이가 $a$ 이고 밑면의 반지름이 $a\tan(\pi/6)$ 인 원뿔을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

The region in space is bounded below by the cone $z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$ and above by the plane $z=a$ : it describes a cone, with point at the origin, centered along the positive $z$ -axis, with height of $a$ and base radius of $a\tan(\pi/6)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 9번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

584.APEX · 13.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서는 입체와 그 밀도함수가 주어져 있다. 원기둥좌표계를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

원기둥 $x^2+y^2=4$ 와 평면 $z=0$ , $z=4$ 로 둘러싸인 입체이고, 밀도함수는 $\delta(x,y,z) =\sqrt{x^2+y^2}+1$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using cylindrical coordinates.

Bounded by the cylinder $x^2+y^2=4$ and the planes $z=0$ and $z=4$ with density function $\delta(x,y,z) =\sqrt{x^2+y^2}+1$ .

정답·풀이 보기

원기둥좌표계에서 밀도는 $\delta(r,\theta,z) = r+1$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^4 (r+1)r\ dz\ dr\ d\theta = 112\pi/3.$

원본 교재 풀이(영어)

In cylindrical coordinates, the density is $\delta(r,\theta,z) = r+1$ . Thus mass is $\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^4 (r+1)r\ dz\ dr\ d\theta = 112\pi/3.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 5번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

585.APEX · 13.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서는 입체와 그 밀도 함수가 주어져 있다. 원기둥좌표를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

원기둥 $x^2+y^2=4$ 와 $x^2+y^2=9$ 로 유계이고, 평면 $z=0$ 과 $z=10$ 사이에 있으며 밀도 함수가 $\delta(x,y,z) =z$ 인 입체.

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using cylindrical coordinates.

Bounded by the cylinders $x^2+y^2=4$ and $x^2+y^2=9$ , between the planes $z=0$ and $z=10$ with density function $\delta(x,y,z) =z$ .

정답·풀이 보기

원기둥좌표에서 밀도는 $\delta(r,\theta,z) = z$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{2\pi}\int_2^3\int_0^{10} zr\ dz\ dr\ d\theta = 250\pi.$

원본 교재 풀이(영어)

In cylindrical coordinates, the density is $\delta(r,\theta,z) = z$ . Thus mass is $\int_0^{2\pi}\int_2^3\int_0^{10} zr\ dz\ dr\ d\theta = 250\pi.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 8번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

586.APEX · 13.7절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서는 입체와 그 밀도 함수가 주어져 있다. 원기둥좌표를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

$y\geq 0$ 과 원기둥 $x^2+y^2=1$ 로 유계이고, 평면 $z=0$ 과 $z=4-y$ 사이에 있으며 밀도 함수가 $\delta(x,y,z) =1$ 인 입체.

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using cylindrical coordinates.

Bounded by $y\geq 0$ , the cylinder $x^2+y^2=1$ , and between the planes $z=0$ and $z=4-y$ with density function $\delta(x,y,z) =1$ .

정답·풀이 보기

원기둥좌표에서 밀도는 $\delta(r,\theta,z) = 1$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{\pi}\int_0^1\int_0^{4-r\sin\theta} r\ dz\ dr\ d\theta = 2\pi-2/3\approx 5.617.$

원본 교재 풀이(영어)

In cylindrical coordinates, the density is $\delta(r,\theta,z) = 1$ . Thus mass is $\int_0^{\pi}\int_0^1\int_0^{4-r\sin\theta} r\ dz\ dr\ d\theta = 2\pi-2/3\approx 5.617.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 7번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

587.APEX · 13.7절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서는 입체와 그 밀도 함수가 주어져 있다. 원기둥좌표를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

$z= 0$ 과 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 사이로 유계인 단위구의 위쪽 절반이며, 밀도 함수는 $\delta(x,y,z) =1$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using cylindrical coordinates.

The upper half of the unit ball, bounded between $z= 0$ and $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ , with density function $\delta(x,y,z) =1$ .

정답·풀이 보기

원기둥좌표에서 밀도는 $\delta(r,\theta,z) = 1$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}} r\ dz\ dr\ d\theta = 4\pi/3.$

원본 교재 풀이(영어)

In cylindrical coordinates, the density is $\delta(r,\theta,z) = 1$ . Thus mass is $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}} r\ dz\ dr\ d\theta = 4\pi/3.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 22번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

588.APEX · 13.7절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서는 입체와 그 밀도 함수가 주어져 있다. 구면좌표를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

$z= 0$ 과 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 사이로 유계인 단위구의 위쪽 절반이며, 밀도 함수는 $\delta(x,y,z) =1$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using spherical coordinates.

The upper half of the unit ball, bounded between $z= 0$ and $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ , with density function $\delta(x,y,z) =1$ .

정답·풀이 보기

구면좌표에서 밀도는 $\delta(\rho,\theta,\varphi) = 1$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\pi}\int_{0}^{1} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi = 2\pi/3.$

원본 교재 풀이(영어)

In spherical coordinates, the density is $\delta(\rho,\theta,\varphi) = 1$ . Thus mass is $\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\pi}\int_{0}^{1} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi = 2\pi/3.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 5번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

589.APEX · 13.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서는 입체와 그 밀도 함수가 주어져 있다. 구면좌표를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

$x^2+y^2+z^2=16$ 과 $x^2+y^2+z^2=25$ 사이로 유계인 구껍질이며, 밀도 함수는 $\delta(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using spherical coordinates.

The spherical shell bounded between $x^2+y^2+z^2=16$ and $x^2+y^2+z^2=25$ with density function $\delta(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

정답·풀이 보기

구면좌표에서 밀도는 $\delta(\rho,\theta,\varphi) = \rho$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}\int_{4}^{5} (\rho)\rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi = 369\pi.$

원본 교재 풀이(영어)

In spherical coordinates, the density is $\delta(\rho,\theta,\varphi) = \rho$ . Thus mass is $\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}\int_{4}^{5} (\rho)\rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi = 369\pi.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 14번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

590.APEX · 13.7절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서는 입체와 그 밀도함수가 주어져 있다. 구면좌표계를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

위로는 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 로, 아래로는 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 로 유계인 원뿔 모양의 영역이고, 밀도함수는 $\delta(x,y,z) = z$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using spherical coordinates.

The conical region bounded above $z=\sqrt{x^2+y^2}$ and below the sphere $x^2+y^2+z^2=1$ with density function $\delta(x,y,z) = z$ .

정답·풀이 보기

구면좌표계에서 밀도는 $\delta(\rho,\theta,\varphi) = \rho\cos\varphi$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(\rho\cos(\varphi)\big)\rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi = \pi/8$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

In spherical coordinates, the density is $\delta(\rho,\theta,\varphi) = \rho\cos\varphi$ . Thus mass is $\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(\rho\cos(\varphi)\big)\rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi = \pi/8.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 49번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

591.APEX · 13.7절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서는 입체와 그 밀도함수가 주어져 있다. 구면좌표계를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

위로는 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 로, 아래로는 평면 $z=1$ 로 유계인 원뿔이고, 밀도함수는 $\delta(x,y,z) = z$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using spherical coordinates.

The cone bounded above $z=\sqrt{x^2+y^2}$ and below the plane $z=1$ with density function $\delta(x,y,z) = z$ .

정답·풀이 보기

구면좌표계에서 밀도는 $\delta(\rho,\theta,\varphi) = \rho\cos\varphi$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\sec(\varphi)} \big(\rho\cos(\varphi)\big)\rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi = \pi/4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

In spherical coordinates, the density is $\delta(\rho,\theta,\varphi) = \rho\cos\varphi$ . Thus mass is $\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\sec(\varphi)} \big(\rho\cos(\varphi)\big)\rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi = \pi/4.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 17번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

592.APEX · 13.7절 · 39번대학 수준우리말 번역

연습문제 39~42에서는 공간의 영역이 주어집니다. 직교좌표, 원기둥좌표, 구면좌표를 각각 사용하여 이 영역의 부피를 구하는 삼중적분을 세우고, 세 가지 중 어느 것이 계산하기 가장 쉬워 보이는지 설명하세요.

단위구 $x^2+y^2+z^2=1$ 로 둘러싸인 영역.

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, a region is space is described. Set up the triple integrals that find the volume of this region using rectangular, cylindrical and spherical coordinates, then comment on which of the three appears easiest to evaluate.

The region enclosed by the unit sphere, $x^2+y^2+z^2=1$ .

정답·풀이 보기

직교좌표: $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}\ dz\ dy\ dx$

원기둥좌표: $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}r\ dz\ dr\ d\theta$

구면좌표: $\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\int_0^1 \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

구면좌표가 가장 간단해 보인다. 제곱근을 적분하거나 치환 같은 기법을 써야 하는 일을 피할 수 있으며, 모든 적분 구간의 경계가 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Rectangular: $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}\ dz\ dy\ dx$

Cylindrical: $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}r\ dz\ dr\ d\theta$

Spherical: $\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\int_0^1 \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

Spherical appears simplest, avoiding the integration of square-roots and using techniques such as Substitution; all bounds are constants.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 10번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

593.APEX · 13.7절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 39–42에서 공간의 영역이 주어집니다. 직교좌표, 원기둥좌표, 구면좌표를 각각 사용하여 이 영역의 부피를 구하는 삼중적분을 세우고, 세 가지 중 어느 것이 계산하기 가장 쉬워 보이는지 설명하세요.

원기둥 $x^2+y^2=1$ 과 평면 $z=0$ , $z=1$ 로 둘러싸인 영역.

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, a region is space is described. Set up the triple integrals that find the volume of this region using rectangular, cylindrical and spherical coordinates, then comment on which of the three appears easiest to evaluate.

The region enclosed by the cylinder $x^2+y^2=1$ and planes $z=0$ and $z=1$ .

정답·풀이 보기

직교좌표: $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{0}^{1}\ dz\ dy\ dx$

원기둥좌표: $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{0}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta$

구면좌표: $\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sec\varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_0^{2\pi}\int_0^{\csc\varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

원기둥좌표가 가장 간단해 보인다. 제곱근의 적분과 두 개의 삼중적분을 피할 수 있으며, 모든 적분 구간이 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Rectangular: $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{0}^{1}\ dz\ dy\ dx$

Cylindrical: $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{0}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta$

Spherical: $\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sec\varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_0^{2\pi}\int_0^{\csc\varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

Cylindrical appears simplest, avoiding the integration of square-roots and two triple integrals; all bounds are constants.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 25번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

594.APEX · 13.7절 · 41번대학 수준우리말 번역

연습문제 39–42에서 공간의 영역이 주어집니다. 직교좌표, 원기둥좌표, 구면좌표를 각각 사용하여 이 영역의 부피를 구하는 삼중적분을 세우고, 세 가지 중 어느 것이 계산하기 가장 쉬워 보이는지 설명하세요.

원뿔 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 과 평면 $z=1$ 로 둘러싸인 영역.

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, a region is space is described. Set up the triple integrals that find the volume of this region using rectangular, cylindrical and spherical coordinates, then comment on which of the three appears easiest to evaluate.

The region enclosed by the cone $z=\sqrt{x^2+y^2}$ and plane $z=1$ .

정답·풀이 보기

직교좌표: $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1}\ dz\ dy\ dx$

원기둥좌표: $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{r}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta$

구면좌표: $\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sec\varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

원기둥좌표가 가장 간단해 보인다. 직교좌표에서 쓰이는 제곱근의 적분을 피할 수 있다. 구면좌표도 어렵지는 않으나 치환이라는 추가 단계가 필요하다.

원본 교재 풀이(영어)

Rectangular: $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1}\ dz\ dy\ dx$

Cylindrical: $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{r}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta$

Spherical: $\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sec\varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

Cylindrical appears simplest, avoiding the integration of square-roots that rectangular uses. Spherical is not difficult, though it requires Substitution, an extra step.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 53번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

595.APEX · 13.7절 · 42번대학 수준우리말 번역

연습문제 39–42에서는 공간 속의 영역이 주어집니다. 직교좌표, 원통좌표, 구면좌표를 사용하여 이 영역의 부피를 구하는 삼중적분을 각각 세우고, 세 가지 중 어느 것이 계산하기 가장 쉬워 보이는지 설명하세요.

평면 $x=0$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=1$ , $z=0$ , $z=1$ 로 둘러싸인 정육면체입니다. (힌트: 구면좌표에서는 적분 순서를 $d\rho\ d\varphi\ d\theta$ 로 하세요.)

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, a region is space is described. Set up the triple integrals that find the volume of this region using rectangular, cylindrical and spherical coordinates, then comment on which of the three appears easiest to evaluate.

The cube enclosed by the planes $x=0$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=1$ , $z=0$ and $z=1$ . (Hint: in spherical, use order of integration $d\rho\ d\varphi\ d\theta$ .)

정답·풀이 보기

직교좌표: $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\ dz\ dy\ dx$

원통좌표: $\int_0^{\pi/4}\int_0^{\sec\theta}\int_{0}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_0^{\csc\theta}\int_{0}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta$

구면좌표: $\int _0^{\pi/4}\int _0^{\tan ^{-1}(\sec \theta)}\int _0^{\sec \varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta +$

$\int _0^{\pi/4}\int _{\tan ^{-1}(\sec \theta)}^{\pi/2}\int _0^{\sec\theta\csc\varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta +$

$\int _{\pi/4}^{\pi/2}\int _0^{\tan ^{-1}(\csc \theta)}\int _0^{\sec\varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta +$

$\int _{\pi/4}^{\pi/2}\int _{\tan ^{-1}(\csc \theta)}^{\pi/2}\int _0^{\csc\theta\csc\varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta$ .

직교좌표가 가장 간단함이 분명하다.

원본 교재 풀이(영어)

Rectangular: $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\ dz\ dy\ dx$

Cylindrical: $\int_0^{\pi/4}\int_0^{\sec\theta}\int_{0}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_0^{\csc\theta}\int_{0}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta$

Spherical: $\int _0^{\pi/4}\int _0^{\tan ^{-1}(\sec \theta)}\int _0^{\sec \varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta +$

$\int _0^{\pi/4}\int _{\tan ^{-1}(\sec \theta)}^{\pi/2}\int _0^{\sec\theta\csc\varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta +$

$\int _{\pi/4}^{\pi/2}\int _0^{\tan ^{-1}(\csc \theta)}\int _0^{\sec\varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta +$

$\int _{\pi/4}^{\pi/2}\int _{\tan ^{-1}(\csc \theta)}^{\pi/2}\int _0^{\csc\theta\csc\varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta.$

Rectangular is clearly the simplest.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 21번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류

596.CLP-3 · 3.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)= 12 x^2y^3$ 이라 하자. 다음 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y$ (c) $\displaystyle \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ (d) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ (e) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

영어 원문 보기

Let $f(x,y)= 12 x^2y^3$ . Evaluate

(a) $\displaystyle \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y$ (c) $\displaystyle \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ (d) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ (e) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

정답·풀이 보기

(a) $x$ 에 대한 적분에서는 $y$ 를 상수로 취급한다. 따라서

$\begin{aligned} \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x &= \int_0^3 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x = \Big[4x^3y^3\Big]_{x=0}^{x=3} = 108 y^3 \end{aligned}$

(b) $y$ 에 대한 적분에서는 $x$ 를 상수로 취급한다. 따라서

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y &= \int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}y = \Big[3x^2y^4\Big]_{y=0}^{y=2} = 48x^2 \end{aligned}$

(c) (a)에 의해

$\begin{aligned} \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^2\left[\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^2 108y^3\,\mathrm{d}y =\Big[27y^4\Big]_{y=0}^{y=2} \\ &=27\times 16 = 432 \end{aligned}$

(d) (b)에 의해

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^3\left[\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x =\int_0^3 48x^2\,\mathrm{d}y =\Big[16x^3\Big]_{x=0}^{x=3} \\ &=16\times 27 = 432 \end{aligned}$

(e) 이번에는

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\left[\int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^3\left[4 x^3y^3\right]_0^2\mathrm{d}y =\int_0^3 32 y^3\mathrm{d}y \\ & =\Big[8y^4\Big]_0^3 =8\times 81 = 648 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The integral with respect to $x$ treats $y$ as a constant. So

$\begin{aligned} \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x &= \int_0^3 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x = \Big[4x^3y^3\Big]_{x=0}^{x=3} = 108 y^3 \end{aligned}$

(b) The integral with respect to $y$ treats $x$ as a constant. So

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y &= \int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}y = \Big[3x^2y^4\Big]_{y=0}^{y=2} = 48x^2 \end{aligned}$

(c) By part (a)

$\begin{aligned} \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^2\left[\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^2 108y^3\,\mathrm{d}y =\Big[27y^4\Big]_{y=0}^{y=2} \\ &=27\times 16 = 432 \end{aligned}$

(d) By part (b)

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^3\left[\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x =\int_0^3 48x^2\,\mathrm{d}y =\Big[16x^3\Big]_{x=0}^{x=3} \\ &=16\times 27 = 432 \end{aligned}$

(e) This time

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\left[\int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^3\left[4 x^3y^3\right]_0^2\mathrm{d}y =\int_0^3 32 y^3\mathrm{d}y \\ & =\Big[8y^4\Big]_0^3 =8\times 81 = 648 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 4번

# 일반 영역의 이중적분계산기본자동 분류

597.CLP-3 · 3.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

각 $1\le i\le 5$ 에 대해,

$xy$ 평면에 점 $(x_i,y_i)$ 를 그리고
점 $(x_i,y_i)$ 의 극좌표 $r_i$ 와 $\theta_i$ 를 구하세요. 단, $r_i>0$ 이고 $0\le\theta_i<2\pi$ 이다.

영어 원문 보기

Consider the points

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

For each $1\le i\le 5$ ,

sketch, in the $xy$ -plane, the point $(x_i,y_i)$ and
find polar coordinates $r_i$ and $\theta_i$ , with $r_i>0$ and $0\le\theta_i<2\pi$ , for the point $(x_i,y_i)$ .

정답·풀이 보기

아래 왼쪽 그림에는 좌표축 위에 있는 점 $(x_1,y_1)$ , $(x_3,y_3)$ , $(x_5,y_5)$ 가 있다. 아래 오른쪽 그림에는 좌표축 위에 있지 않은 점 $(x_2,y_2)$ , $(x_4,y_4)$ 가 있다.

극좌표 $r$ , $\theta$ 와 직교좌표 $x$ , $y$ 사이에는 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 인 관계가 있다. 따라서 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x}$ ( $x\ne 0$ 이고 $r>0$ 이라 가정)이며

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ $(x_1,y_1)$ 은 양의 $x$축 위에 있으므로} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ $(x_2,y_2)$ 는 제1팔분면에 있으므로} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ $(x_3,y_3)$ 은 양의 $y$축 위에 있으므로} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ $(x_4,y_4)$ 는 제3팔분면에 있으므로} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ $(x_5,y_5)$ 는 음의 $x$축 위에 있으므로} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The left hand sketch below contains the points, $(x_1,y_1)$ , $(x_3,y_3)$ , $(x_5,y_5)$ , that are on the axes. The right hand sketch below contains the points, $(x_2,y_2)$ , $(x_4,y_4)$ , that are not on the axes.

Recall that the polar coordinates $r$ , $\theta$ are related to the cartesian coordinates $x$ , $y$ , by $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ . So $r=\sqrt{x^2+y^2}$ and $\tan\theta=\frac{y}{x}$ (assuming that $x\ne 0$ and $r>0$ ) and

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ as $(x_1,y_1)$ is on the positive $x$-axis} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ as $(x_2,y_2)$ is in the first octant} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ as $(x_3,y_3)$ is on the positive $y$-axis} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ as $(x_4,y_4)$ is in the third octant} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ as $(x_5,y_5)$ is on the negative $x$-axis} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 16번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석기본자동 분류

598.CLP-3 · 3.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 각 점 $(x_i,y_i)$ 에 대해,

$(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ 를 만족하는 순서쌍 $(r_i,\theta_i)$ 를 모두 구하세요.
특히, $r_i<0$ 이고 $0\le\theta_i<2\pi$ 이면서 $(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ 를 만족하는 순서쌍 $(r_i,\theta_i)$ 를 하나 구하세요.

(a) $(x_1,y_1) = (-2,0)$ (b) $(x_2,y_2) = (1,1)$ (c) $(x_3,y_3) = (-1,-1)$ (d) $(x_4,y_4) = (3,0)$ (e) $(x_5,y_5) = (0,1)$

영어 원문 보기

For each of the following points $(x_i,y_i)$ ,

find all pairs $(r_i,\theta_i)$ such that $(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ , and
in particular, find a pair $(r_i,\theta_i)$ with $r_i<0$ and $0\le\theta_i<2\pi$ such that $(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$

(a) $(x_1,y_1) = (-2,0)$ (b) $(x_2,y_2) = (1,1)$ (c) $(x_3,y_3) = (-1,-1)$ (d) $(x_4,y_4) = (3,0)$ (e) $(x_5,y_5) = (0,1)$

정답·풀이 보기

이 풀이에서는 아래 첨자를 생략한다. 즉, $r_i$ 대신 $r$ 로, $\theta_i$ 대신 $\theta$ 로 쓴다. 점 $\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)$ 에서 원점까지의 거리는 다음과 같다.

$\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2} =|r|$

따라서 $r$ 은 원점까지의 거리이거나, 원점까지의 거리에 음의 부호를 붙인 값이다.

(a) $(-2,0)$ 에서 원점까지의 거리는 $2$ 이다. 따라서 $r=2$ 또는 $r=-2$ 이다.

$r=2$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(2\cos\theta\,,\,2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 홀수인 정수 } \end{aligned}$

$r=-2$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(-2\cos\theta\,,\,-2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 짝수인 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-2\,,\,\theta= 0\big)$ 은 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(b) $(1,1)$ 에서 원점까지의 거리는 $\sqrt{2}$ 이다. 따라서 $r=\sqrt{2}$ 또는 $r=-\sqrt{2}$ 이다.

$r=\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (1,1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (1,1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {5\pi}/{4}\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(c) $(-1,-1)$ 에서 원점까지의 거리는 $\sqrt{2}$ 이다. 따라서 $r=\sqrt{2}$ 또는 $r=-\sqrt{2}$ 이다.

$r=\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {\pi}/{4}\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(d) $(3,0)$ 에서 원점까지의 거리는 $3$ 이다. 따라서 $r=3$ 또는 $r=-3$ 이다.

$r=3$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (3,0) = \big(3\,\cos\theta\,,\,3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= 0 + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-3$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (3,0) = \big(-3\,\cos\theta\,,\,-3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= \pi + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-3\,,\, \theta= \pi\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(e) $(0,1)$ 에서 원점까지의 거리는 $1$ 이다. 따라서 $r=1$ 또는 $r=-1$ 이다.

$r=1$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (0,1) = \big(\cos\theta\,,\,\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=1 \\ &\iff \theta= {\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-1$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (0,1) = \big(-\cos\theta\,,\,-\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=-1 \\ &\iff \theta= {3\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-1\,,\, \theta= {3\pi}/{2}\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

원본 교재 풀이(영어)

In this solution, we'll supress the subscripts. That is, we'll write $r$ in place of $r_i$ and $\theta$ in place of $\theta_i$ . Note that the distance from the point $\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)$ to the origin is

$\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2} =|r|$

Thus $r$ can be either the distance to the origin or minus the distance to the origin.

(a) The distance from $(-2,0)$ to the origin is $2$ . So either $r=2$ or $r=-2$ .

If $r=2$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(2\cos\theta\,,\,2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ integer },\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ odd integer } \end{aligned}$

If $r=-2$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(-2\cos\theta\,,\,-2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ integer },\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ even integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-2\,,\,\theta= 0\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r<0$ .

(b) The distance from $(1,1)$ to the origin is $\sqrt{2}$ . So either $r=\sqrt{2}$ or $r=-\sqrt{2}$ .

If $r=\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (1,1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (1,1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {5\pi}/{4}\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ .

(c) The distance from $(-1,-1)$ to the origin is $\sqrt{2}$ . So either $r=\sqrt{2}$ or $r=-\sqrt{2}$ .

If $r=\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {\pi}/{4}\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ .

(d) The distance from $(3,0)$ to the origin is $3$ . So either $r=3$ or $r=-3$ .

If $r=3$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (3,0) = \big(3\,\cos\theta\,,\,3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= 0 + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-3$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (3,0) = \big(-3\,\cos\theta\,,\,-3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= \pi + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-3\,,\, \theta= \pi\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r<0$ .

(e) The distance from $(0,1)$ to the origin is $1$ . So either $r=1$ or $r=-1$ .

If $r=1$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (0,1) = \big(\cos\theta\,,\,\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=1 \\ &\iff \theta= {\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-1$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (0,1) = \big(-\cos\theta\,,\,-\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=-1 \\ &\iff \theta= {3\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-1\,,\, \theta= {3\pi}/{2}\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r<0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 15번

# 극좌표 이중적분계산기본자동 분류

599.CLP-3 · 3.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

또한 각 $\theta$ 에 대해 벡터를 다음과 같이 정의하세요.

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

(a) 각 각 $\theta$ 에 대해 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 길이, 그리고 두 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 가 이루는 각을 구하세요. $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 값을 구하세요 ( $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 를 $\hat{\mathbf{k}}$ 성분이 0인 3차원 벡터로 보세요). (b) $1\le i\le 5$ 인 각 $i$ 에 대해, $xy$ 평면에 점 $(x_i,y_i)= \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ 와 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 를 그리세요. 벡터를 그릴 때 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 시점을 $(x_i,y_i)$ 에 놓으세요.

영어 원문 보기

Consider the points

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

Also define, for each angle $\theta$ , the vectors

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

(a) Determine, for each angle $\theta$ , the lengths of the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ and the angle between the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ . Compute $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ (viewing $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ as vectors in three dimensions with zero $\hat{\mathbf{k}}$ components). (b) For each $1\le i\le 5$ , sketch, in the $xy$ -plane, the point $(x_i,y_i)= \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ and the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ . In your sketch of the vectors, place the tails of the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ at $(x_i,y_i)$ .

정답·풀이 보기

(a) 길이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}$

$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0$

이므로 두 벡터는 수직이고 두 벡터가 이루는 각은 $\frac{\pi}{2}$ 이다. 외적은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 로 정해지는 $\theta$ 에 대해 다음에 주목한다.

벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 는 $(0,0)$ 에서 $(x,y)$ 로 향하는 벡터와 방향이 같은 단위벡터이다.
벡터 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 는 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 에 수직인 단위벡터이다.
$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 $y$ 성분은 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 의 $x$ 성분과 부호가 같다. $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 $x$ 성분은 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 의 $y$ 성분과 부호가 반대이다.

다음은 $i =1,3,5$ (축 위의 점)에 대한 $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 그림이다.

다음은 $i =2,4$ (축 위에 있지 않은 점)에 대한 $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 그림이다(축척은 다르다).

원본 교재 풀이(영어)

(a) The lengths are

$\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}$

As

$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0$

the two vectors are perpendicular and the angle between them is $\frac{\pi}{2}$ . The cross product is

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) Note that for $\theta$ determined by $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ ,

the vector $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ is a unit vector in the same direction as the vector from $(0,0)$ to $(x,y)$ and
the vector $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ is a unit vector that is perpendicular to $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ .
The $y$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ has the same sign as the $x$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ . The $x$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ has opposite sign to that of the $y$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ .

Here is a sketch of $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ for $i =1,3,5$ (the points on the axes)

and here is a sketch (to a different scale) of $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ for $i =2,4$ (the points off the axes).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 14번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석기본자동 분류

600.CLP-3 · 3.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\left< a, b\right>$ 를 벡터라 하자. $r$ 를 $\left< a, b\right>$ 의 길이, $\theta$ 를 $\left< a, b\right>$ 와 $x$ 축 사이의 각이라 하자.

(a) $a$ 와 $b$ 를 $r$ 과 $\theta$ 로 나타내세요. (b) $\left< A, B\right>$ 를 $\left< a, b\right>$ 를 시점을 중심으로 각 $\varphi$ 만큼 회전하여 얻은 벡터라 하자. $A$ 와 $B$ 를 $a$ , $b$ , $\varphi$ 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $\left< a, b\right>$ be a vector. Let $r$ be the length of $\left< a, b\right>$ and $\theta$ be the angle between $\left< a, b\right>$ and the $x$ -axis.

(a) Express $a$ and $b$ in terms of $r$ and $\theta$ . (b) Let $\left< A, B\right>$ be the vector gotten by rotating $\left< a, b\right>$ by an angle $\varphi$ about its tail. Express $A$ and $B$ in terms of $a$ , $b$ and $\varphi$ .

정답·풀이 보기

다음은 $\left< a, b\right>$ 와 $\left< A, B\right>$ 의 개략도이다.

(a) 그림에서

$\begin{aligned} a&=r\cos\theta\\ b&=r\sin\theta \end{aligned}$

(b) 벡터 $\left< A, B\right>$ 의 길이는 이번에도 $r$ 이고 $\left< A, B\right>$ 와 $x$ 축 사이의 각은 $\theta +\varphi$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} A&=r\cos(\theta+\varphi) &&=r\cos\theta\cos\varphi-r\sin\theta\sin\varphi &&=a\cos\varphi-b\sin\varphi\\ B&=r\sin(\theta+\varphi) &&=r\sin\theta\cos\varphi+r\cos\theta\sin\varphi &&=b\cos\varphi+a\sin\varphi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Here is a sketch of $\left< a, b\right>$ and $\left< A, B\right>$ .

(a) From the sketch,

$\begin{aligned} a&=r\cos\theta\\ b&=r\sin\theta \end{aligned}$

(b) The length of the vector $\left< A, B\right>$ is again $r$ and the angle between $\left< A, B\right>$ and the $x$ -axis is $\theta +\varphi$ . So

$\begin{aligned} A&=r\cos(\theta+\varphi) &&=r\cos\theta\cos\varphi-r\sin\theta\sin\varphi &&=a\cos\varphi-b\sin\varphi\\ B&=r\sin(\theta+\varphi) &&=r\sin\theta\cos\varphi+r\cos\theta\sin\varphi &&=b\cos\varphi+a\sin\varphi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 18번

# 극좌표 이중적분계산기본자동 분류

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